中考数学专题新概念型问题

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点评：此题是规律型题中的新概念， 根据新概念“数字对称等式”
的特点，依样画葫芦完成问题的解答， 涉及到列代数式及等式的证明。
四、探索题型中的新概念
P96 第 14 题：联想三角形外心的概念，我们可以引入如下概念。
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准外心。
C
举例：如图 1 若 PA=PB,则点 p 为△ ABC 的准外心。
顶点距离相等的点。
2 通过具例中的图 1，认识若 PA=PB,则点 p 为△ ABC 的准外心。
3 联系图 2 中的等边三角形性质和准外心 P 点所具的条件探求∠ APB 的度数，可分以下三种情形探索：
（1）PB=PC (2)PA=PC (3)PA=PB
解：①若 PB=PC 连接 PB 则∠ PCB=∠PBC
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中四边形 ABCD 就是一个格点四边形。 ⑴图中四边形 ABCD 面积为 S = 四边形 1 × 4× 3=6
2
⑵请在所给的方格纸中画一个格点三角形 EFG,使 S△EFG=S 四边形
ABCD
AA
B
D
C
思路分析： 此题是在方格中按等积的条 件画△ EFG，按照题中的新概念的要求， 作△ EFG 是格点三角形同时使 S△EFG=S 四边
（2）由和谐点的概念先求 a 的值，再结合直线 y=-x+b, 求 b 的值。
解：∵ 1×2≠2（1+2）∴ M （1,2）不是和谐点
4× 4=2（ 4+4）∴ N(4,4)是和谐点。
（3）由题意：∵ P（a,3）为和谐点
当 a＞0 时， 2（a+3）=3a
∴a=6 ∴P(6,3)
∵p 点在直线 y=-x+b 上∴ b=9
1 三角形由无数条面积等分线， 平行四边形有无数条面积等分线。
2 如图 1 所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的
一条面积等分线。
3 如图 2 四边形 ABCD 中，AB 与 BC 不平行。AB ≠CD ，且 S△ABC<S
△ACD,过点 A 画出四边形 ABCD的面积等分线，并写出理由。
P
A
（ 1） B
应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 p 在高 CD
上，且 PD= 1 AB, 求∠ APB 的度数。
C
2
探究：已知△ ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，
P
AB=3 ，准外心 p 在 AC 边上，试探究 PA 的长。 A
B D
思路分析： 阅读要明确新概念三角形的准外心是到三角形的两个
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A.1
B.-1
C.2
D.-2
解：∵ 1 （x+1）=1∴3－(x+1)=1 2－x=1 x=1
思路分析：根据题中的新概念，按 a、b 两实数间规定的运算，
将待解问题化成普通方程，即可求出 x 的值。
点评：此题练习实数的运算，属于新概念的题型，涉及到解一
元一次方程。正确进入新概念规定的运算程序是解题的关键。
当 a＜0 时
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∵p 为和谐点
∴ 2（-a+3）=-3a
∴ a=-6
∴ p(-6,3)
点 p 在直线 y=-x+6 上
∴ b=-3
∴ a=6,b=9 或 a=-6,b=-3
P120 第 21 题：
如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分， 我们把
这条直线称为这个平面图形的面积等分线。
在复习过程中， 就新概念型问题结合所使用的复习材料， 做好方 法上的指导与示范，有利于提高学生解这一类型问题的能力。
附练习：
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P50 第 12 题：
在平面直角坐标系中， 过一点分别作坐标轴的垂线， 若与坐标轴围成
矩形周长和面积相等，则这个点叫和谐点。
例如：图中过点 p 分别作 x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形 OAPB
y4
∴ 1＜4－xy＜3 ∴xy=2
那么 x,y 分别为 1,2 或 2，1， -1，-2 或-2，-1
∴ 1＜xy＜3 ∴x+y= ±3
点评：此题考查式运算，属新概念题型，涉及到不等式组整数
解的问题。
(二 ) 开放题型中的新概念
【 P105第九题】例：如图方格纸中每个方格都是边长为 1 的正
方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形” ，图
52 ×275=572× 25 63×396=693×36 2、这类等式左边两位数的十位数字 a,个位数字为 b,且写出表示 “数字对称等式”一般规律的式子（含 a，b)并证明。 解：（10a+b）[ 100b+10（a+b）+a] = [ 100a+10（ a+b）+b ]（10b+a） 证明：∵左边 =（10a+b）（ 110b+11a） =11( 10a+b)( 10b+a)[] 右边 =(110a+11b) (10b+a)=11( 10a+b)( 10b+a) ∴左边 =右边 即原等式成立。 思路分析： 根据新概念 “数字对称等式” 的特点，观察所列各式， 完成（ 1）中填空，按每个等式中组成的两位数与三位数的数字之间 都具有对称性的规律，拓展到一般式 （ 10a+b）[ 100b+10 （a+b）+a] = [ 100a+10（ a+b）+b ] （10b+a） 然后证明结论。
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2013 年中考数学专题：新概念型问题
许町中学 蠡缘
一、什么是“新概念”型问题： “新概念”型问题主要指在问题 中出现了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号。要求学 生读懂题意以后， 结合自己已有的知识和能力进行理解， 根据新概念 进行运算、推理、探究、拓展的一种题型。 “新概念”型问题，近年 来中考数学试卷中常常出现，所以，在复习过程中，应重视培养学生 阅读理解和运用新概念解决问题的能力。
的关系式并画图。 （2） 由点到直线的直角距离并结合数轴上两点间的距离计算方法即
可得到点 M(2，1)到直线 y=x+2 的直角距离 解：由题意得 |x|+|y|=1 如图符合条件的点 p 组成的图是正方形 ∵Q 点（ x， y）在直线 y=x+2 上∴ Q(x,x+2) ∴ d(M,Q)=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1| ∵可取一切实数， ∴|x-2|+|x+1|表示数轴上实数 x 所对应的点到 2 和-1 所对应的点的距离之和，其最小值为 3. ∴点 M(2,1) 到直线 y=x+2 的直角距离为 3. 点评：此题是新概念题，通过阅读题中的新概念，联系已知定点和动 点坐标完成解题过程，涉及到函数的相关知识。
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12 ×231=132 ×21 13 ×341=143× 31 23× 352=253× 32 34× 473=374× 43 62× 286=68× 26 以上每个等式中两边数字分别是对称的， 且每个等式中组成两位 数与三位数的数字之间是有相同规律， 我们称这类等式为 “数字对称 等式”。 1、根据上述各式反映的规律填空， 使式子成为“数字对称等式”。
【 P36】例 3 我们定义 | a b |=ad－bc.
cd
例如 | 2 3 |=2×5－3×4=10－12=-2 若 x、y 均为整数，且满
45
足 1＜| 1 x |＜3,则 x+y 的值是± 3
y4
思路分析 :根据题中的新概念，结合具例，掌握新概念运算规定
的程序，将问题迁移到不等式组问题。
解：由定义 |1 x |=4－xy ∵x y 为整数
∵ CD 为等边三角形 ABC 的高 ∴AD=BD ∠PCB=300
A
∴∠ PDB=∠PBC=300
C
P B
D
∴ PD= 3 DB= 3 AB
3
6
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这与已知 PD= 1 AB 矛盾∴ PB≠PC
2
②若 PA=PC,连接 PA,同理可得 PD ≠PC
③若 PA=PB,由 PD= 1 AB 可得 PD=BD
形 ABCD
由（ 1）知 S 四边形 ABCD=6，这样符合条件
的△ EFG 就有多种不同情形
E
A
F
G
E
A
F
G
E
A
F
G
如此等等。 点评：此题结论开放，考察多种方式作图，属于新概念题型， 涉及三角形的面积公式，根据题意△ EFG 满足两个条件，一是格 点三角形，二是 S△EFG=S 四边形 ABCD ，符合条件的△ EFG 不唯一。 ( 三 ) 规律题型中的新概念 P13 第五题 例观察下列等式：
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请写出 x 与 y 之间满足的关系式， 并在所给的直角坐标系中画出 所有符合条件点 p 所组成的图形。 （ 2）设 Po(x o, yo) 是一定点， Q(X ， Y) 是直线 y=ax+b 上的动点，我 们把 d(p0，Q)d 最小值叫做 p0 到直线 y=ax+b 的直角距离，试求点 M(2 ， 1)到直线 y=x+2 的直角距离。 思路分析： （1） 由“两点间的直角距离”，直接写出满足 d(O，P)=1 的 y 与 x
二、解题策略与方法要点。 解“新概念型问题”关键两点： 1、掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法。 2、根据具体问题的情景，认真思考，联系新概念，进行方法上 的迁移和拓展。 解“新概念型问题具体方法过程上分三个步骤： ①阅读理解，读懂新概念。 ②具例印证、强化认识、 。 ③联系应用，解决问题或探究拓展 三、下面就毕业班综合训练册中出现的新概念型问题举例探析。 (一) 运算题型中的新概念。 【P25（第 7 题）】 例 1 对于非零的两个实数 a、b，规定 a b=3a-b 若 1 （x+1）=1,则 x=(A)
3 过 B 作 BE∥ AC交 DC延长线与 E, 连接 AE,则 S =S △ ACE △ ABC
∴ S =S 取 △ ADE
四边形 ABCE
DE中点
F 作垂线
AF∴AEF=AD∴F AF 就是四边
形 ABCDD面积等分线，∴ AF是△ ADED面积等分线。
B
A
E
D
C
F
五、阅读材料题型中的新概念
例（ P46 第 14 题）：对于平面直角坐标系中的任意两点 P1(X 1，
Y1)P 2(X 2， Y2) 我们把 |x1-x 2|+|y 1-y 2| 叫做 p1p2 两点间的直角距离，记作
d(p1，p2)
(1) 已知 0 为坐标原点，动点 P（ x，y）满足 d（O，P）=1
C
P 4-x x
A
BFra Baidu bibliotek
（2）若 PA=PC,则 PA=2(3)若 PA=PB 由
C
中，不可能。·
图可知在 PAB
PA=2 或 7
8
P·
A
B
点评：此题探求在新概念“三角形准外心”条件下∠
APB 的度
数与线和 PA 的长，对于不同的三角形分三种情情形探索求解。涉及
到等边三角形性质、直角三角形性质等综合解答。
的周长和面积相等，则点 p 是和谐点。
B
（1） 判断点 M(1，2)，N(4，4)是否为和谐点，并
y P（ x,y)
说明理由。
O
A
x
（2） 若和谐点 P（a,3）在直线 y=-x+b(b 为常数 )上，
求 a,b 的值。
思路分析：
（1）由所给“和谐点”的概念，验证点 M,N 向坐标轴所作垂线与
坐标轴所围矩形是否满足周长与面积相等，即可判断。
2
0
0
∴∠ APB=90 故∠ APB=90
A
如图△ ABC 为直角三角形，准外心 P 在 AC 上
C P
B D
解若 PB=PC 连接 PB，设 PA=X 由勾股定理 AC== 52 - 32 =4
PC=PB=4-x
在直角三角形 PAB 中， x2+32=(4-x) 2
∴x= 7 即 PA= 7
8
8