数值分析复习要点201312
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条件数 cond( A)p || A1 ||p|| A ||p ,
p F,1, 2,
谱条件数
cond( A)2 || A1 ||2|| A ||2
max ( AT A) min ( AT A)
1 n
A对称时，
cond( A)2
||
A1
||2||
A
||2
| |
( A) |max ( A) |min
一. 基本概念
绝对误差,相对误差,有效数字,数值稳定性等. 1、设x和y的相对误差为0.001，则x*y的相对误差约为
____________.
绝对误差,相对误差,有效数字,数值稳定性等.
3、递推公式
Βιβλιοθήκη Baidu
y0
2
，
yn 10 yn1 1, n 1, 2, ...
如果取y0 2 1.41作计算，则计算到y10时， 误差为_______；这个计算公式数值稳定不稳定？
变换法, 对A作正交分解A QR.
Lj , 其中li, j
xi xj
,
i j 1, j 2,...n
LU分解
习题 : 1.设x (2,1, 1, 3)T ,求一Gauss变换阵L,
使Lx (2, 0, 0, 0)T .
2.已知矩阵
1 2 3
A
2
6
2
,
3 1 5
对矩阵A作三角分解,即A LU .
三. Householder变换
1
(
b
|
f
( x)
g(x) |p
dx) p
a
p 1, 2, ,
p2627
习题 :
3 2
1.已知矩阵A
2
3
1 0
(1) A的谱半径( A),
1 0 , 试计算 3
(2) A的谱条件数cond ( A)2, (3) A的奇异值
2.已知向量x (1, 4, 3, 0)T , y (3, 6,1, 2)T ,
Householder变换阵 H I 2wwT ,其中|| w ||2 1
定理 : 设n维向量x, y, x y, 但 || x ||2 || y ||2 , u x y, 则存在Householder变换阵 H I 2wwT , w u ,
|| u ||2 使Hx y.
习题
1.已知向量x (2, 0, 2,1)T , 试构造Householder阵H
n
A
1
max 1 jn
i 1
aij
②矩阵A的 范数(又称为A的行范数)
n
A
max
1i n
j 1
aij
③矩阵A的2 范数(又称为A的谱范数)
A 2
max ( AT A) 1
其中max ( AT A)表示( AT A)的最大特征值,
1为A的最大奇异值.
谱半径 ( A) | ( A) |max
xk2 xl2 r
yk cxk sxl r xk2 xl2 ,
yl 0
y J(k,l)x
=
x1, ..., xk-1, r, xk+1, ..., xl-1, 0, xl+1, ..., xn
T
.
A (aij ) ， B AJ T (k, l) (bij ) ，则有：
bbiikl
caik sail , saik cail ,
bij aij ,
1i n 1i n j k,l
设 A (aij ) ， B J (k,l) A (bij ) ，便有：
bkj cakj salj , blj sakj calj , bij aij ,
1 j n 1 j n i, j k,l
使Hx ke3,其中e3 0, 0,1, 0T , k R.
2.已知向量x (1, 2,1, 2)T , 试构造Householder阵H
使Hx (1, 2, 0, 0)T .
3.已知向量x (1, 2, 2)T , y (0,3, 4)T , 试构造一个 Householder阵H使Hx ky，k R。给出k值和 变换阵H .
距离概念
向量空间的距离
n
1
（x, y) || x y ||p ( | xi yi |p ) p
i 1
矩阵空间的距离
( A, B) || A B ||p p 1, 2, , F
p 1, 2, , p25
连续函数空间的距离
( f ( x), g( x)) || f ( x) g( x) ||p
数值分析复习要点
一. 基本概念
二. Gauss变换与矩阵的三角分解 三. Householder变换 四. Givens变换 五.矩阵的正交分解 六.正交相似化简 七.解线性方程组Ax=b的直接法和迭代法 八. 构造正交多项式
九. 连续函数的最佳平方逼近 十. 离散数据的最小二乘曲线拟合 十一. 函数插值 十二. 数值积分 十三. 数值微分 十四.非线性方程的数值解法 十五. 常微分方程的数值解法 十六.数值计算的基本思想 十七.读程序 ,写程序
四. Givens变换
定义4-1 n阶方阵
1
1
cos
1
J(k,l, )
sin
称为Givens变换阵。
sin
1
cos
1
k
l
1 (l k)
构造Givens变换阵J(k, l)，使y J(k, l)x的第l个 分量为零.
c cos xk xk , s sin xl xl
xk2 xl2 r
五.矩阵的正交分解
(1)Schmidt正交化法
(2) Householder变换法
习题 :
(3) Givens变换法
1 2
1.设矩阵A
2
1
,
用Schmidt正交化方法,
1 2
对A作正交分解A QR.
2 1 7
2.设矩阵A
0
3
10
,
用Householder变换法或Givens
0 4 5
求x, y之间的距离( x, y).
返回
二. Gauss变换与矩阵的三角分解
Gauss变换阵
1
1
Lj
l j1, j 1
ln, j
1
对x
T
x1,..., x j ,..., xn 0,
xj 0
构造Gauss变换阵G，使Gx
T
x1,..., x j , 0,..., 0
解:G
4、计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数 字可保证 y 的相对误差 < 0.1% ?
数值计算中应注意的问题
(1) 防止相近的两数相减 (2) 防止大数吃小数 (3) 防止接近零的数做除数 (4) 注意计算步骤的简化,减小运算次数
向量范数
矩阵范数 ①矩阵A的1 范数(又称为A的列范数)
p F,1, 2,
谱条件数
cond( A)2 || A1 ||2|| A ||2
max ( AT A) min ( AT A)
1 n
A对称时，
cond( A)2
||
A1
||2||
A
||2
| |
( A) |max ( A) |min
一. 基本概念
绝对误差,相对误差,有效数字,数值稳定性等. 1、设x和y的相对误差为0.001，则x*y的相对误差约为
____________.
绝对误差,相对误差,有效数字,数值稳定性等.
3、递推公式
Βιβλιοθήκη Baidu
y0
2
，
yn 10 yn1 1, n 1, 2, ...
如果取y0 2 1.41作计算，则计算到y10时， 误差为_______；这个计算公式数值稳定不稳定？
变换法, 对A作正交分解A QR.
Lj , 其中li, j
xi xj
,
i j 1, j 2,...n
LU分解
习题 : 1.设x (2,1, 1, 3)T ,求一Gauss变换阵L,
使Lx (2, 0, 0, 0)T .
2.已知矩阵
1 2 3
A
2
6
2
,
3 1 5
对矩阵A作三角分解,即A LU .
三. Householder变换
1
(
b
|
f
( x)
g(x) |p
dx) p
a
p 1, 2, ,
p2627
习题 :
3 2
1.已知矩阵A
2
3
1 0
(1) A的谱半径( A),
1 0 , 试计算 3
(2) A的谱条件数cond ( A)2, (3) A的奇异值
2.已知向量x (1, 4, 3, 0)T , y (3, 6,1, 2)T ,
Householder变换阵 H I 2wwT ,其中|| w ||2 1
定理 : 设n维向量x, y, x y, 但 || x ||2 || y ||2 , u x y, 则存在Householder变换阵 H I 2wwT , w u ,
|| u ||2 使Hx y.
习题
1.已知向量x (2, 0, 2,1)T , 试构造Householder阵H
n
A
1
max 1 jn
i 1
aij
②矩阵A的 范数(又称为A的行范数)
n
A
max
1i n
j 1
aij
③矩阵A的2 范数(又称为A的谱范数)
A 2
max ( AT A) 1
其中max ( AT A)表示( AT A)的最大特征值,
1为A的最大奇异值.
谱半径 ( A) | ( A) |max
xk2 xl2 r
yk cxk sxl r xk2 xl2 ,
yl 0
y J(k,l)x
=
x1, ..., xk-1, r, xk+1, ..., xl-1, 0, xl+1, ..., xn
T
.
A (aij ) ， B AJ T (k, l) (bij ) ，则有：
bbiikl
caik sail , saik cail ,
bij aij ,
1i n 1i n j k,l
设 A (aij ) ， B J (k,l) A (bij ) ，便有：
bkj cakj salj , blj sakj calj , bij aij ,
1 j n 1 j n i, j k,l
使Hx ke3,其中e3 0, 0,1, 0T , k R.
2.已知向量x (1, 2,1, 2)T , 试构造Householder阵H
使Hx (1, 2, 0, 0)T .
3.已知向量x (1, 2, 2)T , y (0,3, 4)T , 试构造一个 Householder阵H使Hx ky，k R。给出k值和 变换阵H .
距离概念
向量空间的距离
n
1
（x, y) || x y ||p ( | xi yi |p ) p
i 1
矩阵空间的距离
( A, B) || A B ||p p 1, 2, , F
p 1, 2, , p25
连续函数空间的距离
( f ( x), g( x)) || f ( x) g( x) ||p
数值分析复习要点
一. 基本概念
二. Gauss变换与矩阵的三角分解 三. Householder变换 四. Givens变换 五.矩阵的正交分解 六.正交相似化简 七.解线性方程组Ax=b的直接法和迭代法 八. 构造正交多项式
九. 连续函数的最佳平方逼近 十. 离散数据的最小二乘曲线拟合 十一. 函数插值 十二. 数值积分 十三. 数值微分 十四.非线性方程的数值解法 十五. 常微分方程的数值解法 十六.数值计算的基本思想 十七.读程序 ,写程序
四. Givens变换
定义4-1 n阶方阵
1
1
cos
1
J(k,l, )
sin
称为Givens变换阵。
sin
1
cos
1
k
l
1 (l k)
构造Givens变换阵J(k, l)，使y J(k, l)x的第l个 分量为零.
c cos xk xk , s sin xl xl
xk2 xl2 r
五.矩阵的正交分解
(1)Schmidt正交化法
(2) Householder变换法
习题 :
(3) Givens变换法
1 2
1.设矩阵A
2
1
,
用Schmidt正交化方法,
1 2
对A作正交分解A QR.
2 1 7
2.设矩阵A
0
3
10
,
用Householder变换法或Givens
0 4 5
求x, y之间的距离( x, y).
返回
二. Gauss变换与矩阵的三角分解
Gauss变换阵
1
1
Lj
l j1, j 1
ln, j
1
对x
T
x1,..., x j ,..., xn 0,
xj 0
构造Gauss变换阵G，使Gx
T
x1,..., x j , 0,..., 0
解:G
4、计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数 字可保证 y 的相对误差 < 0.1% ?
数值计算中应注意的问题
(1) 防止相近的两数相减 (2) 防止大数吃小数 (3) 防止接近零的数做除数 (4) 注意计算步骤的简化,减小运算次数
向量范数
矩阵范数 ①矩阵A的1 范数(又称为A的列范数)