复变函数西安交大版80页PPT

1-5复变函数课件西安交通大学

消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)
14
4. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称为映射 w f ( z ) 的逆映射.
5
2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量z 的值, 而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的值, 那末函数 w f ( z ) 在几何上就可以看作是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
6
这个映射通常简称为由函数 w f ( z ) 所构成的映射.
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
17
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
放映结束，按Esc退出.
24
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o

x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.

复变函数西安交大第四版第六讲PPT课件

---级数的部分和
▪ 若z0 D ln i m sn (z0 ) s(z0 ),称级数(1)在z0收敛, 其和为s(z0 ), ln i m sn (z0 )不存在，称级数(1)在z0发散。
且
u u ( ) ( )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
u x
dy
v
d v(
x,
y)
( x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
第7页/共47页
v u v u 满足C R方程. x y y x
u iv在D内解析.
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(1)n
收
敛
，
n
n1
1 2n
收
敛
，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛. n1 n
第24页/共47页
例3
讨论
z
n
的
敛散性。
n0 n!
解
令 z r,
zn
rn er
n0 n! n0 n!
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
第17页/共47页
1. 复数列的极限
定义设复数列{：n}(n 1,2,),其中n＝an ibn,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒有n ，
那么称为复数列{n }当n 时的极限，
记

复变函数复习课件西安交大第四版共81页文档

56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿
复变函数复习课件西安交大第四版
1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。 ——塞 ·约翰逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美德。— —伯确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。 ——左

西安交大版复变函数第一章课件

1.1 复数的代数形式的定义: 满足：i2=-1
对于∀ x, y ∈ R, 称 z = x + yi或 z = x + iy 为复数.
实部记做：Rez=x
虚部记做：Imz=x
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy 称为纯虚数;
当 y = 0 时, z = x + 0i, 我们把它看作实数 x.
10
1.4 极坐标表示（三角表示） y
复数 z = x + iy 可以用复平
y
z = x + iy
z = (x, y)
面上的点向量oz 表示.
uur
o
x
x
z = x + iy ⇔ 向量oz ⇔（r,θ）
x = r cosθ y = r sinθ z = r(cosθ + i sinθ )
1.5 指数表示
15
关于 ∞ 的四则运算规定如下 :
(1) 加法 : α + ∞ = ∞ + α = ∞, (α ≠ ∞)
(2) 减法 : α − ∞ = ∞ − α = ∞, (α ≠ ∞)
(3) 乘法 : α ⋅ ∞ = ∞ ⋅α = ∞, (α ≠ 0)
(4)除法 :
α ∞
=
0,
∞ α
=
∞,
(α
≠
∞),Biblioteka α = ∞,(α ≠ 0) 0
用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面.
复数的向量表示法
复数 z = x + iy 可以用复平面上的点 ( x, y) 表示 .
y z = x + iy

工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大

⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1

C
f z dz
n
k 1 C

k
f z dz 0

C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz

C
4

ux t , yt xt vx t , yt yt dt

i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是连续函数而C 是光滑曲线时, ⑵
C C C

C
f z 第二型曲线积分 dz一定存在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。

复变函数(西交大版)课件第一章

n 0, 1, 2,

2
2n
Arg ( z1 z2 ) 2k k 0, 1, 2, 2 3 代入上式 2m n 2k 2 2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
定理2
两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。
a
b
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 z 0 的球面, 点球面上一点S 与原点重合,
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r

z 0 OP 0
o
x
x

z tan( z=0时，辐角不确定。 0时， Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。 y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x y x 0, y 0 arctan 2 x 2

当z落于一,四象限时，不变。

P4 例1.1
当z落于第三象限时，减
当z落于第二象限时，加
。
。
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由此得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1

复变函数(西交大)第七讲

z0的Talor展开式的收敛半径R等于从z0到
f (z)的最近的一个奇点之间的距离,即, R z0
(2) 在收敛圆上,这是因为f (z)在收敛圆内解析, 所以奇点不可能在收敛圆内 . 又奇点不可能在收敛圆外,不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点只能在
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f '(z) a1 2a2 (z z0 ) nan (z z0 )n1 f '(z0 ) a1
, 依此类推得，an

1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
的圆域 z0 r,圆k的半径r可以任意增大,
只要圆k及其内部包含在D内即可, f (z)在解析点z0处的Taylor级数收敛半径至少等于从z0到D的边界上各点的最短距离.证毕!
证明 (不讲)
(1) 若f (z)有奇点, 那么f (z)在解析点
以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在区域D内解析, z0 D, R为z0到D的边界上各点的最短距离当 z z0 R时,

f (z) cn(z z0 )n
n0
(1)
f (z)在z0处的Taylor级数
正向封闭路线的积分为0。 (4) f (z)在点z0的某一邻域内可展成幂级数。
§4.4 罗朗(Laurent)级数

复变函数(西交大)第三讲共48页PPT资料

| x| 1 , z
| y z| 1 x z(1 i3 ) 0
f(z) lim f(z z)f(z) u i v
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
z
x x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程
f'(z)lim f(zz)f(z)
z 0
z
设 ( z)f(z z)f(z)f'(z)
z
则 f (z+ Δz)-f(z)=f (z)Δz+(Δz)Δz (1), 且
lim(z)0
z0
令：f (z+Δz) f (z)=Δu+iΔv，f (z)= a+ib， (Δz)=1+i2 故（1）式可写为
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+1Δx2Δy)
f(z)limf(zz)f(z)
z0
z
[u(xx, y)i v(xx, y)][u(x, y)i v(x, y)]
lim
x0
x
u(xx, y)u(x, y)
v(xx, y)v(x, y)
lim
i lim
x0
x
x0
x
u i v x x
若沿平行于虚轴 z的 z 方z(式 x0)
f(z)limf(zz) f(z)
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。

工程数学《复变函数》(第四版)课件 2-1,2 西安交大

例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：
1 z; 2 f z e x cos y i sin y ; 3 z Rez .
解 1 x iy
u v 1, 1 x y
u v x y
所以函数在复平面内处处不可导，处处不解析。 13
z x iy, ( z x iy )
2 定义是指在点可导的概念，如果f z 在区域 D内处处可导，则称 f ( z ) 在D内可导。例1 求f z z 2的导数 . 解
2 f z z f z z z z 2 lim lim 2 z z lim z 0 z 0 z 0 z z
复变函数
教师：赵璐邮箱：zhaolu.nan@
第二章解析函数
§1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数
f z 在x iy可导可微
？
u x, y ，v x, y 在 x, y 可微.
f z u x, y iv x, y
2
§1 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1 导数
, 定义设函数 w f z 定义于区域 D, z0为D中的一点
z0 z点不出 D的范围 , 如极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 存在, z 0 z
则称 f ( z )在 z0可导, 这个极限值称为 f ( z )在 z0的导数。
9
由于k的任意性 , 得
hz0 z hz0 当z 0时,比值的极限不存在 . z
hz z 仅在z 0处可导 , 而在其他点都不可导 .
2
所以
hz z 在复平面内处处不解析

西安交通大学复数与复变函数教学PPT

共轭复数运算的性质
3). z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
4). z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
西安交通大学
记
C={z | z=x+iy, x, y R }
y y
复数域
z x iy
P ( x, y)
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
例5. 用复数方程表示曲线：
1). ( x 1) 2 ( y 2) 2 4 2). y 5
解： ( x 1)2 ( y 2)2 | x 1 i ( y 2) |2 | z (1 2i ) |2 1）所以，1）的方程为或 z (1 2i ) 2e i , ( ) | z (1 2i ) | 2 2）
西安交通大学
4. 体现数学之美
简明深刻
和谐
第一章复数与复变函数
§1.复数及其运算
西安交通大学
1.复数
( x 2 1 0) 虚数单位： i 1 x, y 为实数复数：z = x+iy, x =Re(z), z 的实部 y =Im(z), z 的虚部
z的共轭复数： z x iy
x(10 x ) 40
得到 x 5 15, 5 15 很长一段时间内不被人们所理睬。令人困惑，250年几乎没有进展。

2-1复变函数课件西安交通大学

解
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可与 z0可是价 . 导在微等的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？是否可导？解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续可导与连续: 可导与连续处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续但处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导证

2-3复变函数课件西安交通大学

( 2) 幂函数 z 是多值函数 , 具有n个分支 .
1 n
它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的, 内是解析的, ′ 1 1 1 ′ 1 Lnz Lnz n 1 = 1 zn−1. ′ n = en ⋅ z = (n z ) = e nz n
24
e +e , 我们定义余弦函数为 cos z = 2 e iz − e − iz . 正弦函数为 sinz = 2i
b bLna
a b 也是多值的 . (1) 当 b 为整数时 ,
a b = e bLna = e b[ln a + i ( arga + 2 kπ )] b (ln a + iarga )+ 2 kbπi = e b ln a , a b具有单一的值 . =e
16
p ( 2) 当 b = ( p与q为互质的整数 , q > 0)时, q
x
Arge z = y + 2kπ ( k为整数 )
其辐角主值 arg e z 为区间(-π, π]内的一个辐角.
求出下列复数的辐角主值: 例2 求出下列复数的辐角主值
(1)e 2+ i ; ( 2)e 2− 3 i ; ( 3)e 3+ 4 i ; (4)e − 3−4 i ; (5)e iα − e iβ (0 ≤ β < α ≤ 2 π ).
a =e
1 n
1 Lna n
=e
1 ln a n
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ + n n
18
cos arga + 2kπ i sin arga + 2kπ n =a + = a, n n