复变函数的孤立奇点及其应用(小学期论文)
孤立奇点的类型及判断方1
孤立奇点的类型及其判定方法摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用.关键词: 可去奇点 极点 本质奇点1.引言复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便.2.孤立奇点的类型及判断方法 2.1孤立奇点的定义定义1 如果函数)(z f 在点a 的某一去心领域R a z a K <-<-||0:}{（即除去圆心a 的某圆）内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点.2.2 孤立奇点的类型和判断以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如a 为函数)(z f 的孤立奇点，则)(z f 的某去心领域{}K a -内可以展成洛朗级数)(z f =∑∞-∞=-n n na z c)(.我们称非负幂部分∑∞=-0)(n nna z c为)(z f 在点a 的正则部分，而称负幂∑∞=---1)(n nn a z c 为)(z f 在点a 的主要部分.实际上非负幂部分表示在点a 的领域:||K z a R -<内的解析函数，故函数)(z f 在点a 的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上.定义2如果)(z f 在点a 的主要部分为零，则称a 为)(z f 的可去奇点； 如果)(z f 在点a 的主要部分为有限多项，设为),0(,)()(11)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称a 为)(z f 的m 阶极点，一阶极点也称为单极点；如果)(z f 在点a 的主要部分为无限多项，则称a 为)(z f 的本质奇点；以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征.如果a 为函数)(z f 可去奇点，则有),0(,)()()(2210R a z a z c a z c c z f <-<+-+-+=上式等号右边表圆:||K z a R -<内的解析函数.如果命,0)(c a f =则)(z f 在圆K 内与一个解析函数重合，也就是说，我们将)(z f 在点a 的值加以适当定义，则点a 就是)(z f 的解析点.这就是我们称a 为)(z f 的可去奇点的由来.定理1 如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞.证明 充分性 因为a 为函数)(z f 可去奇点，则有)(z f =)0()()(2210R a z a z c a z c c <-<+-+-+ ，于是()()00lim z af z c c →=≠∞，必要性 ()()lim z af z b →=≠∞则对任给的0ε>，有δ0>，只要δ<-a z ,就有εη<-)(z f ，于是εη+<)(z f ，所以在点a 的某去心邻域{}K a -内)(z f 是以M 为界的，考虑)(z f 在点a 的主要部分+-++-+----nn a z c a z c a z )()(c 221,....)3,2,1()()(211=-=⎰Γ+--n d a f i c n n ξξξπ， 而Γ为全含于K 内的圆周ρρξ,=-a 可以充分小，n n n M M c ρπρρπ=≤+--2211，即知当1,2,n =时0n c -=，即是说)(z f 在点a 的主意部分为0，即a 为)(z f 的可去奇点.说明0=z 是sin zz的可去奇点，32sin 1()1,03!3!z z z z z z z =-+=-+<<∞，0sin lim1→=≠∞z zz.如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级数，称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个m 阶极点，表示洛朗展开式不是有m 个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是m 次数了.定理2 如果函数)(z f 以a 为孤立奇点，则点a 是函数)(z f 的m 阶极点充要条件是下面两个条件中任意一条.① 在点a 的某一去心领域内能表成)(z f =ma z z ）-()(λ其中()z λ在点a 领域内解析，且0)(≠a λ；② )(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点（极点与零点的关系）. 证明 充分性 点a 是函数)(z f 的m 阶极点，则在点a 的某去心邻域内有+-++-++-+-=-----)()()()(1011)1(a z c c az c a z c a z c z f m m m mmmm m a z z a z a z c c )()()()()1(-=-+-+=---λ，其中)(z λ显然在点a 的邻域内解析，且.0)(≠=-m c a λ所以在点a 的某去心邻域内有)()()(1)(z a z z f z g mλ-==，其中)(1z λ在点a 的某邻域内解析，且0)(1≠z λ，因此点a 位)(z g 的可去奇点，只要令()0g z =，a 就为)(z g 的m 阶零点.必要性 如果)(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点，则在点a 的某邻域 )()()(z a z z g m ϕ-=，其中)(z ϕ在此邻域内解析，且0)(≠z ϕ，所以)(1)(1)(z a z z f mϕ⋅-=在此邻域内)(1z λ解析，在此邻域内命+-+=---)()(1)1(a z c c z m m ϕ， 则)(z f 在点a 的主要部分就是(1)111,(0),()()()m mm m m c c c c z a z a z a a ϕ------+++=≠--- 所以点a 是函数)(z f 的m 阶极点.在充分性中已经证明条件①可以推导出条件②，所以条件①可以推导出点a 是函数)(z f 的m 阶极点.定理3 函数)(z f 的孤立奇点a 为极点的充要条件是lim()z af z →=∞.证明 函数)(z f 以点a 为极点的充要条件是)(1z f 以点a 为零点（定理2），由此知定理为真.因此，若点a 为函数)(z f 的m 阶零点时，则点a 为函数1()f z 的m 阶极点；若点a 为函数)(z f 的m 阶极点，则点a 为函数1()f z 的m 阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件. 例如 函数21()z e f z z-=，0z =不是函数)(z f 的二阶极点，因为 231211()(),2!3!2!3!z z zf z z z z -=+++=+++所以，0z =是函数)(z f 的一阶极点.定理4 函数)(z f 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是lim ()z af z →不存在. 这个可以由定理1和定理3得到证明.定理5若z a =为函数)(z f 的本质奇点，且在点a 的充分小的去心邻域内部不为零，则z a =必为)(1z f 的本质奇点. 证明：令)(1)(z f z =ϕ，有假设得z a =必为)(z ϕ的孤立奇点.若点a 为)(z ϕ的可去奇点，则点a 必为)(z f 的可去奇点或者极点，与假设矛盾；若点a 为)(z ϕ的极点，则点a 必为)(z f 的零点，与假设矛盾，故z a =必为)(z ϕ的本质奇点.2.3在∞点的孤立奇点定义3设函数)(z f 在无穷远点（去心）领域{}:||K z -∞+∞>内解析，则称点∞为)(z f 的一个孤立奇点.如果点∞为)(z f 的一个孤立奇点，令1t z =,1()()()g t f f z t==则函数()g t 某去心领域{0}:0||K t R -<<内解析，0t =就为()g t 之一孤立奇点.于是得到下面结论:（1）在对应点z 与t 上，函数)(z f 与()g t 的值相等； （2）0lim ()lim ()z t f z g t →∞→=,或两个极限都不存在.定义4 若0t =为()g t 的可去奇点，m 阶极点或本质极点，则我们相应的称z =∞为)(z f 的可去奇点，m 阶极点或本质极点.定理6 如果z =∞是函数)(z f 的可去奇点的充要条件lim ()z f z b →∞=≠∞；如果z =∞是函数)(z f 的m 阶极点的充要条件)(z f 在z =∞的某去心领域{}K -∞内能表成()()m f z z h z =其中()h z z =∞在)(z u 的领域K 内解析，且()0h z ≠或者1()()h z z f z ==∞以为m 阶零点或者lim ()z f z →∞=∞；函数)(z f 的孤立奇点∞为本质奇点的充要条件不存在lim ()z f z →∞.证明 令1t z =，1()()()g t f f z t==，再根据定理1,2,3,4可证. 综上所述①如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞；②如果a 为函数)(z f 极点充要条件lim()z af z →=∞；③如果a 为函数)(z f 本质奇点充要条件lim ()z af z →不存在.3.复变函数中的应用定理7 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的可去奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点；当()0f a ≠，()0g a ≠时，则z a =函数)()(z f z g ，)()(z g z f 的可去奇点. 证明 因为点z a =为)(z g 的可去奇点，所以lim ()z ag z b →=（有限复数）由)(z f 在点z a=解析知)(z f 在点z a =必连续，从而lim()()z af z f a →=，于是[]lim ()()()z af zg z f z b →±=±（有限复数），lim ()()()z af zg z bf z →=（有限复数），所以点z a =也为)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点.因为z a =是函数)(z g 的可去奇点，则lim ()z ag z b →=(有限数)，函数)(z f 在点z a =解析，所以lim()()z af z f a →=，因为()0f a ≠,所以()lim ()()z ag z bf z f z →=（有限数）所以点z a=是函数)()(z f z g 的可去奇点.同理可证点z a =是函数)()(z g z f 的可去奇点. 定理8 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的m 阶极点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的m 阶极点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数的)()(z g z f ，)()(z f z g 的m 阶极点.证明：因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠a λ.于是()()()()()()m mz a f z z f z g z z a λ-±±=-,令)()()()(z z f a z z m λ±-=Φ则在点z a =解析，且0)()(≠±=Φa a λ所以点z a =也为)()(z g z f ±的m 阶极点.因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠z λ，于是()()()()()mf z z f zg z z a λ=-，这里)()()(z z f z λ=Φ在点z a =解析，且0)(≠Φa ，所以点z a =是函数)()(z g z f 的m 阶极点.同理可证点z a =是函数)()(z f z g 的m 阶极点. 定理9 若函数)(z f 在点z a =解析,点z a =为函数)(z g 的本质奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数)()(z g z f ，)()(z f z g 的本质奇点.证明 因为函数)(z f 在点z a =解析，所以()f z b =，点z a =为函数)(z g 的本质奇点 所以lim ()z ag z →不存在，假设lim[()()]lim ()z a z ag z f z g z b →→+=+存在，则lim ()(z ag z b c →+=有限数）或者∞； lim ()(z ag z c b →=-∞有限数）或者 矛盾，所以点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点.因为点z a =为函数)(z g 的本质奇点，所以lim ()z ag z →不存在；函数)(z f 在点z a =解析,且()0f a ≠，所以lim ()()z af z f a →=，假z a =不是函数)()(zg z f 的本质奇点，则lim ()()(z af zg z b →=∞有限数）或，lim[()()]lim (=()(z az af zg z bg z f a f a →→=∞）或）相矛盾， 所以z a =是函数)()(z g z f 的本质奇点.同理可证也是)()(z f z g 的本质奇点. 定理10 若)(z f 在点a 的某去心邻域内能表示成)()()(z g z h z f =，a 为()h z 的n 阶零点，为)(z g 的m 阶零点，当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a 为)(z f 的可去奇点.证明：0)()(,)()(,))(()(1111解析，且都不等于和z g z h a z g z g a z z h z h mn-=-=,于是，11()()()()n mh z z a f z g z --=，所以当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a为)(z f 的可去奇点.例1 判断()2z z z f z e+=∞=点函数的孤立奇点类型.解 令z 1=ξ则得ξξ211)1(+=e f ，记函数为)(ξϕ所以点0=ξ是此函数的解析点()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=''+-='++432112112214218)()21(2)(ξξξϕξξϕξξee所以e e e 12)0(,2)0(,)0(=''-='=ϕϕϕ，()() ++-=2621ξξξϕe ，()()+∞<<⎪⎭⎫⎝⎛++-=z z z e z f 26212 ，这里∞=z 是函数)(z f 的可去奇点. 例2 求下列函数奇点的类型 ⑴z z cos sin 1+ ⑵()321iz + ⑶z 2tan ； 解：⑴4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是原式的孤立奇点，41limsin cos z k z zππ→-=∞+，4ππ-=k z 是函数)(z f =z z cos sin +的一阶零点，所以4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是一阶极点.⑵()i z -±=122是孤立奇点，()i z -±=122是函数()32i z +的3阶零点，所以()i z -±=122是三阶极点. ⑶π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是孤立奇点，π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是函数z z 22sin cos 的2阶零点，所以π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是二阶极点.例3求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别.⑴226)1(1++z z z (2)21ze z+ (3)1111---z z ee (4)ztge1解：（1）令原式为)(z f ，则)(z f 是有理分式，显然0z =是单极点，当z i =±时，此时分子分母均为零，)1)(1(12426+-+=+z z z z ，))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=， 可见z i =±也是)(z f 的一阶极点.当z =∞时))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=，可见z =∞是)(z f 的一阶极点.（2）显然z i =±是)(z f 的一阶极点. 当z =∞时，令0z x =>211lim lim 0()x x x x f x e→∞→∞+==, ()()2110,lim lim x x x x z x x f x e-→∞→∞+=->==∞-,因此极限1lim()z f z →∞不存在（包括不为∞），所以，z =∞是)(1z f 的本性奇点，故z =∞是)(z f 的本质奇点.注：若lim ()z f z →∞不存在，则z =∞是)(z f 的本性奇点，这是显然的，否则若z =∞是可去奇点（正则点）或极点，则lim ()z f z →∞存在且有限，或lim ()z f z →∞=∞，矛盾.（3）显然k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是分母的零点，而分子仅有),0(10==k z 分子为零，所以k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是)(z f 的一阶极点. 当10==z z 时，令1,-==x y x z ，则()11lim lim 1yy x y ef x e ++→→==+∞-11lim ()lim 0,(),1pp x p ef x p y e -+--→→===--所以1lim ()z f z →不存在，故1=z 是)(z f 的本性奇点.又∞→k z （∞→k ），故z =∞不是孤立奇点.（4）由下列注知：函数ζe 仅有唯一的奇点∞=ζ，且它是本质奇点，于是令ztg1=ζ，则)(z f 仅为函数ζe 又由z 1cos =0知，当k z =π)12(2+k （0k =， ,1±）时，∞=ζ所以k z 是的)(z f 本质奇点.显然0z =是)(z f 的本质奇点.当z =∞时，若定义,01=∞则z =∞是)(z f 可去奇点.综上对孤立奇点的研究，要判断孤立奇点类型主要有2种方法：①根据主要部分，但有一些函数的洛朗展开式不容易求出；②函数的极限值，当极点时，无法判断极点的阶数.所以求函数的奇点类型一般方法先求函数在孤立奇点的极限值，如果我们求出的是极点，在根据极点和零点的关系求出极点的阶数.结束语本论文所论述的判定孤立奇点类型的方法只是为了判定孤立奇点的类型提供参考，在具体的判定孤立奇点类型时，可以根据函数的不同采用不同的判定方法判定孤立奇点类型.本文中的方法不一定是解题时最简便的判定孤立奇点的方法.参考文献[1]尹水仿，李寿贵，复变函数与积分变换[M],科学出版社，2009.[2]苏变萍，陈东立,复变函数与积分变换（第二版）[M], 高等教育出版社 ，2010. [3]陈宗煊，孙道椿，刘名生, 复变函数[M],科学出版社 ，2010. [4]钟玉泉, 复变函数论（第三版）[M], 高等教育出版社， 2004. [5]沈燮昌, 复变函数论基础[M], 上海科学技术出版社,1982. [6]庄圻泰, 复变函数[M], 北京大学出版社， 1984. [7]冯复科，复变函数与积分变换[M]，科学出版社,2008.[8]Brown, James Ward., Complex variables and applications[M], China Machine Press ， 2004.Types and Their Judgment of The Isolated SingularityAuthor ：Dong Zhaolin Supervisor: Wu DaiyongAbstract ：This article generalizes type and main determination way of the isolated singularity.Respectively studying function in finite number of points and infinite point of the isolated singularity, we get three to determine the method which are definition of law , limit law and poles and zeros relations act with isolated singularity type. This article describes relationship of new function which two functions and, difference, product, business receive with the original function in isolated singularity type. Combination of what the example describes the application of the three methods to determine the type of isolated singularity.Keywords: removable singularity extreme essential singularity。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点
复变函数有许多性质，其中一些比实变函数更加有趣，例如，复变函数的孤立奇点。
在数学中，孤立奇点是复数平面上某个点处的奇点，该点周围的一个充分小的半径范围内函数无定义。
孤立奇点可以被分类为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。
这些类型的定义如下：
1.可去奇点：如果一个函数在这个点处的极限是有限的，则该奇点为可去奇点。
孤立奇点的性质不止是一般奇点的性质。
对于孤立奇点，我们可以将整个函数拆分为主函数和解析部分。
主函数在孤立奇点处没有定义，而解析部分可以使用洛朗级数展开式表示。
这种展开式是一种类型的级数，可以帮助我们更好地理解和研究复变函数的行为。
当我们通过洛朗级数展开来研究孤立奇点时，我们发现级数中的常数项是解析部分。
这个解析部分没有奇点，可以扩展到整个复平面上，那么它就是整个函数的主函数。
这种展开式在很多数学和工程应用中都有很好的应用，例如电子电路和信号处理。
对孤立奇点的研究在数学和应用领域都有重要意义。
在数学研究中，这些奇点是理解多复变数函数的关键。
在物理学研究中，例如在量子力学中，对解析函数的研究也是重要的。
而在工程中，对展开式的应用则是帮助我们计算信号的傅立叶变换或者在电子电路中分析振荡器和滤波器的行为。
总结来说，复变函数中的孤立奇点是复杂数学的一个亮点。
它们有着很多有趣的性质和应用，对于研究多元函数和应用技术都有重要的意义。
因此，深入研究复变函数的孤立奇点，不仅只是一个数学课题，也是应用和工程领域探索的前沿。
复变函数小论文
复变函数小论文本学期我学习了复变函数，丰富了数学的见识。
从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。
复变函数是以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为在某些运算提供了帮助。
复数可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义。
虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些没有意义根式也变得有理可寻。
复数的集合复平面是一个二维平面，实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。
复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。
复变函数的极限与连续和实函数一样提到邻域的含义。
复函数是一元实变函数概念的推广，二者表述有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。
2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。
复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个要求，即对极限式要求是与路径和方式无关。
复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程直接关于t的积分。
复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。
通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。
复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。
王琪材料31 2130201019。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数中的孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，在这篇文章中，我们将对复变函数中的孤立奇点进行一次浅析。
我们需要了解什么是复变函数。
复变函数是指定义在复平面上的函数，它包含了实部和虚部两个变量。
通常表示为f(z)，其中z是复平面上的变量。
复变函数在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和数学分析等领域中。
在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
孤立奇点是指在函数定义域内具有特殊性质的点，它可能是函数的奇点或者极点。
奇点是指函数在该点处不可导，而极点是指函数在该点处具有无穷级数的发散性质。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点是指在该点处函数可以通过改变定义来使之变得连续，极点是指在该点处函数趋于无穷大，本质奇点是指在该点处函数无法通过局部解析式来表示。
在复变函数中，孤立奇点具有许多重要的性质和应用。
对于复变函数f(z)，如果f(z)在孤立奇点处全纯（即在该点的领域内可以展开为幂级数），那么其必为可去奇点。
这一性质为我们研究复变函数的奇点提供了一个很好的判断条件。
孤立奇点也与柯西定理密切相关。
柯西定理是复变函数理论中非常重要的一个定理，它表明了全纯函数沿闭合曲线的积分为零。
在柯西定理中，孤立奇点的存在对于积分路径和积分结果有着重要的影响。
孤立奇点也与洛朗级数展开相关。
洛朗级数是一种复变函数在孤立奇点处的展开形式，它由幂级数和Laurent级数组成。
洛朗级数展开为我们研究复变函数在孤立奇点处的性质提供了一个非常有力的工具。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要而又复杂的概念。
它具有丰富的性质和广泛的应用，对于理解复变函数的性质和行为有着重要的作用。
在实际问题中，对于复变函数的解析和计算都离不开对孤立奇点的研究和分析。
对于复变函数中的孤立奇点有一个深入的理解和掌握是非常有必要的。
复变函数中的孤立奇点理论
复变函数中的孤立奇点理论复变函数是数学中重要的一个分支，它研究的是定义在复数域上的函数。
复数域是由实数和虚数构成的数学集合，其中虚数单位i满足$i^2=-1$。
在复变函数中，孤立奇点是一个重要的概念，它在函数的定义域内是孤立的奇异点。
本文将深入探讨复变函数中的孤立奇点理论。
1. 孤立奇点的定义与分类在复变函数中，孤立奇点是指在某个开集内除去某一点后，函数在该点附近没有定义或者发散的点。
根据Laurent级数的理论，孤立奇点可以分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
1.1 可去奇点可去奇点是指在该点附近可以通过定义函数的方式使函数在该点连续。
在数学上，对于一个函数在孤立奇点的邻域内能定义一个解析函数，则称该孤立奇点为可去奇点。
1.2 极点极点是指在该点附近函数趋向于无穷大的奇点。
具体地说，如果一个函数在孤立奇点的邻域内的绝对值趋近于无穷大，则称该孤立奇点为极点。
1.3 本性奇点本性奇点是指函数在该点附近无法通过定义解析函数的方式使其连续的奇点。
在复变函数中，本性奇点附近函数具有无限多个奇异点。
2. 孤立奇点的性质与表示孤立奇点具有一些重要的性质和表示方法。
2.1 高斯-麦克劳林定理高斯-麦克劳林定理是关于复变函数在孤立奇点附近的展开定理。
它表明，如果函数在孤立奇点附近解析，并且在孤立奇点中心点的一个小圆盘内有定义，则该函数可以展开成Laurent级数。
2.2 孤立奇点处的留数在复变函数中，孤立奇点处的留数是描述孤立奇点附近函数特性的一个重要概念。
对于一个函数在孤立奇点处的留数，可以通过Laurent 级数展开式求得。
留数可以用于计算函数在孤立奇点附近的积分值等问题。
3. 孤立奇点理论的应用孤立奇点理论在实际问题中有广泛的应用。
3.1 物理学中的应用在物理学中，特别是量子力学中，复变函数中的孤立奇点理论有重要的应用。
例如，在计算物理系统的量子态密度时，通过计算系统的配分函数确定系统的状态分布。
3.2 工程领域的应用复变函数中的孤立奇点理论也在工程领域得到了应用。
复变函数论文(DOC)
复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。
由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。
文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。
关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。
1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。
例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指有两个实变量的函数，即z = x + iy，其中x,y为实数，i为虚数单位。
复变函数的定义域和值域都是复数域。
在复变函数中，孤立奇点是一个重要的概念。
孤立奇点是指在某个区域内，函数在该点附近没有定义，但在该点附近却存在有定义的点。
孤立奇点可以分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
可去奇点是指在该点附近函数存在有极限，但是该点处函数没有定义。
换句话说，如果将该点的函数值定义为它的极限值，那么函数在该点变得连续。
可去奇点通常是由于函数在该点附近的奇异行为被消除掉了，例如通过洛必达法则计算得到的极限。
可去奇点可以通过修正函数定义来消除，使函数在该点处得到定义。
极点是指在该点附近函数的绝对值趋于无穷大。
即函数在该点附近的值无界。
极点通常出现在分母为零的情况下，例如有理函数的分母为零时。
极点分为两类：一阶极点和高阶极点。
一阶极点也叫做简单极点，高阶极点也叫做多重极点。
极点的阶数是指函数在该点附近的奇异性质。
本性奇点是指在该点附近函数的行为非常复杂，无法通过有限次修正函数定义来消除。
本性奇点通常是由于函数在该点附近的奇异行为无法被任何方法消除掉。
本性奇点可能是由于函数的周期性或者随机性等特殊性质导致的。
孤立奇点在复变函数的分析中具有重要的作用。
孤立奇点可以影响函数的性质，例如函数的收敛性、连续性和可导性等。
孤立奇点的存在使得函数在该点附近的行为与其他点附近的行为有很大的差异，从而使得函数的特殊性质显现出来。
复变函数论中的孤立奇点分类理论回顾
复变函数论中的孤立奇点分类理论回顾复变函数论是数学中研究复数域上函数性质的一个分支，它研究的对象是复数域上的函数。
在复变函数论中，孤立奇点是一个重要的概念，而孤立奇点的分类理论则是研究孤立奇点性质的重要方法之一。
本文将回顾复变函数论中的孤立奇点分类理论，介绍其基本概念和方法。
一、孤立奇点的定义在复变函数论中，孤立奇点是指在某个点附近，函数在该点处发散或者不可微。
具体而言，给定一个复数域上的函数f(z)，如果存在一个复数a，使得f(z)在点a的某个去心邻域内定义且在该去心邻域内处处可微，则称复数a为函数f(z)的孤立奇点。
二、孤立奇点的分类复变函数的孤立奇点可分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
1. 可去奇点：如果在孤立奇点a的某个去心邻域内，函数f(z)可以通过去点填补的方式，使得f(z)在孤立奇点a处变得可微，即该奇点可以被除去，函数可在该点处定义，那么称该奇点为可去奇点。
2. 极点：如果在孤立奇点a的某个去心邻域内，函数f(z)在孤立奇点a处无界，但存在与孤立奇点a趋于无穷远的点b，使得f(z)在点b的某个去心邻域内有界，则称该奇点为极点。
3. 本性奇点：如果在孤立奇点a的某个去心邻域内，函数f(z)无界且无法通过放缩使之趋于一个有限常数，即无法进行填补或者找到与之相关的点使得函数有界，则称该奇点为本性奇点。
三、孤立奇点分类理论的应用孤立奇点分类理论在复变函数论的研究中具有重要的应用价值。
通过对复数域上的函数进行孤立奇点的分类，我们可以更好地理解函数在不同点的行为，分析函数的性质。
在实际问题中，孤立奇点分类理论可以帮助我们判断一个函数在某个点的奇异性质，从而对函数的极限、导数等进行分析。
通过对函数的孤立奇点进行分类，我们可以更好地研究函数的性质，得到函数的更准确的定义域、值域以及其他重要属性。
总结：复变函数论中的孤立奇点分类理论为我们研究复变函数的性质提供了重要的方法和理论基础。
通过对孤立奇点的分类，我们可以更好地分析函数的行为，判断函数的奇异性质，并且对函数的性质进行更深入的研究。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点孤立奇点是复变函数中的一种特殊情况，指的是某个点处的函数不连续且无法进行泰勒展开的点。
在实际应用中，孤立奇点经常出现在复函数的分母中，导致分母为零从而使得函数的值无法计算。
因此，了解孤立奇点及其性质对于理解复变函数的研究和应用至关重要。
首先，我们来看一个简单的例子：设$f(z)$为复变函数$\frac{1}{z}$。
此时，我们可以发现，当$z=0$时，函数$f$的值为无穷大，即$f$在$z=0$处有一个孤立奇点。
这是因为当$z$无限地接近于0时，分母会无限地接近于零，从而使得$f$的值趋向于无穷大或负无穷大。
因此，我们可以将孤立奇点定义为“使得函数无法在该点处连续的点”。
在复平面上，孤立奇点通常具有以下几个性质：1. 孤立奇点必须是函数的“独立点”。
也就是说，如果一个点是函数的“可去奇点”、“极限奇点”或“本性奇点”，那么它就不可能是孤立奇点。
2. 孤立奇点是函数的“聚点”。
也就是说，无论以任何方式接近孤立奇点，都必然会进入到“不可解析”的区域内。
3. 孤立奇点有限。
也就是说，一个复变函数的孤立奇点不能无限多。
有了这些性质，我们可以更好地理解孤立奇点的特性和行为。
例如，对于一个孤立奇点，我们可以通过求解$f$的洛朗级数来近似描述它附近的函数行为。
洛朗级数可以看做是泰勒级数在孤立奇点处的推广形式，是一种形如$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$的级数，其中$a_n$为常数，$z_0$为孤立奇点。
通过求解这个级数，我们可以得到$f$的近似值，并进一步研究其性质。
此外，我们还可以通过研究孤立奇点的类型来判断复变函数在该点附近的行为。
根据孤立奇点的定义，我们可以将其分为三类：可去奇点、极限奇点和本性奇点。
可去奇点指的是在该点附近可以重新定义函数使其连续的点；极限奇点指的是在该点附近函数的绝对值无限地增大或减小的点；本性奇点则是既非可去奇点也非极限奇点的孤立奇点，我们通常将这类点称为“真正的”孤立奇点。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义在复数域上的函数，与实数域上的函数不同，复变函数的值域也是复数域。
当一个复变函数在某一点处的值没有定义时，这个点就被称为该函数的奇点。
奇点按照其性质可以分为孤立奇点和本性奇点，本文将会着重讨论孤立奇点的性质及特征。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指函数在该点的邻域内不存在定义的情况下，该点对函数的解析延拓有着重要的作用。
换言之，孤立奇点是指在该点附近处于解析的函数，在该点却不连续或无定义。
孤立奇点可以分为可去奇点、极点和 essential 奇点三种不同类型，下面分别进行详细解释。
二、可去奇点可去奇点是指当函数在该点处可以解析扩张，即在该点有一个 Laurent 展开式的过程中，a-1 的系数为 0。
例如：函数 f(z)=-sinz/z，在 z=0 处可以解析扩张，因为该函数满足 Laurent 展开式，且 a-1=0，可以看做是在该点处的一个可去奇点。
在一些情况下，可去奇点可以视为函数在该点附近的一个极限。
也就是说，可去奇点并不会导致复变函数在在该点的解析性的丧失，而只是在该点的一个小区域内不连续，可以理解为函数在该点的极限。
三、极点极点是指在一些点附近，函数存在一个无限趋近于某一值的现象，而不是像可去奇点一样在该点处没有定义。
极点又可以分为一阶、二阶，三阶等不同阶次的极点。
四、essential 奇点本性奇点，或称 essential 奇点，是指不能通过解析扩张而消除的奇点，这表明在这些点附近，函数的行为非常难以预测。
比如，当函数 f(z)=exp(1/z) (其中 z=0)，我们无法使用 Laurent 展开式表示它，因此我们可以将这个点视为一个 essential 奇点。
五、总结可以看到，在复变函数中，孤立奇点被分为可去奇点、极点和 essential 奇点三种不同类型。
这些奇点在函数的解析延拓中起着重要的作用，通过对不同类型孤立奇点的认识及使用，可以在复杂且不可解释的情况下对函数进行更加深入的理解。
复变函数论中的孤立奇点分类理论回顾
复变函数论中的孤立奇点分类理论回顾复变函数论是数学中的重要分支之一，研究复数域上的函数性质。
在复变函数论中，孤立奇点分类理论是一个关键的概念，它提供了对于函数奇点性质的分类和理解。
本文将回顾复变函数论中的孤立奇点分类理论，并介绍其一些基本概念和重要结果。
一、孤立奇点的定义与分类在复变函数中，孤立奇点是指函数在某一点处的取值无定义或无穷大。
根据复变函数在孤立奇点附近的性质，可以将孤立奇点划分为三类：可去奇点、极点和本性奇点。
1. 可去奇点若复变函数在孤立奇点处的极限存在，则该孤立奇点称为可去奇点。
在可去奇点处，函数可以通过去除不连续点或者定义函数在该点处的值来拓展为连续函数。
2. 极点若复变函数在孤立奇点处的极限为无穷大，但是函数值趋近于某个复数，则该孤立奇点称为极点。
在极点处，函数的幅值趋近于无穷大，但相位角保持有定义。
3. 本性奇点若复变函数在孤立奇点处的极限不存在，则该孤立奇点称为本性奇点。
在本性奇点处，函数对于任何趋近路径的函数值无法收敛到特定的复数。
二、孤立奇点的分类理论孤立奇点分类理论是对复变函数论中孤立奇点性质的总结和描述。
其中最重要的结果是泰勒级数展开和洛朗级数展开。
1. 泰勒级数展开泰勒级数是复分析中的基本工具之一，它能够将函数在某一点的性质用无穷级数进行表示。
对于可去奇点和极点，函数可以通过泰勒级数展开来描述。
泰勒级数展开的形式如下：f(z) = Σ(an*(z-z0)^n, n=0 to ∞)其中，an是函数在z0处的n阶导数，(z-z0)^n表示函数在z0处的偏移量。
通过确定泰勒级数展开的收敛半径，可以判断可去奇点和极点的性质。
2. 洛朗级数展开洛朗级数展开是针对本性奇点的性质进行描述的重要工具。
洛朗级数展开的形式如下：f(z) = Σ(an*(z-z0)^n, n=-∞ to ∞)其中，an是函数在z0处的系数，n可以取正整数、负整数或零。
洛朗级数展开将函数分为主部（主要决定了函数在本性奇点附近的行为）和余部（来自于负整数次幂项的部分）。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义于复平面上的函数，即自变量和函数值都是复数。
与实变函数不同的是，复变函数的导数可以沿任意方向取值，因此具有许多特殊的性质。
其中最重要的特征之一就是奇点。
奇点是指函数在该点处没有定义或者是不连续的点，可以分为两类：可去奇点和孤立奇点。
本文将重点讨论孤立奇点，探讨其性质和在实际问题中的应用。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指复变函数在某一点处不解析的奇点。
通俗地讲，如果函数在某一点附近有定义，但在该点处没有定义，则该点就是该函数的孤立奇点。
例如，函数f(z)=1/z在z=0处就是其孤立奇点，因为它在z=0附近有定义，但在z=0处没有定义。
孤立奇点有三种分类方法：性质、类型和阶。
这里主要介绍性质和类型。
1、性质孤立奇点的性质取决于该点周围函数的行为。
根据函数的行为，孤立奇点可以分为以下三类：（3）本质奇点：如果函数在孤立奇点处的行为不能用有限阶极限描述，则该点为本质奇点。
例如，函数f(z)=exp(1/z)在z=0处的行为不能用有限阶极限描述，因此z=0是它的本质奇点。
本质奇点的特点是函数在该点附近不能被解析延拓为任何解析函数，任何方法都无法消除奇点。
2、类型（1）一阶孤立奇点：如果孤立奇点的极限存在，则其阶数为1阶。
例如，函数f(z)=(z-1)/((z-2)(z-3))在z=2处有一个一阶极点。
孤立奇点作为复变函数的重要特点，在实际问题中具有广泛的应用。
其中，最常见的应用是在物理和工程学科中。
例如，孤立奇点可以用于描述流体的天然涡旋或分离特性，还可以用于电磁场中的场分布计算，以及通信系统中的信号传输分析等。
此外，在数学中，孤立奇点还被用于研究解析延拓和拓扑，以及在复分析中的一些基础问题中。
总之，孤立奇点作为复变函数中的重要特征，是理解复分析基础理论中不可或缺的概念之一。
掌握孤立奇点的分类和性质对进一步的研究和应用都至关重要。
复变函数小论文
复变函数积分方法的教学思考数学与信息工程学院数学与应用数学专业王旭义1.引言复变函数是许多工科专业如自动化控制、交通工程、电子信息等必修的数学课程，学好复变函数可以为工科学生学习后续专业课程打下良好的数学基础.但是，由于课程内容抽象琐碎，学生学习这门课程有一定难度，容易失去学习兴趣.鉴于此，教师在教学过程中，如何帮助学生寻找合适的“窍门”，降低学习难度，激发学习兴趣，对学生学好复变函数非常重要.考虑到复变函数是高等数学的后续课程，学生对高等数学中实变量的函数积分非常熟悉，而纵观复变函数整个课程的内容，积分理论在大部分章节都占据了重要地位，并且它把许多经典内容如柯西—古萨定理、复合闭路定理、留数定理等有机地结合起来了，那么在复变函数的教学过程中，若把积分理论作为整个复变函数课程内容的一条线索，就会帮助学生理解得更加具体，从而提高学生学习的兴趣.本文集中讨论复变函数积分的常用理论和方法，并辅以适当的例题加深理解.根据积分路径的不同，复变函数积分大致可分为以下两类：沿非封闭曲线的积分和沿封闭曲线的积分.另外，本文还讨论了一个特殊情形的积分，即无穷限的广义积分.一、沿曲线C（非封闭）的积分f（z）dz当积分路径是非封闭的曲线时，可以用参数法和牛顿—莱布尼兹积分公式法.1.参数法路径是光滑的有向曲线C且可以表示成参数方程z=z（t），α≤t≤β，参数α、β分别对应C的起点和终点，则曲线积分可以用如下的公式计算：f（z）dz=f［z（t）］z′（t）dt.例1．计算zdz，其中C为从原点到1+3i的直线段.解：将C的方程写作z=（1+3i）t，0≤t≤1，则：zdz=（1+3i）td（1+3i）t=（1+3i）dt=-8+6i.2.线积分法如果f（z）=u（x，y）+iv（x，y）是连续函数，C是光滑曲线y=g（x），则f（z）dz 可以转变为两个二元实变函数的线积分，即：f（z）dz=udx-vdy+ivdx+udy.例2．计算积分（x+yi）dz，其中C为抛物线y=2x，0≤x≤1.解：u=x，v=y，则：（x+yi）dz=xdx-（2x）d（2x）+i（2x）dx+xd（2x）=（x-16x）dx+i（4x+4x）dx=-+i.3.牛顿—莱布尼兹积分公式法如果f（z）在单连通区域D内处处解析，G（z）为f（z）在区域D的一个原函数，z 与z是区域D内两点，则：f（z）dz=G（z）-G（z）.例3.沿区域Im（z）≥0，Re（z）≥0内的圆弧|z|=1计算积分dz的值.解：被积分函数在所给区域内处处解析，它的一个原函数为ln（z+1），则：dz=ln（z+1）|=［ln（1+i）-ln2］=--ln2+i.二、沿封闭曲线C的积分f（z）dz1.参数法如果积分路径是光滑的封闭曲线C且有参数方程z=z（θ），0≤θ≤2π，则曲线积分可以通过如下的公式计算：Cf（z）dz=f［z（θ）］z′（θ）dθ例4．计算C，其中C为以z为中心，r为半径的正向圆圈，n为整数.解：将C的方程写作z=z+re，0≤θ≤2π，代入积分式得：C=dθ=edθ=2πi，n=00，n≠0.2.利用柯西—古萨基本定理积分法如果f（z）在单连通区域B内处处解析，C是B的一条封闭曲线，则：Cf（z）dz=0.例5.计算积分Cdz，C：|z|=2.解：因为f（z）=在圆周|z|=2内处处解析，所以积分结果为0.3.利用高阶导数积分法如果f（z）是区域D上的解析函数，C是区域D内围绕z的一条正向简单封闭曲线，则：C=（n=1，2，…）例6.计算|z|=3dz解：|z|=3dz=（cosπz）［４］|=-.4.利用级数积分法若f（z）在圆环域B内处处解析，C是B内的一条封闭曲线，将f（z）展开成洛朗级数，f（z）=c（z-z），则：f（z）dz=c.例7.计算积分|z|=２dz解：f（z）=在1＜|z|＜+∞内解析，|z|=2在此区域内，则按洛朗级数展开有：f（z）=-=-（1+++…）（1+++…）=-1---…，则C=-2，所以|z|=２dz=2πi·（-2）=-4πi.5.利用留数积分法设函数f（z）在区域D内除有限个孤立奇点z，z，…，z外处处解析，C是D内包含这些奇点的一条封闭曲线，则Ｃf（z）dz=2πiRes［f（z），z］.例8.计算积分|z|=２解：被积函数f（z）=在区域|z|≤2的奇点是-i与1，所以|z|=２=2πi{Res［f（z），-i］+Res［f（z），1］}=-.注意：若函数f（z）在封闭曲线内的奇点个数较多，曲线外的奇点个数较少，则根据f （z）在扩充复平面上的所有奇点（包括∞）的留数的总和必为零这一结论可得：Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］（曲线外只有奇点∞）或Ｃf（z）dz=-2πi{Res［f（z），∞］+Res［f（z），z］}（z，z，…，z，∞为曲线外的奇点）.例9．计算积分|z|=２dz解：的奇点±1、±i在圆周|z|=2内，圆周外的奇点只有∞，则：Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］=2πiRe s［f（），，0］=2πiRes［，0］=0.总之，复变函数的积分理论是实变量函数积分理论的推广，但比实积分理论的内容要丰富和复杂得多.因而教师在讲授时应帮助学生理解复变函数积分理论与高等数学中积分理论的联系，同时又要强调二者的不同，这对学生掌握复变函数整个课程内容大有裨益.参考文献：［1］钟玉泉.复变函数论［M］.北京：高等教育出版社，2004.［2］陆庆乐.工程数学-复变函数（第四版）［M］.北京:高等教育出版社，1996.［3］王绵森.复变函数学习辅导与习题选解［M］.北京:高等教育出版社，2003.［4］王燕.复变函数积分的解法分析［J］.数学学习与研究，2009，12:90-91.［5］唐宝庆，杨润生，欧阳文等.对复变函数积分Ｃf（z）dz的计算在教学上的探讨［J］.数学理论与应用，2010，1（30）:120-122.。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义在复数域上的函数。
复变函数的研究涉及到很多复杂的概念和性质，其中之一就是孤立奇点。
孤立奇点就是复变函数在某个复数点处的奇点，即在该点附近函数的数值变化非常剧烈。
具体来说，如果一个函数在某个点处不解析且在该点的某个领域内解析，则该点就是孤立奇点。
孤立奇点可以分为三种类型：可去奇点、极点和本性奇点。
可去奇点是指在该点处函数虽然存在奇点，但可以通过定义一个新的函数来消除奇点。
也就是说，在可去奇点处函数可以定义为解析的。
极点是指在该点处函数在极限的意义下无穷大。
极点分为两种类型：一阶和多阶。
一阶极点是指在该点处的函数在趋近于极点时，极限是有限的。
多阶极点是指在该点处的函数在趋近于极点时，极限是无穷大的。
本性奇点是指在该点处函数在极限的意义下无定义，即在该点处不存在有限的极限。
本性奇点是最复杂的一种奇点，其性质非常多样化。
对于复变函数中的孤立奇点，我们可以通过级数展开来研究其性质。
根据洛朗级数定理，一个复变函数在其孤立奇点处可以展开为洛朗级数。
洛朗级数包含两个部分：主部和副部。
主部是无穷级数的主要部分，副部是无穷级数的次要部分。
对于可去奇点，主部为0，副部为有限项的级数。
对于一阶极点，主部为有限项的级数，副部为无穷项级数。
对于多阶极点，主部为无穷项级数，副部也为无穷项级数。
对于本性奇点，主部和副部都为无穷项级数。
通过洛朗级数的展开，可以更好地了解复变函数在孤立奇点附近的性质。
可以判断其奇点的类型，进而确定函数的解析性质。
复变函数中的孤立奇点是函数在某个点处的奇点，可以分为可去奇点、极点和本性奇点。
孤立奇点的性质可以通过洛朗级数展开来研究。
对于可去奇点、一阶极点和多阶极点，其展开式包含有限项和无穷项级数。
对于本性奇点，展开式全为无穷项级数。
解析函数的孤立奇点毕业论文
本科毕业论文学 院数学与信息科学学院 专 业信息与计算科学 年 级2011级 姓 名***论文题目解析函数的孤立奇点 指导教师 职称 讲 师2015年 月 日学号：目录摘要 (1)关键词 (1)A b s t r a c t (1)K e y w o r d s (1)前言 (1)1 解析函数的概念 (1)2 解析函数的洛朗展式 (2)2.1解析函数在孤立奇点邻域的洛朗展式 (2)3 解析函数的孤立奇点 (2)3.1孤立奇点的三种类型 (2)3.2 可去奇点 (3)3.3 极点 (5)3.4 本质奇点 (7)4 无穷远点是奇点的情形 (8)总结 (10)参考文献 (11)解析函数的孤立奇点学生:***学号:*****数学与信息科学学院 信息与计算科学专业 指导教师:书香 职称:讲师摘 要：本文介绍了解析函数的概念和解析函数在孤立奇点邻域的洛朗展式，以与解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点与无穷远点是奇点的情形．关键词：解析函数;洛朗展式;孤立奇点The isolated singularity of analytic functionAbstract ：W e will introduce the definition and Laurent exhibition type of analyticfunction and three types of the isolated singularity,that is , removable singularity ，the pole and essential singularity as well as the singularity at infinity in this paper ．Key words ： Analytic function ；Laurent exhibition type ；Isolated singularity前言在复变函数中，解析函数是复变函数论的主要研究对象，它是一类具有某种特性的可微函数．在本文中，首先简单的给出了解析函数和孤立奇点的定义，解析函数的洛朗展式，以与解析函数在孤立奇点邻域的洛朗展式．接下来，详细的介绍了解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点，并结合具体的列子来研究各类奇点的性质与特点．1解析函数的概念定义[]11.1假设函数()z f =ω在0z z =的邻域()0z S 上有定义，且在此邻域中函数()z f 处处有导数，那么称函数()z f =ω在0z z =处解析．假设函数()z f =ω在区域D 有定义，且在D 处处有导数，那么称函数()z f =ω在区域D 解析，或称()z f 是区域D 的解析函数．容易看出，函数()z f 在区域D 解析与函数()z f 在区域D 处处解析的说法是等价的．2解析函数的洛朗展式定理[]41.2〔洛朗定理〕 在圆环H ：()+∞≤≥<-<R r R a z r ,0解析的函数()z f 必可展成双边幂级数()()∑∞-∞=-=n nna z c z f ， 〔2.1〕其中()()ξξξπτd a f i c n ⎰-=21()⋅⋅⋅±=,1,0n ， 〔2.2〕 Γ为圆周()R r a <<=-ρρξ，并且展式是惟一的〔即()z f 与圆环H 惟一地决定了系数n c 〕．定义2.1 〔2.1〕称为函数在点的洛朗展式，〔2.2〕称为其洛朗系数，而〔2.1〕等号右边的级数那么称为洛朗级数．2.1 解析函数在孤立奇点邻域的洛朗展式定义 2.2 如果函数()z f 在点a 的某一去心邻域{}a K -：R a z <-<0〔即除去圆心a 的某圆〕解析，点a 是()z f 的奇点，那么称a 为()z f 的一个孤立奇点．注 因函数()z f 在{}a K -是单值的，故也称a 为()z f 的单值性孤立奇点；如遇到()z f 在{}a K -是多值的，那么称a 为()z f 的多值性孤立奇点，即支点〔由于在支点的邻域函数能由一支变到另一支，故函数在支点邻域缺少单值性．因而它以最简单的方式破坏了函数的解析性．因此支点也是函数的奇点〕．如无特别声明，提到孤立奇点总指单值性孤立奇点．当然，我们也会遇到非孤立奇点．如果a 为函数()z f 的一个孤立奇点，那么必存在正数R ，使得()z f 在点a 的去心邻域{}a K -：R a z <-<0可展成洛朗级数．3 解析函数的孤立奇点孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型．以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域充分研究一个解析函数的性质．[]51.3 孤立奇点的三种类型由上文知，我们可以在邻域R a z <-<0将()z f 展开成洛朗级数．下面，根据函数展开成洛朗级数的不同情况我们将孤立奇点作以下的分类．如()z f 是单值函数，a z =是()z f 的孤立奇点，()z f 可以展开为在R a z <-<0为收敛的洛朗级数：()()()∑∑∞=--∞=-+-=1n nn n nn a z c a z c z f ，()∑∞=---1n nn a z c 叫做()z f 关于奇点a z =的主要局部，因为可依靠它来决定奇点的性质．()∑∞=-0n nn a z c 叫做()z f 的正那么局部．现在有三种可能性：〔1〕主要局部恒等于零，就是所有0=-n c ．例如()zzz f sin =，在原点的邻域除了原点以外为正那么，在R z <<0，洛朗展开式为⋅⋅⋅-+-=!5!31sin 42z z z z ， 其主要局部等于零．在这种情形，a z =叫做()z f 的可去奇点．〔2〕主要局部只包含有限个项，就是当n 为某一数以后，0=-n c ．在这种情形，a z =叫做()z f 的极，或极点．〔3〕主要局部的项数是无穷的．在这种情形，a z =叫做()z f 的本质奇点．以下将分别考虑函数在各种奇点邻域的性质． 3.2 可去奇点定理[]21.3a z =为()z f 的可去奇点的充要条件为()z f a z lim→存在〔有限值〕．证明： 必要条件，假设0=-n c ()⋅⋅⋅=,2,1n ， 那么 ()()∑∞=-=0n nn a z c z f ．由于幂级数在收敛圆是一个解析函数，因此，在上面的这个等式的右端函数在a z =点连续，所以()()00lim lim c a z c z f n nn a z az =-=∑∞=→→．充分条件，假设()l z f a z =→lim〔有限值〕那么对于任意给定的0>ε，存在0>δ，当δ<-<a z 0时，就有()ε<-l z f ．于是()M l z f =+<ε．这就是说()z f 在a z =点的一个邻域有界．又因为()z f 在点a 的邻域的洛朗展开式中的n c -可以表示为()()⎰Γ---=dz a z z f ic n 121τπ()⋅⋅⋅=,2,1n ． Γ：ρ=-a z ()δρ<，那么n M M c ρπρρπτ=⋅⋅⋅≤--22111()1≥n ． 所以，令0→ρ，得0=-n c ．于是()01≡-∑∞=--n nn a z c ．故()()∑∞=-=0n nn a z c z f ．定理[]32.3在定理3.1的假设下，a z =是()z f 的可去奇点的充分必要条件是：存在着某一正数R ≤0ρ，使得()z f 在00ρ<-<a z 有界．综上，我们知道如果a 为函数()z f 的孤立奇点，那么以下三条是等价的．因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征． 〔1〕()z f 在a 点的主要局部为零；〔2〕()()∞≠=→b z f a z lim；〔3〕()z f 在点a 处的某去心邻域有界．例[]11考虑函数()⎪⎩⎪⎨⎧=,2,sin zz z F .0;0=≠z z 这个函数以0=z 为它的孤立奇点．根据上述可去奇点的特征，知0=z 是()z F 的可去奇点．如果我们定义一个函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==→,1sin ,sin lim 0z z zz z g z .0;0=≠z z 那么这个函数在全平面上就处处等于由()()⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++-=!121!5!31sin 242n z z z z z nn中的级数所确定的全平面上的解析函数了．所以，当函数()z f 在0z z =处或者没有定义，或者定义的“不好〞，但当0z z =是它的可去奇点时，只要我们重新构造一个函数()z g ，使它在0z z =处取()z f 的极限值，而在其他地方与()z f 完全相等．这样的函数()z g 就在0z z =解析了，这表示已将奇点去掉了，因此称0z z =是可去奇点．[]53.3 极点如果a z =是()z f 的一个极点．设()z f 的洛朗展开式的主要局部最后一个不等于零的系数为m c -，即()()()∑∑=--∞=-+-=mn nn n nn a z c a z c z f 1．a z =叫做m 阶的极点．当⋅⋅⋅=,2,1m 时，a z =又分别叫做简单极点，二阶极点，…．定理3.3 设a z =是函数()z f 的一个极点，那么当a z →，()∞→z f ． 证 设a z =是m 阶的极点，()z f 的主要局部：()()∑∑=---=----=-mn nm n mmn nn a z c az a z c 11()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---≥∑-=----11m n n m n m ma z c c az 当a z →，括号趋近于n c -．所以当a z →，()∞→z f ．定理3.4 在一个m 阶的极点的邻域，函数()z f 可以表示为下形：()()()ma z z z f -=ϕ，其中()z ϕ在a z =为正那么，并不为零．由于()z ϕ在a z =为正那么并不为零，那么()()()z f a z z m-=1ψ在a z =为正那么并不为零．所以()()()z a z z f mψ-=1， 在a z =有一个m 阶的零．反过来，如果a z =是()z f 的m 阶的零，那么a z =是()z f 1的m 阶的极点． 综上，如果函数()z f 以点a 为孤立奇点，那么以下三条是等价的．因此，它们中的任何一条都是m 阶极点的特征． 〔1〕()z f 在点a 的主要局部为()()01≠-+⋅⋅⋅+----m mm c a z c a z c ； 〔2〕()z f 在点a 的某去心邻域能表成()()()ma z z z f -=λ，其中()z λ在点a 邻域解析，且()0≠a λ．〔3〕()()z f z g 1=以点a 为m 阶零点〔可去奇点要当作解析点看，只要令()0=a g 〕． 例[]12函数2z z e e shz --=以0=z 为几阶零点？函数shz1以0=z 为几阶极点？解： 显然02110=-=sh ， 且 ()12=+='=-=z z z z e e shz ．因此shz 以0=z 为一阶零点．根据上面的极点的特征知0=z 就是shz1的一阶极点．例[]13函数z 2sec 以ππk z +±=2〔k 是整数〕为几阶极点？解： 考虑函数z 2cos ，显然02cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛+±ππk ，且 ()0cos sin 2cos 222=⋅-='+±=+±=ππππk z k z zz z，()()ππππk z k z z z +±=+±='-="2222sin cos()012cos ≠=+±-= ππk ．因此z 2cos 以0=z 为二阶零点．0=z 就是z z22sec cos 1=的二阶极点． []44.3 本质奇点定理3.5 函数()z f 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是()()⎩⎨⎧∞≠→有限数b z f az lim ，即()z f a z lim→不存在． 定理3.6 假设a z =为函数()z f 之一本质奇点，且在点a 的充分小去心邻域不为零，那么a z =亦必为()z f 1的本质奇点．证 命()()z f z 1=ϕ．由假设，a z =必为()z ϕ的孤立奇点．假设a z =为()z ϕ的可去奇点〔解析点〕，那么a z =必为()z f 的可去奇点或极点，此与假设矛盾；假设a z =为()z ϕ的极点，那么a z =必为()z f 的可去奇点〔零点〕，亦与假设矛盾．故a z =必为()z ϕ的本质奇点．例4 0=z 为ze 1的本质奇点．因为⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=nzz n z z e !1!211121． ()+∞<<z 0由定理3.6，我们可以确定0=z 亦为ze 1-的本质奇点．在上式中将z 改成z -，也可看出这一点．4 无穷远点是奇点的情形定义[]21.4如果()z f 在+∞<<z R 解析，R 为某一个正数，那么称∞=z 为()z f 的孤立奇点．令z1=ξ，以与()()z f f g =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ1． 假设∞=z 为()z f 的孤立奇点，那么0=ξ为()ξg 的孤立奇点，因为这时()ξg 在0=ξ的邻域R10<<ξ为解析．这样便把()z f 在∞=z 的邻域的性质化()ξg 为在0=ξ的邻域的性质来研究．定义4.2 假设0=ξ为()ξg 的可去奇点，那么称∞=z 是()z f 的可去奇点． 利用0=ξ为()ξg 的可去奇点的充要条件，即可得到∞=z 为()z f 的可去奇点的充要条件．定理4.1 ∞=z 为()z f 的可去奇点的充要条件为()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=------n n z c z c z c c z f 22110，在+∞<<z R 成立．定理4.2 ∞=z 为()z f 的可去奇点的充要条件为()z f z lim∞→存在〔有限值〕．假设规定()()z f f z lim ∞→=∞， 这时就把∞=z 看作是()z f 的解析点．例[]45由()()()211--=z z z f 在∞+<z 2的洛朗展式，知它以∞=z 为可去奇点，并且作为解析点来看是二阶零点〔只要让()0=∞f 〕．又 ()()()()211--==z z z f z g =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-z z z 21112， 以∞=z 为二阶极点．这里()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z 2111μ，()01≠=∞μ．定义4.3 假设0=ξ是()ξg 的极点，那么称∞=z 为()z f 的极点，其级数也规定一样．定理4.3 ∞=z 为()z f 的m 阶极点的充要条件为()∑∑∞=--=+=01n n n m n nn z c z c z f ， ()0≠m c 在+∞<<z R 成立．定理4.4 ∞=z 为()z f 的极点的充要条件为()∞=∞→z f z lim．定理4.5 函数()z f 的孤立奇点∞为本质奇点的充要条件是以下两条中的任何一条成立：（1）()z f 在∞=z 的主要局部有无穷多项正幂不等于零；（2）()z f z lim ∞→不存在〔即当z 趋向于∞时，()z f 不趋向于任何〔有限或无穷〕极限〕．例[]46将多值解析函数bz a z Ln--的各分支在无穷远点的某去心邻域展成洛朗级数． 解 无穷远点不是 b z a z Ln-- 的支点，故能在点∞的邻域}{b a z ,max >分出单值解析分支．且在此去心邻域，各支均能展成洛朗级数．现在第k 支z b z ab z a z --=--11ln ln =ki z b z a 21ln 1ln +⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-z a 1ln 与⎪⎭⎫ ⎝⎛-z b 1ln 均表主值支．故 ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--11112ln n n nn z b n z a n i k b z a z π =()⋅⋅⋅±±=⋅-+∑∞=,2,1,0121k z n a b i k n n n n π． 由此可见，∞=z 实为各单值解析分支点的单值性孤立奇点即可去奇点． 例[]47求出函数()11tan --z z 的奇点〔包括无穷远点〕，并确定其类别． 解 ()()()()1cos 11sin 11tan ---=--z z z z z ， 以1=z 为可去奇点；π2121++=k z k ，⋅⋅⋅±=,1,0k 为一阶极点；∞=z 为这些极点的聚点，是个非孤立奇点．总结解析函数是复变函数研究的主要对象，在理论和实际问题中有着广泛的应用．本文主要研究的是解析函数在孤立奇点邻域的性质，在许多问题中也具有重要意义，例如在留数理论与其应用中，在线性常微分方程的解析理论中，等等．在本文中，我们主要研究单值函数〔或者多值函数的单值分支〕的孤立奇点．其中无穷远点是一个特殊的孤立奇点，所以解析函数在无穷远点的性质也是比拟重要的．参考文献[1]燮昌．复变函数论根底[Ｍ]．：科学技术，1982．[2] 周正中．复变函数论[Ｍ]．：人民，1982．[3] 余家荣. 复变函数[Ｍ]．：科学，1979．[4] 钟玉泉. 复变函数论[Ｍ]．第三版．：高等教育，2004．[5] 锐夫，程其襄. 复变函数论[Ｍ]．：高等教育，1960．。
复变函数的孤立奇点及其应用(小学期论文)
复变函数的孤立奇点及其应用数学科学学院 数学与应用数学专业指导教师： xxx摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。
关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1 孤立奇点的定义如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是)(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.2 孤立奇点的判别方法设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1z f s i dz z f nk a z Ck ∑⎰===π.一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2.1 函数在极点处留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（.2.2 函数在无穷远点留数设∞为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在圆环域+∞<<z R 内解 析，则称dz z f iC ⎰)(21π （R z C >=ρ：） 为)(z f 在点∞的留数，记为]),([Re ∞z f s ，这里-C 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.如果)(z f 在+∞<<z R 的洛朗展开式为∑∞-∞==n n nz Cz f )(，则有1],[Re --==∞C f s .这里，我们要注意，∞=z 即使是)(z f 的可去奇点，)(z f 在∞=z 的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零. 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.0)(Re )(Re 1=+∞===∑z f s z f s z nk a z k.3 孤立奇点的应用例1 指出下列函数在零点z=0的级： （1）)1(22-z ez（2）)6(sin 6633-+z z z .解（1）用求导数验证：记0)0(,)1()(22=-=f e z z f z ，不难计算,0)0(,)(22)(23='++-='f e z z z z f z ,0)0(,2)2104()(224=''-++=''f e z z z f z,0)0(,)24368()(235='''++='''f e z z z z f z,24)0(,)2415611216()()4(24642=+++=f e z z z z f z ）（故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点. 由泰勒展式：由展开式)(!1!2112422+∞<+++++=z z n z z en z 可知)()!21()1(442222z z z z z e z z ϕ=++=- 其中)(!1!211)(222+∞<++++=-z z n z z n 在 ϕ内解析，10=）（ϕ. 故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点. (2)由展开式)()!12()1(!51!31sin 3615933+∞<++-+-+-=+z n z z z z z n n可知 )6(sin 6633-+z z z393615936)!12()1(!51!316z z n z z z z n n -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+-=+ )(15z z ϕ=其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-=+ )!12()1(!71!516)(1266n z z z n nϕ 在+∞<z 内解析，0560≠=！）（ϕ.故0=z 是函数)6(sin 6633-+z z z 的15阶零点.例 2 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数)(z f 在R a z <-内解析，0)(=a f ，则必有a 的一个领域，使得)(z f 在其中无异于a 的零点（解析函数零点的孤立性）.分析 由于解析函数)(z f 不恒为零且0)(=a f ，所以利用)(z f 在点a 的泰勒展开式可知，总存在自然数1≥m ，使0)()()()1(==='=-a f a f a f m ，0)()(≠a f m （否则独所有m ，0)()(=a fm ，由泰勒定理0)(!)()(0)(≡-=∑∞=m m m a z m a f z f 矛盾）.于是可设a 为)(z f 的m 阶零点，然后由零点的特征来讨论.证（不妨设）a 为)(z f 的m 阶零点)()()(z a z z f m ϕ-=⇔，其中R a z z <-在)(ϕ内解析，0)(≠a ϕ.因)(z ϕ在a 处解析，则有0)()(lim ≠=→a z az ϕϕ，可取)(a ϕε=，存在着0>δ，当δ<-a z 时，)()()(a a z ϕεϕϕ=<-，由三角不等式)()()(z a a z ϕϕϕϕ-≥-）（便知当δ<-a z 时)()()()(a a z z a ϕεϕϕϕϕ=<-≤-）（ 即有0>）（z ϕ，故在a 的δ邻域内使0)(≠z ϕ. 例3 确定函数[])1(/1)(33-=z e z z f 的孤立奇点的类型.解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-1!2)(1)1(233333z z z ez z+++=1296!31!21z z z ， 所以 0=z 是分母的六阶零点，从而是函数)(z f 的六阶极点. 例4 判别函数11sin)(-=z z f 的有限奇点的类型. 解 因为)(z f 在1=z 没有定义，更不解析，所以1=z 是)(z f 的奇点，在+∞<-<10z 内，展开)(z f 为洛朗级数：+-+---=-53)1(!51)1(!311111sinz z z z∑∞=+-+-=012)1()!12(1)1(n n nz n ， 有无穷多负幂项，故1=z 是)(z f 的本性奇点. 例5 考察函数11sec)(-=z z f 在点1=z 的特性. 解 因为)(2/11,11cos111sec是整数k k z z z k ππ++=-=-是分母11cos-z 的零点，所以这些点是11sec-z 的极点..从而知1=z 是这些极点的极限点)(∞→n ，不是孤立奇点.例6 求出函数)1/()(44z z z f +=的全部奇点，并确定其类型.解 分母41z +有四个一阶零点)3,2,1,0(4)2(=+k e k i ππ，它们不是分子的零因此是函数)(z f 的一阶极点.又11lim44=+∞→z z z ，所以∞=z 是)(z f 的可去奇点.例7 求出函数zz z f 1cot )(-=的全部奇点，并确定其类型. 解 容易求得)(为整数k k z π=是z cot 的一阶极点，这是因为()0)1(cos sin ≠-=='=k k z k z ππ.当00==z k ，时，而z z z z z z z z sin sin lim 1cot lim 00-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→)!3/(!5/!3/lim3530+-+-=→z z z z z z 0=，所以，0=z 是函数)(z f 的可去奇点，)(为不等于零的整数k k z k π=是)(z f 的一阶极点.又∞=z 是极点k z 当∞→k 时的极限点，不是孤立奇点.例8求zz 1sin2所有孤立奇点处的留数： 解：函数zz z f 1sin )(2=有孤立奇点0和∞，而且易知在+∞<<z R 内有洛朗展开式⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= 532215113111sinz z z z z z ！！ -+-=3151131z z z ！！ 这既可以看成是函数zz 1sin 2在0=z 的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数zz 1sin 2在∞=z 的去心邻域内的洛朗展开式.所以!31,1sin Re ,!310,1sin Re 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z s z z s .参考文献:[1] 钟玉泉. 复变函数论，高等教育出版社, 2003年.[2] 王玉玉. 复变函数习题全解， 中国时代经济出版社,2008年. [3] 方企勤. 复变函数教程， 北京大学出版社, 2009年. [4] 傅作梅. 复变函数的应用，高等教育出版社,1996年. [5] 杨巧玲. 复变函数与积分变换， 机械工业出版社,2002年.。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点
作者：金文沪
来源：《数码设计》2018年第15期
摘要：在复变函数中，有时应用教材中的定理和方法判断孤立奇点的问题比较麻烦，本文给出了某些解析函数孤立奇点问题的一些简便方法.
关键词：复变函数;孤立奇点;可去奇点;极点;本质奇点
中图分类号：O174.5 ; 文献标识码：A ; 文章编号：1672-9129（2018）15-0216-01
Abstract： in the complex function， sometimes it is difficult to judge the isolated singularities by using the theorems and methods in the textbook.
Keywords： complex variable function;Isolated singularities;You can go to the singularity;The pole;Nature of the singularity
1 引言
孤立奇點是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型.以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质.在复变函数中研究解析函数孤立奇点的性质时，把孤立奇点分成了三种类型：可去奇点、极点和本质奇点.
4 结语
由上面的讨论我们可以看出，在判断解析函数孤立奇点的类型时，应用上述定理判断一些函数的极点及可去奇点比较简单.只要我们充分利用、理解和掌握孤立奇点的分类及上述定理，在实际应用中就能较容易地判断出解析函数孤立奇点的类型.
参考文献：
[1]苗保山，张文英，解妮，童小红.复变函数中孤立奇点的判别[J].教育教学论坛，2018（39）：203-204.。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是复数域上的函数，其研究在数学领域中占据着重要的位置。
而在复变函数中，孤立奇点是一个非常重要的概念。
本文将从孤立奇点的概念、分类以及性质等方面进行浅析，以便读者更好地理解复变函数中的孤立奇点。
我们来看一下孤立奇点的概念。
在复变函数中，孤立奇点是指在函数的定义域内，存在一个小邻域，在这个小邻域内函数是解析的，而在该邻域之外函数的性质发生了变化，从而导致在该点处函数出现了不连续或者无穷大的情况。
也就是说，孤立奇点是指函数在某一点处的性质与其周围的点存在明显的不同。
根据孤立奇点在复平面上的性质，可以将孤立奇点分为三类：可去奇点、极点和本质奇点。
可去奇点指的是当函数在某一点处存在有限的极限值，但是函数在该点并不是解析的，可以通过定义新的函数值来使函数在该点处变得解析。
极点指的是当函数在某一点处的绝对值趋于无穷大，或者在该点处函数值趋于无穷大，这种情况下该点就称为极点。
本质奇点则是指在该点处函数无法进行解析延拓，并且在该点附近函数值的变化非常剧烈。
这三种不同性质的孤立奇点在复变函数中具有不同的特点和重要性，需要分别加以研究和分析。
我们来看一下各种孤立奇点的性质。
首先是可去奇点，对于可去奇点，函数在该点附近可以通过定义新的函数值来使得原函数变得解析，因此对于这种奇点来讲，其在函数的整体性质中并不会产生太大的影响，但需要注意的是，在某些情况下可去奇点可能会是函数的边界点，从而对函数的积分等操作产生影响。
接下来是极点，对于极点来说，其在函数的整体性质中则会产生一定的影响，尤其是对于极点的阶数和分布情况，在函数的性质中将会有不同的表现。
最后是本质奇点，本质奇点在复变函数中通常是研究的重点，因为这种奇点往往对函数的整体性质产生明显的影响，而且一些特殊的本质奇点会引发复变函数的一些重要性质和定理。
我们来看一下孤立奇点在复变函数中的应用。
复变函数中的孤立奇点是一个非常重要的概念，它在复变函数的研究和应用中具有重要的作用。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点1. 引言1.1 什么是复变函数复变函数是复数域上的函数。
通俗地讲，复变函数是由复数构成的变量和复数构成的函数值构成的数学对象。
复数是由实部和虚部组成的，因此在复变函数中，自变量和函数值都可以是复数。
复变函数的定义域和值域通常是复数域，因此复变函数在复平面或复数域内表现出各种奇特且复杂的性质。
与实变函数相比，复变函数更具有丰富的数学结构和性质，因此其研究也更为深奥和有趣。
复变函数在数学和物理学中有着广泛的应用，如调和函数、变分法、调和解析函数、热传导方程和波动方程等。
在实际问题中，复变函数还常常用于描述介质的电磁性质、流体动力学、弹性力学等领域。
对复变函数的研究不仅有助于深化数学理论，还有助于解决实际问题和推动科学技术的发展。
在深入研究复变函数的过程中，我们将会遇到各种不同类型的奇点，其中孤立奇点是复变函数中一个重要且特殊的概念。
接下来，我们将对孤立奇点进行详细分析和探讨。
1.2 什么是孤立奇点孤立奇点是复变函数中的一个重要概念，它是指在函数的定义域内，存在某点使得函数在该点处发散或者不连续，但是在该点的邻域内函数是解析的。
换句话说，孤立奇点是函数在某处“突然”发生异常的地方。
孤立奇点可以进一步分为三类：可去孤立奇点、极点和本性孤立奇点。
可去孤立奇点是指在该点的邻域内可以通过改变函数在该点的定义来使得函数在该点处变得连续。
极点是指函数在该点处的极限值为无穷大，但是该点附近函数是有界的。
本性孤立奇点则是指函数在该点附近无法通过任何方式使其在该点处变得连续或有界。
对于复变函数而言，留数定理是研究孤立奇点的重要工具之一。
留数定理可以帮助我们计算函数在孤立奇点处的留数，从而推导出函数在整个定义域内的积分值。
黎曼映射定理也提供了一种方法来研究复平面和复平面上的孤立奇点之间的映射关系。
孤立奇点在复变函数理论中占据着重要地位，它不仅帮助我们理解函数的性质，还可以为我们提供解析函数的积分计算方法。
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复变函数的孤立奇点及其应用数学科学学院 数学与应用数学专业指导教师： xxx摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。
关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1 孤立奇点的定义如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是)(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.2 孤立奇点的判别方法设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1z f s i dz z f nk a z Ck ∑⎰===π.一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2.1 函数在极点处留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（.2.2 函数在无穷远点留数设∞为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在圆环域+∞<<z R 内解 析，则称dz z f iC ⎰)(21π （R z C >=ρ：） 为)(z f 在点∞的留数，记为]),([Re ∞z f s ，这里-C 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.如果)(z f 在+∞<<z R 的洛朗展开式为∑∞-∞==n n nz Cz f )(，则有1],[Re --==∞C f s .这里，我们要注意，∞=z 即使是)(z f 的可去奇点，)(z f 在∞=z 的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零. 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.0)(Re )(Re 1=+∞===∑z f s z f s z nk a z k.3 孤立奇点的应用例1 指出下列函数在零点z=0的级： （1）)1(22-z ez（2）)6(sin 6633-+z z z .解（1）用求导数验证：记0)0(,)1()(22=-=f e z z f z ，不难计算,0)0(,)(22)(23='++-='f e z z z z f z ,0)0(,2)2104()(224=''-++=''f e z z z f z,0)0(,)24368()(235='''++='''f e z z z z f z,24)0(,)2415611216()()4(24642=+++=f e z z z z f z ）（故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点. 由泰勒展式：由展开式)(!1!2112422+∞<+++++=z z n z z en z 可知)()!21()1(442222z z z z z e z z ϕ=++=- 其中)(!1!211)(222+∞<++++=-z z n z z n 在 ϕ内解析，10=）（ϕ. 故0=z 为函数)1(22-z e z 的四阶零点. (2)由展开式)()!12()1(!51!31sin 3615933+∞<++-+-+-=+z n z z z z z n n可知 )6(sin 6633-+z z z393615936)!12()1(!51!316z z n z z z z n n -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-+-=+ )(15z z ϕ=其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-=+ )!12()1(!71!516)(1266n z z z n nϕ 在+∞<z 内解析，0560≠=！）（ϕ.故0=z 是函数)6(sin 6633-+z z z 的15阶零点.例 2 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数)(z f 在R a z <-内解析，0)(=a f ，则必有a 的一个领域，使得)(z f 在其中无异于a 的零点（解析函数零点的孤立性）.分析 由于解析函数)(z f 不恒为零且0)(=a f ，所以利用)(z f 在点a 的泰勒展开式可知，总存在自然数1≥m ，使0)()()()1(==='=-a f a f a f m ，0)()(≠a f m （否则独所有m ，0)()(=a fm ，由泰勒定理0)(!)()(0)(≡-=∑∞=m m m a z m a f z f 矛盾）.于是可设a 为)(z f 的m 阶零点，然后由零点的特征来讨论.证（不妨设）a 为)(z f 的m 阶零点)()()(z a z z f m ϕ-=⇔，其中R a z z <-在)(ϕ内解析，0)(≠a ϕ.因)(z ϕ在a 处解析，则有0)()(lim ≠=→a z az ϕϕ，可取)(a ϕε=，存在着0>δ，当δ<-a z 时，)()()(a a z ϕεϕϕ=<-，由三角不等式)()()(z a a z ϕϕϕϕ-≥-）（便知当δ<-a z 时)()()()(a a z z a ϕεϕϕϕϕ=<-≤-）（ 即有0>）（z ϕ，故在a 的δ邻域内使0)(≠z ϕ. 例3 确定函数[])1(/1)(33-=z e z z f 的孤立奇点的类型.解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-1!2)(1)1(233333z z z ez z+++=1296!31!21z z z ， 所以 0=z 是分母的六阶零点，从而是函数)(z f 的六阶极点. 例4 判别函数11sin)(-=z z f 的有限奇点的类型. 解 因为)(z f 在1=z 没有定义，更不解析，所以1=z 是)(z f 的奇点，在+∞<-<10z 内，展开)(z f 为洛朗级数：+-+---=-53)1(!51)1(!311111sinz z z z∑∞=+-+-=012)1()!12(1)1(n n nz n ， 有无穷多负幂项，故1=z 是)(z f 的本性奇点. 例5 考察函数11sec)(-=z z f 在点1=z 的特性. 解 因为)(2/11,11cos111sec是整数k k z z z k ππ++=-=-是分母11cos-z 的零点，所以这些点是11sec-z 的极点..从而知1=z 是这些极点的极限点)(∞→n ，不是孤立奇点.例6 求出函数)1/()(44z z z f +=的全部奇点，并确定其类型.解 分母41z +有四个一阶零点)3,2,1,0(4)2(=+k e k i ππ，它们不是分子的零因此是函数)(z f 的一阶极点.又11lim44=+∞→z z z ，所以∞=z 是)(z f 的可去奇点.例7 求出函数zz z f 1cot )(-=的全部奇点，并确定其类型. 解 容易求得)(为整数k k z π=是z cot 的一阶极点，这是因为()0)1(cos sin ≠-=='=k k z k z ππ.当00==z k ，时，而z z z z z z z z sin sin lim 1cot lim 00-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→)!3/(!5/!3/lim3530+-+-=→z z z z z z 0=，所以，0=z 是函数)(z f 的可去奇点，)(为不等于零的整数k k z k π=是)(z f 的一阶极点.又∞=z 是极点k z 当∞→k 时的极限点，不是孤立奇点.例8求zz 1sin2所有孤立奇点处的留数： 解：函数zz z f 1sin )(2=有孤立奇点0和∞，而且易知在+∞<<z R 内有洛朗展开式⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= 532215113111sinz z z z z z ！！ -+-=3151131z z z ！！ 这既可以看成是函数zz 1sin 2在0=z 的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数zz 1sin 2在∞=z 的去心邻域内的洛朗展开式.所以!31,1sin Re ,!310,1sin Re 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z s z z s .参考文献:[1] 钟玉泉. 复变函数论，高等教育出版社, 2003年.[2] 王玉玉. 复变函数习题全解， 中国时代经济出版社,2008年. [3] 方企勤. 复变函数教程， 北京大学出版社, 2009年. [4] 傅作梅. 复变函数的应用，高等教育出版社,1996年. [5] 杨巧玲. 复变函数与积分变换， 机械工业出版社,2002年.。