植物营养研究方法 第六章 4 回归分析
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大于0.7，此时，可以由 X说明的Y的变异才 接近和大于 50％
5. 两个变数的样本容量一般不少于 5，回归分析中 x变数的取值范围尽量宽一些
多元线性回归
研究因变量y与多个变量x之间的定量关系。 （一）多元线性回归的数学模型 如P177，表3-71； 其多元线性回归方程为：y? ? b0 ? b1x1 ? b2 x2 ? ? ? bj xj ? ? ? bp xp
解: (1) 做x、y的散点图
(月/日) 20
5/25
期 发
15
5/20
盛 螟
10
化
5/15 三 5
代
5/10
一 y
0
5/5 -5
30
34
38
42
46
x(3月下旬至4月中旬平均累积温度)
(2) 求各级统计数 * 由观察值直接计算获得6个一级数据
* 由由一级数据计算获得5个二级数据
* 最终计算得
---回归分析与相关分析
1. 变数本身的特点
变数x各水平可控，不存在实验误差或实验误差 小到可以忽略，而变数 y具有明显的实验误差
x、y两个变数均具有明显的实验误差
回归
2. 变数间的关系
x和y具有因果关系 平行关系，仅表现为一定程度上的协同变异
回归
3.是否具有预测数量变化的功能
可以利用自变数 x的取值来预测因变数 y的取值
? a的取值决定了直线在坐标中的位置，而 b的取值决定了 直线的走向
? 若b等于0或与0的差异不显著，则表明y的变异和x的取值 大小没有关系，两个变数之间的直线回归关系不能成立
例
累积温度 x
35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2
盛发期 y 12 16 9 2 7 3 13 9 -1
(3) 获得回归方程为：
对于每一个具体的回归方程，根据所描述的对 象，回归系数和回归截距均有其专业意义。(P161)
(4) 做直线回归图
即找两个x值，计算对应两个点的回归值作 一条经过这两个点的直线。
该直线必经过点
20
期 15 发
盛 螟
10
化
三5
代
一 y
0
y = -1.0996x + 48.549
（2）输入选项。点x和y数据区，输入数据。 （3）确定，输出回归结果。 第三步，结果解读。 （1）读出回归系数，建立模型。 b0=43.6522，b1=1.78478，b2=-0.0834，b3=0.161133 于是得到模型
三、直线回归的假设测验
1、直线回归的存在性测验
（1）t 测验－测验回归系数b（例9.3，P163）
（2）F 测验－使得回归平方和相对于离回归 平方和足够大
注意： t 测验和F 测验的结果是完全相等的，因 为在同一概率下， v1＝1，v2＝n-2时的F 值正好 等于v＝ n-2 的t2。
2、两个回归方程的同质性测验
第四节 回归分析
7
-1s)-2m
6
ol
m (μ
5
Soilrespiration
4 3
2
y = 15.395e-0.0457x R2 = 0.6793
7
Hale Waihona Puke Baidu
-1s)
-2m 6
ol (μm 5
Soilrespiration
4 3
2
y = 1.4814e0.0557x R2 = 0.7695
20
25
30
35
40
65.4 II
I
? X 58.4
51.4 III
IV
44.4
36.9
43.9
?50.9 Y
57.9
64.9 x
2、决定系数 r2
3、相关系数与决定系数的对比
4、相关系数与决定系数的计算
二、相关系数的假设测验
1、测验 H0：ρ=0
2、测验 H0：ρ=C
(4)解释 此样本来自指定的总体
回归
相互间不存在数量上的预测功能
直线回归
直线回归分析的基本步骤：
?做散点图，确定两变数间是否存在回归关系 ?建立直线回归方程 ?作回归直线图 ?直线回归的假设测验
一、直线回归方程的建立
要使所得方程能够最好的代表 y和x在数量上的关 系，根据 最小二乘法 :
—— x的离均差和y的离均差的乘积和
b=0
-5
30
34
38
42
46
x(3月下旬至4月中旬平均累积温度)
二、直线回归的数学模型、基本假定及其 方差分解(p163)
直线回归的估计标准误－离回归标准误
定义回归方程的估计标准误为：
样本的估计标准误为回归精确度的度量 估计标准误越小，回归方程估计 y 的精 确度越高
Q值的计算方法
注意：计算时，尽量采用更低级别的数 据，以免产生过多计算误差
直线相关
一、相关系数与决定系数
1、相关系数 r
y 72.4
y 72.4
65.4 II
I
65.4 II
I
? X 58.4
? X 58.4
51.4 III
IV
44.4
36.9
43.9
50.9
57.9
64.9
?Y
x
y 72.4
51.4 III
44.4 36.9
43.9
?50.9 Y
IV
57.9
64.9 x
? 一个显著的相关系数或回归系数亦并不意味着 x和y 的关系必定为直线，因为并不排除有能够更好地描 述它们关系的非线性方程的存在
? 直线回归与相关分析一般是在一定取值区间内对两 个变量间的关系进行描述
4. 一个显著的回归方程并不一定具有实践上的预 测意义
? 主要看有无学科专业意义 ? 一般而言，当需要由 X预测Y时，|r| 需要要
bj-y对xj的偏回归系数，表示当其它x固定时，xj对y的贡献率。 （二）b0和bj 的求法 以例3.4.5为例，讲解excel中的方法： 第一步，录入数据
第二步，计算过程 （1）打开回归对话框。沿着主菜单的“工具（T）”→“数 据分析（D）…”路径打开“数据分析”对话框，选择“回 归”，然后“确定”，弹出“回归”分析选项框，选项框的各 选项与一元线性回归基本相同。具体说明如下。
45
10
15
20
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30
Latitude (o)
Soil temperature (oC)
回归和相关的概念
一、变数间的关系
二、直观描述变数间关系的散点图
散点图可以给出的三点信息
变数间相依的性质（正负）及密切程度 变数间是直线关系还是非直线关系 是否存在一些特殊点表示有其他因素的 干扰
三、回归模型和相关模型
3、测验 H0：ρ1= ρ2
★应用直线回归与相关的注意事项
1. 回归和相关分析要有学科专业知识作指导
2. 严格控制研究对象以外的有关因素（即唯一差 异原则）
3. 正确理解回归或相关显著与否的含义
? 直线回归或相关分析结果不显著并不意味着变量 x 和y之间没有关系，而只有能说明两变量间没有显 著的直线关系
5. 两个变数的样本容量一般不少于 5，回归分析中 x变数的取值范围尽量宽一些
多元线性回归
研究因变量y与多个变量x之间的定量关系。 （一）多元线性回归的数学模型 如P177，表3-71； 其多元线性回归方程为：y? ? b0 ? b1x1 ? b2 x2 ? ? ? bj xj ? ? ? bp xp
解: (1) 做x、y的散点图
(月/日) 20
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盛 螟
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5/15 三 5
代
5/10
一 y
0
5/5 -5
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42
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x(3月下旬至4月中旬平均累积温度)
(2) 求各级统计数 * 由观察值直接计算获得6个一级数据
* 由由一级数据计算获得5个二级数据
* 最终计算得
---回归分析与相关分析
1. 变数本身的特点
变数x各水平可控，不存在实验误差或实验误差 小到可以忽略，而变数 y具有明显的实验误差
x、y两个变数均具有明显的实验误差
回归
2. 变数间的关系
x和y具有因果关系 平行关系，仅表现为一定程度上的协同变异
回归
3.是否具有预测数量变化的功能
可以利用自变数 x的取值来预测因变数 y的取值
? a的取值决定了直线在坐标中的位置，而 b的取值决定了 直线的走向
? 若b等于0或与0的差异不显著，则表明y的变异和x的取值 大小没有关系，两个变数之间的直线回归关系不能成立
例
累积温度 x
35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2
盛发期 y 12 16 9 2 7 3 13 9 -1
(3) 获得回归方程为：
对于每一个具体的回归方程，根据所描述的对 象，回归系数和回归截距均有其专业意义。(P161)
(4) 做直线回归图
即找两个x值，计算对应两个点的回归值作 一条经过这两个点的直线。
该直线必经过点
20
期 15 发
盛 螟
10
化
三5
代
一 y
0
y = -1.0996x + 48.549
（2）输入选项。点x和y数据区，输入数据。 （3）确定，输出回归结果。 第三步，结果解读。 （1）读出回归系数，建立模型。 b0=43.6522，b1=1.78478，b2=-0.0834，b3=0.161133 于是得到模型
三、直线回归的假设测验
1、直线回归的存在性测验
（1）t 测验－测验回归系数b（例9.3，P163）
（2）F 测验－使得回归平方和相对于离回归 平方和足够大
注意： t 测验和F 测验的结果是完全相等的，因 为在同一概率下， v1＝1，v2＝n-2时的F 值正好 等于v＝ n-2 的t2。
2、两个回归方程的同质性测验
第四节 回归分析
7
-1s)-2m
6
ol
m (μ
5
Soilrespiration
4 3
2
y = 15.395e-0.0457x R2 = 0.6793
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Hale Waihona Puke Baidu
-1s)
-2m 6
ol (μm 5
Soilrespiration
4 3
2
y = 1.4814e0.0557x R2 = 0.7695
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65.4 II
I
? X 58.4
51.4 III
IV
44.4
36.9
43.9
?50.9 Y
57.9
64.9 x
2、决定系数 r2
3、相关系数与决定系数的对比
4、相关系数与决定系数的计算
二、相关系数的假设测验
1、测验 H0：ρ=0
2、测验 H0：ρ=C
(4)解释 此样本来自指定的总体
回归
相互间不存在数量上的预测功能
直线回归
直线回归分析的基本步骤：
?做散点图，确定两变数间是否存在回归关系 ?建立直线回归方程 ?作回归直线图 ?直线回归的假设测验
一、直线回归方程的建立
要使所得方程能够最好的代表 y和x在数量上的关 系，根据 最小二乘法 :
—— x的离均差和y的离均差的乘积和
b=0
-5
30
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42
46
x(3月下旬至4月中旬平均累积温度)
二、直线回归的数学模型、基本假定及其 方差分解(p163)
直线回归的估计标准误－离回归标准误
定义回归方程的估计标准误为：
样本的估计标准误为回归精确度的度量 估计标准误越小，回归方程估计 y 的精 确度越高
Q值的计算方法
注意：计算时，尽量采用更低级别的数 据，以免产生过多计算误差
直线相关
一、相关系数与决定系数
1、相关系数 r
y 72.4
y 72.4
65.4 II
I
65.4 II
I
? X 58.4
? X 58.4
51.4 III
IV
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57.9
64.9
?Y
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y 72.4
51.4 III
44.4 36.9
43.9
?50.9 Y
IV
57.9
64.9 x
? 一个显著的相关系数或回归系数亦并不意味着 x和y 的关系必定为直线，因为并不排除有能够更好地描 述它们关系的非线性方程的存在
? 直线回归与相关分析一般是在一定取值区间内对两 个变量间的关系进行描述
4. 一个显著的回归方程并不一定具有实践上的预 测意义
? 主要看有无学科专业意义 ? 一般而言，当需要由 X预测Y时，|r| 需要要
bj-y对xj的偏回归系数，表示当其它x固定时，xj对y的贡献率。 （二）b0和bj 的求法 以例3.4.5为例，讲解excel中的方法： 第一步，录入数据
第二步，计算过程 （1）打开回归对话框。沿着主菜单的“工具（T）”→“数 据分析（D）…”路径打开“数据分析”对话框，选择“回 归”，然后“确定”，弹出“回归”分析选项框，选项框的各 选项与一元线性回归基本相同。具体说明如下。
45
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Latitude (o)
Soil temperature (oC)
回归和相关的概念
一、变数间的关系
二、直观描述变数间关系的散点图
散点图可以给出的三点信息
变数间相依的性质（正负）及密切程度 变数间是直线关系还是非直线关系 是否存在一些特殊点表示有其他因素的 干扰
三、回归模型和相关模型
3、测验 H0：ρ1= ρ2
★应用直线回归与相关的注意事项
1. 回归和相关分析要有学科专业知识作指导
2. 严格控制研究对象以外的有关因素（即唯一差 异原则）
3. 正确理解回归或相关显著与否的含义
? 直线回归或相关分析结果不显著并不意味着变量 x 和y之间没有关系，而只有能说明两变量间没有显 著的直线关系