北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学理试题(有答案)

北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测 高二年级数学理科试卷 2018.1（考试时间100分钟 满分 120分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 命题“x ∀∈R ，sin 0x x +>”的否定是A. x ∀∈R ，sin 0x x +≤B. 0x ∃∈R ，00sin 0x x +≤C. 0x ∃∈R ，00sin 0x x +>D. x ∀∈R ，sin 0x x +≥2.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题为假命题．．．的是 A. 若//αβ，m α⊥，//n β，则m n ⊥ B. 若αβ⊥，αγ⊥，则//βγ C. 若//αβ，m α⊂，则//m β D. 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ 3．“3a =”是“直线40x y -+=与圆()()2238x a y -+-=相切”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别是侧棱PA ，PB ，PC 的中点. 给出下列三个结论：①//BC 平面DEF ；②平面//DEF 平面ABC ；③三棱锥P DEF -与三棱锥P ABC -的体积比为1:4．其中正确的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35.已知圆1O ：224240x y x y +-++=，圆2O ：22(1)4x y -+=，则两圆的位置关系为 A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切6. 已知如图为某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为A. 1B.C. 3D. 37. 设F 是抛物线C ：28y x =的焦点，P 是抛物线C 上一点，点M 在抛物线C 的准线上，若4FM FP =，则直线FP 的方程为A. 2)y x =±-B.(2)y x =±-C. 2)y x =-D.(2)y x =- 8. 已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=(a ，b 不同时为0)的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为A.B. 1C. 1D. 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.9. 在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)P 关于平面xOz 对称的点的坐标为 ． 10. 若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且120AOB ︒∠=，则r 的值为 ．11. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_______.12. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， E ，F ，K 分别为棱11A D ，1CC 和BC 的中点，则三棱锥1K EFB -的体积为 ．13. 已知平面内圆心为M 的圆的方程为22(3)16x y -+=，点P 一点，若线段PA 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是 ．（请将下列符合条件的序号都填入横线上）①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.14．设平面内到点(1,0)和直线1x =-的距离相等的点的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为 ；若直线l 与曲线C 相交于不同两点P ，Q ，与圆()()22230x y r r -+=>相切于点T ，且T 为线段PQ 的中点．在r 的变化过程中，满足条件的直线l 有n 条，则n 的所有可能值为 ．三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1A15. （本小题满分11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）求证：CP BD ⊥；（Ⅱ）若E ，T 分别为线段PA ，BC 的中点，求证：//BE 平面PDT ．16. （本小题满分11分）在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 到两定点(2,0)M -，(1,0)N 的距离的比值为2的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点M ，且点N 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程，并判断直线l 与曲线C 的位置关系．17. （本小题满分14分）如图1，在M B C △中，24BM BC ==，BM BC ⊥，A ，D 分别为BM ，MC 的中点．将MAD △沿AD 折起到PAD △的位置，使90PAB ∠= ，如图2，连结PB ，PC ． （Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G AD P --PGPC的值；若不存在，请说明理由．18. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ．过定点(0,2)P 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A ，B （点B 在点A ，P 之间）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若PB PA λ=，求实数λ的取值范围；（Ⅲ）若射线BO 交椭圆C 于点M （O 为原点），求ABM △面积的最大值．北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测高二年级数学学科（理科）参考答案 2018.1一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分，答案写在答题卡上.三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15） （本小题满分11分）（Ⅰ）证明：连结AC ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为AC PA A = ，所以BD ⊥平面PAC ．故CP BD ⊥． ………………… 5分 （Ⅱ）证明：取PD 中点F ,连结EF ，TF ．又因为E 为线段PA 中点，所以//EF AD ，1=2EF AD ．因为四边形ABCD 为菱形，T 为线段BC 的中点，所以//BT AD ，1=2BT AD ． 所以//EF BT，=EF BT ．故四边形BEFT 为平行四边形，所以//BE FT ． 又因为BE ⊄平面PDT ，FT ⊂平面PDT ，所以//BE 平面PDT ． ………………… 11分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）设(,)P x y 为所求曲线C 上任意一点，DTPB由题意得，2PM PN=．又(2,0)M -，(1,0)N ，22(2)4x y -+=．故曲线C 的方程为22(2)4x y -+=． ………………… 5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时,不符合题意． 设直线l 的方程为(2)y k x =+, 因为点N 到直线l 的距离为1,1=,解得k =所以直线l的方程为2)y x =+,即20x ±+=．因为圆心C 到直线l 的距离为423<(半径), 所以直线l 与曲线C 相交． ………………… 11分（17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证法一：因为A ，D 分别为MB ，MC 中点，所以AD //BC ．因为BM BC ⊥，所以BM AD ⊥．所以PA AD ⊥． 因为90PAB ∠=︒，所以PA AB ⊥．又因为AB AD =A ，所以PA ⊥平面ABCD ．又因为PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．证法二：因为A ，D 分别为MB ，MC 中点，所以AD //BC ．因为BM BC ⊥，所以BM AD ⊥．所以PA AD ⊥，AB AD ⊥． 所以PAB ∠为二面角P AD B --的平面角．因为90PAB ∠=︒，所以二面角P AD B --为直二面角，即平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………… 4分（Ⅱ）解： 因为PA AB ⊥，PA AD ⊥，90PAB ∠=︒，所以AP ，AB ，AD 两两互相垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，依题意有(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,2)P ，(1,1,1)E ．则(2,2,2)PC =- ，(1,0,1)DE = ，(2,1,0)BD =- ，(2,0,2)BP =-，(2,2,0)AC = ，(2,0,0)AB =．设平面PBD 的一个法向量111(,,)x y z =n ，DCBP (M )A E则有0,0,BD BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即111120,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令12y =得11x =，11z =．所以=(1,2,1)n ． 设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,DE θ=<>==n 故直线DE 与平面PBD． ………………… 9分 （Ⅲ）解：假设线段PC 上存在一点G ，使二面角G AD P --设000(,,)G x y z ，(01)PGPCλλ=≤≤，则(01)PG PC λλ= ≤≤，即000(,,2)(2,2,2)PG x y z PC λλλλ=-==-．所以(2,2,22)G λλλ-，(0,1,0)AD = ，(2,2,22)AG λλλ=-.易得平面PAD 的一个法向量为1(1,0,0)=n ．设平面ADG 的一个法向量2222(,,)x y z =n ，则有220,0,AD AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即22220,22(22)0y x y z λλλ=⎧⎨++-=⎩．令2z λ=，则2(1,0,)λλ=-n ．若二面角G AD P --则有121212cos ,⋅<>==n n n n n n=， 解得，112λ=-，214λ=．又因为01λ≤≤，所以14λ=．故线段PC 上存在一点G ，使二面角G AD P --14PG PC =． ……… 14分（18） （本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为(0)c c >，由题意，1c =，又因c e a ==a = 由222b ac =-，解得21b =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时，其方程为0x =，此时，(0,1)B ，(0,1)A -，(0,1)PB =-，(0,3)PA =- ，由PB PA λ= ，得13λ=．当直线l 斜率存在时，设其为k ，则直线l 方程为2(0)y kx k =+≠．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,2)PA x y =- ，22(,2)PB x y =-． 由PB PA λ= ，可得2121,2(2),x x y y λλ=⎧⎨-=-⎩则21212()12x x x x λλ++=- ． （1）由221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(2)2x kx ++=，即22(12)860k x kx +++=．判别式226424(12)0k k ∆=-+>，解得232k >．且122812k x x k -+=+，122612x x k =+， 将其代入（1）得， 222132322213(12)3(2)k k k λλ+=-=-++，由21203k << ， 11023λλ<+<， 解得133λ<<．又因B 在A ，P 之间，所以113λ<<．综上可得，λ的取值范围是1[,1)3． ………………… 9分（Ⅲ）由椭圆的对称性可知，||||BO OM =，2ABM AOB S S ∆∆=． 设点O 到直线l 的距离为d ，由（Ⅱ）可知232k >， 且1||2AOB S AB d ∆=⨯121||2x x =-12||x x =-当且仅当22162323k k -=-23()2k >，即272k =时取“=”， 即max max ()2()ABM AOB S S ∆∆==， 故ABM ∆． ……… 14分。