模糊聚类分析方法汇总
模糊数学——第10次课 基于模糊等价关系的聚类分析
故此时{x1, x3, x4, x5}为一类，{x2}为一类。
2014年6月26日
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选取 = 0.6，则此时R*的截矩阵变为
1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0.3 R* 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
当 当 当 当 当
1时，分类为{ x1 },{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 }; 0.8时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 },{ x5 }; 0.6时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 , x5 }; 0.5时，分类为{ x1 , x3 , x4 , x5 },{ x2 }; 0.4时，分类为{ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }.
2014年6月26日
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模糊聚类分析
例2：设有模糊相似矩阵
0.1 0.2 1 R 0.1 1 0.3 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 R R 0.2 1 0.3 R 2 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 2 2 R R 0.2 1 0.3 R 2 t ( R ). 0.2 0.3 1
模糊聚类分析方法
模糊聚类分析方法聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。
由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x = 为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,i n = ， 于是，得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x xx x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换i k kikk x x x s -'= (1,2,,;1,2,i n k m ==其中 11nk i k i x x n==∑，k s =经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。
但是，再用得到的ikx '还不一定在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111m i n {}m a x {}m i n {}i k i ki nikikiki ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ikx ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析
模糊聚类是一种聚类分析的算法，它采用模糊的方法将数据点归类到不同的类别中，以减少聚类的误差。
模糊聚类是机器学习领域的一种流行的算法，它利用每个数据点的模糊属性来衡量其分布在不同类别中的相似度，使得它能够更加准确的进行聚类分析。
模糊聚类的基本原理是把数据点归类到不同的类别中，每个类别都有一系列模糊属性，每个数据点在不同类别中的分布由它们在每个属性上的值来决定。
模糊聚类的最终目标是找到类别与数据点之间的最佳拟合，从而得到最佳聚类结果。
模糊聚类的实现是通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似
度来完成的，模糊相似度是基于数据点和每个类别的模糊属性，通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，可以找到一个最佳的类别，把每个数据点归入该类别，这样就可以得到最优聚类结果。
模糊聚类方法可以用来解决多维数据集聚类分析的问题，它能够更准确的表示多维数据的特征，这使得它能够更准确的对数据进行聚类分析。
此外，模糊聚类方法还能够处理非均匀分布的数据，它能够有效的处理因类别数量和混乱的环境而难以聚类的数据。
模糊聚类的缺点主要在于它的计算速度较慢，因为它需要计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，而这需要大量的计算，模糊聚类也无法用于对超大型数据集进行聚类分析，因为它的计算效率较低。
因此，模糊聚类是一种聚类分析算法，它利用模糊性来更准确的表示数据的特征，能够有效的处理多维和复杂的数据。
但是它的计算
效率较低，也不能用于对超大型数据集进行聚类分析，因此，在使用模糊聚类进行聚类分析时，需要考虑其效率和应用限制。
火灾危险评估中的模糊决策方法有哪些
火灾危险评估中的模糊决策方法有哪些火灾是一种极其危险的灾害，给人们的生命财产安全带来了巨大的威胁。
为了有效地预防和控制火灾，对火灾危险进行准确的评估至关重要。
在火灾危险评估中，模糊决策方法因其能够处理不确定性和模糊性信息而得到了广泛的应用。
一、模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。
它将多个因素对评价对象的影响进行综合考虑，通过建立模糊评价矩阵和确定权重，最终得出综合评价结果。
在火灾危险评估中，首先需要确定评价因素，如火源特性、可燃物分布、建筑结构、消防设施等。
然后，对每个评价因素划分不同的等级，并赋予相应的模糊隶属度。
例如，火源特性可以分为强、中、弱三个等级，分别对应不同的模糊隶属度。
接下来，通过专家打分或实际数据统计等方式确定各评价因素的权重。
最后，利用模糊运算规则计算出综合评价结果，从而判断火灾危险的程度。
这种方法的优点是能够全面考虑多个因素的影响，并且可以处理评价因素的模糊性和不确定性。
但它也存在一定的局限性，例如权重的确定可能存在主观性，评价结果的准确性依赖于评价因素和等级的划分是否合理。
二、模糊层次分析法模糊层次分析法是将层次分析法与模糊数学相结合的一种方法。
层次分析法通过将复杂问题分解为多个层次和因素，并进行两两比较，确定各因素的相对重要性。
而模糊层次分析法则在此基础上，引入了模糊数来表示两两比较的结果，从而更好地处理不确定性。
在火灾危险评估中，运用模糊层次分析法可以构建火灾危险评估的层次结构模型，包括目标层、准则层和指标层。
目标层即为火灾危险程度的评估；准则层可以包括火灾发生的可能性、火灾的危害程度等；指标层则是具体的评估指标，如火源类型、人员密度等。
通过专家判断或问卷调查等方式，对各层次因素进行两两比较，并用模糊数表示比较结果。
然后，利用模糊数的运算规则计算出各因素的权重。
最后，综合各因素的权重和评价结果，得出火灾危险的评估值。
模糊层次分析法在处理复杂系统的多因素决策问题时具有较好的效果，能够有效地降低主观因素的影响，但计算过程相对较为复杂。
模糊聚类分析
模糊聚类分析壹、何谓聚类分析聚类分析是研究事物分类的一种多元分析方法。
在日常生活中，我们时常要把所接触到的事物（样本），按其性质、用途等进行分类，这种分类过程我们称为聚类分析。
（阙颂廉，民83）贰、聚类分析的应用模糊聚类分析是当前在模糊数学中应用最多的几个方法之一，可以将研究的样本进行合理的分类，如产品的分类就常常用聚类分析来进行，另聚类分析也可用来进行判别分析和预测（林杰斌等。
民76）。
所以，也被广泛地应用于天气预报、地震预测、地质探勘、运动员心理素质分类、河川水质污染程度等方面。
参、普通的等价关系在谈聚类分析之前，应先介绍相似关系和等价关系：一.自反性对任意Uu∈，都有Ru,u(∈，即集合中任一个元素u都)与自身有某相同性质的关系，则称R是自反关系，相对应的矩阵称为自反矩阵。
另数学表示意义为：A中的元素关于R具有”自反性”，即。
例：若U 为同一种族的集合，而集合中每一个人u ，皆与自身有同一种族之关系，这种性质则称为自反性。
二. 对称性如果ji ,R )u ,u (,R )u ,u(i j j i≠∈∈必有。
即u i 与u j 有存在某种关系，若将两个元素之位置对调，则即u j 与u i 也必有符合这层关系，则称R 有对称关系，相对应的矩阵为对称矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”对称性”，即yRx xRy ,A y ,x 且若∈∀。
例：若甲和乙是同学关系，则乙和甲必也是同学关系，这种关系则称为对称性。
三. 传递性如果能由R)w u (R )w v (R )v u (∈∈∈，，推導出，及，。
即u与v 有存在某一关系，而v 与w 也有这同一种关系存在，则即u 与w 也必有符合这层关系存在，则称R 有传递关系，相对应的矩阵为传递矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”传递性”，即。
例：若甲和乙是同一种族关系，而乙和丙也是同一种族关系，则甲和丙必有同一种族关系，这种则称为具有传递性关系。
模糊聚类分析
模糊聚类分析是根据客观事物的特征、亲和度和相似度建立模糊相似关系，对客观事物进行聚类的一种分析方法。
当涉及到事物之间的模糊边界时，根据一定的要求对事物进行分类的一种数学方法。
聚类分析是数理统计中的一种多元分析方法，它利用数学方法定量地确定样本之间的亲和力，从而客观地对类型进行分类。
一些事物之间的界限是精确的，而另一些则是模糊的。
人与人之间脸部相似的界限是模糊的，天气之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及到事物之间的模糊边界时，应使用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析在天气预报、地质、农业、林业等领域有着广泛的应用。
通常，聚类物称为样本，一组聚类物称为样本集。
模糊聚类分析的基本方法有两种：系统聚类法和逐步聚类法。
概述。
在数据分类中，常用的分类方法包括多元统计中的系统聚类、模糊聚类分析等；在模糊聚类分析中，首先要计算模糊相似矩阵，不同的模糊相似矩阵会产生不同的分类结果；即使使用相同的模糊相似矩阵，不同的阈值也会产生不同的分类结果。
“如何确定这些分类的有效性”成为模糊聚类的关键点。
这是识别研究中的一个重要问题。
在文献中，不能令人满意的有效性归因于数据集的几何结构不令人满意。
但笔者认为，不同的几何结构反映了实际需要。
我们不能排除实际需要，追求所谓的“理想几何结构”。
分类不理想不能归因于数据集的几何结构。
对于相同的模糊相似矩阵，文献建立了一种判断模糊聚类有效性的方法。
在有固定显著性水平的情况下，在不同分类中选择F统一测量临界值与F检验临界值之间的最大差值是一种有效的分类方法。
但是，当显著性水平发生变化时，该方法的结果也会发生变化。
文献引入模糊划分办公室来评价模糊聚类的有效性，并人为规定当两个类别的办公室大于1时，两个类别可以合并，最终通过逐次合并得到有效的分类。
这种方法有较多的人为干预，当指定的数量不同时，会得到不同的结果。
系统聚类法。
系统聚类法是一种基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法。
在经典的聚类分析方法中，样本集可以通过经典的等价关系进行聚类。
模糊聚类分析
模糊聚类分析定义：根据具体的标准和性质对事物进行分类的方法称为聚类分析 根据模糊标准对事物进行分类的方法称为模糊聚类分析基本思想：根据分类对象之间的模糊相似程度来衡量相互的异同程度，进而实现模糊分类。
传统聚类分析VS 模糊聚类分析1. 传统聚类分析： 设有n 个对象12,,...nx x x，每个对象有m 种特性12,,...my y y。
1>首先对每个对象的特性进行数量化：用ijz代表第i 个对象的第j 个性质的数值。
则对象ix 的性质形成的一个向量()12,,...i i im z zz2>考察对象之间相近的程度：引入“欧式距离”和“夹角余弦”。
1欧式距离：设对象()()1212,,...,,,....i i im j j jm ijy x z zz z zz ==则欧式距离为：ijyx -=这与我们所熟知的向量的欧式距离是一样的!2夹角余弦：设α是对象ix和jy之间的夹角，0180α≤≤，则夹角余弦为：(),cos ijijy x yx α=其中：()11,...i j im jm ijy x z zz z =++ix=iy=有了这些基础认识之后，下面我们通过一个例子来说明传统聚类分析 设有5个对象125,,...x x x，不妨设每个对象只有一个性质，数量化后分别为1，2，4.5，6，8．现使用传统聚类法进行聚类。
1 欧式距离：5个对象，共有25c个欧式距离。
计算可得121x x-=133.5x x-= 145x x-= 157x x-= 232.5x x-= 244x x -= 256x x-=341.5x x-=35 3.5x x-=452x x-=根据聚类的思想，差异最小的对象属于一类 从而1x 和2x为一类，并记为1G2 将1G 看成新的对象，其特征值为1x 和2x 的平均值1.5。
此时对象为1345,,,G x x x 。
再次计算欧式距离。
可知34,x x之间的距离最小。
模糊聚类分析法
关于模糊聚类法的研究及在空间信息技术中的应用模糊聚类分析 (3)一、简介 (3)1. 简要介绍 (3)2. 分类方法 (3)1. 综述 (3)2. 系统聚类法 (2)逐步聚类法 (3)2.最优分类 (3)模糊聚类分析1. 简要介绍涉及事物之间的模糊界限时按一定要求对事物进行分类的数学方法。
聚类分析是数理统计中的一种多元分析方法，它是用数学方法定量地确定样本的亲疏关系，从而客观地划分类型。
事物之间的界限，有些是确切的，有些则是模糊的。
例如人群中的面貌相像程度之间的界限是模糊的，天气阴、晴之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及事物之间的模糊界限时，需运用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析广泛应用在气象预报、地质、农业、林业等方面。
通常把被聚类的事物称为样本，将被聚类的一组事物称为样本集。
模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类法和逐步聚类法。
2. 分类方法1综述数据分类中，常用的分类方法有多元统计中的系统聚类法、模糊聚类分析等.在模糊聚类分析中，首先要计算模糊相似矩阵，而不同的模糊相似矩阵会产生不同的分类结果；即使采用相同的模糊相似矩阵，不同的阑值也会产生不同的分类结果•“如何确定这些分类的有效性”便成为模糊聚类和模糊。
识别研究中的一个重要问题.文献,把有效性不满意的原因归结于数据集几何结构的不理想•但笔者认为，不同的几何结构是对实际需要的反映，我们不能排除实际需要而追求所谓的“理想几何结构”，不理想的分类不应归因于数据集的几何结构.针对同一模糊相似矩阵，文献建立了确定模糊聚类有效性的方法•用固定的显著性水平，在不同分类的F—统计量和F检验临界值的差中选最大者，即为有效分类•但是，当显著性水平变化时，此方法的结果也会变化.文献引进了一种模糊划分嫡来评价模糊聚类的有效性，并人为规定当两类的嫡大于一数时，此两类可合并，通过逐次合并，最终得到有效分类•此方法人为干预较多，当这个规定数不同时，也会得到不同的结果•另外这两种方法也未比较不同模糊相似矩阵的分类结果2•系统聚类法系统聚类法是基于模糊等价关系的模糊聚类分析法。
模糊聚类算法（FCM）
模糊聚类算法（FCM）伴随着模糊集理论的形成、发展和深化，RusPini率先提出模糊划分的概念。
以此为起点和基础，模糊聚类理论和⽅法迅速蓬勃发展起来。
针对不同的应⽤，⼈们提出了很多模糊聚类算法，⽐较典型的有基于相似性关系和模糊关系的⽅法、基于模糊等价关系的传递闭包⽅法、基于模糊图论的最⼤⽀撑树⽅法，以及基于数据集的凸分解、动态规划和难以辨别关系等⽅法。
然⽽，上述⽅法均不能适⽤于⼤数据量的情况，难以满⾜实时性要求较⾼的场合，因此实际应⽤并不⼴泛。
模糊聚类分析按照聚类过程的不同⼤致可以分为三⼤类：(1)基于模糊关系的分类法：其中包括谱系聚类算法(⼜称系统聚类法)、基于等价关系的聚类算法、基于相似关系的聚类算法和图论聚类算法等等。
它是研究⽐较早的⼀种⽅法，但是由于它不能适⽤于⼤数据量的情况，所以在实际中的应⽤并不⼴泛。
(2)基于⽬标函数的模糊聚类算法：该⽅法把聚类分析归结成⼀个带约束的⾮线性规划问题，通过优化求解获得数据集的最优模糊划分和聚类。
该⽅法设计简单、解决问题的范围⼴，还可以转化为优化问题⽽借助经典数学的⾮线性规划理论求解，并易于计算机实现。
因此，随着计算机的应⽤和发展，基于⽬标函数的模糊聚类算法成为新的研究热点。
(3)基于神经⽹络的模糊聚类算法：它是兴起⽐较晚的⼀种算法，主要是采⽤竞争学习算法来指导⽹络的聚类过程。
在介绍算法之前，先介绍下模糊集合的知识。
HCM聚类算法⾸先说明⾪属度函数的概念。
⾪属度函数是表⽰⼀个对象x ⾪属于集合A 的程度的函数，通常记做µA(x)，其⾃变量范围是所有可能属于集合A 的对象（即集合A 所在空间中的所有点），取值范围是[0,1]，即0<=µA(x)，µA(x)<=1。
µA(x)=1 表⽰x 完全⾪属于集合A，相当于传统集合概念上的x∈A。
⼀个定义在空间X={x}上的⾪属度函数就定义了⼀个模糊集合A，或者叫定义在论域X={x}上的模糊⼦集A’。
模糊聚类方法
模糊聚类方法模糊聚类是一种基于模糊集合理论的聚类算法，它在数据分析和模式识别中得到广泛应用。
与传统的硬聚类方法相比，模糊聚类能够更好地处理数据中的不确定性和模糊性，能够给出每个数据点属于不同聚类的概率，从而更全面地描述数据的特征。
一、模糊聚类的基本原理模糊聚类的基本原理是根据数据点之间的相似性将它们分成不同的聚类。
与传统的硬聚类方法不同，模糊聚类允许数据点属于多个聚类，且给出每个数据点属于不同聚类的权重。
通过引入隶属度函数，模糊聚类能够更好地处理数据的模糊性，给出更丰富的聚类结果。
二、模糊聚类的算法步骤模糊聚类的算法步骤一般包括以下几个方面：1. 初始化隶属度矩阵：隶属度矩阵用于描述每个数据点属于每个聚类的概率，一般通过随机初始化或者根据先验信息进行初始化。
2. 计算聚类中心：根据隶属度矩阵计算每个聚类的中心点，一般采用加权平均的方式计算。
3. 更新隶属度矩阵：根据当前的聚类中心，更新隶属度矩阵，使得每个数据点更准确地属于不同聚类。
4. 判断停止条件：根据一定的准则（如隶属度矩阵的变化程度或者目标函数的收敛性）判断是否达到停止条件，如果未达到，则返回第2步继续迭代。
5. 输出聚类结果：根据最终的隶属度矩阵，确定每个数据点最可能属于的聚类，输出聚类结果。
三、模糊聚类的优势相比传统的硬聚类方法，模糊聚类具有以下优势：1. 能够更好地处理数据的模糊性和不确定性。
在现实世界的数据中，往往存在一些边界模糊或者属于多个类别的情况，传统的硬聚类无法很好地处理这种情况，而模糊聚类能够给出每个数据点属于不同聚类的概率。
2. 能够更全面地描述数据的特征。
传统的硬聚类方法只能将数据点划分为一个聚类，而模糊聚类能够给出每个数据点属于不同聚类的权重，从而更全面地描述数据的特征。
3. 能够适应不同的聚类形状和大小。
传统的硬聚类方法通常假设聚类的形状是凸的，并且假设聚类的大小相等，但在实际应用中，聚类的形状和大小往往是不确定的，而模糊聚类能够更好地适应不同的聚类形状和大小。
模糊聚类案例分析(DOC)
模糊数学方法及其应用论文题目：模糊聚类方法案例分析小组成员：王季光宋申辉兰洁陈倩芸肖仑杨洋吴云峰2013年10 月27 日模糊聚类分析方法1.1距离和相似系数为了将样品（或指标）进行分类，就需要研究样品之间关系。
目前用得最多的方法有两个：一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它们的相似系数的绝对值越接近1，而彼此无关的样品，它们的相似系数的绝对值越接近于零。
比较相似的样品归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。
另一种方法是将一个样品看作P 维空间的一个点，并在空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的点归为不同的类。
但相似系数和距离有各种各样的定义，而这些定义与变量的类型关系极大，因此先介绍变量的类型。
由于实际问题中，遇到的指标有的是定量的（如长度、重量等），有的是定性的（如性别、职业等），因此将变量（指标）的类型按以下三种尺度划分： 间隔尺度：变量是用连续的量来表示的，如长度、重量、压力、速度等等。
在间隔尺度中，如果存在绝对零点，又称比例尺度，本书并不严格区分比例尺度和间隔尺度。
有序尺度：变量度量时没有明确的数量表示，而是划分一些等级，等级之间有次序关系，如某产品分上、中、下三等，此三等有次序关系，但没有数量表示。
名义尺度：变量度量时、既没有数量表示，也没有次序关系，如某物体有红、黄、白三种颜色，又如医学化验中的阴性与阳性，市场供求中的“产”和“销”等。
不同类型的变量，在定义距离和相似系数时，其方法有很大差异，使用时必须注意。
研究比较多的是间隔尺度，因此本章主要给出间隔尺度的距离和相似系数的定义。
设有n 个样品，每个样品测得p 项指标（变量），原始资料阵为px x x np n n p p nx x x x x x x x x X X X X 2122221112112121 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=其中(1,,;1,,)ij x i n j p ==为第i 个样品的第j 个指标的观测数据。
模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法
❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
模糊聚类分析
查德 1965 年给出的定义：
定义：从论域 U 到闭区间0, 1 的任意一个映射：A :U 0, 1 ，对 任意u U ，u A Au ， Au 0, 1 ，那么A 叫做 U 的一个模糊
子集， Au 叫做 u 的隶属函数，也记做A u 。
简单地可表达为：
设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1]
39 C 以上的一人，x1 ；
如 果 规 定 37.5 C 以 下 的 不 算 发 烧 ， 问 有 多 少 发 烧 病 人 ？ 医 生 就 可 以 回 答 ：
x1, x3, x4 , x5 ，但所谓“发烧”实际上是一个模糊概念，它存在程度上的不同，也就是
说要用隶属函数来描述。如果根据医师的经验规定，对“发烧”来说：
(1) AB AB； (2) ≤ A A； (3) (A∪B)= A∪B，(A∩B)= A∩B.
4、隶属函数的确定
1. 模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率
统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的 圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈” 是否盖住“不动的点”.
2. 指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解
一、模糊集及模糊关系
1、模糊问题的提出
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义 不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模 糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不 分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的 存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那 么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影 响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通 常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模 糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
体温39 C 以上的隶属函数 x 1 ； 体温38.5 C 以上不到39 C 的隶属函数 x 0.9 ； 体温38 C 以上不到38.5 C 的隶属函数 x 0.7 ； 体温37.5 C 以上不到38 C 的隶属函数 x 0.4 ； 体温37.5 C 以下的隶属函数 x 0 ；
模糊聚类分析
模糊聚类分析----96845308-7160-11ec-a68e-7cb59b590d7d聚类分析就是将一个没有类别标记的样本集按照某种准则划分成若干个子集（类），使相似的样本尽可能归为一类，而不相似的样本尽可能划分到不同的类中。
由于在对样本集进行聚类的过程中，没有任何关于类别的先验知识，所以聚类分析属于无监督分类的范畴。
传统的聚类分析是一种硬划分，它严格地将每个待识别对象划分为一个类。
阶级划分的界限是明确的，具有非此即彼的性质。
在现实世界中，无论是一组对象根据其亲和力和相似性形成一个组，还是一个对象是否属于一个类别，其边界往往是不明确的，并且具有“这个和那个”的性质。
对于这种具有不确定性的聚类问题，模糊聚类分析提供了一种强有力的分析工具。
模糊聚类分析能够建立样本对于类别的不确定性描述，表达样本类属的中介性，已经成为聚类分析研究的主流。
粗略来讲，模糊聚类分析方法可分为两类：基于模糊等价关系的聚类方法和基于目标函数的聚类方法。
有时，这两类方法也结合起来使用。
一、数据预处理在模糊聚类分析中，我们称待分类的对象为样本。
要对样本进行合理的分类，首先应考虑样本的各种特性指标（观测数据）。
设有n个被分类对象，即样本集为x={x1，x2，…，xn}每一个xi有m个特性指标，即xi可表示为特性指标向量xi={xi1，xi2，…，xim}其中xij表示第i个样本的第j个特性指标。
于是，n个样本的特性指标矩阵为⎜⎜x21⎜M⎜⎜十、⎜n1x12lx1m⎜x22lx2m⎜xn2lxnm⎜⎜通常，我们也将样本集记为特性指标矩阵的形式，即x=(xij)n×m。
如果M个特征指标的维度和数量级不同，在运行过程中可能会突出一些大数量级特征指标的作用，而一些小数量级特征指标的作用可能会减少甚至被排除，导致每个特征指标的分类缺乏统一的尺度。
因此，为了消除不同特征指标单位和数量级的影响，当特征指标的维度和数量级不同时，通常会提前对各种指标值进行数据标准化（归一化），使每个指标值统一在一个共同的数值特征范围内。
模糊聚类分析步骤
模糊聚类分析步骤————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：求分类对象的相似度传递闭包法进行聚类（求动态聚类图）根据λ∈（0,1）的不同取值分布不同的类。
注释（1）：模糊相似矩阵只具有自反性和对称性，不具有传递性，求λ截矩阵的前提是R 是X 上的的模糊等价关系。
所以要先求得R 传递闭包，将模糊相似矩阵转化为模糊等价矩阵。
原始数据矩阵标准化矩阵模糊相似矩阵R（1）相似距离主观欧式距明氏距切比雪等价关系矩阵传递闭布尔矩直接聚截矩阵雨量站问题原始数据矩阵：（重要定理：设R∈F ( X ⨯X ) 是相似关系( 即R 是自反、对称模糊关系) ，则e(R) = t(R) ,即模糊相似关系的传递闭包就是它的等价闭包。
）Y的传递闭包（即Y的等价矩阵）：求λ截矩阵，在程序中我用的k代替了λ。
K=1时，x1,x2,x3,…x11,各成一类，将11个雨量站分成11类。
K=0.9095时，将11个雨量站分为10类，X8, X11为一类，其余各自一类。
分8类，将x2 ,x5, x8, x11分一类，其余各自一类分6类，x2 x3,x5, x8, x9 x11为一类，其余各自一类。
分4类，x1，x2 ,x3,x5, x7，x8, x9 x11为一类，其余各自一类。
分4类，x1, x3 x2 x7 x8 x9 x11为一类，x2 x4 x5为一类，x6一类，x10一类。
分3类，x2 x4 x5 x6为一类，x1 x3 x7 x8 x9 x11一类，x10一类。
分2类，x2 x4 x5 x6 x10一类，x1 x3 x7 x8 x9 x11一类分2类，x1x2 x4 x5 x6 x10一类，x3 x8 x9 x11一类.分1类。
程序一：标准化矩阵：function Y=bzh1(X)[a,b]=size(X);C=max(X);D=min(X);Y=zeros(a,b);for i=1:afor j=1:bY(i,j)=(X(i,j)-D(j))/(C(j)-D(j)); %平移极差变化进行数据标准化endendfprintf('标准化矩阵如下：Y=\n');disp(Y)end程序二：求模糊相似矩阵：function R=biaod2(Y,c)[a,b]=size(Y);Z=zeros(a);R=zeros(a);for i=1:afor j=1:afor k=1:bZ(i,j)=abs(Y(i,k)-Y(j,k))+Z(i,j);R(i,j)=1-c*Z(i,j);%绝对值减数法--欧氏距离求模糊相似矩阵endendendfprintf('模糊相似矩阵如下：R=\n');disp(R)end程序三：计算传递闭包：function B=cd3(R)a=size(R);B=zeros(a);flag=0;while flag==0for i= 1: afor j= 1: afor k=1:aB( i , j ) = max(min( R( i , k) , R( k, j) ) , B( i , j ) ) ;%R与R内积，先取小再取大endendendif B==Rflag=1;elseR=B;%循环计算R传递闭包endend程序四：求 截矩阵：function [D k] =jjz4(B)L=unique(B)';a=size(B);D=zeros(a);for m=length(L):-1:1k=L(m);for i=1:afor j=1:aif B(i,j)>=kD(i,j)=1;else D(i,j)=0;%求?截距阵，当bij≥? 时，bij(?) =1；当bij＜? 时，bij(?) =0endendendfprintf('当分类系数k=：\n'); disp(L(m));fprintf('所得截距阵为：\n'); disp(D);end。
模糊聚类分析例子1
1. 模糊聚类分析模型环境区域的污染情况由污染物在4个要素中的含量超标程度来衡量。
设这5个环境区域的污染数据为1x =(80, 10, 6, 2), 2x =(50, 1, 6, 4), 3x =(90, 6, 4, 6), 4x =(40, 5, 7, 3), 5x =(10, 1, 2, 4). 试用模糊传递闭包法对X 进行分类。
解 ：由题设知特性指标矩阵为: *80106250164906464057310124X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦数据规格化：最大规格化'ij ijjx x M =其中： 12max(,,...,)j j j nj M x x x =00.8910.860.330.560.10.860.6710.60.5710.440.510.50.110.10.290.67X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦构造模糊相似矩阵: 采用最大最小法来构造模糊相似矩阵55()ij R r ⨯=,10.540.620.630.240.5410.550.700.530.620.5510.560.370.630.700.5610.380.240.530.370.381R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦利用平方自合成方法求传递闭包t (R )依次计算248,,R R R , 由于84R R =，所以4()t R R =210.630.620.630.530.6310.560.700.530.620.5610.620.530.630.700.6210.530.530.530.530.531R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，410.630.620.630.530.6310.620.700.530.620.6210.620.530.630.700.6210.530.530.530.530.531R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=8R选取适当的置信水平值[0,1]λ∈, 按λ截矩阵进行动态聚类。
模糊聚类分析法
4.聚类（求动态聚类图）
（1）基于模糊等价矩阵聚类方法 有① 传递闭包法② 布尔矩阵法 （2） 直接聚类法 对上述撤销观测站的问题用基于模 糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分 析
注：R是对称矩阵，故只写出它的下三角矩阵
1.000 0.861 0.697 0.861 0.861 R * 0.861 0.994 0.719 0.697 0.688 0.719 1 0.697 1 0.996 0.697 1 0.996 0.697 0.992 1 0.995 0.697 0.922 0.922 1 0.719 1 0.697 0.676 1 0.688 0.688 0.697 1 0.719 0.688 0.697 0.688 1
， 而且也消除了量纲的影响。 ③ 对数变换
显然有
，
取对数以缩小变量间的数量级。
3.建立模糊相似矩阵
建立模糊相似矩阵，主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其 他方法。相似系数表示两个对象之间的相似程度.
得到模糊相似矩阵R
1.000 0.839 0.528 0.844 0.828 0.702 0.995 0.671 0.431 0.573 0.712 0.839 1.000 0.542 0.996 0.989 0.899 0.855 0.510 0.475 0.617 0.572 0.528 0.542 1.000 0.562 0.585 0.697 0.571 0.551 0.962 0.642 0.568 0.844 0.996 0.562 1.000 0.992 0.908 0.861 0.542 0.499 0.639 0.607 0.828 0.989 0.585 0.992 1.000 0.922 0.843 0.526 0.512 0.686 0.584 0.702 0.899 0.697 0.908 0.922 1.000 0.726 0.455 0.667 0.596 0.511 0.995 0.855 0.571 0.861 0.843 0.726 1.000 0.676 0.489 0.587 0.719 0.671 0.510 0.551 0.542 0.526 0.455 0.676 1.000 0.467 0.678 0.994 0.431 0.475 0.962 0.499 0.512 0.667 0.489 0.467 1.000 0.487 0.485 0.573 0.617 0.642 0.639 0.686 0.596 0.587 0.678 0.487 1.000 0.688 0.712 0.572 0.568 0.607 0.584 0.511 0.719 0.994 0.485 0.688 1.000
模糊聚类分析方法
模糊聚类分析方法对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。
载科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。
例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。
由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x =为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,)i n =，于是，得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x x xx x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换ik kikkx x x s -'= (1,2,,;1,2,,)i n k m ==其中 11n k ik i x x n ==∑，k s = 经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。
但是，再用得到的ikx '还不一定在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111min{}max{}min{}ikik i nikikik i ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ikx ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。
模糊数学第四章
经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1， 且消除了量纲的影响。但不一定在[0,1]上。
模糊聚类分析的步骤一
平移－极差变换(变换至0-1区间)：
x '' ik
x 'ik min{x 'ik }
1i n
max{x 'ik } min{x 'ik }
1i n 1i n
(k 1,..., m)
R0.5
1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1
R0.4
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2、距离法：
绝对值倒数法、绝对值指数法、绝对值减数法、海明 距离法、欧式距离法、切比雪夫距离法。
3、其它方法：主观评分法
模糊聚类分析的步骤二
1、相似系数法： （1）数量积法
1 m rij 1 xik x jk M k 1
i j i j
其中 M max xik x jk
m
x
k 1 m k 1
ik
xi x jk x j
2 2 ( x x ) jk j k 1 m
( xik xi )
1 m 1 m 其中 xi xik , x j x jk , i, j 1,2,L n. m k 1 m k 1
模糊聚类分析的步骤二
模糊聚类分析的步骤二
2、距离法 直接距离法：rij＝1-c*d(xi,xj) (11)海明距离： (12)欧式距离： (13)切比雪夫距离：
模糊聚类分析
模糊聚类法：把模糊数学方法引入聚类分析即产生了模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析方法大致可分为两种：一是基于模糊关系上的模糊聚类法．并称为系统聚类分析法。
另一种称为非系统聚类法，它是先把样品粗略地分一下，然后按其最优原则进行分类，经过多次迭代直到分类比较合理为止，这种方法也称为逐步聚类法。
我们通常讲的模糊聚类分析是指将模糊数学的原理应用到系统聚类分析的方法。
模糊聚类分析的步骤：(1)确定聚类单元全集U；(2)确定聚类准则和聚类因子；(3)根据聚类准则及因子进行数据的调查与整理；(4)将统计数据进行元量纲处理．称为正规化。
模糊聚类分析：模糊聚类分析是一种采用模糊数学语言对事物按一定的要求进行描述和分类的数学方法。
模糊聚类分析一般是指根据研究对象本身的属性来构造模糊矩阵，并在此基础上根据一定的隶属度来确定聚类关系，即用模糊数学的方法把样本之间的模糊关系定量的确定，从而客观且准确地进行聚类。
聚类就是将数据集分成多个类或簇，使得各个类之间的数据差别应尽可能大，类内之间的数据差别应尽可能小，即为“最小化类间相似性，最大化类内相似性”原则。
主要内容：模糊聚类分析是涉及事物之间的模糊界限时按一定要求对事物进行分类的数学方法。
聚类分析是数理统计中的一种多元分析方法，它是用数学方法定量地确定样本的亲疏关系，从而客观地划分类型。
事物之间的界限，有些是确切的，有些则是模糊的。
例人群中的面貌相像程度之间的界限是模糊的，天气阴、晴之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及事物之间的模糊界限时，需运用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析广泛应用在气象预报、地质、农业、林业等方面。
通常把被聚类的事物称为样本，将被聚类的一组事物称为样本集。
模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类法和逐步聚类法。
应用实例：在进行证券交易时，可能会获得较高的投资收益，但同时也存在着较大的证券投资风险。
证券市场是一个风险无时不在的市场，所以投资者应当充分深入的了解证券市场蕴含的各项风险并谨慎行事，从各个方面，综合考虑投资的利弊，理性投资。
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模糊聚类分析方法对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。
载科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。
例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。
由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x =为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,)i n =，于是，得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换ik kikkx x x s -'= (1,2,,;1,2,,)i n k m ==其中 11n k ik i x x n ==∑，k s = 经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。
但是，再用得到的ikx '还不一定在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111min{}max{}min{}ikik i nikikik i ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ikx ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。
③ 对数变换lg ikik x x '= (1,2,,;1,2,,)i n k m ==取对数以缩小变量间的数量级。
2、第二步：标定（建立模糊相似矩阵）设论域12{,,,}n U x x x =，12{,,,}i i i im x x x x =，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，i x 与j x 的相似程度(,)ij i j r R x x =。
确定(,)ij i j r R x x =的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。
具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。
（1） 相似系数法① 夹角余弦法21mikjkij mikjkk xx r x==∑∑。
② 最大最小法11()()mikjk k ij mikjk k x x r xx ==∧=∨∑∑。
③ 算术平均最小法112()()mik jk k ij mikjk k x x r xx ==∧=+∑∑。
④ 几何平均最小法12()mik jk k ij mk x x r ==∧=∑。
以上3种方法中要求0ij x >，否则也要做适当变换。
⑤ 数量积法11,,1,,m ij ik jk k i j r x x i j M ==⎧⎪=⎨≠⎪⎩∑，其中 1max()mik jk i jk M x x ≠==∑。
⑥ 相关系数法21(miki jk jij mjkk xx x x r x=--=-∑∑其中 11m i ik k x x m ==∑，11mj jk k x x m ==∑。
⑦ 指数相似系数法221()13exp[]4m ik jk ij k kx x r m s =-=-∑， 其中 211()nk ik ik i s x x n ==-∑，而 11nk ik i x x n ==∑ (1,2,,)k m =。
（2） 距离法① 直接距离法1(,)ij i j r cd x x =-，其中c 为适当选取的参数，使得01ij r ≤≤，(,)i j d x x 表示他们之间的距离。
经常用的距离有 ● 海明距离1(,)mi j ik jk k d x x x x ==-∑。
● 欧几里得距离(,)i j d x x =● 切比雪夫距离1(,)mi j ik jk k d x x x x ==∨-。
② 倒数距离法1,,,,(,)ij i j i j M r i j d x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩。
其中M 为适当选取的参数，使得01ij r ≤≤。
③ 指数距离法exp[(,)]ij i j r d x x =-。
3、第三步：聚类（求动态聚类图）（1）基于模糊等价矩阵聚类方法① 传递闭包法根据标定所得的模糊矩阵R 还要将其改造称模糊等价矩阵*R 。
用二次方法求R 的传递闭包，即()t R =*R 。
再让λ由大变小，就可形成动态聚类图。
② 布尔矩阵法[10]布尔矩阵法的理论依据是下面的定理： 定理2.2.1 设R 是12{,,,}n U x x x =上的一个相似的布尔矩阵，则R 具有传递性（当R 是等价布尔矩阵时）⇔矩阵R 在任一排列下的矩阵都没有形如11111001,,,10011111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的特殊子矩阵。
布尔矩阵法的具体步骤如下： ① 求模糊相似矩阵的λ-截矩阵R λ.② 若R λ按定理2.2.1判定为等价的，则由R λ可得U 在λ水平上的分类，若R λ判定为不等价，则R λ在某一排列下有上述形式的特殊子矩阵，此时只要将其中特殊子矩阵的0一律改成1直到不再产生上述形式的子矩阵即可。
如此得到的*R λ为等价矩阵。
因此，由*R λ可得λ水平上的分类（2） 直接聚类法所谓直接聚类法，是指在建立模糊相似矩阵之后，不去求传递闭包()t R ，也不用布尔矩阵法，而是直接从模糊相似矩阵出发求得聚类图。
其步骤如下： ① 取11λ=（最大值），对每个i x 作相似类[]i R x ，且 []i R x ={|1}j ij x r =，即将满足1ij r =的i x 与j x 放在一类，构成相似类。
相似类与等价类的不同之处是，不同的相似类可能有公共元素，即可出现[]{,}i R i k x x x =,[]{,}i R j k x x x =,[][]i j x x ⋂≠∅.此时只要将有公共元素的相似类合并，即可得11λ=水平上的等价分类。
② 取2λ为次大值，从R 中直接找出相似度为2λ的元素对(,)i j x x （即2ij r λ=），将对应于11λ=的等价分类中i x 所在的类与j x 所在的类合并，将所有的这些情况合并后，即得到对应于2λ的等价分类。
③ 取3λ为第三大值，从R 中直接找出相似度为3λ的元素对(,)i j x x （即3ij r λ=），将对应于2λ的等价分类中i x 所在的类与j x 所在的类合并，将所有的这些情况合并后，即得到对应于3λ的等价分类。
④ 以此类推，直到合并到U 成为一类为止。
二、最佳阈值λ的确定在模糊聚类分析中对于各个不同的[0,1]λ∈，可得到不同的分类，许多实际问题需要选择某个阈值λ，确定样本的一个具体分类，这就提出了如何确定阈值λ的问题。
一般有以下两个方法：① 按实际需要，在动态聚类图中，调整λ的值以得到适当的分类，而不需要事先准确地估计好样本应分成几类。
当然，也可由具有丰富经验的专家结合专业知识确定阈值λ，从而得出在λ水平上的等价分类 ② 用F 统计量确定λ最佳值。
[11] 设论域12{,,,}n U x x x =为样本空间（样本总数为n ），而每个样本i x 有m 个特征：12{,,,}i i i im x x x x =，(1,2,,)i n =。
于是得到原始数据矩阵，如下表所示，其中11(1,2,,)nk ik i x x k m n ===∑，x 称为总体样本的中心向量。
in x x x11()i n x x x x x设对应于λ值的分类数为r ，第j 类的样本数为j n ，第j 类的样本记为：()()()12,,,jj j j n x x x ，第j 类的聚类中心为向量()()()()112(,,,)j j j j m x x x x =，其中()j k x 为第k 个特征的平均值，即()()11jn j j kiki jx xn ==∑，(1,2,,)k m =，作F 统计量()1()()11(1)()jrj jj n r j j i j i nx x r F x x n r ===--=--∑∑∑，其中()j xx -=为()j x 与x 间的距离，()()j j i x x -为第j 类中第i 个样本()j x 与其中心()j x 间的距离。
称为F 统计量，它是遵从自由度为1r -，n r -的F 分布。
它的分子表征类与类之间的距离，分母表征类内样本间的距离。
因此，F 值越大，说明类与类之间的距离越大;类与类间的差异越大，分类就越好。
基于模糊聚类分析的多属性 决策方法的实际应用聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。
由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。
第一节 雨量站问题一、问题的提出某地区设置有11个雨量站，其分布图见图1，10年来各雨量站所测得的年降雨量列入表1中。
现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销那些雨量站，而不会太多的减少降雨信息？图1 雨量站分布图二、问题的分析应该撤销那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人员，设备等众多因素。
我们仅考虑尽可能地减少降雨信息问题。
一个自然的想法是就10年来各雨量站所获得的降雨信息之间的相似性，对全部雨量站进行分类，撤去“同类”（所获降雨信息十分相似）的雨量站中“多余”的站。
问题求解假设为使问题简化，特作如下假设①每个观测站具有同等规模及仪器设备；②每个观测站的经费开支均等；具有相同的被裁可能性。
分析：对上述撤销观测站的问题用基于模糊等价矩阵的模糊聚类方法进行分析，原始数据如上。
三、问题的解决求解步骤：1、数据的收集原始数据如表1所示。
2、建立模糊相似矩阵利用相关系数法，构造模糊相似关系矩阵1111)(⨯αβr ，其中ij r ＝2111221])()([|)(||)(|∑∑∑=-=-⋅---n k nk j jk i ik nk j jk i ikx x x x x x x x其中i x ＝∑=101101k ik x ，i ＝1，2， (11)j x ＝∑=nk jk x n 11，j ＝1，2， (11)取2,1i j ==，代入公式得21r =0.839，由于运算量巨大用C 语言编程计算出其余数值，得模糊相似关系矩阵1111)(⨯αβr ，具体程序如下 #include<stdio.h> #include<math.h>double r[11][11]; double x[11]; void main(){ int i,j,k; double fenzi=0,fenmu1=0,fenmu2=0,fenmu=0;int year[10][11]={276,324,159,413, 292 ,258,311,303,175,243,320,251 ,287,349,344,310,454,285,451,402,307,470,192 ,433,290,563,479,502,221,220,320,411,232,246 ,232,243,281,267,310,273,315,285,327,352,291,311,502,388 ,330,410,352,267,603,290,292,466 ,158,224,178,164,203,502,320,240,278,350,258,327,432 ,401,361,381,301,413,402,199,421,453,365,357 ,452,384,420,482,228,360,316,252,158 ,271,410,308,283,410,201,179,430,342,185,324,406,235,520 ,442,520,358,343,251,282,371};for(i=0;i<11;i++){ for(k=0;k<10;k++){ x[i]=x[i]+year[k][i];}x[i]=x[i]/10;}for(i=0;i<11;i++){for(j=0;j<11;j++){ for(k=0;k<10;k++){ fenzi=fenzi+fabs((year[k][i]-x[i])*(year[k][j]-x[j]));fenmu1=fenmu1+(year[k][i]-x[i])*(year[k][i]-x[i]);fenmu2=fenmu2+(year[k][j]-x[j])*(year[k][j]-x[j]);fenmu=sqrt(fenmu1)*sqrt(fenmu2);r[i][j]=fenzi/fenmu;}fenmu=fenmu1=fenmu2=fenzi=0;}}for(i=0;i<11;i++){ for(j=0;j<11;j++){printf("%6.3f",r[i][j]);}printf("\n");}getchar();}得到模糊相似矩阵R1.000 0.839 0.528 0.844 0.828 0.702 0.995 0.671 0.431 0.573 0.712 0.839 1.000 0.542 0.996 0.989 0.899 0.855 0.510 0.475 0.617 0.572 0.528 0.542 1.000 0.562 0.585 0.697 0.571 0.551 0.962 0.642 0.568 0.844 0.996 0.562 1.000 0.992 0.908 0.861 0.542 0.499 0.639 0.607 0.828 0.989 0.585 0.992 1.000 0.922 0.843 0.526 0.512 0.686 0.584 0.702 0.899 0.697 0.908 0.922 1.000 0.726 0.455 0.667 0.596 0.511 0.995 0.855 0.571 0.861 0.843 0.726 1.000 0.676 0.489 0.587 0.719 0.671 0.510 0.551 0.542 0.526 0.455 0.676 1.000 0.467 0.678 0.994 0.431 0.475 0.962 0.499 0.512 0.667 0.489 0.467 1.000 0.487 0.485 0.573 0.617 0.642 0.639 0.686 0.596 0.587 0.678 0.487 1.000 0.688 0.712 0.572 0.568 0.607 0.584 0.511 0.719 0.994 0.485 0.688 1.000对这个模糊相似矩阵用平方法作传递闭包运算，求442:R R R −→−即4*()t R R R ==。