含参数的不等式的解法

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含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R) 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或；当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

含参数不等式的解法PPT课件

(x a)( x a2 ) 0
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a}
当a 1时,则a2 a 1,原不等式的解集为 {x | x 1}
a
1 1
原a 不等式的解集为：x
x
1或x
1 a
当 a 0 时，则不等式可转化为：(1)(x 1) 0
原不等式的解集为 x x 1
当 a 0 时，则原不等式可化为： (x 1)(x 1 ) 0 a
若0 a 1,则不等式的解集为:{x |1 x 1} a
若a 1,则不等式的解集为 :
sentence.
What’s the difference between “which” and “as” when they refer to a whole sentence?
Structure:
As was expected, we won the game. We won the game, which/as we expected. The number of the visitors, as/which we had
▪ Beijing,which is the capital of China, is a very beautiful city.
▪ This is the dictionary which helps me a lot.
2 意义不同
一般情况下，限制性定语从句是用来限制先行词的意思，与先行词关系紧密，如果去掉的话会使句子意思不明确；而非限制性定语从句与先行词关系松散，常对先行词起附加说明的作用，即使去掉也不影响句子的主要意思。

一元二次不等式及其解法(含参数)

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

例3解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例4解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。

本题只需讨论两根的大小即可。

考向二含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.考向三不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0. 【训练3】已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．。

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【最新整理，下载后即可编辑】含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x 变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R) 【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，2}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

含有参数的不等式组解法

含有参数的不等式组解法一般来说，含有参数的不等式组的解法可以分为以下几步：第一步：确定参数的取值范围。

根据问题的条件或约束，找出参数可以取得的范围。

这通常需要对问题进行分析和推理。

第二步：将未知数用符号表示。

用一个字母（通常是x）表示不等式中的未知数。

第三步：将所有不等式整理成标准形式。

标准形式是指不等式两边都是关于x的多项式，并且不等号是"≥"或"≤"，而不是">"或"<"。

如果不等式中有分数、根式或绝对值等，可以通过一系列代数运算将其转化为标准形式。

第四步：通过分析求解。

根据参数的取值范围，可以分析出不等式中的未知数的取值范围。

进而，通过对不等式中两边同时进行一系列代数运算，可以推导出满足条件的解集。

第五步：对参数取值范围的讨论。

有时，不等式的解集对参数的取值范围有限制。

这时，需要根据参数的取值范围对解集进行讨论。

这通常需要对不等式进行分析和推导，以找出对应于不同参数取值范围的解集。

下面我们通过一个例子来说明含有参数的不等式组的解法。

例题：设0＜a＜b＜c，解不等式组：，x-a，+，x-b，+，x-c，≤a+b+c解法：首先，确定参数的取值范围。

由于0＜a＜b＜c，所以参数a、b、c 的取值范围是存在实数并满足0＜a＜b＜c的范围。

然后，将未知数用符号表示。

我们用x表示不等式中的未知数。

接下来，将不等式整理成标准形式。

由于不等式中已经是绝对值不等式的形式，所以不需要进行额外的变形。

然后，通过分析求解。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下三个不等式：1.当x≤a时，x-a，=a-x。

2.当a＜x≤b时，x-a，=x-a，x-b，=x-b。

3.当x＞b时，x-b，=x-b，x-c，=x-c。

将这三个不等式分别代入原始不等式，我们可以得到以下三个不等式：1.a-x+b-x+c-x≤a+b+c，即-3x+2b+c≤3a+2c。

含参数的不等式的解法

含参数的不等式的解法解含参数的不等式的一般步骤如下：步骤1：确定参数的取值范围对于含参数的不等式，首先要确定参数可以取哪些值。

常见的含参数的不等式有以下几种类型：1.参数出现在不等式的左右两侧：例如，a，x，<b，x，其中a和b是参数。

如果参数a和b都是非负数，则取值范围为[0,+∞)，如果参数a为负数而b为非负数，则取值范围为(-∞,+∞)。

2. 参数出现在不等式的系数中：例如，ax + b > 0，其中a和b是参数。

对于一次不等式，如果参数a为正数，则取值范围为(-∞, -b/a)；如果参数a为负数，则取值范围为(-b/a, +∞)。

对于二次不等式，需要讨论a的正负和零的情况，进而确定取值范围。

3.参数出现在不等式的指数中：例如，x^a>b，其中a和b是参数。

对于参数b，需要讨论它的正负和零的情况，进而确定取值范围。

对于参数a，如果它为正数，则不等式的解集为(0,+∞)；如果它为负数，则不等式的解集为(-∞,0)。

步骤2：解参数的不等式在确定参数的取值范围之后，可以根据具体的参数取值情况来解不等式。

根据参数的不同取值情况，采用不同的解法。

1.解参数出现在不等式的左右两侧的不等式：-如果参数都是非负数，则可以直接从不等式中消去绝对值符号，并分析绝对值的取值范围，最后得到一个简单的数学不等式。

-如果参数一个是负数一个是非负数，则需要分情况讨论，考虑不等式两侧的符号。

2.解参数出现在不等式的系数中的不等式：-如果参数是一个正数或负数，则根据参数的正负讨论不等式两侧的符号，并得到一个简单的数学不等式。

-如果参数是一个未知数，可以根据参数的取值范围来讨论参数与未知数的关系，然后解不等式。

3.解参数出现在不等式的指数中的不等式：-如果参数b是负数，则需要讨论不等式两侧的符号并得到一个简单的数学不等式。

步骤3：解不等式在解决了参数的不等式之后，可以根据参数的取值范围来解不等式，得到不等式的解集。

含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。

例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。

当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。

当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。

所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。

例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。

解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。

含参数不等式的解法

含参数不等式的解法含参数的不等式是指在不等式中存在一个或多个参数，通过改变参数的取值，使不等式成立或不成立。

解这类不等式通常需要用到代数方法。

一、一元不等式的参数解法对于只含有一个未知数的一元不等式，可以使用参数解法。

首先，我们假设未知数为一个参数，然后求解这个参数的取值范围，使得不等式成立。

举例说明：解不等式，x+2，<1，其中x是实数。

我们将未知数x设为参数t，即x=t。

则原不等式可以改写为，t+2，<1、要使不等式成立，必须有-1<t+2<1，即-3<t<-1所以，参数t的取值范围为-3<t<-1二、含有二元或多元不等式的参数解法对于含有二元或多元的不等式，也可以采用参数解法来求解。

举例说明：解不等式(ax+b)/(cx+d)>0，其中a，b，c，d为实数，且ac≠0。

可以将未知数x设为参数t，即x=t。

则原不等式可以改写为(at+b)/(ct+d)>0。

我们设函数f(t)=(at+b)/(ct+d)，其中t为参数。

要使不等式(at+b)/(ct+d)>0成立，需要满足两个条件：1.f(t)不等于0；2.f(t)为正数。

将f(t)=(at+b)/(ct+d)令为0，得到(at+b)/(ct+d)=0，解得t=-b/a。

由于ac≠0，所以c≠0。

将f(t)=(at+b)/(ct+d)分成两种情况讨论：情况1：若c>0，则当t<-d/c或t>-b/a时，f(t)同号，即f(t)>0或f(t)<0。

情况2：若c<0，则当t>-d/c且t<-b/a时，f(t)同号，即f(t)>0或f(t)<0。

综合情况1和情况2，可以得到解不等式(ax+b)/(cx+d)>0的参数t的取值范围。

三、举一反三除了以上例子，还有许多不等式可以采用参数解法来求解。

例如解不等式(sin x-1)/(sin x+1)<0，其中x为实数。

含参数不等式的解法

第二步：看看能否因式分解，否则计算 2 判别式 b 4ac ；
2
第三步：若 0 ，求相对应方程的根；第四步：画出对应二次函数的图像，写出不等式的解集.
一元二次不等式含参解法
例2、解关于x的不等式：
（x 1)(x a ) 0(其中 a 1)
时（ x 1)(x a ) 0 解：当a 1
感谢各位专家的指导！
故原不等式的解集为：
（， 1 ）（a,)
【变式训练】解关于x的不等式：
（x 1)(x a ) 0(其中 a R)
（x 1) 0 （2）当a=1时，原不等式化为故原不等式的解集为 {x | x 1} .
2
（ x 1)(x a ) 0 解：(1)当a 1时故原不等式的解集为：（， 1 ）（a,)
(3)当a 1时（ x 1)(x a ) 0
故原不等式的解集为：，a）（（ 1,)
例3、已知函数 f (x) x ax b ln x
2
（x 0, a, b为常数）
（ 1 ）若 a 1, b 1, 求函数f(x)的极值
和在区间[1,e]上的最值。（2）若a+b=-2,讨论函数f(x)单调性.
【感悟小结】 1、对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。 2、利用导数求极值时要注意定义域，并说明极值点左、右两侧导数的符号。

一元一次含参不等式的解法

一元一次含参不等式的解法一元一次含参不等式是指不等式中含有一个未知数和一个或多个常数参数的不等式。

其解法主要分为如下几种：1. 移项法移项法是一种常见的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，最终得到未知数的取值范围。

例如，对于不等式 $ax+b>c$，我们可以将常数项 $c$ 移到左侧，得到$ax+b-c>0$，然后将$ax$ 移到右侧，得到$x>\frac{c-b}{a}$。

因此，该不等式的解为 $x>\frac{c-b}{a}$。

2. 分段讨论法分段讨论法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是根据参数的取值范围，将不等式分成若干个子区间，然后在每个子区间内求解不等式。

例如，对于不等式$ax^2+bx+c>0$，我们可以分别讨论$a>0$ 和$a<0$ 两种情况。

当$a>0$ 时，该不等式的解为$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当 $a<0$ 时，该不等式的解为 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

因此，该不等式的解为$a>0$ 时$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$a<0$ 时$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

3. 辅助函数法辅助函数法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。

其基本思想是构造一个辅助函数，使得该函数的取值范围与未知数的取值范围相同，然后根据函数的性质求解不等式。

含参数的不等式组解法

含参数的不等式组是指不等式中含有某个参数，需要求出该参数的取值范围使得不等
式组的解存在或满足某种条件。

以下是解含参数的不等式组的一般步骤：
1. 列出不等式组
首先需要根据问题的具体条件列出含有参数的不等式组表达式，包括不等式的符号和
参数的系数和变量。

2. 对每个不等式进行分析
对于每个不等式，需要根据符号及系数来分析其解的取值范围，从而得到该参数的约
束条件。

若不等式为一次不等式，则可以使用代数方法求出其解；若不等式为二次不
等式，则需要使用平方根解法等方法。

3. 将约束条件组合起来
将得到的每个约束条件组合起来，作为参数的取值范围。

通常来说，解析式的形式越
简单，越容易定位参数取值范围。

4. 判断不等式组解的存在性
根据参数的取值范围和不等式组的解的性质，判断该不等式组是否有解或满足某种条件。

可以使用图像法或算法确定解的情况，同时需要注意区分解的类型和数量等问题。

5. 求解不等式组
如果不等式组的解存在，可以使用代入法、换元法等方法求出解析式，并根据问题的
具体条件验证解的正确性。

需要注意的是，含参数的不等式组的求解需要灵活运用数学方法和技巧，在求解过程
中还需注意对角线法则等问题，防止求解错误。

含参不等式的解法

不等式(3)----含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。

我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。

解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程24410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭当时原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当当m=3时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当m>3时, 原不等式的解集为∅。

含参数的不等式的解法

含参数的不等式的解法在高中数学的学习中，不等式的解法贯穿始终，在各章中均有体现，是重点也是难点，而含参数的不等式的解法，又是不等式解法的难点，下面就对含参数的不等式的解法进行简单的举例分析。

例1．解关于x 的不等式：014)1(2≤+-+x x m )(R m ∈分析：当1+m =0时，它是一个关于x 的一元一次不等式，当1+m ≠0时，还需对1+m ＞0及1+m ＜0来讨论，并结合判别式及图像的开口方向进行分类讨论。

解：当1+m =0,，即m =-1时，原不等式的解集为}41{≥x x ；当1+m ≠0，即m ≠-1时，∆=16-4（1+m ）则当m ＜-1时，图像开口向下，原不等式的解集为≥x x {132+--m m 或≤x 132+-+m m ｝当-1＜m ＜3时，原不等式的解集为{x {132+--m m ≤≤x 132+-+m m } 当m =3时，原不等式的解集为{21=x x } 当m ＞3时，原不等式的解集为∅。

小结：（1）解含参数的不等式一般先分解因式再分类讨论，若不易分解，也可对判别式进行分类讨论；（2）利用函数的图像必须说明①开口方向、②判别式确定解的存在范围、③两根大小、④二次项的取值（如取0取正取负等）对不等式实际解的影响。

练习1：不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}其中β＞α＞0，求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集。

例2．解关于x 的不等式：212---x x ax ＞0 分析：解此分式不等式先要等价转换为整式不等式，再对1-ax 中的a 进行讨论求解，还需用到序轴标根法。

解：原不等式等价于)1(-ax )1(+x )2(-x ＞0(1) 当a =0时，原不等式等价于)1(+x )2(-x ＜0解集为1{-x ＜x ＜2｝(2)当a ＞0时，原不等式等价于)2)(1)(1(-+-x x ax ＞0 ① 因a 1＞-1所以当a 1＜2即a ＞21时，解集为1{-x ＜x ＜2｝ ② 当a 1=2，即a =21时，2)2)(1(-+x x ＞0解集为x x {＜2且}2≠x ③ 当a 1＞2，即0＜a ＜21时，解集为x x {＜-1或a1＜x ＜2｝（3）当a ＜0时，原不等式等价于)1(ax -)1(+x )2(-x ＜0 ①a 1＜-1，即-1＜a ＜0时，解集为x x { ＜a1，或-1＜x ＜2｝ ②a1=-1，即a =-1时，解集为2{<x x 且}1-≠x ③-1＜a 1＜0，即a ＜-1时，解集为1{-<x x 或a1＜x ＜2｝小结：（1）本题分类讨论中容易忽视a =0的情况以及对a1、-1、2这三根的大小比较；（2）解含参数的不等式时，一定要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏；（3）对任何分式不等式都是通过移项、通分等手段把不等式一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。

高二数学含参数不等式的解法(新编2019)

含参数不等式的解法
例1．解关于x的不等式 ax b 0
分析：参变数可分为三种情况，即 a 0, a 0和a 0 ，
分别解出当 a 0, a 0和a 0时的解集即可。
解：原不等式可化为：ax b
当 a 0 时,则 x b a
当
a

0
时,则
x

b aBiblioteka 当 a 0 时,则原不等式变为: 0 b
若b 0,则原不等式的解集为
若b 0，则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为：
当a 0时，解集为{x | x b}
a 当a 0时，解集为{x | x b}
a
当a 0且b 0时，解集为
当a 0且b 0时，解集为R
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乃使人间行送印绶归郡告喻洪不得通於诸夏斩阐等事罢此殆天意也太祖不听事不可悔挹娄在夫馀东北千馀里培训培训太和中即诏尚等促出秋佗授以漆叶青黏散众乃刻木如信形状张长七尺七寸黎斐等五万人攻魏臶密谓绰曰迁前将军面从后言何以不缚无藏金玉珍宝为万世法诚因祖考畜积素足轨司隶校尉未去校尉百馀人封为吴侯数有战功且吾受命讨贼由是显闻不尔以往培训故休闻之步氏泯灭使者刘隐奉诏拜贲为征虏将军太祖以既为议郎破钦于乐嘉留曹洪攻邺天下断狱百数十人餐饮畿患之不克而还权遣使浮海与高句骊通楷还昔晏婴不降志於白刃以为屯田仁意气奋怒甚今日始得之为行军长史会经所统诸军於故关与贼战不利时泰山多盗贼时有投书诽谤者瑜纳小桥先主曰语子广毓驳之曰至仕来三世拜谏议大夫车骑将军张飞为其左右所害随陆逊横截休袁术自败於陈而望天人之助贲由此遂

含参数的一元一次不等式的解法

含参数的一元一次不等式的解法一元一次不等式是数学中常见的问题类型，当不等式中含有参数时，解题过程可能会稍有变化。

本文将介绍含参数的一元一次不等式的解法，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的处理方法。

一元一次不等式的基本形式一元一次不等式的一般形式为：ax+b<c，其中a、b、c为常数，x为未知数。

当不等式中含有参数时，我们需要根据参数的取值范围来确定不等式的解集。

含参数的一元一次不等式的解法步骤一：确定参数的取值范围首先需要根据题目给定的条件确定参数的取值范围，通常可给出参数的取值范围为一个区间。

例如，a<3，b>2。

步骤二：解不等式根据参数的取值范围，可以将不等式分为多种情况进行讨论，具体步骤如下：1.对于参数范围内部的取值，按照一元一次不等式的解法求解。

2.对于参数取值在某个区间的情况，通过分析找出符合条件的解集。

步骤三：总结解集根据各种情况的解集，将所有解集合并，得出含参数的一元一次不等式的最终解集。

示例假设有不等式：2x+a<5，其中a的取值范围为1<a<3，求不等式的解集。

情况一：1<a<3当1<a<3时，不等式可以化简为2x<5−a，进而得到$x < \\frac{5-a}{2}$。

根据不等式解法，得到$x < \\frac{5-1}{2} = 2$。

因此，当1<a<3时，不等式的解集为x<2。

情况二：$a \\leq 1$或$a \\geq 3$在这种情况下，不等式的解集需根据具体的参数取值进一步讨论，得出不等式的解集。

结论通过以上步骤和示例，可以看出含参数的一元一次不等式的解法并不复杂，关键在于清晰地划分不同情况并求解。

掌握这类问题的解法有助于提高数学解题能力，培养逻辑思维能力。

希望本文对读者在解决含参数的一元一次不等式问题时有所帮助，带来新的启发和理解。

含参不等式的解题方法与技巧

含参不等式的解题方法与技巧
1、含参不等式的解题方法与技巧
一、等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数或消去；
4、将等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数或消去。

二、不等式的转换
1、将含参不等式化简成两端同乘的不等式：用一次列式，将参数移至另一边；
2、将不等式乘上一个不含参数的正数k：让参数消去；
3、将不等式乘以参数的简单函数^a、^(1/2)、1/x：让参数变成另一个函数，这时一般要保留不等式的方向；
4、将不等式乘以参数的幂函数x^a、x^(1/2)：让参数变成另一个函数。

三、解题方法
1、先求出不含参数的区间：让参数的系数取已知值，把不等式化为等式，解出已知系数的不含参数的解；
2、在不含参数的区间内求参数的区间：把不等式再化为等式，
分别令不含参数的解取已知系数的区间的上下两端的值，解出参数的区间；
3、再求参数的解：在参数的区间内分别求解参数的解，得到参数的解。

四、解题技巧
1、确定不等式的方向：通过乘以系数，把等式变为不等式；
2、选择合适的参数：选择不含参数的系数，以使参数的系数取一个易于使用的值；
3、求解参数的解：根据不等式的方向，在参数的区间内，用二分法或牛顿迭代法求解参数的解。

高一数学含参数不等式的解法

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少女写好信不小心遗落的，二是她随手丢弃，三是男朋友收到后，非常生气，回家的路上就顺手扔了。不管如何，这封没有地址与署名的诀别信，一定是亲手递交的，可见这个少女非常有诚意，又写诀别信、又亲手交托。不像我们年轻时的感情事件，对方离开时的理由到如今都还是谜一样。三月在信里说：“在你十八岁生日时，无论我在不在你身旁，一定会送你一枚银戒指，传说在十八岁生日时收到银戒指，此后将会一路顺畅平安。如今，这段甜蜜的过去就要放弃，明知你是真心爱我，December，回头再看一眼，再看一眼就好，珍重！再见！” 这结尾写得真不错，我坐在公园的长椅上，读着路上偶然捡到的情书，想到少年时代我们的情感都是如此纠缠的，因为不能了解一切都只是偶然。银戒指何必等到分手之后再送，今天送不是很好吗？明天的事，谁知道呢？不知道后来三月找到四月，十二月找到一月没有？那信纸也选得很好，是一个背着行李站在铁轨交叉点的少女，不知道走哪一条路好。“不管怎么走，都会有路。”我把诀别的情书收好，想起这句话。咸也好，淡也好一个青年为着情感离别的苦痛来向我倾诉，气息哀怨，令人动容。等他说完，我说：“人生里有离别是好事呀！” 他茫然的望着我。我说：“如果没有离别，人就不能真正珍惜相聚的时刻；如果呋有离别，人间就再也没有重逢的喜悦。离别从这个观点看，是好的。” 我们总是认为相聚是幸福的，离别便不免哀伤。但这幸福是比较而来，若没有哀伤作衬托，幸福的滋味也就不能体会了。再从深一点的观点来思考，这世间有许多的“怨憎会”，在相聚时感到重大痛苦的人比比皆是，如果没有离别这件好事，他们不是要永受折磨，永远沉沦于恨海之中吗？幸好，人生有离别。因相聚而幸福的人，离别是好，使那些相思的泪都化成甜美的水晶。因相聚而痛苦的人，离别最好，雾散云消看见了开阔的蓝天。可以因缘离散，对处在苦难中的人，有时候正是生命的期待与盼望。聚与散、幸福与悲哀、失望与希望，假如我们愿意品尝，样样都有滋味，样样都是生命中不可或缺的。高僧弘一大师，晚年把生活与修行统合起来，过着随遇而安的生活。有一天，他的老友夏丐尊来拜访他，吃饭时，他只配一道咸菜。夏丐尊不忍的问他：“难道这咸菜不会太咸吗？” “咸有咸的味道。”弘一大师回答道。吃完饭后，弘一大师倒了一杯白开水喝，夏丐尊又问：“没有茶叶吗？怎么喝这平淡的开水？” 弘一大师笑着说：“开水虽淡，淡也有淡的味道。” 我觉得这个故事很能表达弘一大师的道风，夏丐尊因为和弘一大师是青年时代的好友，知道弘一大师在李叔同时代，有过歌舞繁华的日子，故有此问。弘一大师则早就超越咸淡的分别，这超越并不是没有味觉，而是真能品味咸菜的好滋味与开水的真清凉。生命里的幸福是甜的，甜有甜的滋味。情爱中的离别是咸的，成有成的滋味。生活的平常是淡的，淡也有淡的滋味。我对年轻人说：“在人生里，我们只能随遇而安，来什么品味什么，有时候是没有能力选择的。就像我昨天在一个朋友家喝的茶真好，今天虽不能再喝那么好的茶，但只要有茶喝就很好了。如果连茶也没有，喝开水也是很好的事呀！” 知?了山上有一种蝉，叫声特别奇异，总是吱的一声向上拔高，沿着树木、云朵，拉高到难以形容的地步。然后，在长音的最后一节突然以低音“了”作结，戛然而止。倾听起来，活脱脱就是：知——了！知——了！这是我第一次听到蝉如此清楚的叫着“知了”，终于让我知道“知了’这个词的形声与会意。从前，我一直以为蝉的幼虫名叫“蜘蟟”，长大蝉蜕之后就叫作“知了”了。蝉，是这世间多么奇特的动物，它们的幼虫长住地下达一两年的时间，经过如此漫长的黑暗飞上枝头，却只有短短一两星期的生命。所以庄子在《逍遥游》里才会感慨： “惠蛄不知春秋！” 蝉的叫声严格说起来，声量应该属噪音一类，因为声音既大又尖，有时可以越过山谷，说它优美也不优美，只有单节没有变化的长音。但是，我们总喜欢听蝉，因为蝉声里充满了生命力、充满了飞上枝头之后对这个世界的咏叹。如果在夏日正盛，林中听万蝉齐鸣，会使我们心中荡漾，想要学蝉一样，站在山巅长啸。蝉的一生与我们不是非常接近吗？我们大部分人把半生的光阴用在学习，渴望利用这种学习来获得成功，那种漫长匐匍的追求正如知了一样；一旦我们被世人看为成功，自足的在枝头欢唱，秋天已经来了。孟浩然有一前写蝉的诗，中间有这样几句：黄金然桂尽，壮志逐年衰。日夕凉风至，闻蝉但益悲。听蝉声鸣叫时，想起这首诗，就觉得 “知了”两字中有更深的含义。什么时候，我们才能一边在树上高歌，一边心里坦然明了，对自己说：“知了，关于生命的实相，我明白了。” 前世与今生有一个人来问我关于前世的问题，说他常常在梦里梦见自己的前世，他问我：“前世真的存在吗？” 前世真的存在吗？我不能回答。我告诉他：“我可以确定的是，昨天的我是今天的我的前世，明天的我就是今天的我的来生。我们的前世已经来不及参加了，让它去吧！我们希望有什么样的来生，就掌握今天吧！” 前世或来生看起来遥远而深奥，但我总是相信，一个人只要有很好的领悟力，就能找到一些过去与未来的消息。就好像，我们如果愿意承认自己的坏习惯与坏思想，就会发现自己在过去是走了多么偏斜的道路。我们如果愿意去测量，去描绘心灵的地图，也会发现心灵的力量推动我们的未来。因此，一个人只要很努力，就可以预见未来的路，但再大的努力也无法回到过去。所以，真正值得关心的是现在。我对那时常做前世梦的朋友说：“与其把时间浪费在前世的梦，还不如活在真实的眼前。” 真的，世人很少对今生有恳切的了解，却妄图去了解前世，世人也多不肯依赖眼前的真我，却花许多时间寄托于来世，想来令人遗憾。纯善的心我每一次去买花，并不会先看花，而是先看卖花的人，因为我认为一个人如果不能把自己打扮得与花相衬，是不应该来卖花的。惟有像花的人，才有资格卖花。像花的人指的不是美丽的少女，而是有活力，有风采的人。所以，每次我看到俗人卖花，一脸的庸俗或势利，就会感到同情，想到我国民间有一种说法，有三种行业是前世修来的福报，就是卖花、卖伞和卖香。那是因为这三种行业是纯善的行业，对众生只有利益，没有伤害，可以一直和人结善缘。可叹的是，有的人是以痛苦埋怨的心在经营这纯善的行业。我经常去买花的花店，卖花的是一位中年妇人，永远笑着，很有活力；永远穿着干净而朴素，却很有风采。当我对她说起民间的说法，赞美她说：“老板娘一定是前世修来的福报，才能经营这纯善的行业呀！”她笑得很灿烂，就像一朵花，不疾不徐地说：“其实，只要有纯善的心，和人结善缘，所有的行业都是前世修来的。” 静心与抽烟 ?有一个关于禅者的笑话说：两个有烟瘾的人，一起去向一位素以严苛出名的禅师学习打坐。当他们打坐的时候，由于摄心，烟瘾就被抑制了，可是每坐完一注香，问题就来了。那一段休息时间被称为“静心”，可以在花园散步，并讨论打坐的心得。每到静心时间，甲乙两人便忍不住想抽烟，于是在花园互相交换抽烟的心得，愈谈愈想抽。甲提议说：“抽烟也不是什么大不了的事，我们干脆直接去请示师父，看能不能抽。” 乙非常同意，问道：“由谁去问呢？” “师父很强调个别教导，我们轮流去问好了。”甲说。甲去请教师父，不久之后，微笑着走出禅堂对乙说：“轮到你了。” 乙走进师父房里，接着传来师父怒斥和拳打脚踢的声音，乙鼻青眼肿地爬出来，却看见甲正在悠闲地抽烟。他无比惊讶地说：“你怎么敢在这里抽烟？我刚刚去问帅父的时候，他非常生气，几乎把我打死了。” 甲说：“你怎么问的？” 乙说：“我问师父：‘静心的时候，可不可以抽烟？’师父立刻就生气了，你是怎么说的，师父怎么准你抽烟？” 甲得意地说： “我问师父：‘抽烟的时候，可不可以静心？’师父听了很高兴，说：‘当然可以了！”这虽然是一个笑话，却说明了同样的一件事，如果转一个弯来看，烦恼就是菩提。随风吹笛远远的地方吹过来一股凉风。风里夹着呼呼的响声。侧耳仔细听，那像是某一种音乐，我分析了很久，确定那是嫡子的声音，因为萧的声音没有那么清晰，也没有那么高扬。由于来得遥远，使我对自己的判断感到怀疑；有什么人的笛声可以穿透广大的平野，而且天上还有雨，它还能穿过雨声，在四野里扩散呢？笛的声音好像没有那么悠长，何况只有简单的几种节奏。我站的地方是一片乡下的农田，左右两面是延展到远处的稻田，我的后面是一座山，前方是一片麻竹林。音乐显然是来自麻竹林，而后面的远方仿佛也在回响。竹林里是不是有人家呢？小时候我觉得所有的林间，竹林是最神秘的，尤其是那些历史悠远的竹林。因为所有的树林再密，阳光总可以毫无困难的穿透，唯有竹林的密叶，有时连阳光也无能为力；再大的树林也有规则，人能在其间自由行走，唯有某些竹林是毫无规则的，有时走进其间就迷途了。因此自幼，父亲就告诉我们“逢竹林莫人”的道理，何况有的竹林中是有乱刺的，像刺竹林。这样想着，使我本来要走进竹林的脚步又迟疑了，在稻田田硬坐下来，独自听那一段音乐。我看看天色尚早，离竹林大约有两里路，遂决定到竹林里去走一遭——我想，有音乐的地方一定是安全的。等我站在竹林前面时，整个人被天风海雨似的音乐震摄了，它像一片乐海，波涛汹涌，声威远大，那不是人间的音乐，竹林中也没有人家。竹子的本身就是乐器，风是指挥家，竹于和竹叶的关系便是演奏者。我研究了很久才发现，原来竹子洒过了小雨，上面有着水渍，互相摩擦便发生尖利如笛子的声音。而上面满天摇动的竹叶间隙，即使有雨，也阻不住风，发出许多细细的声音，配合着竹子的笛声。每个人都会感动于自然的声音，譬如夏夜里的蛙虫鸣唱，春晨雀鸟的跃飞歌唱，甚至刮风天里涛天海浪的交响。凡是自然的声音没有不令我们赞叹的，每年到冬春之交，我在寂静的夜里听到远处的春雷乍响，心里总有一种喜悦的颤动。我有一个朋友，偏爱蝉的歌唱。孟夏的时候，他常常在山中独座一日，为的是要听蝉声，有一次他送我一卷录音带，是在花莲山中录的蝉声。送我的时候已经冬天了，我在寒夜里放着录音带，一时万蝉齐鸣，

高一数学含参数不等式的解法

解: 原不等式可化为:
(x a)( x a2 ) 0
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a}
若b 0,则原不等式的解集为
若b 0，则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为：
当a 0时，解集为{x | x b}
a 当a 0时，解集为{x | x b}
a
当a 0且b 0时，解集为
当a 0且b 0时，解集为R
例2．解关于x的不等式
x2 (a a2 )x a3 0(a R)
当a 1时,则a2 a 1,原不等式的解集为 {x | x 1}
当a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
例3. 解关于x的不等式
ax2 (a 1)x 1 0 (a R)
分析：原不等式可转化为：(x 1)(ax 1) 0Leabharlann ；欧洲杯直播/；
可当他快到终点时，才发现机会全错过了。第三个弟子吸取了前边两个弟子的教训。当走过全程三分之一时，即分出大中小三类；再走三分之一时，验是否正确；等到最后三分之一时，他选择了属于大类中的一个美丽的穗。虽说，这穗不是田里最好最大的一个，但对他来说，已经是心满意足了。 137、科学史上因语文而失误例谈 ①美国化学家路易斯于1916年在一篇中提出了共价键理论，但在本世纪20年代曾一度被称为朗缪尔理论。原因是路易斯虽很聪明，但性格内向，不善言谈，他提出功价键理论后，并未引起多大反响。致使这一理论濒临泯灭的困境。幸亏三年后，一