上海市徐汇区2017届高三一模数学精彩试题+问题详解

2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科

2016．12

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对得4分（或5分），否则一律得0分． 1. 25

lim

1

n n n →∞-=+____________．

【解答】25lim 1n n n →∞-=+5

2n lim 11n n

→∞-

=+

2010=+=2． 2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为____________．

【解答】由题意可知：由焦点在x 轴上，若C 经过点M （1，3）， 则图象经过第一象限， ∴设抛物线的方程：y 2

=2px ， 将M （1，3）代入9=2p ，解得：p=92

， ∴抛物线的标准方程为：y 2

=9x ， 由焦点到准线的距离d=p=

2

p ， 3. 若线性方程组的增广矩阵为⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 1020，解为2

1

x y =⎧⎨=⎩，则=+b a ____________． 【解答】解：由题意知21

x y =⎧⎨=⎩是方程组2

ax y b =⎧⎨

=⎩的解，

即，

则a+b=1+1=2， 故答案为：2．

4. 若复数z

满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则z =______．

【解答】解：由iz=+i ，得z==1﹣i ， 故|z|==2， 故答案为：2．

5. 在6

2

2()x x +

的二项展开式中第四项的系数是____________．

（结果用数值表示） 【解答】解：在（x+）6的二项展开式中第四项：

=8Cx ﹣3=160x ﹣3．

∴在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160． 故答案为：160．

6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，若11,

2AB BC AA ===，则异面直线

1BD 与1CC 所成角的大小为____________．

【解答】解：如图，连接D 1B 1；

∵CC 1∥BB 1；

∴BD 1与CC 1所成角等于BD 1与BB 1所成角； ∴∠B 1BD 1为异面直线BD 1与CC 1所成角； ∴在Rt △BB 1D 1中，cos ∠B 1BD 1=；

∴异面直线BD 1与CC 1所成角的大小为． 故答案为：．

7. 若函数22,0(),0

x x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞，则实数m 的取值围是____________．

【解答】解：x ≤0时：f （x ）=2x

≤1． x ＞0时，f （x ）=﹣x 2+m ，函数的对称轴x=0，f （x ）在（﹣∞，0）递增，∴f （x ）=﹣x 2

+m ＜m ， 函数f （x ）=的值域为（﹣∞，1]， 故m ＜1，

故答案为：（﹣∞，1]

8. 如图：在ABC ∆中，若1

3,cos ,22

AB AC BAC DC BD ==∠==，则AD BC ⋅=____________．

【解答】解：根据条件： ===； ∴= ==．

9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2

()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为___________个．

【解答】解：当x ≥0时，f （x ）=lg （x 2

﹣3x+3），

函数的零点由：lg （x 2﹣3x+3）=0，即x 2

﹣3x+3=1，解得x=1或x=2． 因为函数是定义在R 上的偶函数y=f （x ），所以函数的零点个数为：4个． 故答案为：4．

10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个，其中2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有____________种？（结果用数值表示）

【解答】解：由题意，不同的停车位置安排共有A 22

A 86

=40320种． 故答案为40320．

11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ．设*()2

n

n n

S b n N n =∈⋅，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值围是____________． 【解答】解：S n =n+×2m=mn 2+（1﹣m ）n ． ∴b n ==，

∵数列{b n }是递减数列， ∴b n+1＜b n ，∴＜，

化为：m ＜n ，对于∀n ∈N *

，即可得出． 因此m ＜1．

则实数m 的取值围是（﹣∞，1）． 故答案为：（﹣∞，1）．

12. 若使集合{}

2|(6)(4)0,A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值围是_______________．

【解答】解：集合A={x|（kx ﹣k 2

﹣6）（x ﹣4）＞0，x ∈Z}，

∵方程（kx ﹣k 2

﹣6）（x ﹣4）=0， 解得：，x 2=4，

∴（kx ﹣k 2

﹣6）（x ﹣4）＞0，x ∈Z 当k=0时，A=（﹣∞，4）；

当k ＞0时，4＜k+，A=（﹣∞，4）∪（k+，+∞）； 当k ＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．

∴当k ≥0时，集合A 的元素的个数无限； 当k ＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．集合A 的元素的个数有限，此时集合A 的元素个数最少． 则有：，解得：k ＜0． 故答案为：（﹣∞，0）．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．

13. “()4

x k k Z π

π=+

∈”是“tan 1x =”成立的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件