)数学分析专题研究模拟试题及参考答案
《数学分析选论》习题全解 模拟试题及答案
《 数学分析续论 》模拟试题及答案一、 单项选择题（56⨯'）（１）设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有 ．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．j n j n n a a ∞→∞→=lim lim ； Ｂ．{}n a 不一定收敛； Ｃ．{}n a 不一定有界；Ｄ．当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有Ａ成立．（２）设)(x f 在R 上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．当I 为开区间时)(I f 必为开区间； Ｂ．当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间； Ｃ．当)(I f 为开区间时I 必为开区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）设)(x f 在某去心邻域)(0x U 内可导．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若A x f x x ='→)(lim 0存在，则A x f =')(0；Ｂ．若f 在0x 连续，则A 成立；Ｃ．若A x f =')(0存在，则A x f x x ='→)(lim 0；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设)(x f 在],[b a 上可积，则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续； Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点； Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密； Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密．（５）设∑∞=1n nu 为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1n n u 收敛； Ｂ．若∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u u ；C ．若∑∞=1n nu 收敛，则1lim<∞→nn n u ； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．二、计算题（401⨯'）（１）试求下列极限：①⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim ； ② ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∞+→xt x t x tt 022022lim d ed e ．（２）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220． 试求)()(0u f u f ''与． （３）试求由曲线 12-=x y ，直线2=x ，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 S ．（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）导出从固定点),(00y x 到直线0=++C y B x A 的距离计算公式．三、证明题（301⨯'）（１）设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续．试证：若)()(,)()(b g b f a g a f ><，则必存在),(0b a x ∈，满足)()(00x g x f =．（２）证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)（３） 证明：∑∞=π=+-0412)1(n n n ．解 答一、［答］（１）Ａ； （２）Ｃ； （３）Ｂ； （４）Ｄ； （５）Ｄ． 二、［解］（１） ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n ；②.022limd 2limd 2limd ed e lim2222222220200220====⎪⎭⎫⎝⎛∞+→∞+→∞+→∞+→⎰⎰⎰⎰x x x x x tx x xt xx xt xt x x t ttt eeee ee e（２） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-='++515242)(,e 2e 2)(55022222222e e u f y x xy x y y x u f y x y x ．（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为.212)3(01)3()1()1(3312122=-+-=-+-=⎰⎰x x x x xx x x S d d（４）由题意，所求距离的平方（2d ）为020)()(y y x x -+-的最小值，其中),(y x 需满足0=++C By Ax ，故此为一条件极小值问题．依据 Lagrange 乘数法，设)()()(2020C By Ax y y x x L ++λ+-+-=，并令⎪⎩⎪⎨⎧.0,0)(2,0)(200=++==λ+-==λ+-=λC y B x A L B y y L A x x L y x （Ｆ）由方程组（Ｆ）可依次解出：.2200202022200222202022********)()(,)()(4)()(,2,)(2,2,2BA C yB x A y y x x d B AC y B x A B A y y x x BA C yB x A B A y B Ax y B x AC By y Ax x +++=-+-=⇒+++=+λ=-+-⇒+++=λ⇒+λ-+=+=-λ-=λ-=最后结果就是所求距离d 的计算公式．注 上面的求解过程是由（Ｆ）求出λ后直接得到2d ，而不再去算出y x 与的值，这是一种目标明确而又简捷的解法． 三、［证］（１）只需引入辅助函数：)()()(x g x f x h -=．易知)(x h 在],[b a 上连续，满足0)(,0)(><b h a h ，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在),(0b a x ∈，满足0)(0=x h ，即)()(00x g x f =．（２）x x x f ln )(=的定义域为),0(∞+，在其上满足：),0(,01)(,1ln )(∞+∈>=''+='x xx f x x f ， 所以)(x f 为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有.)(ln )3(ln )ln ln ln (31)3(ln 3cb ac b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a <++⇒++<++++++最后借助函数x ln 的严格递增性，便证得不等式c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3．（３）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把该级数的和看作幂级数=)(x S ∑∞=++-01212)1(n n n n x 在1=x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1[-，经逐项求导得到]1,1[,)1()(02-∈-='∑∞=x x x S n n n ；这已是一个几何级数，其和为]1,1[,11)()(22-∈+=-='∑∞=x xx x S n n ．再通过两边求积分，还原得⎰⎰=+='=-xxx t tt t S S x S 02,arctan 11)()0()(d d由于这里的0)0(=S ，于是求得∑∞=π===+-041arctan )1(12)1(n n S n ．。
数学分析试卷及答案6套
f ( x1 ) f ( x2 ) .
g ( x) ,x 0 九. (12 分)设 f ( x) x 且 g (0) g (0) 0 , g (0) 3 , 求 f (0) . 0, x 0
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
lim
h 0
1 h
x
a
[ f (t h) f (t )] dt f ( x) f (a).
六 (10 分 ) 求椭圆区域 R : (a1 x b1 y c1 ) 2 (a2 x b2 y c2 ) 2 1 (a1b2 a2b1 0) 的 面积 A . 七 (10 分) 设 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 ) dx dy dz ，其中 V : x 2 y 2 z 2 t 2 (t 0) ，
四. (12 分)证明函数 f ( x)
五. (12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12 分)确定 a, b 使 lim ( x 2 x 1 ax b) 0 .
x
1 5 八. (14 分)求函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 在 [ , ] 的最大值与最小值. 4 2
x x0
x x0
1 1 . f ( x) b
三. (10 分)设 an 0 ,且 lim
an l 1 , 证明 lim an 0 . n n a n 1
四. (10 分 ) 证 明 函 数 f ( x) 在 开 区 间 ( a, b) 一 致 连 续 f ( x) 在 ( a, b) 连 续 , 且
数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析专题研究试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈∀，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。
3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点0x 可导。
4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。
5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。
6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈∀α，有 成立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。
二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设f ：Y X →，X A ⊂∀，则A （ ）))((1A f f-A. =B. ≠C. ⊃D. ⊂2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈∀，有1)(0<<x f ，则（ ）。
A. )(x f '有界 B. )(x f '无界 C. )(x f 可积 D. )(x f 不可积3．已知函数)(x f 与)(x ϕ在[a,b]上可导，且)(x f < )(x ϕ，则（ ）。
A. )(x f '≠)(x ϕ' B. )(x f '<)(x ϕ' C )(x f '>)(x ϕ' D. 前三个结论都不对4．已知⎩⎨⎧∈∈=]2,1(2]1,0[1)(t t t f ，对于]2,0[∈x ，定义⎰=xtt f x F 0d )()(，则)(x F 在区间[0，2]上（ ）。
A. 连续B. 不连续C. 可导D. 前三个结论都不对 5．已知)(x f 是区间],[b a 上的严格下凸函数，则（ ）。
)数学分析专题研究模拟试题及参考答案
数学分析专题研究模拟试题及参考答案一、单项选择题1．A ，B ，C 是三个集合，C B A ⊂，则有（ ）成立。
A. 若A x ∈，则B x ∈B. 若A x ∈，则C x ∈C. 若A x ∈，则C B x ∈D. 若C B x ∈，则A x ∈答案：D2． 设12)(2-+-=x x x f 则R R f →:是（ ）A. 双射B. 既非单射也非满射C.单射而非满射D. 满射而非单射答案：B3．下列数集（ ）不是可列集.A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．实数集答案：D4．已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内（ ）.A ．连续B ．间断C ．有界D ．无界答案：A5．有界闭凸集S 上的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（ ）达到.A ．内部B ．外部C ．边界S ∂D ．可能是内部也可能在边界S ∂答案：C二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==，则________________=⨯A B . 答案：)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c2．设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是 . 答案：等价关系3．若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射，则集合A 是 .答案：无限集4．=ix e .答案：x i x sin cos +5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(，则ln(_____))(=x f . 答案：x +1三、计算题1．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .解：34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x故86)(2+-=x x x f2．求函数x x x f 1)(+=的极值. 解 令 011)(2=-='x x f 解得 1±=x 312)(xx f ⋅=''，,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值 ； ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。
数学分析模拟试题2及参考答案
数学分析模拟试题2及参考答案一、叙述题： 1、 开集和闭集2、 函数项级数的逐项求导定理3、 Riemann 可积的充分必要条件 二、计算题：） 1、⎰-9131dx x x2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数nn n x n ∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域 4、11lim222200-+++→→y x y x y x5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三、讨论与验证题：1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠+++=0,0001sin )(),(222222y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数∑∞=-+12211ln n n n 的敛散性。
3、讨论函数项级数]1,1[)1(11-∈+-∑∞=+x n x n x n n n 的一致收敛性。
四、证明题：1、 若⎰+∞adx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞→x f x2、 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。
参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
2、 设函数项级数∑∞=1)(n nx u满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导（2）∑∞=1)(n nx u在[a ，b]点态收敛于)(x S（3）∑∞=1')(n x un在[a ，b]一致收敛于)(x σ则)(x S =∑∞=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞=∞==11)()(n n n nx u dx dx u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max 1→∆=≤≤i ni x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等二、1、令31x t -=（2分）7468)1(31233913-=--=-⎰⎰-dt t t dx x x 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，所求的体积为：b a dx y y aa 2222212)(ππ=-⎰- 3、解：由于e n n n n n n nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e 1，当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n n n ，所以收敛域为)1,1(ee -4、：2)11(lim )11)(11()11)((lim11lim2200222222220222200=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x 5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f 136)2,1,2(=-l f三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=000)1cos 11(sin 22222222222y x y x yx y x y x x f x 由于22221cos 1yx y x ++当趋于（0，0）无极限。
数学专题研究试题（09秋）模拟试题1参考答案
数学专题研究试题（09秋）模拟试题1参考答案第一篇：数学专题研究试题(09秋)模拟试题1参考答案数学分析专题研究试题（09秋模拟试题（一））参考答案一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．D；2.B；3.D；4.A；5.C二、填空题（每小题4分，共20分）1．{(c,a),(c,b),(d,a),(d,b)} 2.等价关系；3.无限集；4.cosx+isinx；5.1+x.三、计算题（每小题15分，共30分）1．解f(x+1)=x2-4x+3=(x+1)2-6(x+1)+8故f(x)=x2-6x+815分2．解令 f'(x)=1-f''(x)=2⋅分f''(-1)=-2<0,故x=-1是极大值点，f(-1)=-2是极大值。
15分四、证明题（每小题15分，共30分）1=0解得 x=±18分 2x1，f''(1)=2>0,故x=1是极小值点，f(1)=2是极小值；12x31.证明：若f(0)=0或f(1)=1，则x0可取为0或1.n否则有f(0)>0且f(1)<1,设ϕ(x)=f(x)-x，ϕ(x)是[0,1]上的连续函数，且ϕ(0)=f(0)>0，ϕ(1)=f(1)-1<010分n由连续函数的介值定理知，至少有一点x0∈(0,1)，使ϕ(x0)=0，即f（x0)=x015分2．证明已知sinx在(0,π2)内是上凸函数，故有1ABC1A1B1C[sin+sin+sin]≤sin[++] 322232323211=sin(A+B+C)=10分 62ABC1ABC3131因此sin⋅sin⋅sin≤{(sin+sin+sin)}≤()=15分222322228第二篇：09秋模拟试卷及答案中国石油大学（北京）远程教育学院 2009 年秋季期末考试毛泽东思想概论模拟试卷A一单项选择（每题2分，共20分，将正确序号写入答题纸相应位置）1毛泽东思想的初步形成是在（）。
南京师范大学数学分析考研复习模拟题一及答案
则存在惟一的 [ a n , bn ] ， n 1, 2 , ． ［证（２） ］设 x n 为递减且有下界 M 的数列，欲证 x n 收敛．为此构造区间套 如下：令 [ a1 , b 1 ] [ M , x1 ] ；记 c 1
a 1 b1 2
，再令
[ c 1 , b1 ] , 若 c 1 是 x n 的下界 , [ a2 , b 2 ] [ a 1 , c 1 ] , 若 c 1 不是 x n 的下界 ;
x1 x 2 x n a
之下，这 n 个正数的和 x1 x 2 x n 的最小值为 n n a ．并由此结果推出以下不等 式：
n
x1 x 2 x n
x1 x 2 x n ． n
［证］用 Lagrange 乘数法，设
L x1 x 2 x n ( x1 x 2 x n a ) ，
下面证明 H E F 为开集． 为此任取 p H ， ［证 （２） ］ 设 E 、F R 都为开集， 由 H E F ，则 p E 或 p F ．根据开集定义， 0 ，使得 U ( p ; ) E ，或
2
U ( p ; ) F ，从而 U ( p ; ) H ．这就证得 H E F 为 R 2 中的一个开集．
专业课复习资料（最新版）
封
面
模拟题一
一、 实数完备性问题． （１５分） ( 1 ) 叙述单调有界定理与区间套定理； ( 2 ) 用区间套定理证明单调有界定理． ［答（１） ］单调有界定理：单调有界数列必定存在极限． 区间套定理：若 [ a n , bn ] 为一区间套，即满足： ① [ a n 1 , bn 1 ] [ a n , bn ] , n 1, 2 , ； ② lim ( bn a n ) 0 ，
数学分析专题研究模拟试题及参考答案
数学分析专题研究模拟试题及参考答案一、单项选择题1.A ，B ,C 是三个集合,C B A ⊂，则有( )成立。
A 。
若A x ∈,则B x ∈ B 。
若A x ∈，则C x ∈C 。
若A x ∈，则C B x ∈ Ｄ． 若C B x ∈，则A x ∈答案：Ｄ2． 设12)(2-+-=x x x f 则R R f →:是（ ）A. 双射B. 既非单射也非满射 Ｃ。
单射而非满射 D ． 满射而非单射答案:B3。
下列数集（ ）不是可列集。
Ａ．自然数集 B 。
整数集 Ｃ．有理数集 Ｄ．实数集答案：D4。
已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内（ ）．A ．连续B ．间断C 。
有界D 。
无界答案：Ａ5。
有界闭凸集S 上的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（ ）达到.A ．内部B 。
外部C ．边界S ∂ D.可能是内部也可能在边界S ∂答案：C二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==,则________________=⨯A B .答案：)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c2.设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是 ． 答案：等价关系３。
若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射,则集合A 是 . 答案:无限集4．=ix e .答案：x i x sin cos + 5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(,则ln(_____))(=x f 。
答案：x +1三、计算题１．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ,求)(x f .解:34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x 故86)(2+-=x x x f2．求函数x x x f 1)(+=的极值． 解 令 011)(2=-='x x f 解得 1±=x 312)(x x f ⋅='',,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值 ; ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。
数学分析专题研究(形考二( 提交版)) (1)
1 数学分析专题研究形考2
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1． 已知)(x f y =是单调减少函数，)(y z ϕ=也是单调减少函数，则()()z f x ϕ=是
（ ）.
A. 单调减少函数
B. 单调增加函数
C. 没有单调性
D. 结论不确定
本题答案是：B 2．已知,a b 是实数，0b >，函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x x x x f b a 在[]1,1-上的导函数()f x '有界，则
A ．0a <
B ．0a >
C ．a b >
D ．1a b ≥+
本题答案是：D
3．已知函数)(x f y =在实数集R 上可导，且在R 上()f x '有界，则函数)(x f y =在R 上（ ）.
A ．有界 B. 无界 C. 连续 D. 不连续
本题答案是：C
4．420x -=在实数域内至少有（ ）个实根.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
本题答案是：B
5．)(1t f 与)(2t f 是开区间(0,1)内的有界连续函数，则函数
)()(21t f t f 在(0,1)内（ ）. A. 有界 B. 无界 C. 有定义 D. 结论不确定
本题答案是：D
6．设),(y x P 是二元函数，且)(x f y =使得0))(,(≡x f x P ，则函数)(x f 是（ ）.
A. 有理函数
B. 无理函数
C. 代数函数
D. 超越函数
本题答案是：C。
国开电大-数学分析专题研究-形考任务1-3答案
形考任务1 题目1：标准答案1：题目2：标准答案2：题目3：与自然数集N等势的集合称之为（）标准答案3：可列集题目4：标准答案4：题目5：标准答案5：=题目6：标准答案6：反对称的题目7：标准答案7：半序集题目8：标准答案8：题目9：对整数加法来说，整数集Z中（）标准答案9：零元和负元素都存在题目10：对于复数集C，下列说法正确的是（）.标准答案10：它不能成为有序域二、填空题题目11：标准答案11：三、计算题题目12：标准答案12：题目13：标准答案13：题目14：标准答案14：题目15：标准答案15：题目16：标准答案16：四、证明题题目17：标准答案17：题目18：标准答案18：题目19：标准答案19：题目20：标准答案20：题目21：标准答案21：形考任务2 一、单项选择题题目1：标准答案1：单调增加函数题目2：标准答案2：a≥ 1+b题目3：标准答案3：连续题目4：标准答案4：2题目5：标准答案5：结论不确定题目6：标准答案6：代数函数题目7：标准答案7：稳定点题目8：标准答案8：超越数题目9：标准答案9：1题目10：标准答案10：对数函数是超越函数二、填空题题目11：标准答案11：三、计算题题目12：标准答案12：题目13：标准答案13：题目14：标准答案14：题目15：标准答案15：题目16：标准答案16：四、证明题题目17：标准答案17：题目18：标准答案18：题目19：标准答案19：题目20：标准答案20：题目21：标准答案21：形考任务3 题目1：标准答案1：题目2：标准答案2：题目3：标准答案3：题目4：标准答案4：下凸函数题目5：标准答案5：题目6：下列结论正确的是（）.标准答案6：可微函数的极值点一定是稳定点题目7：标准答案7：前三个结论都不对题目8：标准答案8：题目9：标准答案9：凸集的并集是凸集题目10：函数在稳定点处（）.标准答案10：取得极小值二、填空题题目11：标准答案11：三、计算题题目12：标准答案12：题目13：标准答案13：题目14：标准答案14：题目15：标准答案15：题目16：标准答案16：题目17：标准答案17：题目18：标准答案18：题目19：标准答案19：题目20：标准答案20：题目21：标准答案21：。
数学分析三试卷及答案
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一。
计算题(共8题,每题9分,共７２分)。
1.求函数11(,)f x y y x =在点(0,0）处的二次极限与二重极限。
解：11(,)f x y y x =+=,因此二重极限为。
……（4分）因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在。
……(9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数，其中和分别具有连续的导数和偏导数，求dzdx．解: 对两方程分别关于求偏导：, ……（4分）。
解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++。
……（9分）3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。
设,,22y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续)。
解：看成是,x y 的复合函数如下:,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====。
……（４分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν.整理得:2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂. ……（９分)4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ 解: 设圆桶底面半径为,高为，则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表,()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件： 21r h π=。
……（３分）构造Ｌa ｇra ｎge 函数:22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
国开(中央电大)本科《数学分析专题研究》网上形考(任务1至3)试题及答案
国开（中央电大）本科《数学分析专题研究》网上形考（任务1至3）试题及答案国开(中央电大)本科《数学分析专题研究》网上形考(任务1至3)试题及答案形考任务1 试题及答案题目1: , , 是三个集合, 若, 则有( )成立。
[答案] 题目2: , 则( )。
[答案] 题目3: 与自然数集N等势的集合称之为( )。
[答案]可列集题目4: 设是从到的映射, 则下列说法正确的是( )。
[答案] 题目5: 设, 是两个集合且, 则( )。
[答案]= 题目6: 设是中的关系, 若, 则称为( )。
[答案]反对称的题目7: 设是一集合, 对于, 规定, 则是一( )。
[答案]半序集题目8: 若集合, 则( )。
[答案] 题目9: 对整数加法来说, 整数集中( )。
[答案]零元和负元素都存在题目10: 对于复数集 , 下列说法正确的是( )。
[答案]它不能成为有序域题目11:1.设是中的关系, 若是_______, 对称的, 传递的, 则称是等价关系。
[答案]反身的 2.设是非空的实数集, 若存在实数, 满足1), 有；2)_______, 则称是数集的下确界。
[答案] 3.一个集合若不能与_______建立一个双射, 则称该集合为有限集。
[答案]其任一真子集 4.若集合上的运算满足_______, 则的左零元就是的右零元, 也就是的零元。
[答案]交换律 5.对于半序集合的元素, 若_______, 则称为的极大元。
[答案]任意的都不成立6.既约分数可以化成有限小数当且仅当只含有_______的因数。
[答案]2与5 7._______。
[答案] 8.设是非空有界实数集, 令 , 则_______。
[答案] 9.在自然数集中, 能进行减法运算当且仅当被减数_______减数。
[答案]> 10.若数列单调增加且有________, 则数列收敛。
[答案]上界题目12: 设集合A={1, 2, 3456.7, 8}, 关系D4为整除关系(1)写出集合A中的最大元, 最小元, 极大元, 极小元;(2)写出A的子集B={12, 4}的上界、下界、最小上界和最大下界。
国开电大-数学分析专题研究-形考任务1-3答案
国开电大-数学分析专题研究-形考任务1-3答案形考任务1题目1：下列哪个集合不是可列集？标准答案1：实数集题目3：与自然数集N等势的集合称之为（）标准答案3：可列集题目9：对整数加法来说，整数集Z中（）标准答案9：存在零元和负元素题目10：对于复数集C，下列说法正确的是（）.标准答案10：它不能成为有序域二、填空题题目11：有理数集Q是（）集。
标准答案11：可列三、计算题题目12：计算2^100的末两位数字。
标准答案12：76题目13：计算∫(2x+1)dx在[0,1]上的值。
标准答案13：3/2题目14：计算lim(x→∞)(x^2+1)/(x^2+2x+1)。
标准答案14：1题目15：计算lim(x→0)(sinx)/x。
标准答案15：1题目16：计算lim(x→0)(e^x-1)/x。
标准答案16：1四、证明题题目17：证明有理数集是可列集。
标准答案17：略题目18：证明实数集是不可列集。
标准答案18：略题目19：证明任何实数都可以表示为一个无理数与一个有理数的和。
标准答案19：略题目20：证明对于任意自然数n，总有2^n>n^2.标准答案20：略题目21：证明若a,b∈R，且a<b，则存在有理数r，使得a<r<b。
标准答案21：略形考任务2一、单项选择题题目1：下列哪个函数是单调增加函数？标准答案1：指数函数题目2：若a,b∈R，且a+b=1，则a^2+b^2的最小值为（）。
标准答案2：1/2题目3：函数f(x)=x^2-2x在区间[0,2]上（）。
标准答案3：连续题目4：已知f(x)=x^3-3x^2+3x-1，则f'(1)的值为（）。
标准答案4：2题目5：对于函数f(x)=x^3-3x，下列哪个结论是正确的？标准答案5：结论不确定题目6：下列哪个函数不是代数函数？标准答案6：三角函数题目7：设f(x)在x=c处可导，则c是f(x)的（）。
标准答案7：稳定点题目8：下列哪个数是超越数？标准答案8：π题目9：若f(x)=x^2-2x+1，则f(-1)的值为（）。
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数学分析专题研究模拟试题及参考答案
一、单项选择题
1．A ，B ，C 是三个集合，C B A ⊂，则有（ ）成立。
A. 若A x ∈，则B x ∈
B. 若A x ∈，则C x ∈
C. 若A x ∈，则C B x ∈
D. 若C B x ∈，则A x ∈
答案：D
2． 设12)(2-+-=x x x f 则R R f →:是（ ）
A. 双射
B. 既非单射也非满射
C.单射而非满射
D. 满射而非单射
答案：B
3．下列数集（ ）不是可列集.
A ．自然数集
B ．整数集
C ．有理数集
D ．实数集
答案：D
4．已知函数)(x f y =在)1,0(内可导，且)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内（ ）.
A ．连续
B ．间断
C ．有界
D ．无界
答案：A
5．有界闭凸集S 上的下凸函数)(x f 的最大值必在S 的（ ）达到.
A ．内部
B ．外部
C ．边界S ∂
D ．可能是内部也可能在边界S ∂
答案：C
二、填空题
1．已知},{},,{d c B b a A ==，则________________
=⨯A B . 答案：)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c
2．设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R 是 . 答案：等价关系
3．若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射，则集合A 是 .
答案：无限集
4．=ix e .
答案：x i x sin cos +
5．设n n n x n x f ∑∞
=--=11)1()(，则ln(_____))(=x f . 答案：x +1
三、计算题
1．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .
解：34)1(2+-=+x x x f
8)1(6)1(2++-+=x x
故86)(2+-=x x x f
2．求函数x x x f 1)(+
=的极值. 解 令 011)(2=-
='x x f 解得 1±=x 312)(x
x f ⋅=''，,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值 ； ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。
四、证明题
1．设)(x f y =是从]1,0[到]1,0[的连续函数，则存在点]1,0[0∈x ，使n x x f 00)(=，其中n
是一个非零自然数.
证明：若0)0(=f 或1)1(=f ，则0x 可取为0或1. 否则有0)0(>f 且,1)1(<f 设n x x f x -=)()(ϕ，)(x ϕ是]1,0[上的连续函数，且0)0()0(>=f ϕ，01)1()1(<-=f ϕ
由连续函数的介值定理知，至少有一点)1,0(0∈x ，使0)(0=x ϕ，即n x x f 00)=（
2．设C B A ,,为三角形的三个内角，求证
8
12sin 2sin 2sin ≤⋅⋅C B A . 证明 已知x sin 在)2,0(π
内是上凸函数，故有
]2
31231231sin[]2sin 2sin 2[sin 31C B A C B A ++≤++ 2
1)(61sin =++=C B A 因此8
1)21()}2sin 2sin 2(sin 31{2sin 2sin 2sin 33=≤++≤⋅⋅C B A C B A
凡事发生，必有利我！因为凡事都是我赋予它意义，它才对我有意义。
而我的思维模式已经调整成“赋予所有事情对我有利的意义”了。
什么叫做说话的高手？说的人家舒服、感动，同时愿意按你说的做。
这就是语言的魅力。
你对爱的定义是什么？通过你说话我就知道。
哭泣女：“给他做了20年饭，从来没听他夸我一句。
”——她的爱是“肯定、赞许”
委屈男：“不管她做的好吃不好吃，我不全都吃掉了嘛”——他的爱是“行动”
“纪念日、生日，买个包包就完了，从没见他在家过！”——她的爱是“陪伴”，他的爱是“礼物”。