天津商业大学数学期末试卷

2005-2006学年第二学期（A ）

全院工科专业《高等数学》(下)(课程)试卷

一、（每小题6分，共60分）

1、设),2sin(y x z -=求dz y

z x z ,,∂∂∂∂.

2、设),,(xy y x f z -=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2

y

x z ∂∂∂

3、计算二重积分σd y x D

⎰⎰

+22，其中D 为圆域222a y x ≤+.

4、计算三重积分

,)(2

22dV z y x ++⎰⎰⎰

Ω

其中Ω为球体2222a z y x ≤++. 5、计算对弧长的曲线积分,12

2ds x

x L

⎰

+其中L 为曲线x y ln =从1=x 到e x =的一段弧.

6、计算对坐标的曲面积分

,)()()(4232

dxdy x z dzdx z y dydz y

x +++-++⎰⎰∑

其中∑为圆柱

体10,12

2

≤≤≤+z y x 的外侧表面.

7、判别正项级数∑∞

=1!

3n n n n

n 的收敛性.

8、已知函数)(x f 以π2为周期，且πππ<≤-+=x x x f ,)(，其傅里叶级数的和函数记为),(x s 计算).2(),(ππs s 9、求微分方程02=+'x y y 满足30

==x y

的特解

10、求微分方程1

31222

2+=++'x x y x x y 的通解. 二、（本题满分8分）设有平面区域10,10:≤≤≤≤y x D ， 1、 计算二重积分

σd y x y x D

)(22-⎰⎰； 2、 设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得

),(=⎰⎰σd y x f D

.

三、（本题满分8分）已知幂级数

∑∞

=-1

1

n n nx

.

1、 求其收敛域；

2、利用逐项积分法，求其和函数).(x s

四、（本题满分8分）

1、证明对坐标的曲线积分⎰

-+-L

dy x y dx y x )4()2(在全平面上与路径无关；

2、计算⎰

-+-L

dy x y dx y x )4()2(，其中 L 为曲线x e

y x x 2

sin

2

π

-=从0=x 到1=x 的一

段弧. 五、（本题满分8分） 1、求齐次方程02=+'-''y y y 的通解； 2、求非齐次方程x

e y y y -=+'-''2的一个特解； 3、求非齐次方程x

e

y y y -=+'-''2的通解.

六、（本题满分8分）已知曲面方程342

2

2

=++z y x . 1、 试求其在第一卦限内的点),,(c b a 处的切平面方程； 2、 求该切平面与三坐标面所围立体的体积),,(c b a V 3、 求),,(c b a V 的最小值.

2005-2006学年第二学期（B ）

全院工科专业《高等数学》(下)(课程)试卷

一、（每小题6分，共60分）

1、 设),,(2

xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求.2

y

x z ∂∂∂.

2、 求)2sin(y x z -=在点（0，0）处的梯度及沿梯度方向的方向导数

3、 计算二重积分σd x x

D

⎰⎰sin ，其中D 为1,,0===x x y y 所围区域. 4、 计算三重积分

,zdV ⎰⎰⎰

Ω

其中Ω为球体1,22=+=z y x z 所围区域.

5、计算对弧长的曲线积分

,12ds e y L

x

⎰

+其中L 为曲线x e y =从0=x 到1=x 的一段弧.

6、计算对坐标的曲面积分

,2

22dxdy zx dzdx yz dydz xy ++⎰⎰∑

其中∑为球面2222a z y x =++的外侧.

7、 判别正项级数

∑

∞

=++1

)

2)(1(1

n n n n 的收敛性.

8、 已知函数ππ<≤-=x x x f ,)(的为傅里叶级数

∑∞

=---

12

)12()12cos(4

2

n n x

n ππ

，求级数∑∞

=-12

)

12(1

n n 的和. 9、求微分方程2

2

1

2x y x x y =+-

'的通解. 10、求微分方程023=+'-''y y y 满足4,300='===x x y y

的特解.

二、（本题满分8分）设有平面区域1:2

2

≤+y x D ， 1、计算二重积分

σyd x y D

)(2

2+⎰⎰； 2、设函数),(y x f 在D 上连续，试给出一个),(y x f 所满足的一般条件，使得

),(=⎰⎰σd y x f D

.

三、（本题满分8分）

1、将函数x y arctan =展开成x 的幂级数；

2、求级数∑∞

=+-01

2)1(n n

n 的和.

四、（本题满分8分）

1、证明对坐标的曲线积分⎰

+-L

x

x ydy e dx x y e cos )2sin (在全平面上与路径无关；

2、计算⎰

+-L

x

x ydy e dx x y e cos )2sin (，其中 L 为曲线21x y -=从0=x 到1=x 的一

段弧. 五、（本题满分8分）

1、 设),(1x y y =)(2x y y =为二阶非齐次线性方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的两个

解，证明)()(12x y x y y -=为对应的齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解； 2、已知x xe y x xe y xe y x

x

x

sin ,cos ,+=+==为方程是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个解，试求其通解.