第十四讲二元因变量回归

现在约定备择对象的0和1两项选择模型中， 下标i表示各不同的经济主体，取值0或1的因 变量表示经济主体的具体选择结果，而影响 经济主体进行选择的自变量。如果选择响应 Yes的概率为：
p( yi 1)
经济主体选择响应No的概率为，
p( yi 0) 1 p( yi 1)
E( yi ) 1 p( yi 1) 0 p( yi 0) p( yi 1)
在离散选择模型中，影响是否购车的因素有 哪些？
汽车本身所具有的属性，如价格、型号等；
决策者的收入水平
决策者对车的偏好程度等。
如果我们要研究是否买车与收入之间的关系， 即研究具有某一收入水平的个体买车的可能 性。因此，二元选择模型的目的是研究具有 给定特征的个体作某种而不作另一种选择的 概率。
为了深刻地理解二元选择模型，首先从最简单 的线性概率模型开始讨论。线性概率模型的回 归形式为：
例如，当P/I ratio=0.3时，deny的预测值 大约为0.2。可以理解为P/I ratio=0.3时， 被拒的概率为0.2，即如果有许多申请者的 P/I ratio=0.3 ，则其中有20%的申请会被 拒。
二元选择模型的三种主要类型：
线性概率模型（LPM） Probit模型 Logit模型
二元选择模型
在离散选择模型中，最简单的情形是在两个 可供选择的方案中选择其一，此时被解释变 量只取两个值，称为二元选择模型（binary choice model）。 例如：在讨论家庭是否购车的问题中，可将 家庭购车的决策用数字1 表示，而将家庭不 购车的决策用数字0表示。
1 yes x 0 no
yi 1x1i 2x2i L k xki ui i 1, 2 ,L , N
其中：N是样本容量；k是解释变量个数；xj 为第j个个体特征的取值。例如，x1表示收入； x2表示汽车的价格；x3表示消费者的偏好等。 设 yi 表示取值为0和1的离散型随机变量。ui 为相互独立且均值为0的随机扰动项。
线性概率模型的优点
线性概率模型的优点是，计算方便，且容易 得到边际效应(即回归系数)。
直接使用reg命令即可。
线性概率模型的缺点
被解释变量常常超出0-1范围。
当P/I ratio 小于 0.132 时 deny<0 当P/I ratio 大于 1.788 时 deny>1 处理方式：发现被解释变量大于1，则取1； 被解释变量小于0，则取0。
下画出了数据集中2380个观测值中127个 deny对P/I ratio的数据散点图。
通过散点图可以看出deny和P/I ratio的关 系：即还款/收入比小于0. 3的申请者的申请 很少被拒，但还款/收入比超过0. 4的申请者 的大部分申请都被拒了。
由这127个观测值估计出的OLS回归线。同 前，这条直线画出了用回归变量还款/收入比 表示的deny预测值的函数图。
Probit 回归
Probit模型假定误差项的分布形式为标准正 态分布：
p( yi 1| x) E( yi | x) (xiβ)
(0 1xi1 L k xik )
1
xi
β
e
x2 2
dx
2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-2
0
2
4
累积正态概率分布曲线
Probit模型为
yi ( X i B) i
二元因变量回归
通常的经济计量模型都假定因变量是连续的， 但是在现实的经济决策中经常面临许多选择 问题。人们需要在可供选择的有限多个方案 中作出选择，与通常被解释变量是连续变量 的假设相反，此时因变量只取有限多个离散 的值作为被解释变量建立的计量经济模型， 称为离散选择模型(discrete choice model， DCM)。
Probit和Logit回归
Probit和Logit回归是特别为二元因变量设 计的非线性回归模型。
由于二元因变量Y的回归建立了Y=1的概率 模型，因此采用使预测值落在0到1之间的 非线性形式才有意义。
由于累积概率分布函数产生的概率位于0到 1之间，因此我们把它们应用到Probit和 Logit回归中。其中Logit回归也称为 logistic回归。
y
1 0
yes no
如果解释变量是离散的(比如，虚拟变量)， 这并不影响回归。但有时被解释变量是离散 的，而非连续的。比如，个体的如下选择行 为(人生充满了选择)：
二值选择(binary choices)：考研或不考研； 就业或待业；买房或不买房；买保险或不买 保险；贷款申请被批准或拒绝；出国或不出 国；回国或不回国。
如果x作为说明某种具体经济问题的自变量，则应 用以前介绍虚拟变量知识就足够了。如果现在考 虑某个家庭在一定的条件下是否购车问题时，则 表示状态的虚拟变量就不再是自变量，而是作为 一个被说明对象的因变量出现在经济模型中。因 此，需要对以前讨论虚拟变量的分析方法进行扩 展，以便使其能够适应分析类似家庭是否购车的 问题。
线性概率模型
p( yi 1) E( yi ) xiβ
0 1xi1 L k xik
被拒概率的计算： 假设某人的P/I ratio为0.3，计算他的被拒 概率：
被拒概率= -0.08+0.604*0.3=0.1012=10.12%
上述方程再增加一个是否为黑人的虚拟变量， 则方程变为：
在实践中，Probit与Logit都很常用，二 者的估计结果(比如边际效应)也通常很接近。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归方 程是条件期望建立的，这使我们可以构造线 性概率模型：
p( yi 1) E( yi ) xiβ
0 1xi1 L k xik
一个例子
被解释变量： 房屋抵押贷款申请是否被拒deny。 1：被拒 0：不被拒
解释变量：种族（是否黑人）black 还款收入比 P/I ratio
Logit 模型
Logit模型假定模型的误差项服从Logistic分
来自百度文库
布
exiβ
1
p( yi
1| x)
E( yi
| x)
(xiβ)
1 exiβ
1 exiβ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
Logistic分布函数
逻辑分布的密度函数关于原点对称，期望为 0，方差为 2 (大于标准正3态的方差)，具有厚尾(fat tails)。