广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三上学期四校联考(2月)数学试题含答案
广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文(含解析)
广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3} 2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．1545．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣67．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．108．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．1310．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是．14．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= ．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，然后进行集合的补集、交集运算即可．【解答】解：M={x|x＞2，或x＜﹣2}，N={x|1＜x≤3}；∴∁R M={﹣2≤x≤2}；∴N∩（∁R M）={x|1＜x≤2}．故选A．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案．【解答】解：复数Z=，对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到¬p，由q 可得¬q为x＜2，进而能够判断出¬p是¬q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案．【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选A．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．154【考点】程序框图．【分析】由已知中程序的框图，我们可知程序的功能是利用循环结构，累乘变量i的值，由于循环的初值为12，终值为10，步长为1，故输出结果为S=12×11的值．【解答】解：由已知中程序的功能为：利用循环结构，计算S=12×11的结果，并输出．∵S=12×11=132．故选：B．5．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，根据图中数据与勾股定理求出SB的值．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中，AC=4，AC边上的高为，所以BC=4；在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=．故选：C．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣6【考点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．【分析】由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f （3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（3+x）=f（3﹣x），故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心则T=12是函数y=f（x）的一个周期设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+6故选B7．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式可得数列首项和公差，且求得数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．由此可知只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．【解答】解：由a n=，可得等差数列的首项为a1=12，公差d=，则数列{a n}为递减数列，由a n==0，解得n=16．∴数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．而a n+a n+1+…+a n+12为数列中的13项和，∴只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．故选：D．8．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC 交BC于点F，可得，，可得点P满足=+，利用平行四边形法则即可得出．【解答】解：如图所示，在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC交BC于点F，则，，∴点P满足=+，∴，满足||=2||，又||=t||，∴t=2．故选：C．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．13【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．【解答】解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|，∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0），令x=﹣c，则﹣=1，则有y=±，∴|AF|=，∴|EF|=a+c，∴=a+c∴c2﹣ac﹣2a2=0∴e2﹣e﹣2=0∵e＞1，∴e=2故选B．10．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=|x﹣3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x﹣3y|的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x﹣3y，当直线经过A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|，取到最大值，Z m a x=8．故选：A．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△A B C=，∴V三棱锥S﹣A B C==．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】根据条件构造函数g（x）=，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）=，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是log m2＜log n2 ．【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数的图象和性质比较即可【解答】解：∵2m＞2n＞22，∴m＞n＞2，∴log2m＞log2n＞1即＜，∴log m2＜log n2故答案为：log m2＜log n214．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= 1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出对应的公差和公比，即可得到结论．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，，，，…，成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，∴，即（1+d）2=1•（1+4d），解得d=2，即a n=2n﹣1，∴，又等比数列a1，a2，a5的公比为q=，∴=3n﹣1，即k n=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于﹣1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx=sin（x+θ）．因为f（x）在x=π时取最小值，所以sin（π+θ）=﹣1，故sinθ=1．又0＜θ＜π，所以θ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．因为f（A）=cosA=，且A为△ABC的角，所以A=．由正弦定理得sinB==，又b＞a，所以B=时，，当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由抽样比例求样本中的数据；（Ⅱ）代入公式求出k2的值，查表得结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，用古典概型概率公式求值．【解答】解：（Ⅰ）抽样比为=，则样本中喜爱的观从有40×=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，k2==≈1.167＜5.024；∴不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（Ⅲ）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个，故其概率为P（A）==0.4．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥底面PCD，利用面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，利用等体积转换，即可求三棱锥A﹣PEB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．…又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，…又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…∵AD⊂平面PAD，∴PAD⊥底面PCD …（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离…又∵PD=DC，E是PC的中点∴PC⊥DE由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．又∵PC∩BC=C∴DE⊥面PBC．…∴，，又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，∵AD∥BC，∴AD⊥BC∴∴…20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出a，b的值，研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，则m≤h （a）m i n．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题知f′（x）=﹣2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，∴解得，∴，当≤x≤e时，令f′（x）＞0得＜x＜1；令f′（x）＜0，得1＜x＜e，∴f（x）在（，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=﹣；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，∴m≤h（a）m i n．∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴h（a）在a∈[0，]上单调递增，∴h（a）m i n=h（0）=﹣x，∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立．∵1＜x＜e2，∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）m i n=﹣e2．则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣e2]．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a2=b2+c2可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k1（x﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k1的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵e==，且经过点M，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．…（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k1（x﹣2）+1，由，得（3+4k12）x2﹣8k1（2k1﹣1）x+16k12﹣16k1﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k1（2k1﹣1）]2﹣4•（3+4k12）•（16k12﹣16k1﹣8）＞0．整理得32（6k1+3）＞0．解得k1＞﹣，又，因为，即，所以=．即．所以，解得．因为A，B为不同的两点，所以．于是存在直线l1满足条件，其方程为．…四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，所以∠EDC=∠DCB，所以BC∥DE．…（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，因为=，所以∠CBA=∠BAC=2x，所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=，所以∠BAC=2x=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用即可得出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，利用直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得曲线C的直角坐标方程x2+y2=9．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，设上述方程的两根为t1，t2，则t1t2=﹣4．由直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤2时，当2＜x ＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，当x≥3时，f（x）≤﹣，即为（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣，即﹣1成立，则有x≥3；当x≤2时，f（x）≤﹣即为（3﹣x）﹣（2﹣x），即1，解得x∈∅；当2＜x＜3时，f（x）≤﹣即为3﹣x﹣（x﹣2）≤﹣，解得，x≥，则有≤x＜3．则原不等式的解集为[，3）∪[3，+∞）即为[，+∞）；（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即有f（x）的最大值为|a﹣3|．若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，则有|a﹣3|≥a，即或，即有a∈∅或a≤．则a的取值范围是（﹣∞，]．。
【高三】广东省华附省实广雅深中四校届高三上学期期末联考数学理试
【高三】广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试试卷说明：届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学命题学校：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．若集合，，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D. 充分不必要条件2. 若，，，则A．B． C．D．3．函数的部分图象如图所示，则A． B. C. D. 4．已知圆及以下３个函数：①；②；③其中图像能等分圆面积的函数有A．个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 展开式中的常数项为A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图，输出的值为A． B. C. D. 7. 已知数列满足：对于任意的，则A． B. C. D. 8．点是平面内的定点,点与点不同)的“对偶点”是指：点在射线上且厘米.若平面内点在某不过点的直线上,则它们相应的“对偶点”在 A．一个过点的圆上 B．一个不过点的圆上C．一条过点的直线上 D．一条不过点的直线上110分二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高二年级抽取名学生．10. 若向量，且与的夹角为则 . 11. 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为 . 12. 已知直线过抛物线的焦点，直线与抛物线围成的平面区域的面积为则______ ， . 13. 已知函数，若，且，则的取值范围是 . 选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）.14．（几何证明选做题）如图，过点作的外接圆的切线交的延长线于点.若，，则 . 15．在极坐标系中，点关于直线的对称点的极坐标为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列的前项和为记（1）若数列是首项与公差均为的等差数列，求；（2）若且数列均是公比为的等比数列，求证：对任意正整数，20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；② (1) 求曲线的方程;(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）求函数的零点；（2）若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，求的取值范围；（3）已知且函数在上是函数，探究函数的单调性.届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考参考答案与评分标准理科数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．题号12345678答案 DCBBBCDA1．【解析】2. 【解析】 3．【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足故，.所以或由逐个检验知4．【解析】圆关于原点对称. 函数与函数是定义域上的奇函数，其图像关于原点对称, 能等分圆面积；而是上的偶函数，其图像关于轴对称，且当时不能等分圆面积5. 【解析】展开式中的通项为为常数项的充要条件是常数项6．【解析】 7. 【解析】由数学归纳法可证明:当为大于的奇数时, ；当为正偶数时, 故8．【解析】过作与直线垂直的直线以为原点，直线为轴，单位为厘米，建立平面直角平面坐标系. 设直线,是直线上任意一点,它的“对偶点”为,则存在使得,即,又,消去,得.故在过点的圆上.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 9.【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：.10. 【解析】由与的夹角为知,11. 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”的规则，其体积为12.【解析】抛物线的焦点为,知.13. 【解析】如图,在,上均单调递增, 由及知的取值范围14. 【解析】由知，解得由得，即15. 【解析】如图，在极坐标系中，设关于直线的对称点为则，且从而即三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)在中,三个内角所对的边分别为已知，.求；(2) 设求的值.解：(1) (2)分 (4)分………………………………………………………6分(2)(解法一) ………………………7分................................................ 9分...................................................... 10分, ............12分 (2)(解法二) (7)分 (9)分……………………………………………………… 10分,…………12分 (2)(解法三) , ………………………9分……10分…11分………………………12分17.（本小题满分12分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件“在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件“在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为，求随机变量的分布列与数学期望解：（1），……………………………………………………………2分………… 5分（2）的可能取值如下表所示：……………………………………………………………分由表可知：………………9分所以随机变量的分布列为…………………………………… 10分所以………………………………………………12分18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小. (1）证明：,分别为，的中点，.…………………………………1分又平面，平面，…………………………………3分平面. ……………………………………………………………5分（2）平面，，平面平面，. 四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设……………………………………7分,，，，，，, ,.，，分别为，，的中点，，，,, …… ………分（解法一)设为平面的一个法向量，则,即，令，得.…… …………………10分设为平面的一个法向量,则,即，令，得.…… …………………12分所以==.……………………………………………13分所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. …………14分（解法二) ，,是平面一个法向量.…… ……………… …………………10分，,是平面平面一个法向量. …… ……………… …………………12分……… … …………………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分（解法) 延长到使得连，，四边形是平行四边形，四边形是正方形，分别为，的中点平面，平面，平面.………7分平面平面平面.........分平面与平面所成锐二面角相等. ... ...10分平面平面平面的平面角. (12)分… …………13分平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. … …………14分19.（本题满分1广东省华附、省实、广雅、深中四校届高三上学期期末联考数学理试题感谢您的阅读，祝您生活愉快。
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学试题参考答案详解
则 g(x) ln(x x2) 2 .
易知
g(
x)
在
0，1 2
上单调递减.
因为
g
(
1 e2
)
ln(e2
1)
2
0，
g
(
1 2
)
2
ln
2
2
0
，所以存在
x0
1 e2
,
1 2
，使得
g(
x0
)
0
，且
x
0,
x0
时，g(x)
0
，g(x)
单调递增，x
x0，12
时，g(x)
0
，g(
x)
单调递减.
因为
19．（1）证明：连接 OB1 .
∵ PA1 PC1, O 为 A1C1 的中点, ∴ PO A1C1.
∵ A1C1 4, PA1 2 2 , ∴ PO PA12 OA12 2 .
………2 分
∵ A1B1 B1C1 , O 为 A1C1 的中点, ∴ OB1 A1C1.
∵ A1B1 2 3, A1O 2 , ∴ OB1 A1B12 OA12 2 2 . ………4 分 PB1 2 3, 故PB12 =OB12 OP2 , P O O1B.
令
f
(x)
log2
x log2 (1
x)=
ln
x ln(1 (ln 2)2
x)
,0
x
1，
因为
f
(x)
f
(1 x) ，故
f
(x) 关于 x
1 2
对称，故只需研究
x
0,
1 2
的情况即可.
f (x)
《广东省华附、省实、广雅、深中四校二零一六届高三数学上学期期末联考试题文(含解析)..doc
广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末联考数学文第【卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，z = l + -，贝'J z =iA. 0B. 1C. V2D. 2【答案】C【解析】试题分析：z =1-1 => |z|= >/2肴点：复数的运算和复数的模.【结束】2.若向量BA = (1,2),G4 = (4,5),则旋=A. (5,7)B. (-3,-3)C.(3,3)D. (-5,-7)【答案】B【解析】试题分析：BC = BA-^AC = (-3-3')【结束】3.若集合A = {1,加2}, B ={2, 4},贝ij "7/7 = 2 ”是“ A^B = {4}”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：AnB = {4}<=>m2 = 4<=>m = ±2. 考点：集合的运算、充分条件、必要条件.【结束】4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A. 1B. -1C. -2D. 0【答案】D【解析】试题分析：7 = O,^ = 1=>T = 1,^ = O^T=1^ = -1=>Z = O^ = -1=>T=-1,^ = O.考点:算法和程序框图.【结束】/ ［、b5.已知log/>l, —>1, 2“=巧，贝ij212丿A. a> b> cB. c> a> bC. a> c> bD. c>b> a【答案】B【解析】试题分析：log] Q>1=>OVGV 丄, 2 2:.c> a> h考点：指数函数和对数函数的性质. 【结束】6.函数 f(x) = V2 sin(d )x +(p)(x GR,d )>0,|^|<—)的部分图彖如图所示，则©0的值分别是兀7T717TA. 2,——B. 2,——C. 4,一一D. 4-3663【解析】-7 = 4 2 ° £ £故A =罷,-X —= 37i,(z>=2, ^S m(2x —+^)= V2, sin(—+^) = 1,4 CD 12 6-+& = 2ht + -y 9= 2ht--7keZ.^= 72 sin(2z--).6 2 33或由=逐个检验知 /(x) = 72sin(2x-丄u丿考点：正弦函数的罠家和性质. 【结束】7•下列函数在定义域内为奇两数，H 有最小值的是1A. y = x + _X7UB. y = xsinxC. y = x(\x\ -1)D. y = cos(x -—)2r =V3>V2=22 =>o-2试题分析^ 由图知子(兀)在兀=一兀〔时取到最大值JL 且砂E 周期尸满足1 Q2沁.12 3(2丿【答案】A【答案】D【解析】7C试题分析: y = cos (兀——)=> y = sinx , sin(-x) = -sinx 且sinxe[-l,l] 考点：函数的奇偶性和值域. 【结束】&某儿何体的三视图如图所示,其中正(主)视图与侧(左) 视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体枳是【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体杲一个四棱锥，根据^正侧等高，正俯等长，侧俯等宽"的规则，其体积为F = -x l(l+2)x2xl = l.3 2考点：三视图和几何体的体积. 【结束】9. 已知约束条件对应的平面区域D 如图所示，其中/p /2,/3对应的直线方程分别为:y = k A x + b x .y = k 2x + b 2,y = k.x^,若目 标函数z = -kx + y 仅在点A(m.n)处収到最大值，则有C. 1D. 3亍B IA. k x<k<k2B. k x<k <k3【答案】B 【解析】试题分析：A 是厶与厶的交点，忖标函数z =-也+），仅在点A 处取到最大值，所以直线 y = kx + z 的倾斜角比厶的要大，比厶的要小,即有k 、< k <匕 考点：线性规划和最优解 【结束】10. 已知鬪C ： （x-a 2）2^（y-a ）2=— （a eR ）,则下列命题：①鬪C 上的点到（1,0）的<3 、的距离相等；③已知人一,0 ,在圆C 上有且只有一点P,使得以AP 为总径的圆与直）线x相切•真命题的个数为8A. 0B. 1C. 2D. 3"【答案】D 匸【解析】试题分析：已知动區1C 的圆心的轨迹方程为：/ = x,所以动圆C 构戚的轨迹为夹在抛物纟 抛物线歹2 =兀+ 1之间的部分（包括边界），所以①②③都满足题意8考点：圆的方程的性质、点、直线与圆的位苴关系及其判断. 【结束】 ■ ■第II 卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11. __________________________ 不等式丄 >1的解集为 .X~17最短距离的最小值智②圆C 上有且只有-点P 到点3的距离与到直线“飞【解析】1 2-x试题分析：——> 1 n —- >0=>（x-1）（兀-2）<0=>l<x<2 兀一1 兀一1考点：分式不等式的解法.【结束】12.______________________________________________________________ 与双|11|线兀2_），2=1过一、三象限的渐近线平行且距离为血的直线方程为________________________________ 【答案】x-y±2 = 0；【解析】试题分析：双曲线过一、三彖限的渐近线方程为：X-y = 0设直线方程为: x-y + b = O 所以解得b = ±2考点：双Illi线的性质、直线方程和两平行直线减的距离.【结束】13.已知数列｛色｝中,a｝ = l,a2 = 2,且a n -a n+2 =a n+1(neN*),则如㈡的值为【答案】1【解析】试题分析：T a花• a x+2 =冬+1 （旳已N*）由=1,a2 = 2 >得a3 = 2 >由a2 = 2,^ = 2 得幺4=1, 由码=2,尙=1得夠=丄'由尙=1,务=丄得尙=丄，由^5 = ~>a6 = ~2 2 2 2 2得勺=1,兔= 得兔=2由此推理可得｛色｝是一个周期为6的数列，所以2^2014 = °4 = 1考点：数列的谨推公式和求值.【结束】14.（几何证明选讲选做题）如图，过点C作AABC的外接圆O的切线交B4的延长线于点D.若CD二的，AB = AC = 2t则BC =【答案】2^3；【解析】试题分析：由CD2 = DAx DB = DAx(DA-^- AB)^Z)A2+2DA-3 = 0,解得DA = 1,DB = 3.l\\ODACDUDCB得竺=竺，即BC = ACH)=：品BC BD CD考点：関的切线长定理、弦切角定理、相似三角形的判断和性质.【结束】15.(坐标系与鑫数方程选做题)在极坐标系pO吐p >0,0<5<2ii)7T中，点卫(2, —)关于直线I: /?cos6l = 1的对■称点的极坐标为___________ - 2【答案】・(2^2,-)4【解析】JT试题分析：如图，在极坐标系p09(p>0r0<& <2n)设4(2,-)关于乙直线Z：pcos^ = 1的对称点为，则0A = AB = 2,且04丄AB从而0B = 2^/2, /LAOS = — ,SP p — 2^/2, & = ——— =4 2 4 4JL考点：极坐标和直角坐标间的互化. 【结束】【结束】三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)16.(本小题满分12分)角A为锐角，若Ism#,*) 在Z1ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c ,n = (cos-,-—)且加丄心2 3(1)求cos A的大小;(2)若d = + c = 求ZL4BC 的面枳S.【答案】(1)|⑵芈【解析】试题分析：（1）由向量垂直的充要条件和二倍角公式可求出sinA=竽，再由同角三角函数的平方关系求出co/A好值即可；（2）由余弦公式，和结合已知条件可求出姒的值，再由三角形的面积公式求解.A A................................................. 1分试题解析：（1）由拔丄72可得m n-0即sin— cos —=——25口 + 曲心.：cos^=l•••恥伯I 2丿:.cos J4=—32.2 . 2 _ 2 〔(2) v cos A —---------- 由(1) SD cos A = — 32bc 3be = —(i2 +c2 - /) ..........2 •be = —[ (b +c?『)=—10分8 • ' / 8S 二丄bcsinA= —12分2 8考点：1.向量垂直的充要条件；2•二倍角公式；.3余弦定理、三角形面积公式.17・（本小题满分12分）对某电子元件进行寿命追踪调杏，所得情况如卜•频率分布直方图.（1）图中纵朋标处刻度不清，根据图表所提供的数据还原％；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个元件，寿命为100〜300Z间的应捕取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在100〜300之间的元件屮任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为100〜200, 一个寿命为200〜300 ”的概率.5【解析】试题分析：（1）根据频率直方图的意义可知所有小矩形的面积之和等于1,列出关于刃的方程求解即可.频率⑵根据频数嚨X组距求解即可.（3）用列举法写出从寿命为100〜300之间的5个元件中任取2个的所有结果及总数，在找出“恰好有一个寿命为100 ~ 200 , 一个寿命为200〜300 ”的所有结果及个数，最后根据随机事件的概率公式求解. 试题解析：解⑴根据题意:O.OOlxlOO+2j/o xlOO+O.OO2xlOO+O.OO4xlOO = l解得y0 =0.0015 ............................................... 3分（2）设在寿命为100〜300之间的应抽取兀个，根据分层抽样有:Y—=（0.001 + 0.0015）x100 .................................. 5 分解得：x = 5所以应在寿命为100〜300之间的应抽取5个......................... 7分（3）记“恰好有一个寿命为100〜200, —个寿命为200〜300 ”为事件A,由（2）知寿命落在100〜200之间的元件有2个分别记坷卫2，落在200〜300 Z间的元件有3个分别记为：也厶厶,从中任取2个球，有如下基本事件:（4卫2）,（。
广东省华附、省实、广雅、深中2021 届高三四校联考数学答案(定稿)
揭阳市2020—2021学年度高中三年级教学质量测试数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
12345678ABDCABBD1.A本题考查集合的基本运算.解一元二次不等式求出集合}032|{2<--=x x x A ，再与集合}42|{≤≤=x x B 取交集，最后得出答案.因为}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x A ，所以}32|{<≤=x x B A .故选A.2.B本题考查复数的基本运算和复数的基本概念.根据复数的除法运算把复数化成)i(R ,∈+=b a b a z 的形式，再根据虚部定义得出答案.因为i 25i10i 21)(i 21()i 21)(i 24(i 21i 24-=-=-+--=+-=）z ，所以z 的虚部为-2.故选B.3.D本题考查计数原理的应用，完成该事情分两步：先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案.因为学生只能从东门或西门进入校园，所以3名学生进入校园的方式共823=种.因为教师只可以从南门或北门进入校园，所以2名教师进入校园的方式共有422=种.所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有3248=⨯种情况.故选D.4.C本题考查等比数列通项公式的应用，根据题目提供的条件列出曲线长度组成的数列{}n a 的前4项，本题所求的结果为4a .依题意得11a =，243a =，3169a =，46427a =.所以当进行三次操作后形成图3的曲线时，曲线的长度46427a =.故选C.5.A本题考查古典概型概率、组合数的应用.根据题目条件求出从八味药中任取四味共有多少种情况，再利用古典概型概率公式求得答案.记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件M .依题意得351C 2)(48==M P .故选A.6.B本题考查对数函数的运算和应用.根据函数图象求出1.0≥t 时的函数解析式，即求出a 的值，再解不等式求得答案.把点)1,1.0(代入ta y -=10中，1.0101-=a ，解得1.0=a .所以当1.0≥t 时，2.0101.0<=-ty ，解得8.02lg 1.1≈->t .至少需要经过48608.0=⨯分钟后，学生才能回到教室.故选B.7.B本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用.如图，建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量性质得到y x +的关系式，再利用基本不等式求最小值.如图，建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,4(B ，)3,4(C ，)3,0(D ，设)0,(m M ，),0(n N ，因为12=+AN AM ，所以12=+n m ，210<<m ，10<<n .因为AN y AM x AC +=，所以m x 4=，n y 3=，所以()492425188252989832=+≥++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+nm m n n m n m n m y x .当且仅当n m m n 188=，即72=m ，73=n 时取等号.故选B.8.D本题考查函数的综合应用.根据()(2)f x f x =-得到函数()f x 关于直线1x =对称，对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立得函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.再利用函数的单调性解不等式求得答案.因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<均有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，所以函数()f x 在[1,)+∞上单调递减.由对称性可知()f x 在(,1]-∞上单调递增.因为(21(30))f x f x ---≥，即(21(3))f x f x ≥--，所以|211||31|x x ≤----，即|22||2|x x ≤--，解得403x ≤≤.故选D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省华附、省实、深中、广雅四校高三上学期期末联考数学(文)试题.pdf
所以，
三、解答题
15. (本题满分12分)数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
解：（I），，，因为，，成等比数列，
所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，
，
个式叠加，得．
( ．
∴.选C.
.若平面，满足，，，，则下列命题中是假命题的为( )
(A)过点垂直于平面的直线平行于平面
(B)过点在平面内作垂直于l的直线必垂直于平面
(C)过点垂直于平面的直线在平面内
(D)过点垂直于直线的直线在平面内
解：由于过点垂直于平面的直线必平行于平面内垂直于交线的直线，因此平行于平面，因此A正确.根据面面垂直的
A． B． C． D．
解：由题：，故选A。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中第14、15题是选做题，考生只能选做其中一题，两题全
答的，只计算前一题的得分．）11.已知是夹角为的两个单位向量，且向量，则___________。
解：由题， ，，，所以
12.执行由图中的算法后，若输出的值大于10，则输入的取值范围是
2.复数 ( )
(A) (B) (C)0 (D)
解：.选A.
成立的一个必要不充分条件是
(A)
(B)
(C) 或
(D)
解： .选.
4. 在正项等比数列中，和为方程的两根，则( )
(A) 16
(B)32
(C)64
(D)256
解：由已知有，又，∴在正项等比数列中，.
弦的垂直平分线，
由题它与轴相交于点
所以，
2023-2024学年广东省四校联考高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
华附、省实、广雅、深中2021届高三数学上学期四校联考(2月)试题
华附、省实、广雅、深中2021届高三数学上学期四校联考（2月）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（**）A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点位于（**）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．已知直线，和平面，且，则是的（**）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要第4题图4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从，，这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间的概率是（**）A．B．C．D．5．已知是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（**）A． B． C． D．6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离第6题图（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，等效取8490km，故远大于．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（**）（参考数据：）A．6400m B．7200m C．8100m D． 10000m 7．已知抛物线的焦点为，点是抛物线C上位于第一象限内的一点，为线段的中点，垂直轴于点，若直线的倾斜角为，，则直线的倾斜角为（**）A．B．C．D．8．已知点是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（**）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得2分，只要有一项选错，即得0分．9．已知定义在上的函数对任意实数满足，，且时，，则下列说法中，正确的是（**）A．是的周期 B．不是图象的对称轴C． D．方程只有4个实根10．已知实数，则下列说法中，正确的是（**）A． B．C． D．存在，使得直线与圆相切11．点C，D是平面内的两个定点，，点在平面的同一侧，且．若与平面所成的角分别为，则下列关于四面体ABCD的说法中，正确的是（**）A．点A在空间中的运动轨迹是一个圆B．面积的最小值为2C．四面体ABCD体积的最大值为D．当四面体ABCD的体积达最大时，其外接球的表面积为12．已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（**）A. 在是增函数B. 是奇函数C. 在上有两个极值点D. 设，则满足的正整数的最小值是2第二部分非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程，根据最小二乘法计算可得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为__**___万元．14．的展开式中，的系数是__**___．15．已知双曲线的左焦点为，为双曲线上一点，与双曲线的渐近线平行，且，其中为坐标原点，则双曲线的离心率__**___．16．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__**__，则的最大值为__**___．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知正项数列满足，，等比数列满足：．（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求．18．（本小题满分12分）已知函数只能同时满足以下三个条件中的两个．①函数的最大值是；②函数的图象可由函数左右平移得到；③函数的对称中心与的对称轴之间的最短距离是；（1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数的单调递增区间；（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，满足，点为的中点，且，求的值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，，.第19题图（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料．现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．假设拟购进的这批原料，合格率为p（），并用p作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担．（1）若，记方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X 的分布列；（2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率．如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？并说明理由．21．（本小题满分12分）已知离心率为的椭圆与抛物线有相同的焦点，且抛物线经过点，是坐标原点．（1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线：与抛物线交于A,B两点，与椭圆交于C,D两点，若的内切圆圆心始终在直线上，求面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若且，证明：，；（3）记方程的三个实根为，若，证明：．华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数学参考答案一、单项选择题：1-4：BABB 5-8: DCDA第8题提示：将变形为，然后研究图象即可.二、多项选择题：9、AC 10、BC 11、ABD 12、ABD 第10题C选项解析：令，因为，故关于对称，故只需研究的情况即可.. 令，则. 易知在上单调递减.因为，，所以存在，使得，且时，，单调递增，时，，单调递减.因为时，，且，故，.所以当时，，单调递增，所以.第12题提示：，显然不是极值点.当时，.绘制函数的草图可知，此时仅有一个根，且. 故C选项错误.由上述分析可知时，函数单调递增，时，函数单调递减.当时，，显然.当时，. 的几何意义为点与坐标原点连线的斜率. 因为，故只需比较的大小即可.. 故D正确.三、填空题： 13、85 14、 15、 16、；17．解：（1）∵各项为正，且，∴.∴是公差，首项的等差数列.………………2分∴，则.………………3分设等比数列的公比为，则.故，解得. 故. ………………5分（2）. ①. ②………………6分②—①：.………………8分.………………10分18．解：（1）函数只能同时满足①③ . ………………2分由①知，由③知,则.故.………………4分由,解得，.所以的单调递增区间为，. ………………6分（2）.∵. ∴………………8分（此处若未结合角B 的范围，直接写出B的值，扣1分.）法一：作线段的中点,因为，故．因为，即. ………………10分由正弦定理知………………12分法二：分别在中对角B运用余弦定理，可得边长a,c 的关系，略.19．（1）证明：连接.∵, 为的中点, ∴∵, ∴. ………2分∵, 为的中点, ∴∵, ∴. ………4分, .∵∴平面.………6分zyx（2）以O为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则, , .则, . ………7分设平面的法向量，则.令则. ………9分易证平面,故取平面的法向量. ………10分因为二面角的平面角为锐角，所以 (12)分20．解：（1）X可能的取值为．………………1分,, ………………3分故X的分布列为:………………4分（2）方案一通过检验的概率为. ………………6分方案二通过检验的概率为………………8分，其中.令，则. ………………10分故在上单调递增，.故原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高．………………12分21．解：（1）由题：，故抛物线的方程为．………………1分抛物线的焦点为，故.又因为椭圆离心率为，即.解得.∴椭圆的方程为. (3)分（2）因为的内切圆圆心始终在直线上，即平分.设直线的斜率分别为．因为垂直于x轴，故………………4分设，则.∵，∴，即. ………………5分∴，即. ………………6分将直线与联立，可得，由题，故………………7分将直线与联立，可得，由题，故，故． (8)分设，则则………………9分坐标原点O到直线l的距离为，故的面积 (10)分∵，∴．故当时，………………12分22．解：（1），……………1分∵∴∴或，.∴的单调递增区间为,，单调递减区间为. ……………3分（2）令，则. .故在单调递增，在上单调递减.故，即. ……………4分欲证：，，即证：，.令，则.因为，故.所以，在上单调递增. ∴. 故欲证，，只需证.……………6分∵，∴，即因为，故. 故等价于证明：. ……………7分令，则，在上单调递增.故．即. 从而结论得证.……………8分（3）法一：令，则由（1）可知，在,上单调递增，在上单调递减.由题易知.，，故.因为，故存在，使得，由（2）可知，，故，……………10分令，则，易知在上单调递减，在上单调递增.记的两个零点为，易知.故，因为在上单调递减，在上单调递增.所以，，所以. ……………12分法二：（切线放缩）略解.令，则研究函数在点处的切线以及在点处的切线,然后证明当时，以及.切线与x轴的交点为；切线与x轴的交点为，故.华附、省实、广雅、深中2021届高三数学上学期四校联考（2月）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。
广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考
华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考化学命题学校：深圳中学定稿人：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试用时75分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己校名、姓名、考号、座位号等信息填写在答题卡指定区域，并用2B铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案；答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 K-39 Mn-55 Fe-56Co-59 Cu-64 Ag-108第一部分选择题（共44分）一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．化学与生活密切相关，下列有关说法错误的是A．乙醇、过氧化氢、次氯酸钠等消毒液均可以将病毒氧化而达到消毒的目的B．实施“煤改气”、“煤改电”等清洁燃料改造工程，有利于保护环境C．高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维，光导纤维遇强碱会“断路”D．“地沟油”经过加工处理后，可以用来制肥皂和生物柴油2．常温下，下列各组离子在溶液中能大量共存的是A．H+、K+、CN-、Cl-B．Ba2+、K+、OH-、NO－3C．NH＋4、Na+、SO2－3、ClO-D．Na+、Al3+、HCO－3、SO2－43．下列有关离子方程式正确的是A．用铜作电极电解KCl溶液：2Cl-+2H2O H2↑+Cl2↑+2OH-B．用稀硝酸洗涤试管内壁的银镜：Ag +NO－3+4H+= Ag++NO↑+2H2OC．少量Mg(OH)2溶于FeCl3溶液中：3Mg(OH)2+2Fe3+=2Fe(OH)3+3Mg2+D．大理石溶于稀醋酸：CaCO3+2H+=Ca2+ +CO2↑+ H2O4．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．常温下，pH=2的亚硫酸溶液中含有的H+数目为0.01 N AB．标准状况下，2.24 L CHCl3含有的共价键数为0.4 N AC．1 mol N2与4 mol H2反应生成的NH3分子数为2 N AD．14 g乙烯和环丙烷混合气体中的氢原子数为2 N A5．下列有关物质的工业制法中，正确的是A．制钠：以海水为原料制得精盐，再电解熔融的NaClB．炼铜：电解精炼黄铜矿得到纯度为99.9％的铜C．制硅：用一氧化碳还原二氧化硅得硅D．制铝：电解液态氯化铝得铝6．下列实验操作能达到实验目的的是A．用排水法收集铜粉与浓硝酸反应的NO2B．用NaOH溶液滴定未知浓度的CH3COOH溶液，选用酚酞作指示剂C．在空气中蒸干硫酸亚铁溶液可以得到绿矾(FeSO4·7H2O)D．在容量瓶中加一定体积的水，再加入浓硫酸配制准确浓度的稀硫酸7．下列有关实验原理或操作正确的是A．分离酒精和水 B．干燥氨气C．配制0.1000 mol/L的食盐水 D．检查装置气密性8．柠檬烯的结构可表示为，关于柠檬烯下列说法错误的是A．分子中所有碳原子可能在在同一平面上B．可使溴的四氯化碳溶液褪色C．是苯乙烯的同系物D．该物质易溶于水9．NO催化O3生成O2的过程由三步基元反应构成：第一步：NO(g)+O3(g)=O2(g)+NO2(g) △H1 ；第二步：NO2(g)=O(g)+NO(g) △H2 ；第三步：O(g)+O3(g)=2O2(g) △H3 。
广东省2023华附省实广雅深中四校联考数学参考答案
华附、省实、广雅、深中2023届高三四校联考数学参考答案及评分标准1.【答案】B【解析】{1,2,3,4,5}U =，{1,3,4}A =，{4,5}B =，{1,2,3}U B ∴=，则(){1,3}U A B ⋂=，故选：.B2.【答案】C【解析】(1)(2)1 3.i i i −−=−故选：C . 3.【答案】B【解析】由图，因为3ACD ABD S S ∆∆=，故3CD BD =，可得3144AD AB AC =+， 则313115(+)422()444422AB AD AB AB AC ⋅=⋅=⨯+⨯⨯⨯−=,故选：.B4. 【答案】A【解析】直角梯形绕AB 旋转一周所得的圆台的体积为128(1648)33hV h ππππ=++=圆台；1(4+2)32ABCD S h h ==，故记重心G 到AB 的距离为',h 则28=(2')3,3h h h ππ⋅则14'=9h ,故选：A .5. 【答案】C【解析】如右图所示，1F 关于渐近线OM 的对称点P 在双曲线上，则12||||||OP OF OF ==. 所以21PF PF ⊥，OM 是12F F P ∆的中位线，进而1||||F M MO b a a −=−= . 所以离心率c e a =故选：C .6. 【答案】C【解析】由1212n n n a a a ++⋅⋅=−得：12312n n n a a a +++⋅⋅=−，两式相除得：31n na a +=，即3n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 由12a =−，214a =得：3121112a a a =−=； 记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则312k k T ⎛⎫=− ⎪⎝⎭614T ≤=，3114111=221222k kk T a T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−≤=−⨯−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，231521111=2224kk kT a a T +⎛⎫⎛⎫=−−−≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()max 1n T =.故选：C . 7. 【答案】D【解析】根据“局部奇函数”定义知：()()f x f x −=−有解，即方程()933933x x x xm m −−−⋅−=−−⋅−有解，则()993360x x x x m −−+−⋅+−= 即()()2333380x x x x m −−+−+−=有解；设33x x t −=+，则2t ≥（当且仅当0x =时取等号），方程等价于280t mt −−=在2t ≥时有解，8m t t∴=−在2t ≥时有解；8y t t=−在[)2,+∞上单调递增，82t t ∴−≥−，2m ∴≥−，即实数m 的取值范围为[)2,−+∞.故选：D . 8. 【答案】C【解析】依题意得1AB =,11B C ⊥平面11AB C ，则111B C AB ⊥,在11AB C △中，11111AB M B MC AB C S S S +=△△△故1sin 1sin 122MN MNC MPA ∠∠+=⋅1sin sin MPA MN MNC ∠+∠=又1sin ,sin MPA MN MNC MN ∠∠≤1sin sin MPA MN MNC MN ∠+∠+即MN +90MPA ∠=，190MNC ∠=时取等号当90MPA ∠=时，M 为1AC 的中点，此时当190MNC ∠=时，N 为11B C 的中点MN +故选：C . 9. 【答案】BD【解析】对于A ，因为0a b >>，()()33033b a b b a a a a −+−=<++，33b b a a +∴<+，故A 错误； 对于B ，因为0a b >>，所以22a b >，所以()()()()()2223223320232323b a a b b a a b a b a a b b a b b a b b−+−++−==<+++，3223a b aa b b +∴<+，故B 正确； 对于C ，因为0a b >>，>>所以故C 错误； 对于D ，因为0a b >>，所以lg lg lg 22a b a b++>=，故D 正确． 故选：BD ．10.【答案】BCD【解析】()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，因为()()2f x f x π+=−，所以()()f x f x π+=，故π是()y f x =的一个周期，故2||()k k Z ππω⨯=∈，即||2k ω=，又03ω<<，故2ω=，A 错误； 因为()2sin(2)6f x x π=+，当512x π=时，26x ππ+=，由于(,0)π是2sin y x =的一个对称中心，B 正确;由题有()2sin(22)6g x x s π=+−在[,]66ππ−上单调递减， 故有2262()32222s k k Z s k ππππππ⎧−−≥+⎪⎪∈⎨⎪−≤+⎪⎩，化简得()23k s k k Z ππππ−−≤≤−−∈， 当2k =−时，3523s ππ≤≤，因为*s N ∈，故s 可以取5，C 正确； 因为*s N ∈，故1k ≤−，当1k =−时，223s ππ≤≤，可知min 2s =，D 正确；故选：BCD.11.【答案】ACD【解析】不妨把两点设为1122(,),(,)A x y B x y ，焦点为(1,0)F ， 对于选项A ，1||11FA x =+≥，显然成立，选项A 正确；对于选项B ，联立直线1x my =+与抛物线24y x =，得2440y my −−=，所以124y y =−，进而221212144y y x x =⋅=，得121230x x y y +=−<，所以cos 0AOB ∠<. 所以90AOB ∠>，选项B 错误；对于选项C ，依题意，122y y =−，结合124y y =−，得2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2212y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，进而m =，选项C 正确；对于选项D ，依题意0PA PB k k +=，整理得12122(43)()240my y m y y −+++=，代入解得2m =−或34m =（舍去）. 选项D 正确. 故选:ACD .12. 【答案】ABD【解析】对于A ，在()()121f x f x +=−中令0x =，则()()10210f f +=−，所以()10f =，故A 正确；对于B ，当0x >时，()()121f x f x +=−，对()()121f x f x +=−两边求导，则()()()()111122f x f x f x '''=−+=−−−，所以0x >时，()()()()()1111102f x f x f x f x f x '++'−'−'=−+'−−=−<， 所以()10f x '−>，令1x μ−=，1μ∴<，()0f μ'>， 所以()f x 在(],1−∞上单调递增，所以B 对；对于C ，由B 知，()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，由()()1212,x x f x f x <<知12,x x 不可能均大于等于1，否则211x x >≥，则()()12f x f x >，这与条件矛盾，舍去.①若121x x <≤，则()()12f x f x <，满足条件，此时，122x x +<；’ ②若121x x <<，则221x −<，而()()2222f x f x =−，则()()()222022f x f x f x −=−−<，所以()()()()221222f x f x f x f x <−⇒<−，而12,21x x −<，所以121222x x x x <−⇒+<，C 错；对于D ，由()f x 在(],1−∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，知()()10f x f ≤=，注意到11022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110g f =+>，33022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1213,1,1,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()12f x f x <，则122x x +<，则()()()111222cos cos cos *cos f x x x x f x x ππππ⎧=⎪⇒<⎨=⎪⎩， 所以()()121212222cos cos 2cos x x x x x x x πππππ<−=>−<⇒⇒−(()12,2,2x x ππππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭)，这与()*矛盾，舍去.所以()()()()21211f x f x f x f x >⇒>，在0x ≥时，()()121f x f x +=−中，令()()111122x x f x f x =−⇒−=，而由122122x x x x +⇒<−<，所以()()()()212122f x f x f x f x >−⇒>，所以()()212f x f x <，故D 正确. 故选：ABD . 13. 【答案】1（写出一个即可）【解析】依题意，该直线过圆心或垂直于PC ，圆心到直线距离为0d =或d PC =，221r d =+，所以1r =或r .14. 【答案】92π【解析】VA VB VC V ==在平面ABC 的射影为三角形ABC 的外心。
华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题与答案
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足(1)1+=−i z i ，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且（（+⊥−a b a b )23)，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π345.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.213 B.72C. √ 3D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．+R S R(1cos )B ．−R S R (1cos )C ．2sin R S RD ．sin R S R7.若（（ac e c b −=−=1)1)ln 1则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列a n {}的前n 项和S n ，且a a a n a n n n n =++−−−1882111，n n N ≥∈+(2,)，若a =11，则 A ．S <<2024523 B ．S <<2024252C ．S <<2024322 D ． S <<2024132二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则a a b b +<+1log log (1)10. 已知圆C 1：x y +=221，圆C 2：−++=x y r (3)(4)222r >0（），P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为x y −−=6810C .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则∠APB 不可能等于 π2 11.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x y −=2241，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数f x x =−ωπ2()sin (3)(ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数f x x x =−−+−2()43和函数()ln()=−g x ax axe x 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
(附加20套期末模拟试卷)广东省华附、省实、广雅、深中四校2020届高三上学期期末联考数学理试题(含答案)
直线 l 与抛物线 C 围成的平面区域的面积为 S ,
则 p ______ ， S
.
x 1, 0 x 1
_俯视图
13.
已知函数
f (x)
2x
1,x 1 2
，若 a b 0 ，且 f (a) f (b) ，则 bf (a) 的取值范围
是
.
选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第 14 题记分）.
（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为 a, b ，求随机变量 a b 的分布列与数学期望 E .
18.（本小题满分 14 分）
如图，四边形 ABCD是正方形， EA 平面 ABCD ，
P
EA PD ， AD PD 2EA， F ， G ， H 分别
为 PB ， EB ， PC 的中点．
（1）求证： FG 平面 PED ；
3
5π
x
12
② f (x) tan x ；③ f (x) x sin x.其中图像能等分圆 C 面积的函数
有
A． 3 个
B. 2 个
C. 1 个
5. (x 1 )12 展开式中的常数项为 3x
A． 220
B． 220
C图所示的程序框图，输出的 S 值为
A． 2
B. 1
C. 0
D. 1
D. 0 个
开始
T=0,S=1
S=S -T
是
T≥0
T=T+S
否
输出S
结束
7.
已知数列 an 满足： a1
1 , 对于任意的 n N ， 7
an1
7 2
an (1
an ), 则 a1413
2023-2024学年广东省广州市华附、省实、广雅、深中四校联考高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市华附、省实、广雅、深中四校联考高三（上）期末数学试卷一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B）（）A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁U B）＝∅D．（∁U A）∩B＝∅2．已知复数z满足，则z2024＝（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i3．直线x+2y+3＝0关于直线y＝﹣x对称的直线方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y﹣3＝0D．2x+3y+3＝04．已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在，且，则向量与向量（）A．B．C．D．5．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线（）A．2B．C．D．36．我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，则此时P到铁轨上表面的距离为（）A．B．C．D．7．若（1﹣c）e a＝（1﹣c）lnb＝1，则a，b（）A．c≤a＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a≤c8．数列{a n}的前n项和S n，且，若a1＝1，则（）A．B．C．D．二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac2＞bd2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的充分不必要条件D．若a＞b＞1，则log a b＜log a+1（b+1）10．已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），P、Q分别是圆C1与圆C2上的点，则（）A．若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x﹣8y﹣1＝0C．当r＝2时，则PQ斜率的最大值为D．当r＝3时，过P点作圆C2两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于11．已知函数f（x）＝x3﹣3x2，满足f（x）＝kx+b有三个不同的实数根x1，x2，x3，则（）A．若k＝0，则实数b的取值范围是﹣4＜b＜0B．过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y＝f（x）﹣1相切的直线C．x1x2+x2x3+x1x3＝kD．若x1，x2，x3成等差数列，则k+b＝﹣212．已知正四面体O﹣ABC的棱长为3，下列说法正确的是（）A．若点P满足，且x+y+z＝1，则的最小值为B．在正四面体O﹣ABC的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为C．若正四面体O﹣ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为D．点Q在△ABC所在平面内且|QO|＝2|QA|，则Q点轨迹的长度为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知双曲线方程为＝1，则该双曲线的渐近线方程为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），a4＝4，a7＝10，则S n的最小值为．15．已知函数的最小正周期为2π，且f（x），m]上单调递减，在上单调递增．16．在同一平面直角坐标系中，M，N分别是函数和函数g（x）（ax）﹣axe x图象上的动点，若对任意a＞0，有|MN|≥m恒成立．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18．（12分）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；（2）若抽4次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望．19．（12分）已知函数f（x）＝axe x（a≠0），g（x）＝﹣x2．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，f（x）与g（x）有公切线20．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心（0＜α＜π）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'．（1）若，求证：平面MBF⊥平面M'B'F'；（2）是否存在α，使得直线M'F'⊥平面MBC，若存在；若不存在，请说明理由．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝c+h．（1）若c＝3h，求tan C的值；（2）求cos C的取值范围．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，C的离心率为，椭圆上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，△QRF2的周长为8．（1）求C的方程；（2）设点Q（x0，y0），求△QRS面积S△QRS的表达式（用y0表示）．2023-2024学年广东省广州市华附、省实、广雅、深中四校联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B）（）A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁U B）＝∅D．（∁U A）∩B＝∅解：因为集合A，B满足A⊆（A∩B），对A：当A为B的真子集时，不成立；对B：当A为B的真子集时，也不成立；对C：A∩（∁U B）＝∅，恒成立；对D：当A为B的真子集时，不成立；故选：C．2．已知复数z满足，则z2024＝（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i解：，则，故z＝i，z2024＝i2024＝i8＝1．故选：C．3．直线x+2y+3＝0关于直线y＝﹣x对称的直线方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y﹣3＝0D．2x+3y+3＝0解：直线x+2y﹣3＝8上任意一点（x，y）关于y＝﹣x的对称点（﹣y，代入得：（﹣y）﹣2x+3＝3，整理得：2x+y﹣3＝3，故选：B．4．已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在，且，则向量与向量（）A．B．C．D．解：由题意，有，即，由，可得，即，由题知，，∴，∵，∴＝．故选：B．5．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线（）A．2B．C．D．3解：椭圆（a＞b＞2）的离心率为，可得，即：，可得，在则双曲线中，由，即，可得，∴e＝．故选：C．6．我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，则此时P到铁轨上表面的距离为（）A．B．C．D．解：当列车行驶的距离为s时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为s，∴车轮转过的角度为，P点的初始位置为P0，设车轮的中心为O，当时，作PQ⊥OP0，垂足为Q，如下图所示，则OQ＝OP＝R cos，∴P到铁轨表面的距离为；当时，PM⊥MP0，作ON⊥PM，垂足为N，则PN＝OP•sin（）＝﹣R cos，∴P到铁轨表面的距离为；当时，PM⊥MP0，作ON⊥MP，垂足为N，则，∴P到铁轨表面的距离为；当时，作PQ⊥OP0，垂足为Q，如下图所示，则OQ＝OP＝R cos，∴P到铁轨表面的距离为；当或或π或时；当时，点P到铁轨表面的距离为，综上所述：点P到铁轨表面的距离为．故选：C．7．若（1﹣c）e a＝（1﹣c）lnb＝1，则a，b（）A．c≤a＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a≤c解：画出函数图象如下．根据函数图象可知．故选：A．8．数列{a n}的前n项和S n，且，若a1＝1，则（）A．B．C．D．解：由已知得：n≥2时，，，故＝+（﹣）≥4+2+...+2＝4n﹣1，即≥4n﹣1≤，即n≥2时，a n≤＜＝（﹣），则1＝a8＜S n＝a1+a2+...+a n＜2+（4﹣+﹣﹣）＝﹣＜，即有1＜S2024＜．故选：D．二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac2＞bd2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的充分不必要条件D．若a＞b＞1，则log a b＜log a+1（b+1）解：A：当a＝2，b＝1，d＝﹣4时；B：两边同时除以c2即可，B正确；C：ab＞1不一定a＞2，b＞1，所以为必要不充分条件；D：，D正确．故选：BD．10．已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），P、Q分别是圆C1与圆C2上的点，则（）A．若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x﹣8y﹣1＝0C．当r＝2时，则PQ斜率的最大值为D．当r＝3时，过P点作圆C2两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于解：根据题意，依次分析选项：对于A，当圆C1在圆C2的内部时，r没有最大值；对于B，当r＝7时2：（x﹣3）3+（y+4）2＝25，其圆心为（6，﹣4），圆C1：x2+y2＝1，圆心为（7，半径为1，圆心距d＝5，有8﹣1＜5＜6+1，将两圆的方程作差可以公共弦的直线方程为6x﹣3y﹣1＝0，B正确；对于C，当r＝6时如图一，有半径比可知，可得，故C正确；对于D选项，点P在P2位置时，点P在P1位置时所以中间必然有位置使得．故选：BC．11．已知函数f（x）＝x3﹣3x2，满足f（x）＝kx+b有三个不同的实数根x1，x2，x3，则（）A．若k＝0，则实数b的取值范围是﹣4＜b＜0B．过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y＝f（x）﹣1相切的直线C．x1x2+x2x3+x1x3＝kD．若x1，x2，x3成等差数列，则k+b＝﹣2解：对于A，因为f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），所以f（x）在（﹣∞，6）和（2，在（0，且f（0）＝3，所以，当f（x）＝b有三个不同的实数根x1，x2，x2时，﹣4＜b＜0；对于B，设（4，（m＞0）0，y6），y0＝f（x0）﹣7＝﹣6，f'（x6）＝3﹣6x0，所以函数y＝f（x）﹣7在点（x0，y0）处的切线方程为：y﹣（﹣3﹣6x0）（x﹣x7），又因为切线过点（0，m）﹣3﹣3x0）（﹣x0），即m＝﹣7+4，令g（x）＝﹣7x3+3x2﹣1，g'（x）＝﹣6x8+6x＝﹣6x（x﹣7），所以g（x）在（﹣∞，0）和（1，在（4，且g（0）＝﹣1，g（1）＝0，所以直线y＝m与函数g（x）的图象只有一个交点，即过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y＝f（x）﹣2相切的直线，故B正确；对于C，由于方程f（x）＝kx+b有三个根x1，x2，x7，所以x3﹣3x4﹣kx﹣b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x2）＝x3﹣（x1+x8+x3）x2+（x5x2+x2x8+x1x3）x﹣x6x2x3，展开可知x4x2+x2x2+x1x3＝﹣k，故C不正确；x6+x2+x3＝7，当x1，x2，x6成等差数列时，x1+x2+x8＝3x2，所以x7＝1，f（1）＝1﹣3﹣k﹣b＝0，故D正确．故选：ABD．12．已知正四面体O﹣ABC的棱长为3，下列说法正确的是（）A．若点P满足，且x+y+z＝1，则的最小值为B．在正四面体O﹣ABC的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为C．若正四面体O﹣ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为D．点Q在△ABC所在平面内且|QO|＝2|QA|，则Q点轨迹的长度为解：已知正四面体O﹣ABC的棱长为3，对于A，因为点P满足，可知点P是平面ABC上的一点．又因为正四面体O﹣ABC是棱长为3，所在立方体的棱长，的最小值为点O到平面ABC的距离，即为立方体体对角线的，又立方体体对角线的长为，则的最小值为，故A正确；对于B，因为正四面体O﹣ABC的体积为立方体的体积减去四个小三棱锥的体积：，而正四面体O﹣ABC四个面的面积都是，设正四面体O﹣ABC的内切球半径为r，又，解得，因为正四面体Q﹣DEF在正四面体O﹣ABC的内部，且可以任意转动，所以最大正四面体Q﹣DEF外接球直径为，因此最大正四面体Q﹣DEF外接球也是棱长为的正方体的外接球，所以正四面体Q﹣DEF的体积最大值为，故B不正确．对于C，在正方体AC1BO1﹣A7CB1O内，过O作平面OO1A5，分别交AB、AC1于点G、A2，过C作平面CC5B2，分别交AB、BO1于点H、B4，且平面OO1A2∥平面CC3B2，由正四面体O﹣ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，其中平面OO1A6和平面CC1B2为中间的两个平面，易知A6为AC1的中点，B2为O8B的中点，因为正方体AC1BO1﹣A6CB1O是棱长为，所以，所以点A到O1A2的距离为，所以每相邻平行平面间的距离为，故C正确；对于D选项：由|QO|＝3|QA|可知点Q的轨迹是平面ABC与以M点为球心，2为半径的球的截面圆，其中M点在OA的延长线上且MA＝1，M点到平面ABC的距离为，所以截面圆周长为，故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知双曲线方程为＝1，则该双曲线的渐近线方程为．解：双曲线方程为＝1．故答案为：．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），a4＝4，a7＝10，则S n的最小值为﹣2．解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，∴S n＝﹣2n+＝n2﹣3n＝（n﹣）2﹣，∴当n＝1或7时，S n取得最小值，最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．已知函数的最小正周期为2π，且f（x），m]上单调递减，在上单调递增．解：由的最小正周期为2π，得．则＝＝＝，根据图像可知，函数f（x）在，在上单调递增，若f（x）在[0，m]上单调递减，在，则，解得．故答案为：．16．在同一平面直角坐标系中，M，N分别是函数和函数g（x）（ax）﹣axe x图象上的动点，若对任意a＞0，有|MN|≥m恒成立．解：g（x）＝ln（ax）﹣axe x＝ln（ax）﹣e x+ln（ax）≤ln（ax）﹣[x+ln（ax）+1]＝﹣x﹣1，由，得（x﹣4）2+y2＝6（y≤0），数形结合可知，MN最小值为圆心到直线y＝﹣x﹣1的距离减去半径．当且仅当，即时取到最值．所以实数m的最大值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．解：（1）由，当n≥2时，，两式相减可得：，又n＝7时，S1＝a1＝4满足上式，所以S n＝n（n+1）•2n﹣5，n∈N*，S n﹣1＝n（n﹣1）•3n﹣2，n≥2，则，又n＝1时，a4＝2满足上式，则；（2）由（1）可得，＝（n+3）•3n﹣2，则，即，两式相减得：＝8+2n﹣1﹣（n+4）•2n﹣1，即T n＝（n+4）•2n﹣1﹣8．18．（12分）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；（2）若抽4次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望．解：记A i表示事件“第i次抽到代数题”，i＝1，2，⋯，3，（1）由条件概率公式可得＝，所以第一次抽到几何题的条件下，第二次抽到代数题的概率为；（2）由题意，随机变量X的可能取值为：3，1，2，6，4，，，，，，所以X的分布列为：所以：．19．（12分）已知函数f（x）＝axe x（a≠0），g（x）＝﹣x2．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，f（x）与g（x）有公切线解：已知f（x）＝axe x（a≠0），函数定义域为R，可得f′（x）＝a（x+1）e x，当a＞2时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，f（x）单调递增；当a＜6时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）单调递增；当x∈（﹣1，+∞）时，f（x）单调递减，综上，当a＞4时，﹣1）上单调递减，+∞）上单调递增；当a＜0时，函数f（x）在（﹣∞；在（﹣5；（2）不妨设公切线与y＝f（x）和y＝g（x）的切点分别为，此时，所以切线方程为，即，可得，因为g（x）＝﹣x2，可得g′（x）＝﹣6x，此时k＝2b，所以切线方程为y＝﹣2bx+b6，所以，可得，不妨设，可得，当0＜x＜3时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜4，所以当x＝1时，函数h（x）取得极大值，当x→6时，h（x）→0，h（x）→0，所以，可得时，故实数a的取值范围为．20．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心（0＜α＜π）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'．（1）若，求证：平面MBF⊥平面M'B'F'；（2）是否存在α，使得直线M'F'⊥平面MBC，若存在；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心，将四棱锥M﹣BCGF绕直线CG逆时针旋转α（0＜α＜π）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'，若，则平面DCGH．连接BH，BF'，M'是BF'中点，∴平面MBF与平面BFHD重合，平面M'B'F'与平面BFF'B'重合，由正方体性质得：BF⊥平面EFF'H，∴∠HFF'为二面角H﹣BF﹣F'的平面角，∵，∴，∴由面面垂直的判定定理得平面MBF⊥平面M'B'F'，故将四棱锥M﹣BCGF绕直线CG逆时针旋转时，平面MBF⊥平面M'B'F'；（2）解：假设存在α，使得直线M'F'⊥平面MBC，以C为原点，分别以，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，6），0，0），﹣2，∴，设是平面MBC的法向量，则，取y＝1，得，取CG中点P，BF中点Q，PM，PQ⊥CG，∴∠MPM'是二面角M﹣CG﹣M'的平面角，∠MPQ是二面角M﹣CG﹣Q的平面角，∠QPM'是二面角Q﹣CG﹣M'的平面角，∴，∴，且CG⊥平面，∴，同理可得F'（2cosα，2sinα，∴，∵，，∴，∵直线M'F'⊥平面是平面MBC的一个法向量，∴∥，∴存在λ∈R，使得，则由题意得，∵此方程组无解，∴假设不成立，使得直线M'F'⊥平面MBC，综上所述，不存在α∈（0，使得直线M'F'⊥平面MBC．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝c+h．（1）若c＝3h，求tan C的值；（2）求cos C的取值范围．解：（1）在△ABC中，由余弦定理和a+b＝c+h可得，，又由三角形的面积公式可知，，所以，所以，由c＝4h，得，又，所以，所以；（2）由（1）知．如图，在△ABC中，且使EB＝3h，则CE＝CB＝a，因为a+b＝c+h≥|AE|，即（c+h）2≥c2+6h2，得，所以，所以，所以，所以，由，得，所以，所以cos C的取值范围为．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，C的离心率为，椭圆上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，△QRF2的周长为8．（1）求C的方程；（2）设点Q（x0，y0），求△QRS面积S△QRS的表达式（用y0表示）．解：（1）易知△QRF 2的周长，解得a＝7，因为椭圆C的离心率为，所以，解得，则b4＝a2﹣c2＝7，故C的方程为；（2）易知直线QR和直线QS的斜率不为零，不妨设直线QR和直线QS的方程为，，Q（x0，y0），R（x3，y1），S（x2，y6），联立，消去x并整理得，由韦达定理得，，同理得，，因为点Q在直线QR和QS上，所以，，此时，整理得，即，同理得，整理得，即，不妨设y0＞8，因为＝，因为，所以＝＝＝，因为点Q在椭圆C上，所以，则S△QRS＝＝．。
【全国百强校】广东省华南师范大学从属中学尝试中学广雅中学深圳高级中学四校期末联考数学（文）试题
绝密★启用前试卷类型：A广东省2021 届高三年级四校联考文科数学本试卷共6页，22 小题，满分150 分. 考试历时120 分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.3．非选择题必需用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准利用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必需维持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题共60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．i 为虚数单位，则复数z =2 - i在复平面上对应的点位于iA．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．若全集U ={1, 2,3,4,5,6}，M =⎧x6∈N*, x ∈U⎫，则M =⎨x⎬ U⎩ ⎭A．{1,2,3,4,5,6} B．{1, 2, 3, 6} C．{4, 5} D．∅⎨⎩3. 下列函数中，既是 R 上的偶函数，又在区间 (0, 3) 内单调递减的是A. y = x 3B. y = ln xC. y = 2x + 2- xD. y = cos x 4. 给定空间中的点 P ，直线 l ，平面α 与平面 β ，若 P ∈ l ， P ∈α ，α ⊥ β ， 则“ l ⊂ α ”是“ l ⊥ β ”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件⎧ x + y < 6, 5．若实数 x , y 知足条件 ⎪x - 3 y < -2, ，设 z =2x + 3y 的取值集合为 M ，则 ⎪ x > 1.A.17 ∈ M B. 14 ∈ M C. 5 ∈ M D. 3∈ M6. 已知曲线 y = sin(ω x + π) （ω > 0 ）关于直线 x = π 对称，则ω 的最小值为 32 1 A ．B ．321 1 C ．D ．367.在平面直角坐标系中，随机从O (0，0)，A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (2，2) 这五个点中选取三个，则以这三点为极点能组成三角形的概率是4 7 3 1 A.B.C.D.510528.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为 2 ，四条 用虚线表示的线段的长度均相等，则该几何体的表面积为2π正视图侧视图A. 8 -B. 24 - π 3C. 24 + 1)πD. 24 +1)π4 9 2 35 78 1 6⎧ a < -1或a =1 或a > 9 ⎫ ⎧ a < -1或 1 ≤ a ≤ 1 ⎫⎬⎩ e 28 ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ a > -1或 1 < a < 9 ⎫ ⎧ a > -1或> 9 ⎫ ⎩ 8 ⎬ ⎩ 8 ⎬+ ⎨ 29.设 a 是列位数字不全相同的三位数，调整 a 各数位上数字 开始 输入 a的顺序，取得的最大数为 M , 最小数为 m , 例如若 a = 693 ，n=1则 M = 963, m = 369 .如图，若输入的 a = 693 ，则输出的 n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5a=M-m a=495? 是 输出 nn=n +1否10.设 a > 1 ，则曲线xa 2 y 2结束- = 1的离心率的取值范围是 (a + 1)2A ． ( 2，2) B ． ( 2，5)C ． (2，5)D ． (2，5)11.幻方，是中国古代一种填数游戏. n (n ∈ N *,n ≥ 3) 阶幻方是指将持续 n 2个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的 n 个数的和都相等.中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图 1），即此刻的图1 图2图 2. 若某3 阶幻方正中间的数是 2021 ，则该幻方中的最小数为 A. 2021 B. 2021 C. 2021 D. 202112. ⎧ x e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对数的底数，已知函数 f ( x ) = ⎪ 81, x < 1, ，若关于 x 的方程⎪⎩ln x -1, x ≥ 1.f (x ) = ax 有唯一实数根，则实数 a 的取值范围是A ． ⎨a C ． ⎨a B ． ⎨a ⎭ D ． ⎨a⎭ ⎭* 2 第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.y4.43.2 1.90.9O 13 4 x14. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为120︒ ，则 2a - b 的值为.15．已知动圆 M 与圆 C : ( x +1)2 + y 2= 1，圆 C ：(x -1)2 + y 2 = 25 均内切，则动圆圆心 1 2M 的轨迹方程是 .16. 已知数列{a n } 知足：a 1 = 2 ，a n +1 + a n = log 2 (n+ 3n + 2)(n ∈ N ) .若 a m > 7 ，则 m 的最小值为 .三、解答题：共 70 分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每一个试题考生都必需作答.第 22、23 题为选考题，考生按照要求作答. （一）必考题：60 分. 17．（本小题满分 12 分）已知 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边别离为 a , b , c ，且cos(B - C ) - 2 s in B sin C = 1.2（1）求 A ； （2）若 a =3, c = 2 c os C ，求∆ABC 面积．18．（本小题满分 12 分）如图，DC ⊥ 平面 ABC ，EB DC ，AAC = CB = BE = 2DC = 2 ，P 为 AE 的中点， BP ⊥ AD ．（1）证明： PD 平面ACB ； （2）证明： ∆ABC 为等边三角形； C (3) 求四棱锥 A - BCDE 的体积．DPBE219．（本小题满分 12 分）依据某地某条河流 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的 频率散布直方图如图（甲）所示；依据本地的地质构造，取得水位与灾害品级的频率分布 条形图如图（乙）所示.频率1级级40 米的情况下发生 1 级灾害的频率为 g ，则该河流 1 级灾害 的频率为 f ⨯ g ，其它情况类似. 据此，试别离估量该河流在 8 月份发生 一、2 级灾害及 不发生灾害的概率 p 1 , p 2 , p 3 ；（3）该河流域某企业，在 8 月份，若没受 一、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元.现此企业有如试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪一种方案？说明理由.20. （本小题满分 12 分）已知圆 M : x 2 + ( y + 1)2= 4 p 9通过抛物线C : x 2 = 2 py 的核心.（1）求 p 的值；（2）当 p > 0 时，直线 l 与抛物线 C 、圆 M 均只有一个公共点，求直线l 的方程.21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x -1 - a)e x + 1 ，其中 e = 2.718⋅⋅⋅ 为自然对e数的底数，常数 a > 0 ．（1）求函数 f (x ) 在区间[0, +∞) 的零点个数； （2）设函数 g ( x ) 的导数 g '(x ) = (e x - a ) f (x ) ， a ∈ (1, e) ，判断 ln a 是函数g ( x ) 的极 大值点仍是极小值点并说明理由．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题计分.22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） ⎧ x = 2 + 2 cos ϕ,在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 1 : x + y = 1与曲线 C 2 : ⎨ ⎩ y = 2 s in ϕ.( ϕ 为参数，ϕ ∈[0, 2π) )．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系． （1）写出曲线 C 1 , C 2 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知点 A 是射线 l :θ = α ( ρ ≥ 0) 与 C 1 的公共点， 点 B 是l 与C 2 的 公共点，当α 在区间[0, π] 上转变时，求 OB 的最大值．2OA23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f ( x ) =x -1 + x + a 2 ，其中 a ∈ R ．（1）当 a =f ( x ) ≥ 6 的解集；（2）若存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 ) < 4a ，求实数 a 的取值范围．。
【校级联考】广东省华附、省实、广雅、深中2021届高三上学期期末联考数学(文)试题
【校级联考】广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合M ={x ∈N|x ≤2}，N ={x|x 2−x ≤0}，则M ∩N =( ) A ．[0,2]B ．[0,1]C ．{0,1}D ．{1}2．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D3．设a ，b 是非零向量，记a 与b 所成的角为θ，下列四个条件中，使a ba b=成立的充要条件是（ ）． A ．//a bB ．0θ=C ．2πθ=D ．θπ=4．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④5．若函数()()231sin 1f x m x m x =+++是偶函数，则()y f x =的单调递增区间是()A ．(),1∞-B ．()1,∞+C ．(),0∞-D ．()0,∞+6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．167()y f x =的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)6y x π=+B ．2sin(2)6y x π=-+C ．2sin(2)6y x π=--D ．2sin(2)6y x π=-8．若x ，y 满足约束条件20205100x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）．A ．0B ．2C ．4D ．139．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或10．若函数222,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．2{1}[,)e +∞B ．2{1}(,)e +∞ C ．2[1,e ] D ．2(1,]e11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．32+B ．32+C ．22+D ．22+12．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=（其中222c b a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题13．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数)14．已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为C 的标准方程是____15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2448a a +=，528a =，30n S n λ+>对一切*n N ∈恒成立，则λ的取值范围为____.16．体积为163的正四棱锥S ABCD -的底面中心为O ，SO 与侧面所成角的正切值为2，那么过S ABCD -的各顶点的球的表面积为____.三、解答题17．已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边，sin cos (sin )0C A B B -+=.(1)求A ；(2)若4b =，且AC边上的高为ABC ∆的周长.18．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=2AB =2，∠BAA 1=π3，D 为AA 1的中点，点C 在平面ABB 1A 1内的射影在线段BD 上.(1)求证：B 1D ⊥平面CBD ；(2)若ΔCBD 是正三角形，求三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积.19．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费4100.65266.5⨯=元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费()()2000.614002000.664104000.91263.1⨯+-⨯+-⨯=元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．（1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；()2根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；()3设某用户11月用电量为x 度()x N ∈，按照合表电价收费标准应交1y 元，按照阶梯电价收费标准应交2y 元，请用x 表示1y 和1y ，并求当21y y ≤时，x 的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？ 20．已知动圆P 与直线1:2l x =-相切且与圆221:(1)4F x y -+=外切。
2021年2月广东省四校联考(华附、省实、广雅、深中)2021届高三毕业班联考物理试题及答案
绝密★启用前广东省四校联考(华南师大附中、广东实验中学、广雅中学、深圳中学) 2021届高三毕业班下学期2月联合质量检测物理试题2021年2月满分100分，考试时间75分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第Ⅰ卷（共46分）一、选择题：本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，第1~7题只有一项符合题目要求，每小题4分；第8~10题有多项符合题目要求，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．下列说法正确的是（）A．汤姆生通过α粒子散射实验，提出了原子核的概念，建立了原子核式结构模型B．大量处于n=4能级的氢原子向低能级跃迁时，能辐射6种不同频率的光子C．光电效应实验揭示了光的粒子性，爱因斯坦为此提出了相对论学说，建立了光电效应方程D．重核裂变产生的中子能使核裂变反应连续得进行，称为链式反应，其中一种核裂变反应方程为2351419219256360U Ba Kr 2n →++2．体育器材室里，篮球静止摆放在如图所示的由细杆组成的水平球架上，则（ ）A ．球架对篮球的作用力与篮球受到的重力平衡B ．球架对篮球的支持力与篮球对球架的压力相同C ．篮球与球架间没有相对运动，所以篮球一定没有受到摩擦力作用D ．猛地向右推动球架，篮球会相对球架向右滚动3． 一个质点从静止开始做匀加速直线运动，它在第3s 内与第6s 内通过的位移之比为x 1∶x 2，通过第3 个1m 与通过第6个1 m 时的平均速度之比为v 1∶v 2，则（ ）A ．x 1∶x 2＝1∶4B ．x 1∶x 2＝5∶11C ．v 1∶v 2＝1∶D ．v 1∶v 2＝∶4． 我国探月工程“绕、落、回”三步走，嫦娥五号探测器成功实现了月球表面采样返回的任务，把“可上九天揽月”的科学畅想变成了现实。
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华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数 学 2021.02本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分 选择题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}02M x x =∈≤≤R ，{}11N x x =∈-<<R ，则MN =（**）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<C ．{}12x x <≤D ．{}12x x -<≤2．复数2021i 3iz =+在复平面内对应的点位于（**）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3．已知直线l ，m 和平面α，且l α⊥，则l m ⊥是mα的（**）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成5组，并得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从[)55,60， [)60,65， []65,70这三个区间中随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，则这三人中恰有两人体重位于区间[)55,60的概率是（**）A ．815B ．920 C ．35D ．910第4题图5．已知,a b 是两个夹角为π3的单位向量，则kb a -的最小值为（**） A ．14 B ．12 C ．34D ．326．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离()()222212L R h R R h R =+-++-22112222Rh h Rh h =+++（如图），其中1h 为雷达天线架设高度，2h 为探测目标高度，R 为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R 等效取8490km ，故R 远大于12,h h ．假设某探测目标高度为25m ，为保护航母的安全，须在直视距离390km 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为．．（**） （参考数据：28.49 4.12⨯≈） A ．6400mB ．7200mC ．8100mD ． 10000m7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，M 为线段PF 的中点，MQ 垂直y 轴于点Q ，若直线QF 的倾斜角为α，π(,π)2α∈，则直线PF 的倾斜角为（**）A ．αB ．2αC ．πα-D ． 2πα-8．已知点,,A B C 是函数π2sin(),03y x ωω=+>的图象和函数π2sin(),06y x ωω=->图象的连续三个交点，若ABC ∆是锐角三角形，则ω的取值范围为（**） A ．π(,)2+∞ B ．π(,)4+∞C ．π(0,)2D ． π(0,)4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，全部选对得5分，对而不全得2分，只要有一项选错，即得0分．9．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 满足()()2f x f x +=，()()2f x f x -=，且[]0,1x ∈时，()21f x x =+，则下列说法中，正确的是（**）A ．2是()f x 的周期B ．1x =-不是()f x 图象的对称轴C ．()2021=2fD ．方程()12=f x x 只有4个实根 第6题图10．已知实数0,0, 1a b a b >>+=，则下列说法中，正确的是（**）A ．114a b+≤ B ． 22a b +≥C ．22log log 1a b ⋅≤ D ．存在,a b ，使得直线1ax by +=与圆224x y +=相切 11．点C ，D 是平面α内的两个定点，=2CD ，点A B ，在平面α的同一侧，且2=4AC BC =．若,AC BC 与平面α所成的角分别为5ππ,124，则下列关于四面体ABCD 的说法中，正确的是（**）A ．点A 在空间中的运动轨迹是一个圆B ．ABC ∆面积的最小值为2C ．四面体ABCD 体积的最大值为D ．当四面体ABCD 的体积达最大时，其外接球的表面积为20π 12．已知函数sin cos ()ee xx f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（**）A. ()f x 在π(0,)2是增函数 B. π()4f x +是奇函数 C. ()f x 在(0,π)上有两个极值点 D. 设()()f x g x x =，则满足1(π)(π)44n n g g +>的正整数n 的最小值是2 第二部分 非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+ ，根据最小二乘法计算可得ˆ=7b ，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为__**___万元． 14．2421(2)x x+-的展开式中，2x 的系数是__**___． 15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，P 为双曲线上一点，1PF 与双曲线C 的渐近线平行，且1PO F O =，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的离心率=e __**___． 16．已知数列{}n a 的前n 项和2433=n n S a n +-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__**__， 则1n na a +的最大值为__**___．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 满足11a =，11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，等比数列{}n b 满足：2123,a b b b =-=8a ．（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）设1211nn n n b b b T a a a -=+++，求n T ．18．（本小题满分12分）已知函数()πsin(),(,0)6f x A x A ωω=+>只能同时满足以下三个条件中的两个．① 函数()f x 的最大值是2；② 函数()f x 的图象可由函数()22cos 2sin cos sin 2222x x x xf x =+-左右平移得到； ③ 函数()f x 的对称中心与()f x 的对称轴之间的最短距离是π4； （1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数()y f x =的单调递增区间； （2）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()1f B =， 点D 为BC 的中点，且AD b ，求sin sin BACC∠的值．19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，1122PA PC ==，1111A B B C =123PB ==，114A C =. （1）求证：PO ⊥平面111A B C ；（2）求二面角111B PA C --的余弦值． 20．（本小题满分12分）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料． 现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格品数不超过1个，则认为该批原料合格，予以接收．方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验．若都合格，则予以接收；若样本中不合格品数超过1个，则拒收；若样本中不合格品数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批抽样全部合格，才予以接收．假设拟购进的这批原料，合格率为p （01p <<），并用p 作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品的所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担． （1）若2=3p ，记方案二中所需的检验费用为随机变量X ，求X 的分布列； （2）分别计算两种方案中，这批原料通过检验的概率．如果你是原料供应商，你希望该工厂的质检部门采取哪种抽样检验方案？ 并说明理由． 21．（本小题满分12分）已知离心率为1222:2 (0)C y px p =>有相同的焦点F ，且抛物线经过点(1,2)P ，O 是坐标原点． （1）求椭圆和抛物线的标准方程；（2）已知直线l ：x ty m =+与抛物线交于A,B 两点，与椭圆交于C,D 两点，若ΔABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，求ΔOCD 面积的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数2()(1)(1)ln , 22x f x a x a x a =--+->．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()(1)f m f =且1m ≠，证明：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-；（3）记方程243ln 42x x x -+=-的三个实根为123,,x x x ，若1x <2x <3x ，证明：32x x -<．华附、省实、广雅、深中2021届高三四校联考数 学 参 考 答 案一、单项选择题：1-4：BABB 5-8: DCDA第8题提示：将π)3y x ω=+变形为π)6y x ω=-，然后研究图象即可.二、多项选择题：9、AC 10、BC 11、ABD 12、ABD 第10题C 选项解析：2222log log log log (1)a b a a ⋅=⋅- 令222ln ln(1)()log log (1),01(ln 2)=x x f x x x x ⋅-=⋅-<<， 因为()(1)f x f x =-，故()f x 关于12x =对称，故只需研究10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的情况即可. 2(1)ln(1)ln ()(ln 2)(1)x x x xf x x x ---'=-. 令()(1)ln(1)ln g x x x x x =---， 则2()ln()2g x x x '=---. 易知()g x '在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减.因为221()ln(1)20g e e '=--+>，1()2ln 2202g '=-<，所以存在0211,2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0g x '=，且()00,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，012x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，()g x 单调递减.因为0x →时，()0g x →，且1()02g =，故102x ⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，，()0g x ≥.所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '≥，()f x 单调递增， 所以1()()12f x f ≤=.第12题提示：sin cos ()ecos e sin xx f x x x '=+，显然π2x =不是极值点.当ππ(0,)(,π)22x ∈时，π)cos 4()ecos tan )x xf x x x -'=+.绘制函数π)4y=tan x x --与的草图可知，此时()0f x '=仅有一个根0x ，且0ππ2x <<. 故C 选项错误.由上述分析可知0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，0(,π)x x ∈时，函数()f x 单调递减. 当1n =时，ππ()0, ()e 142f f ==-，显然ππ() ()42g g <.当2n =时，π3π()e 1, ()e24f f =-=- ()()f x g x x=的几何意义为点(,())x f x 与坐标原点连线的斜率. 因为33ππ=422⨯，故只需比较3π3π() ()224f f 与的大小即可.3π3π31() ()=(e 1)e1.5 1.7(e )02242ef f ---->⨯-->. 故D 正确.三、填空题： 13、85 14、56- 1516、(2)1n-+； 75-17．解：（1）∵{}n a 各项为正，且11,(2)n n n n a a a a n ---=≥，∴1111,(2)n n n a a --=≥. ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差1d =，首项11=1a 的等差数列. ………………2分 ∴1n n a =，则1n a n=. ………………3分 设等比数列{}n b 的公比为q ，则2123111, ()28b b b b q q =-=-=. 故21=4q q -，解得1=2q . 故1112n n n b b q -==. ………………5分 （2）122311121= (2222)n n n n n b b b n n n T a a a ---=+++++++. ① 211212= (222)n n n n T n ---++++. ② ………………6分 ②—①：23111111 (2)2222n n n T n -=-+++++（）. ………………8分 11(1)12211212n n n n -=-=-+-. ………………10分 18．解：（1）函数()f x 只能同时满足①③ . ………………2分由①知=2A ，由③知12ππ444T ω=⨯=,则2ω=. 故()π2sin(2)6f x x =+. ………………4分由πππ2π22π+262k x k -≤+≤,Z k ∈解得ππππ+36k x k -≤≤，Z k ∈. 所以()y f x =的单调递增区间为ππππ+36k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈. ………………6分（2）()π11sin(2)62f B B =⇒+=.∵ππ13π(0,π)2(,)666B B ∈⇒+∈. ∴π5ππ2= =.663B B +， ………………8分（此处若未结合角B 的范围，直接写出B 的值，扣1分.） 法一：作线段CD 的中点E ,因为ADAC ，故AE CD ．因为πcos =3BEAB， 即312==423a a c c ⇒. ………………10分由正弦定理知sin 2==.sin 3BAC a C c ∠ ………………12分法二：分别在,ABD ABC ∆∆中对角B 运用余弦定理，可得边长a,c 的关系，略. 19．（1）证明：连接1OB .∵11PA PC =, O 为11A C 的中点, ∴11.PO AC ⊥ ∵1114,22AC PA ==, ∴22112PO PA OA =-=. ………2分∵1111A B B C =, O 为11A C 的中点, ∴111.OB A C ⊥ ∵11123,2A B AO ==, ∴22111122OB A B OA =-=. ………4分22211123,=PB PB OB OP =+故, 1PO OB ∴⊥.∵11111,.PO AC AC OB O ⊥= ∴PO ⊥平面111A B C . ………6分（2）以O 为坐标原点，11OB OC OP ，，所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则1(22,0,0)B , 1(0,2,0)A -, (0,0,2)P .则11(22,2,0)A B =, 1(0,2,2)A P =. ………7分 设平面11PA B 的法向量1(,,)n x y z =，zyx则111110202200n A B y y z n A P ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩.令1x y z ===，则则1(1,n =. ………9分易证1OB ⊥平面11PA C ,故取平面11PA C 的法向量2(1,0,0)n =. ………10分1212125cos ,5n n n n n n ⋅<>==⋅因为二面角111B PA C --的平面角θ为锐角，所以cos 5θ=………12分20．解：（1）X 可能的取值为50,100． ………………1分4151280(X 100)33243P C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,(X 50)P ==801631243243-=, ………………3分 故X 243243 (4)分（2）方案一通过检验的概率为10199110(1)(109)P pC p p p p =+-=-. ………………6分 方案二通过检验的概率为51455425(1)15(1)P p C p p p p p p ⎡⎤=+-⋅=+-⎣⎦………………8分54412(109)15(1)P P p p p p p ⎡⎤-=----⎣⎦，其中01p <<.令4454()(109)15(1)45p 1f p p p p p p =----=-+-，则433()202020(1)0f p p p p p '=-+=->. ………………10分 故()f p 在(0,1)p ∈上单调递增，()(1)0f p f <=.故12.P P <原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高．………………12分 21．解：（1）由题：422p p =⇒=，故抛物线2C 的方程为24y x =．………………1分 抛物线2C 的焦点为(1,0)F ，故221a b -=.又因为椭圆离心率为12，即112a =.解得=2, a b∴椭圆1C 的方程为 ………………3分 （2）因为ΔABP 的内切圆圆心始终在直线PF 上，即PF 平分APB ∠.设直线, PA PB 的斜率分别为12,k k ．因为PF 垂直于x 轴，故12=0.k k + ………………4分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222=011y y x x --+--. ∵221122=4=4y x y x ，， ∴1244=022y y +++，即12=4y y +-. ………………5分 ∴12121241AB y y k x x y y -===--+，即=1t -. ………………6分将直线x y m =-+与24y x =联立，可得2440y m y +-=，由题16(1=)0m ∆+>，故 1.m >- ………………7分将直线x y m =-+联立，可得22637120y my m -+-=， 由题248(7)0=m ->∆，故………………8分设3344(,),(,)C x y D x y ，则234346312, .77m m y y y y -+==则CD =………………9分 坐标原点O 到直线l的距离为d =，故ΔOCD的面积12S CD d =⋅==.………………10分∵1m -<<，∴207m ≤<．故当27=2m时，max 72S = ………………12分22．解：（1）1(1)(1)()a x x a f x x a x x---+'=-+=，0x > ……………1分∵ 2a > ∴11a ->∴()0f x '>⇒ 1x a >-或01x <<，()0f x '<⇒ 11x a <<-.∴()f x 的单调递增区间为(0,1),(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a -. ……………3分（2）令()ln 1h x x x =-+，则1()x h x x-'=. ()001h x x '>⇒<<. 故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减.故()(1)0h x h ≤=，即ln 1x x ≤-. ……………4分 欲证：(1,)x m ∀∈，(1)ln 1a x x ->-，即证：(1,)x m ∀∈，11ln x a x-->. 令1(), 1ln x g x x m x -=<<，则21ln 1()(ln )x x g x x -+'=.因为ln 1x x ≤-，故1ln 10x x-+≥.所以()0g x '>，()g x 在(1,)m 上单调递增. ∴1()()ln m g x g m m -<=. 故欲证(1,)x m ∀∈，11ln x a x -->，只需证11ln m a m -->. ……………6分∵()(1)f m f =， ∴21(1)(1)ln 22m a m a m --+-=，即2(1)(1)(1ln )2m a m m -=--- 因为ln 1m m <-，故1ln 0m m -->. 故等价于证明：1ln 21m m m ->+. ……………7分 令2(1)()ln ,11x H x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x H x x x -'=>+，()H x 在(1,)+∞上单调递增. 故()(1)=0H x H >．即2(1)ln 1x x x ->+. 从而结论得证. ……………8分 （3）法一：令4a =，则2()4(1)3ln .2x f x x x =--+ 由（1）可知，()f x 在(0,1),(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减.由题易知.242114()20e 2e e f =--<，17(1)0(3)3ln3022f f =>=-<，， 故101x <<<23x <<3x .因为21(e )2f >，故存在1m '>，使得1()(1)=2f m f '=，由（2）可知(1,)x m '∀∈，3ln 1x x >-，故(1,)x m '∀∈，22()4(1)1=3 3.22x x f x x x x >--+--+ ……………10分 令2()=332x F x x -+，则(1,)x m '∀∈，()().f x F x > 易知()F x 在(,3)-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增.记()F x 的两个零点为,p q ，易知13p q m '<<<<.故2()()()f p F p f x >=，3()()()f q F q f x >=因为()f x 在(1,3)上单调递减，在(3,)+∞上单调递增.所以2p x <，3q x >，所以32x x q p -<- ……………12分 法二：（切线放缩）略解.令4a =，则2()4(1)3ln .2x f x x x =--+ 研究函数()f x 在点(2,(2))A f 处的切线11:3ln 212xl y =-+-以及在点(4,(4))B f 处的切线223:6ln 274x l y =+-,然后证明当1x >时，()3ln 212x f x ≥-+-以及3()6ln 274x f x ≥+-. 切线1l 与x 轴的交点为(6ln 22, 0)-；切线2l 与x 轴的交点为28(8ln 2, 0)3-，故3228348ln 2(6ln 22)14ln 2 1.633x x -<---=-≈<。