第八章 解题模型练 有界磁场的临界与极值问题

解题模型练 有界磁场的临界与极值问题
(限时：45分钟)
►题组1 对带电粒子在直线有界磁场中偏转的临界与极值问题的考查
1．如图1所示，在边界上方存在着垂直纸面向里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同的正、负粒子(不计重力)，从边界上的O 点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中
( )
图1
A ．运动轨迹的半径相同
B ．重新回到边界所用时间相同 ？
C ．重新回到边界时速度大小和方向相同
D ．重新回到边界时与O 点的距离相等 答案 ACD
解析 洛伦兹力充当带电粒子做圆周运动的向心力，qvB ＝m v 2
r ，带电粒子做圆周运动的半径r ＝mv
qB ，根据题意，正、负粒子在磁场中运动的轨迹半径相同，选项A 正确；根据qvB ＝m 4π2
T 2r ，可得
带电粒子做圆周运动的周期T ＝2πm
qB ，而正粒子在磁场中运动的时间为t 1＝π－θπT ，负粒子在磁场中运动的时间为t 2＝θ
πT ，时间并不相同，选项B 错误；正、负带电粒子的运动轨迹如图所示，重新回到边界时速度大小和方向是相同的，选项C 正确；两粒子重新回到边界时与O 点的距离都是2r sin θ，选项D 正确．
2.如图2所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于 纸面向里，磁感应强度为B .一质量为m 、电荷量为q 的粒子以速 度v 从O 点沿着与y 轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A 点 时速度方向与x 轴的正方向相同，不计粒子的重力，则 ( ) 图2
A 该粒子带正电
B ．A 点与x 轴的距离为mv
2qB
[
C ．粒子由O 到A 经历时间t ＝πm
3qB D ．运动过程中粒子的速度不变 答案 BC
解析 根据粒子的运动方向，由左手定则判断可知粒子带负电，A 项错误；运动过程中粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，D 项错误；粒子做圆周运动的半径R ＝mv
qB ，周期T ＝2πm qB ，从O 点到A 点速度的偏向角为60°，即运动了1
6T ，所以由几何知识求得点A 与x 轴的距离为mv 2qB ，粒子由O 到A 经历时间t ＝πm
3qB ，B 、C 两项正确． 3.如图3所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S ，某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T /6(T 为粒子在磁场中运动的
周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( ) 图3 A ．T /3
B ．T /2
C ．2T /3
D ．5T /6
答案 B
解析 首先判断出粒子是做逆时针方向的圆周运动．由于所有粒子的初速度大小都相同，故弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；从S 作OC 的垂线SD ，可知粒子轨迹过D 点时在磁场中运动时间最短，根据最短时间为T /6，结合几何知识可得粒子圆周运动半径等于SD (如图)；由于粒子是沿逆时针方
向运动，故沿SA 方向射出的粒子在磁场中运动的时间最长，根据几何知识易知此时粒子在磁场中运动轨迹恰为半圆，故粒子在磁场中运动的最长时间为T /2，选项B 正确． 4.如图4所示，在xOy 坐标系的第一象限内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域上边界刚好与直线y ＝2a 重合，磁感应强度为B .一个带负电的粒子在坐标为(x,0)的A 点以某一速度进入磁场区域，进入磁场时的速度方向与x 轴负方向的夹角为30°，粒子的质量为m ，电荷量为q .不计粒子的重力．
图4
!
(1)若粒子离开磁场时的位置在C 点，其坐标为(x,2a )，求粒子运动的速度大小v 与x 的对应
条件．
(2)粒子进入磁场的速度满足什么条件时可使离子在磁场区域运动的时间最长并求出最长时间是多少
答案 (1)v ＝23Bqa 3m x ≥3
3a (2)v ≤4qB 2－3a m 5πm 3Bq 解析 (1)依题意作过A 、C 两点的圆，此圆对应的圆心设为O 1，如图虚线所示．设该圆的半径为r ，则由几何关系容易得到，∠AO 1C ＝120°，作垂直AC 的半径O 1N 与AC 交于M ，则有MN ＝MO 1＝r 2. 其中r ＝a sin 60°＝23
3a
故要使带电粒子能到达C 点，x 应满足条件x ≥3
3a 由牛顿第二定律有Bqv ＝mv 2r ，解得r ＝mv
Bq 解得：v ＝23Bqa
3m
(2)当带电粒子从x 轴射出时运动的时间最长，如图所示为粒子恰好能从x 轴射出磁场区域时的运动轨迹，圆心设为O 2，PO 2Q 与x 轴垂直，设该圆的半径为r ′，由几何关系有： r ′＋r ′cos 30°＝2a
|
解得r ′＝4(2－3)a 又因为Bqv ′＝mv ′2
r ′
得v ′＝Bqr ′m ＝4Bq 2－3a m 所以v ≤v ′＝4Bq 2－3a m
粒子在磁场区域运动的最长时间t ＝5
3π2π·2πm Bq ＝5πm
3Bq
5.如图5所示，在矩形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感 应强度的大小为B ＝×10－
2 T ，矩形区域长为235 m ，宽为 m ，在AD 边中点O 处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面
图5
向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为v ＝2×106 m/s 的某种带正电粒子．已知带电粒子的质量m ＝×10
－27
kg ，所带电荷量为q ＝×10
－19
C(不计粒子重力)．求：
(1)带电粒子在磁场中做圆周运动的半径． >
(2)从BC 边界射出的粒子中，在磁场中运动的最短时间．
(3)若放射源向磁场内共辐射出了N 个粒子，分别从BC 、CD 和AD 边界射出的粒子的数目． 答案 (1) m (2)π3×10－
7 s (3)N 2个 N 6个 N 3个 解析 (1)根据牛顿第二定律可得： Bqv ＝m v 2
R 解得：R ＝mv
qB ＝ m
(2)因为所有粒子的轨迹半径相同，所以弦最短的轨迹圆弧所对应的时间最短，作EO ⊥AD ，EO 弦最短，如图所示．
根据几何知识可知，EO 弦所对圆心角θ＝π
3 而粒子在磁场中的运动周期为T ＝2πm
Bq 所以最短时间为t ＝θ2πT ＝θm qB ＝π3×10－
7 s
:
(3)判断从O 点向哪些方向射入磁场的粒子将会从BC 、CD 和AD 边界射出．
从前面分析可知，速度方向与OA 的夹角在0到90°范围内粒子能从BC 边射出，故从BC 边射出的粒子有N
2个．
如图为两个边界，当速度方向满足一定条件时，粒子将从D 点射出磁场．因为OD ＝35 m ，且R ＝ m ，所以∠OO 2D ＝2π
3，此时射入磁场的粒子速度方向与OD 的夹角为π
3
所以从CD 边射出的粒子有N 6个，从AD 边射出的粒子有N
3个．
►题组二 对带电粒子在圆形磁场内运动临界问题的考查
6.如图6所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O 和y 轴上的点a (0，L )．一质量为m 、电荷
量为e 的电子从a 点以初速度v 0沿平行于x 轴正方向射入磁场，并从x 轴上的b 点射出磁场，此时速度方向与x 轴正方向的夹角为60°.下列说法中正确的是
( )
图6
A ．电子在磁场中运动的时间为πL
v 0
B ．电子在磁场中运动的时间为2πL
3v 0
…
C ．磁场区域的圆心坐标为(L 2，L
2)
D ．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－L ) 答案 BD
解析 对于带电粒子在磁场中的运动情况分析如图甲所示在图甲中离开磁场的速度方向与x 轴正方向夹角为60°，则弧ab 所对应的圆心角为60°，弦ab 与x 轴夹角为30°，由几何关系得Ob 长为3L ，OO ′＝L ，D 对；在图乙中，作弦Oa 与弦Ob 的垂直平分
线，交点O ″为磁场区域的圆心，C 错；电子在磁场中运动的半径r ＝mv 0eB ＝2L ，周期T ＝2πm
eB ＝4πL v 0，则运动时间t ＝16T ＝2πL
3v 0
，B 对，A 错．
7.如图7所示，半径为R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v 正对圆心入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60°. (1)求粒子的比荷q
m 及粒子在磁场中的运动时间t ；
(2)如果要使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原 图7
入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d 为多少 答案 (1)3v
3BR
3πR 3v (2)3
3R
解析 (1)粒子的轨迹半径：r ＝R cot 30°
① —
粒子做圆周运动：qvB ＝m v 2
r ②
由①②两式得粒子的比荷q m ＝3v 3BR
③
运动周期T ＝2πr
v
④ 在磁场中的运动时间t ＝1
6T
⑤
由①④⑤式得t ＝3πR
3v
(2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度 偏转的角度最大 由图可知sin θ＝R
r ⑥ 平移距离d ＝R sin θ
⑦
由①⑥⑦式得d ＝3
3R。