线性方程组的平方根解法

浅析线性方程组的平方根解法

在求解线性方程组时, 直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法（对称LLT 分解法）来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义

我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：

1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：

1）正定矩阵A 是非奇异的

2）正定矩阵A的任一主子矩阵也必为正定矩阵

3）正定矩阵A的主对角元素均为正数

4）正定矩阵A 的特征值均大于零

5）正定矩阵A的行列式必为正数

定义一线性方程组Ax=b的系数矩阵A是对称正定矩阵，那么Ax=b是对称正定线性方程组。

定义二如果方阵A满足A=AT那么A是对称阵。

2.1.4 平方根法和改进的平方根法

如果A是n阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：

定理2若A为n阶对称矩阵，且A的各阶顺序主子式都不为零，则A可惟一分解为：A= LDLT,其中L为单位下三角阵，D为对角阵。

证明因为A的各阶顺序主子式都不为零，所以A可惟一分解为：A= LU

因为，所以可将U 分解为：

i DU i

其中D 为对角矩阵，Ui 为单位上三角阵•于是：A = LDU 仁L(DUI)

因为A 为对称矩阵，所以，A = AT = UITDTL 七U 仃(DLT),由A 的LU 分解的惟一 性即得：L = UIT,即 Ui = LT ,故 A = LDLT

工程技术中的许多实际问题所归结出的线性方程组，其系数矩阵常有对称正定 性，对于具有此类特殊性质的系数矩阵，利用矩阵的三角分解法求解是一种较好 的有效方法，这就是对称正定矩阵方程组的平方根法及改进的平方根法， 这种方

法目前在计算机上已被广泛应用。

定理3对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式大于零。

2对称正定矩阵的三角分解

定理(Cholesky 分解)设A 为n 阶对称正定矩阵，则存在惟一的主对角线元素 都是正数的下三角阵L ,使得：A = LLT 。

分解式A = LLT 称为正定矩阵的Cholesky 分解，利用Cholesky 分解来求解系数 矩阵为对称正定矩阵的方程组AX ^ b 的方法称为平方根法。 设A 为4阶对称正定矩阵，则由定理

4 知，A = LLT ，即： a ii

a i2

a i3 a i4 l ii 0 0

0 l ii l 2i l 3i l 4i a 21 a 22 a 23

a 24

l 2i

l

22

0 0

0 l 22

l 32

l 42

a 3i

a 32

a 33 a 34 l 3i l 32 l 33 0 0

l 33 l 43

a 4i a 42 a 43 a 44 l 4i l 42

l 43

144

l 44

将右端矩阵相乘， 并令两端矩阵的元素相等， 于是不难算得矩阵 L 的元素的计算

公式为:

平方根法的计算框图见图

用平方根法求解系数矩阵对称正定的线性方程组时，计算过程是数值稳定

U ii

U 22

U l2

U in U ii 1

U nn U 2n

U 22

U nn

为了避免开方运算，有时直接使用对称矩阵A的LDL T分解来计算，在中令U ij IjC i),根据矩阵乘法可以求出L和D的元素，然后将方程组即LDL T x b 转化为两个三角形方程组Ly b , L T X D 1 y，由前一方程解出y，代入后一方程便可解出x。

二、平方根法求解对称正定线性方程组的过程

用平方根法求解对称正定方线性程组Ax=b的步骤如下：

例用平方根法求解方程组

1 12X15

1 20X28

2 011X37

解设

11 2 J00l11l21 l31

120 1211 22001 22 1 32

2011 1311 321 3300 l33

右端矩阵相乘并比较等式两端。由第一列有

1 h； , 1 l

1」,2 l11 l31

可得ln 1 ,l21 1,l 312

比较第二列有 2 2

2 l21 l22 ,0 l31l21l 32 l 22

求得

1

l22 (2 I；)2 1 ,132(0l 31 l 21 ) l 222

由第三列得11l32 l33，故l33 (11l^1

lj 3

100

L 110

223

由Ly b解得y15,y2 3, y3 3,由L T X y解得X12, X2 5, X3 1一般情形，设

A 根据矩阵乘法有

M1M1丨2151 LL T l21l22l22

l n2

l n1l n2l nn l

nn

k a kk l k kS i

I ks i kk,k 1,2,,n

s 1s1

k k 1

及a

i k l is l ks l is l ks 1ik l kk , i

s 1s 1

于是有

k 11

1 kk(a kk I》

s 1

k 1-1

l ik(a ik I i s I ks ) ■l kk , i k1,k

2

s 1

,n 在上式中取k=1,2,…,n便可求出L的全部元素

三、平方根法的算法的流程图