抛物线与x轴的交点
党团范文 抛物线与x轴交点公式 6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧,它们的距离的平方等于,则的值为( )
抛物线与x轴交点公式 6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为( )函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系;2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况;3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
精典例题：【例1】已抛物线(为实数)。
(1)为何值时，抛物线与轴有两个交点?(2)如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。
略解：(1)由已知有，解得且(2)由得C(0，-1)又∵∴∴或∴或【例2】已知抛物线。
(1)求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上;(2)设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求的值。
(3)在(2)的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P?解析：(1)，由，可得证。
(2)=又∵∴解得或(舍去)∴(3)，顶点(5，-9)，∵∴⊙M不经过抛物线的顶点P。
评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。
探索与创新：【问题】如图，抛物线，其中、、分别是△ABC的A、B、C的对边。
(1)求证：该抛物线与轴必有两个交点;(2)设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形;(2)当时，设抛物线与轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与轴相切的圆?若存在这样的圆，求出圆心的坐标;若不存在，请说明理由。
解析：(1)∵，∴(2)由得由得：设E(，)，F(，)，那么：，由∶=5∶1得：∴或由知应舍去。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、函数定义与表达式1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。
二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。
二、函数图像的性质——抛物线1）开口方向——二次项系数a二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。
顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。
y = 2x^2y = x^2y = (1/2)x^2y = -(1/2)x^2y = -x^2y = -2x^22）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴顶点式：x = h两根式：x = x1、x = x23）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当x。
-b/2a时），y随着x的增大而增大；当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线初中知识点总结
抛物线初中知识点总结：
抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，这条直线与抛物线只有一个交点，即抛物线的顶点P，当b=0时，对称轴是y轴。
抛物线的顶点坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，当-b/2a=0时，P点在y轴上。
二次项系数a决定了抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口，|a|越大，开口越小。
一次项系数b和二次项系数a共同决定了对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a与b异号时，对称轴在y轴的右侧。
常数项c决定了抛物线与y轴的交点，抛物线与y轴的交点为(0，c)。
抛物线与x轴的交点可以通过Δ=b^2-4ac来判断，当Δ>0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。
直线与抛物线的交点问题-教师版
直线与抛物线的交点问题一、抛物线与坐标轴的交点1．抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于A 、B （A 在B 左边），且4AB =，求A 、B 的坐标．【答案】可得对称轴1x =-，因为4AB =，所以()30A -，，()10B ， 2．抛物线226y x x m =++与x 轴交于A 、B ，且2AB =，求m 的值． 【答案】可得对称轴32x =-，因为2AB =，所以A 、B 点的坐标是502⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入可得1302m -+=，所以52m = 3．已知抛物线277y kx x =--的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．【答案】依题意得492800k k ⎧∆=+⎨≠⎩≥，解得74k -≥且0k ≠ 一、直线与抛物线的交点4．直线23y x =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求AB 的长．【答案】联立223y x y x =+⎧⎨=⎩，可得2230x x --=，所以()11A -，，()39B ，AB 5．已知直线l ：23y x =-与抛物线C ：215322y x x =++． （1）求证：抛物线C 与直线l 无交点．（2）若与直线l 平行的直线与抛物线C 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【答案】（1）联立21532223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-⎩，可得2111022x x ++=，100∆=-＜ 所以抛物线C 与直线l 无交点（2）设与直线l 平行的直线解析式为：23y x k =-+联立21532223y x x y x k⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，210k ∆=-因为与抛物线C 只有一个公共点∴2100k -=，5k =代入得211022x x ++= ∴1x =-∴()10P -，6．已知抛物线2y x h =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC AB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线2y x b =+被抛物线截得线段长为230，求b 的值．【答案】 解：（1）如图由题意，OA OB =， OC AB =，12OA OB h ∴==-， ∴点B 坐标1(2h -，0)， 把点B 坐标代入2y x h =+得到，2104h h =+，解得4h =-或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为24y x =-．（2）设直线2y x b =+与抛物线24y x =-的交点为1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ． 由242y x y x b⎧=-⎨=+⎩消去y 得到2240x x b ---=， 122x x ∴+=，124x x b =--，由此可得1242y y b +=+，21216y y b =-， 22121212()()4420x x x x x x b ∴-=+-=+， 同理可得()()()2222121212()4424161680y y y y y y b b b -=+-=+--=+， 230EF =，4201680120b b ∴+++=，1b ∴=．。
完整版)抛物线知识点归纳总结
完整版)抛物线知识点归纳总结抛物线是一种经典的二次函数图像，具有许多重要的特点和性质。
以下是对抛物线知识点的详细总结。
1.定义：抛物线是平面上一点P到定点F的距离等于点P到定直线上一点的距离的轨迹。
2.构成：抛物线由平面上的点集组成，由对称轴与焦点决定。
3. 表达式：一般形式的抛物线方程是y=ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
4.开口方向：抛物线开口方向由a的正负决定，如果a大于0，抛物线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。
5.对称轴：抛物线的对称轴是一条与抛物线的开口方向垂直的直线，由方程x=-b/2a给出。
6. 焦点：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的定点F，其坐标为((-b/2a), (4ac-b^2)/4a)。
7.直径：抛物线的直径是通过焦点且与抛物线相交于两点的直线。
8.非退化抛物线：当a不等于0时，抛物线是非退化的，并且它的对称轴是直线x=-b/2a。
9.顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，它是通过对称轴的纵坐标最小（或最大）的点。
10.切线：抛物线上任意一点的切线是通过该点并且与抛物线仅有一个交点的直线。
11.弦：抛物线上的弦是通过抛物线上两个点并且与抛物线仅有两个交点的线段。
12. 与X轴交点：抛物线与X轴的交点可通过求解方程ax^2 + bx +c = 0得到。
13.与Y轴交点：抛物线与Y轴的交点是抛物线上当x=0时的点，即把x替换为0后求解方程得到。
14.对称性：抛物线具有关于对称轴对称的性质，即对称轴上的一点关于对称轴上的另一点的映射是自身。
15.焦点和直角三角形：抛物线上两点和焦点构成的三角形是直角三角形。
16.抛物线的图像：抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的弧线，形状可以通过方程中的系数来确定。
17.抛物线的平移：抛物线可以通过平移来改变其位置，平移的方式是通过方程中的常数项来实现。
18.抛物线的拉伸/压缩：通过改变抛物线方程中的a的值，可以改变抛物线的宽度。
高二抛物线知识点总结
高二抛物线知识点总结定义与方程：抛物线是一种二次曲线，其定义方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
对称轴与顶点：对称轴是与开口部分的抛物线垂直的直线，其方程为 x = -b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P，其坐标为 P(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
当-b/2a=0时，顶点P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，顶点P 在x轴上。
开口方向与大小：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，抛物线的开口越小。
对称轴位置：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b 同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
与坐标轴的交点：常数项c决定抛物线与y轴的交点，交点坐标为(0, c)。
抛物线与x轴的交点个数由Δ=b^2-4ac决定。
当Δ>0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。
焦点与准线：抛物线的焦点和准线与其方程和系数有关。
垂直于准线并通过焦点的线（即抛物线的对称轴）与抛物线的交点为顶点。
抛物线的性质与应用：抛物线具有镜像对称性，并且是几何相似的。
抛物线在几何光学和力学中有重要的应用，例如抛物面天线、抛物线麦克风和汽车前照灯反射器等。
综上所述，高二抛物线知识点涵盖了定义、方程、对称轴、顶点、开口方向与大小、对称轴位置、与坐标轴的交点、焦点与准线以及抛物线的性质与应用等方面。
这些知识点是理解和应用抛物线的基础，对于进一步学习和解决实际问题具有重要意义。
每每问题练习题初三
每每问题练习题初三1. 小明在参加初三数学测试时遇到了一道难题：已知抛物线y =2x^2 + 3x + 1，求该抛物线与x轴的交点坐标。
解析：当抛物线与x轴有交点时，即y = 0，将y代入方程得到：2x^2 + 3x + 1 = 0。
这是一个一元二次方程，可以使用求根公式或配方法求解。
根据求根公式，x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
将a = 2，b = 3，c = 1代入得到：x = (-3 ± √(3^2 - 4*2*1)) / (2*2)。
化简后得到：x = (-3 ±√(9 - 8)) / 4，即 x = (-3 ± 1) / 4。
计算可得到两个解：x1 = -1，x2 = -1/2。
所以，该抛物线与x轴的交点坐标为(-1, 0)和(-1/2, 0)。
2. 假设有一边长为5cm的正方形，将其中一条边的一半折起与另一边的一半对折，求折叠后形成的图形的周长和面积。
解析：首先，将正方形的一条边一分为二，此时边长变为5cm的一半，即2.5cm。
然后，将折起的一半与另一边的一半对折，形成一个新的图形。
由于折叠后形成的图形是由两个等腰直角三角形组成的，可以计算出每个三角形的周长和面积。
首先计算周长：每个三角形的两条直角边长都是2.5cm，而斜边的长度可以使用勾股定理计算得到，即斜边的长度为√((2.5cm)^2 +(2.5cm)^2) = √(6.25cm^2 + 6.25cm^2) = √(2 * 6.25cm^2) = √(12.5cm^2) =3.54cm。
所以每个三角形的周长为2.5cm + 2.5cm + 3.54cm = 8.54cm。
然后计算面积：每个三角形的面积可以使用公式S = 1/2 * 底 * 高来计算，其中底和高都是2.5cm，所以每个三角形的面积为1/2 * 2.5cm * 2.5cm = 3.125cm^2。
由于折叠后形成的图形是由两个三角形组成的，所以整个图形的面积为2 * 3.125cm^2 = 6.25cm^2。
抛物线与x轴的交点坐标公式
抛物线与x轴的交点坐标公式抛物线是一种经典的二次曲线，它的形状独特而美丽。
我们可以通过求解抛物线与x轴的交点来了解抛物线的性质和特点。
在本文中，我们将介绍如何推导出抛物线与x轴的交点坐标公式，并且探讨一些相关的应用。
让我们来回顾一下抛物线的定义。
抛物线是一个平面曲线，由所有与一个定点（焦点）到一个定直线（准线）的距离相等的点组成。
它的数学表示形式是一个二次方程，通常写作y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
要求解抛物线与x轴的交点，我们需要找到满足方程y = ax^2 + bx + c的x值。
当抛物线与x轴相交时，y的值为0，所以我们可以将方程改写为0 = ax^2 + bx + c。
为了解这个二次方程，我们可以使用求根公式。
根据一元二次方程的求根公式，对于一般形式的二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的根可以通过以下公式计算得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)现在，我们可以将这个公式应用于我们的抛物线方程0 = ax^2 + bx + c。
根据求根公式，我们可以得到两个根，分别记作x1和x2：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)这两个根分别对应于抛物线与x轴的交点的横坐标。
而纵坐标则是0，因为交点在x轴上。
所以，我们可以得到抛物线与x轴的交点坐标公式：交点1坐标：(x1, 0)交点2坐标：(x2, 0)值得注意的是，当判别式b^2 - 4ac为负数时，方程没有实数解，这意味着抛物线与x轴没有交点。
当判别式等于零时，方程有一个重根，抛物线与x轴相切于一个点。
抛物线与x轴的交点坐标公式在很多实际问题中都有很大的应用价值。
例如，在物理学中，抛物线的运动轨迹可以用来描述抛体在重力作用下的运动。
当抛体落地时，它与地面的交点坐标即为抛物线与x轴的交点坐标。
抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式
抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式1. 引言1.1 什么是抛物线抛物线是平面几何中非常重要的一种曲线，它是一种U形的曲线，可以由二次方程定义。
在笛卡尔坐标系中，抛物线通常是关于x轴对称的。
抛物线在数学、物理等领域都有着广泛的应用，比如在物理学中描述抛物运动的轨迹、在工程学中设计拱形结构等。
抛物线的形状是由一条直线（焦点到直线）和一定点（焦点）组成的几何图形。
在抛物线上，每个点到焦点的距离等于这个点到直线的距离。
这也是抛物线得名的原因，因为“parabola”在希腊语中意为“平行”。
抛物线有许多重要的性质，比如焦距、准线等，它们对于抛物线的性质和特征有着重要的作用。
抛物线是一种非常有趣和重要的曲线，它在数学中有着深远的影响，也在实际生活和工程中有着广泛的应用。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式，有助于我们更深入地理解抛物线的性质和特点，也有助于我们解决与抛物线相关的问题和应用。
【这里可以添加更多内容，或者过渡到下一个部分】。
1.2 为什么要研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式抛物线是代数曲线的一种特殊形式，它在数学和物理领域都有广泛的应用。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式，可以帮助我们更深入地理解抛物线的性质和特点。
通过分析抛物线与坐标轴的交点，我们可以探讨抛物线在不同位置的表现，了解其与坐标轴的关系。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式还可以帮助我们解决实际问题中的数学计算和建模工作。
通过求解抛物线与x轴的交点，我们可以确定抛物线的零点，从而找到函数的根；通过求解抛物线与y轴的交点，我们可以确定抛物线的焦点坐标；通过求解抛物线与y=x线的交点，我们可以推导出抛物线的对称性质。
研究抛物线与坐标轴三个交点的特殊解析式具有重要的理论和实际意义，对于深化我们对抛物线的认识和应用具有重要意义。
2. 正文2.1 抛物线的一般方程抛物线是平面上一种特殊的几何曲线，具有许多重要的性质和特征。
它是二次函数的图像，其一般方程可以用一般形式的二次方程表示。
二次函数2交点问题
二次函数交点问题(2016 中考)27在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B. （1）求抛物线的顶点坐标;（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点.① 当m=1时，求线段AB 上整点的个数；② 若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围.（2012•北京）23．已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值；（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。
请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
（2015）27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B 。
(1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围。
(2013海淀 一模）23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．（2013昌平一模）23. 已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M，当直线y x b=-+与图形M有四个交点时，求b的取值范围.-1-111xOy（2014•北京）23．（7分）（2014•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．（2013•北京）23．在平面直角坐标系x O y中，抛物线222--=mxmxy（0≠m）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式:1、一般式:y=ax 2+bx ＋ｃ (ａ≠０)。
２、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠０），其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=ｈ。
３、交点式：y=a(x-x 1)（x －x 2） (a ≠0）,其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4．对称点式： y=a(x-ｘ1)（x －x 2)＋ｍ （a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式:１、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。
３、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与ｘ轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点(x 1、ｍ)(x 2、m),则设成: y=a （x-x 1)(x-x 2)+ｍ (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中,求出ａ的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津:例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+ｂｘ＋c (a ≠０)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2＋bx ＋c (a ≠0） 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得:⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2ｘ2+3ｘ-４。
例２、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式ｙ＝a(x-h)2+k （a ≠0),其中点（ｈ，ｋ）为顶点。
(完整版)二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
中考数学压轴题-抛物线与直线的交点问题
中考数学压轴题专题 抛物线与直线交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。
2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。
3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。
教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。
教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。
讲授方法：讲授与讨论相结合 教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。
练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。
（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。
2、已知抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax2.抛物线与x 轴的交点的个数（1 △抛物线与x 轴相交（2 △抛物线与x 轴相切（3 △抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y =1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y =3有两个交点，求c 的取值范围。
（2） 如果对于任意x ，总有y >3，求c 的取值范围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax y ++=2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++22.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1 △抛物线与直线相交（2 △抛物线与直线相切（3 △抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线221x y =与直线y =x +m 只有一个交点，求m 的值练习：已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式 方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l c bx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c =-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x <1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y =2x 交点的横坐标均为整数，且m <2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y =m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围3、已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在0x =和2x =时的函数值相等。
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两解 x1=-0.2, x2=2.2
1、会运用一元二次方程求二次函数的图象与X轴或平行
与X轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题。
2、会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。 3、进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种 数学模式经常需要互相转换。
一、教学目标：
并用来解决相关的实际问题。 2、会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。
h(m)
6
5
4 3 2 1
-2
-1
0
1
2
t(s)
地面
例4：
解： 由题意，得h关于t的二次函数
解析式为h=10t-5t² 取h=0，得一元二次方程 10t－5t² =0
-2 -1 0
h(m)
6 5 4 3 2 1
解方程得t1=0；t2=2 球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s） 取h=3.75，得一元二次方程10t－5t² =3.75
归纳小结：
二次函数y=ax² +bx+c
y=0
一元二次方程ax² +bx+c=0
函数与x轴交点坐标为：
两根为x1=m；x2=n
（m，0）；（n，0）
一.根据图像回答问题：
1.方程0.5x² -x-4=0的解是什么？
2.方程0.5x² -x-4=-6有几个解？ 3.方程0.5x² -x-4=-4.5有几个解？ 4.方程0.5x² -x-4=2有几个解
y=4
y=-3
3.一元二次方程 -x² -2x+3=-3有 几个解？两个不相等的实数解
问：对于一元二次方程-x² -2x+3 =m，当m为何值时，方程有 两个不相等的实数解？当m为何值时，方程有两个相等的实 数解？当m为何值时，方程没有实数解？
课本例5：利用二次函数的图像求一元二次方程 X² +X－1= 0的近0
fx = x2 gx = 1-x
8
y=x2
y=1-x
●
6
4
2
●
-15 -10 -5 5 10 15
-2
-4
1未命 名 2.gsp
-6
归纳小结：
二次函数y=ax² +bx+c
y=0
一元二次方程ax² +bx+c=0
函数与x轴交点坐标为：
两根为x1=m；x2=n
（m，0）；（n，0）
2
1
t(s)
地面
解方程得t1=0.5；t2=1.5 答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）； 经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。
课内练习：
1、一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最 大高10m。 ⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； ⑵ 求球被抛出多远； ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离 是多少m？ y
解此方程得： x =-4；x =2 1 2 (1,0)
(-3,0)
3.写出C和D点的坐标： C（-4，-5） D（2，-5）
y=-5 C
(-4，-5）
D（2，-5）
y=5
根据图像回答下列问题： -2x+3=5有几 y= -x² -2x+3、 1.一元二次方程 -x² 个解？ 无实数解 2.一元二次方程- x² -2x+3=4有 几个解？ 两个相等的实数解
1、会运用一元二次方程求二次函数的图象与X轴或平行与X轴的直线的交点坐标，
3、进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要互相转换。 二、重点难点：
1、本节教学的重点是问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模式的
互相转换。 2、本节例4涉及较多的“科学”知识，解题思路不易形成，是本节教学的难点。
3. y=x² -4x-8
4. y=3（x-4)（x+3)
y
O
x
看谁快
b2-4ac的符号
不用画图,试判断下列抛物线同x轴交点情况:
1.y=X² -4x+4 2.y=2X² -x-1 3.y=3X² -4x+6
一个交点 两个交点
没有交点
两个交点
4.y=-9X² -4x+3
例4：
一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经 过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动 中，h=v0t－ ½ gt² （v0表示物体运动上弹开始时的速度， g表示重力系数，取g=10m/s² ）。问球从弹起至回到地 面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?
y=0.6
2.对于一元二次方程0.5x² -x-4=m，当m为何值时，方程有两个不相等的实数 解？当m为何值时，方程有两个相等的实数解？当m为何值时，方程没有实 数解？
探究活动：
在本节的例5中，我们把一元二次方程X² +X－1= 0 的解看做是抛物线y=x² +x-1与x轴交点的横坐标，利用 图象求出了方程的近似解。如果把方程x² +x-1 = 0变形 成 x² = -x+1，那么方程的解也可以看成怎样的两个函 数的交点的横坐标？用不同图象解法试一试，结果相 同吗？在不使用计算机画图象的情况下，你认为哪一 种方法较为方便？
y
O
x
y
抛物线y=ax² +bx+c （a≠0）与x 轴的交点坐标求法：
O A（m，0）
（n，0）x B
令y=0 得一元二次方程ax² +bx+c=0 解得两根为x1=m；x2=n 函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0）
练习：求出下列二次函数和X轴的交点坐标：
1. y=x² -2x+1 2. y=2x² -4x+8
y= X² +X－1
课内练习
3. 利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个 解。若有解，求出它们的解（精确到0.1）。 ①X²=2x-1 ②2x²-x+1=0 ③2x²-4x-1=0
y= x² -2x+1
一解 x=1
②2x² -x+1=0
y=2x² -x+1
无解
③2x² -4x-1=0
y=2x² -4x-1
反过来，也可利用二次函数的图象
求一元二次方程的解。
15 10 5 10 20 30 40 50
x
填 空
求出二次函数y=-x² -2x+3图象的顶点坐标________与x轴的交点坐 标_____________________并画出函数的大致图象.
(1,4)
根据图像回答下列问题： 1.直接写出方程-x² -2x+3=0的 解： x1=-3；x2=1 2.令y=-5，得方程-x² -2x+3=-5