几个基本的函数图像解析

x0
恒过定点1,1； o 1
x 1
x
v幂函数 f x xn
函数 f x xn
当 n 0 时在区间0 ， 上是增函数；
当 n 0 时在区间0 ， 上是减函数；中n的增大趋势.
当 n 0 时函数定义域 x x 0 .
幂函数的概念及性质
幂函数：形如 f x xn 的函数（n为实数）称为幂函数.
3.函数是非奇非偶函数，图象仅在第一象限；
y0
y
2
x
,
y2 2 px
2P 1 , P 1 ， 2
4.函数在区间 0 , 上是单调递增的函数 .
5.函数
y0
y
2
x
即
y2
2 px
焦点在
x
正半轴上 ，
P1 24
,
F
1 4
,
0
抛物线的焦点坐标
F
1 4
,
0 ；
函数 f x x 的固有性质：
3.函数 f x x3
的图象 函数 f x x3 的固有性质：
y
1.定义域为R ；
2.函数图象过点0 , 0 的抛物线；
3.函 数是 奇函 数， 图 象关 于原 点中 心 对称 ；
x 4.函数在区间 , 上是单调递增的函数；
o
5.函 数图 象的 位置 在 第一、 三 象限；
6.函数的导数 f 'x 3x2 , 有 f '0 0 ,
x 1
x 1
x 1
y
y0
x
k x0
y 1 1 x3
y 2 11 x4
y 1 7 x2
y2 8 x 1
k 0
有关
y
y0
x
k x0
的函数，定义域为
, x0
x0 ,
当 k 0 时，函数在区间 , x0 上单调递减，
函数在区间 x0 , 上单调递减；
当 k 0 时，函数在区间 , x0 上单调递增，
x1
1
x2
i幂函数 f x xn
是偶函数图象在第 一、二象限；
ii幂函数 f x xn
是奇函数图象在第 一、三象限；
1
x0
x 1
o1
x
函数 f x xn
iii幂函数 f x中 nx的n 增大趋势.
的函数图象不经过第四象限；
y 7.幂函数 f x xn
在第一象限内的图象
x3 x2
x1
1
x2
iv函数 f x xn 1
函数在区间 x0 , 上单调递增. 函数的值域为 , y0 y0,即y. y y0 .
注：不能说函数在区间 , x0 x0 ,是单调函数.
例题：求函数 f x x 2
x3
的定义域和值域.
解：函数 f x x 2 即函数 y x 2
x3
x3
y x 2 x 31 1 1
x3 x3
几个基本的函数图像
积累初等函数图像的 有关信息，应用此知识所 具备的知识特性回答一些 初等数学的命题的逻辑性 的正确性问题.
1.函数 f x x
的图象
y
x o
2.函数 f x x2
的图象
y
x o
4.函数 f x x1 即 f x 1 的图象
yx
x o
1
5.函数 f x x 2 即 f x x 的图象
6.函数 f x x
的图象
1.定义域为 R ，即 x , ；
y
2.函数图象过点 0 , 0 的折线 ；
3.函数是偶函数，图象关于 y 轴对称 ,
x o
若函数 y x a 是偶函数，则有a 0 ； 7函数 y f x
4.函数在区间
, 0
的图象在尖的地方
上是单调递减的函数，
导数值不存在 .
2.函数 f x x2
的图象
y
x o
函数 f x x2 的固有性质： 1.定义域为 R ； 2.函数图象过点
0 , 0 的抛物线 ；
3.函数是偶函数 ，
图象关于 y 轴对称 ；
4.函数在区间 , 0
上是单调递减的函数，
在区间 0 , 上是
单调递增的函数；
5.函数图象的位置在第一、二象限 .
o
x
离 心 率 为e 2 ；
3.函 数 是 奇 函 数， 图 象 关 于 原 点 中 心 对称 ；
4.函数在区间 , 0 ，0 , 上是
单调递减的函数；
5.函数图 象的位置 在第一、 三 象 限 .
2 6 3
3 6 2
a k b
b k a
a0
可知有
y
y0
k x x0
k 0
x x0 0
k 0
在 x 0 处 的 导 数 等 于0 ， 在 x 0 处 没 有 极 值.
函数 f x 1 的固有性质：
x
4.函数 f x x1 1.定 义 域 为 x x 0 ；
即 f x 1 的图象
x
2.函数图 象不过点 0 , 0
y
的 双 曲 线 ， 渐 近 线 是x 轴 和 y 轴 ，
在区间 0 , 上是单调递增的函数；
8函数 y f x
5.函数图象的位置在第一、二象限 ;
的导数等于 0 ，
6.函数在 x 0 处的导数不存在，
函数不一定有极值；
但是有 ymin f 0 0 .
函数有极值是其导 数不一定等于0 .
y 7.幂函数 f x xn
在第一象限内的图象
x3 x2
（幂函数的自变量x在底数的位置上）
幂函数具有下列性质：
（1）.幂函数的图象一定过定点（1，1），定义域、奇 偶性由n的值而确定，分式中的分母不等于零，偶次方 根的被开方式不小于零； （2）.幂函数在第一象限的图象可显示出它的主要性质.
当n＞0时，函数图象过点（0，0)和（1，1），
y
x o
3.函数 f x x3
的图象
y
x o
6.函数 f x x
的图象
y
x o
函数 f x x 的固有性质：
1.函数 f x x 1.定义域为 R ；
的图象 2.函数图象过点 0 , 0 的直线 ；
y
3.函数是奇函数 ；
x 4.函数是正比例函数；
o
5.函数是 , 上的增函数；
6.函数属于 y xn ,当 n 1 的幂函数； 7.函数图象的位置在第一、三象限 .
x3
y 1 1 x3
函数的定义域 x R x 3
函数的值域 y R y 1
函数图象的对称中心为M（3，1）.
如图所示
1
5.函数 f x x2 函数 f x x 的固有性质：
即 f x y
x 的图象 1.定义域为
0过点
0
,
0
，即
y0
y
2
x
是 x 轴上方的半个抛物线；
y y0 0
b0
x x0
y y0
可知有 y 1 1 x3
x3
y 1
bx c
y
等价于
xa
y x 2 x 31 1 1
x3 x3
x3
y 3 2x 2x 8 11 2 11
x4
x4
x4
y 5 x 2 x 7 1 7
x2 x2
x2
y 6 2x 2 2x 8 2 8