平面向量数量积的几何意义

要学习的平面向 量的数量积
a b | a | | b | cos
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Leabharlann Baidu
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2.4.1平面向量的数量积
高一数学组 王海军
平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 ,
我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积
(或内积),记作 a b .
a b a b cos
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练习1:已知 a 5，b 4，a与b的夹角为120 o，求a b
解：a b a b cos120 o
5 4 ( 1) 10 2
练习2 :已知 a 5, b 2, a b 5,求a,b的夹角.
练习3 :已知 a 2, a b 1, a,b的夹角为60， 求 b .
(a b) c a (b c)成立吗？
(a b)c (b c)a成立吗？
注意: 4、 向量的数量积不满足于结合律。
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例2 .已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60，求（a 2b）（ a 3b）
解：(a 2b)(a 3b)
当且仅当两向量 共线时等号成立
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例1、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : 1.AD BC 2.ABCD 3.AB DA
D
C
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
60
AD与BC的夹角为0.
AD BC AD BC cos 0 3 31 9A
小结：向量的夹角应当让向量平移到同一起点时去观察
注意 : 2、 向量夹角共起点 ， 且 [0， ]
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如图,等边三角形ABC中,求：
（1）AB与AC的夹角＿＿60＿ ＿；
（2）AB与BC的夹角__1_2_0____．
C'
C
120 60
A
通过平移 变成共起点！
1200
B
D
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(2)当a 与b同向时，a b _|_a_|_|_b_|；
特别地

a

a

2
a


_| _a_|_2 或
|

a
|
2
__a___.



(3)当a 与b 反向时，a b __|_a_|_| b__| .


(4)| a b | ___ | a || b |
小结：知三求一，注意公式变形
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类比于实数乘法的运算 律,向量的数量积满足哪些 运算律呢？
平面向量数量积的运算律:
(1)交换律：a b b a
(2)数乘结合律：(a)b (a b) a (b)
(3)分配律：(a b)c ac bc
向量的数量积满足结合律吗？
┓
s
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1
F θ
F
θ S
O
位移S
A
一个物体在力 F 的作用下产生位移 S ,
那么力 F 所做的功 W= F S F S cos


θ表示力 F 的方向与位移S 的方向的夹角。
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我们将功的运算类比到两个向量的一种运
算，得到向量“数量积”的概念。
这就是本节课所
W F S cos
.
A.
OA B
OB
A

O
B O B
(1)
(2)
(3)
A (4)
(1)中 OA与OB 的夹角为 0 （2）中OA与OB 的夹角为 180
（3）中 OA与OB 的夹角为AOB（4）中 OA与OB的夹角为
（当 0 时，a与b ＿同＿向；当 180时，a与b 反＿向＿；
当 90 时，a与b ＿垂＿直，记作a b ）
3. AB与AD的夹角是60, AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。
00:5A8 B DA
AB

DA
cos120
4 3 1 6 2
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方法：(1)求平面向量数量积的步骤是： ①求a与b的夹角θ，θ∈[0°,180°]； ②分别求|a|和|b|； ③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ. 温馨提示：a∥b时，易漏掉θ＝0°和θ＝180°中 的一种情况.
B
2
或AD BC AD 9
2. AB与CD平行,且方向相反
120
AB与CD的夹角是180
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
2
或AB CD AB 16
进行向量数量积 计算时,既要考 虑向量的模,又 要根据两个向量
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问题2：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量 的加减法有什么本质区别？与数乘呢？怎么理解？
向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果 是一个数量（实数）。数乘的结果仍然是向量。
问题3：平面向量的数量积可以比较大小吗？ 数量可以比较大小
注意: 3、 向量的数量积是数量， 不是向量。
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2
a 3ab 2ab 6bb
设向(1)a量、a0b是数b, c非量c aoso零0积 bs向 的1量,0性则_ a,0_则 ,质a__b|_ a b_9||;|a0则 b||,a|ab 1ac8b|ao00s,|c, baco| o.as||s|a|0b|,||11a,, |2
问题情境:
情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘 三种运算时，是以物理中的位移为模型，再抽象概括 出来的。 问题：除了以上几种运算外，有没有其它运算呢？ 如向量与向量能否“相乘”呢？能否从物理中找 到模型呢？
情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s， 那么该力对此物体所做的功为多少？
F

规定：零向量与任意向量的数量积为0．
a0 0
注意：1、 “ · ”不能省略不写，也不能写成
“×”
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问题1、向量的夹角是如何定义的？
已知两个非零向量 a和b,在平面上任取一点 O， 作OA a,
OB b,则AOB (0 )叫做a与b的夹角。
指出下列图中两向量的夹角