9-第九讲-有限元四边形单元

面
问
(4-61)
题
的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
5.单元势能的表达
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
(4-62) (4-63)
连续体结构有基本限概念元分析
6. 4节点矩形单元的线性应变和应力
平 面
由单元的位移表达式可知，4节点矩形单元的位移在
问 x，y方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，正因
题
形单元其形函数带有二次式，计算得到的应变场和应力场都是坐
的
标的一次函数，但不是完全的一次函数，对提高计算精度有一定
4
作用；根据最小势能原理，势能越小，则整体计算精度越高，从
节 点
式(4-72) 与式(4-77) 比较两种单元计算得到的系统势能，可以看
矩
出，在相同的节点自由度情况下，矩形单元的计算精度要比三角
连续体结构有基本限概念元分析
1.单元的几何和节点描述
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
(4-50) (4-51)
连续体结构有基本限概念元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
平 2. 单元位移场的表达
面
从图可以看出，节点条件共有8个，即x方向4个，y方向4个，因
问
此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，即取以下多项式
平 2. 单元位移场的表达 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
(4-55)
连续体结构有基本限概念元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
平 2. 单元位移场的表达
面
将式(4-54)写成矩阵形式，有
问
题
的
4 节 点 矩 形 单 元
(4-57)
连续体结构有基本限概念元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
8.基于4节点四边形单元的矩形薄板分析
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较
形
形单元高。
单
元
题
作为单元的位移场模式
的
4
(4-52)
节
点
矩
形
单
元
连续体结构有基本限概念元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
平 2. 单元位移场的表达 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
(4-53) (4-54)
连续体结构有基本限概念元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
面
问
题
的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
(2) 建模方案2的有限元分析列式
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形Βιβλιοθήκη Baidu单 元
(4-77)
连续体结构有基本限概念元分析
9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较
平
面
从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形函数是
问
完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为常数；而四边
题 的
为在单元的边界x=±a和y=±b上，位移是按线性变化的，
4 且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证两
节 点
个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元
矩 的位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility)
形 单
的，它的应变和应力为一次线性变化，因而比3节点常应
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
(1) 建模方案1的有限元分析列式
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
(1) 建模方案1的有限元分析列式
平
位移场、应变场及应力场的分布如图所示
面
问
题
的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
元 变单元精度高。
连续体结构有基本限概念元分析
7.采用无量纲坐标 （自然坐标）
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
7.采用无量纲坐标 （自然坐标）
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
7.采用无量纲坐标 （自然坐标）
平 面 问 题 的
(1) 建模方案1的有限元分析列式
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
(4-72)
连续体结构有基本限概念元分析
(2) 建模方案2的有限元分析列式
平 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
连续体结构有基本限概念元分析
(2) 建模方案2的有限元分析列式
平
位移场、应变场及应力场的分布如图所示
平 3.单元应变场的表达 面 问 题 的
4 节 点 矩 形 单 元
(4-58) (4-59)
连续体结构有基本限概念元分析
3.单元应变场的表达
平
将式(4-59)写成子矩阵形式，有
面
问
题
的
4 节 点 矩 形 单 元
(4-60) (4-61)
连续体结构有基本限概念元分析
4.单元应力场的表达
平
由弹性力学中平面问题的物理方程，可得到单元的应力表达式