费马定理
费马最后定理数学概念
费马最后定理数学概念
费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在1660年提出,又名“最短光时”原理.费马原理：光沿着所需时间为平稳的路径传播.（所谓的平稳是数学上的变分概念,可以简单理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点.多数情况是极小值.宇宙学中指的时空透镜就是极大值,椭圆状镜面的表面则是拐点.）光程s=n l(n 为光所在介质的折射率,l为几何路程) 又因为 n=c/v 和 l=vt 所以得到 s=ct.由此可见,光在某种介质中的光程等于同一时间内光在真空中所走的几何路程.费马原理指出,光从一点传播到另一点,其间无论经过多少次折射和反射,光程为极值.也就是说,光是沿着光程为极值（极大值、极小值或常量）的路径传播的.。
世界数学难题——费马大定理
世界数学难题——费马大定理费马大定理简介：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.（(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0）无整数解。
这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁•怀尔斯和他的学生理查•泰勒于1995年成功证明。
证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁•怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
[编辑本段]理论发展1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对很多不同的n，费马定理早被证明了。
但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
费马 大小定理
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。
它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。
费马两平方和定理
费马两平方和定理费马两平方和定理，也被称为费马定理，是数学中一个重要的定理。
它指出，对于任意一个自然数n，都不可能找到三个整数a、b、c，使得a的平方加上b的平方等于c的平方，即a^2 + b^2 = c^2成立。
费马两平方和定理的证明由法国数学家费马于17世纪提出，而真正的证明则由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成。
这个定理的证明过程十分复杂，需要运用高深的数学知识和技巧。
但是，对于一般的人来说，我们可以通过简单的例子来理解这个定理。
假设我们想找到一个满足费马定理的例子，即找到满足a^2 + b^2 = c^2的整数a、b、c。
我们可以从最简单的情况开始，即a、b、c都等于1。
但是很明显，1的平方加上1的平方等于2的平方，不符合费马定理。
我们可以继续尝试其他的整数，如2、3、4等等，但是都无法找到满足条件的整数。
费马两平方和定理的意义在于它证明了平方数的和不可能再次是一个平方数。
这个定理在数学中有广泛的应用，尤其在数论和几何中。
它不仅帮助我们了解了数学中的一种特殊情况，更为我们提供了一种方法来判断一个数是否为平方数。
尽管费马两平方和定理的证明过程十分复杂，但是它的意义和应用却是非常明确的。
它告诉我们，平方数的和不可能再次是一个平方数，这是数学中的一个基本原理。
通过理解和运用这个定理，我们可以更好地理解数学中的其他概念和定理，并将其应用于实际问题中。
费马两平方和定理是数学中一个重要的定理，它告诉我们平方数的和不可能再次是一个平方数。
虽然它的证明过程复杂，但是通过简单的例子，我们可以理解和应用这个定理。
它不仅帮助我们更好地理解数学中的其他概念和定理，也为我们提供了一种方法来判断一个数是否为平方数。
费马定理证明
费马定理证明费马定理又称费马大定理，是由18世纪德国数学家费马于1768年提出的能够证明任何一个自然数都可以表示为4个方平方数之和的定理。
费马定理非常重要，被誉为数论界最重要的大定理，被用作数论里最简单的证明之一，且由此衍生出众多的定理，是数学发展史上不可磨灭的脚印。
费马定理的具体内容可以表述为：任何一个正整数都可以表示为4个正整数的方平方和，即：对任意正整数N，都存在正整数 a、b、c、d 使得 N=a^2+b^2+c^2+d^2，这里^2表示平方。
费马定理十分重要，因为它打开了数论界的大门，提出了一种全新的证明方法，激发了许多数学家的灵感，从而大大推动了数学的发展，费马定理的推导过程也是数学研究的一部分，为了证明费马定理，必须在数学的诸多基本概念上做出合理的假设。
证明费马定理有两种方法：一种是基于数论的证明，特别强调费马定理之后的其他定理；另一种则是基于几何的证明，它依赖于几何学及其证明原理，从而进行类似几何图形或几何空间的复杂计算，以证明费马定理。
首先，我们来看基于数论的证明方法。
首先，我们以一个正整数N作为开始，然后将N分解为一系列的平方数的和：N=a^2+b^2+c^2+……+n^2，其中a，b，c是正整数，这里^2表示平方。
接下来，分析这些方平方数之间的关系，来确定它们之间的联系程度，即取决于它们之间的差值。
如果这些差值是不同的，则这些方平方数互异，如果它们差值相同，则这些方平方数是相同的。
这就是费马定理的证明方法。
其次，我们来看基于几何的证明方法。
首先，我们可以假设有N 个正整数点构成了一个正整数边长的正方形，每个点的坐标都是a^2+b^2+c^2+d^2，其中a，b，c，d是正整数，^2表示平方。
接下来，用这N个点构成一个四边形，然后证明四边形实质性的几何规律，用这种几何规律可以了解四边形的变化规律，从而得出费马定理。
最后，无论采用基于数论的证明还是基于几何的证明，费马定理都是一个强大的重要定理，其中蕴含着巨大的数学智慧，它也是数学史上开创性的结果，拉开了数论和几何学的大门，激发了许多数学家的灵感，推动了数学的发展。
费马定理及其推论
费马定理及其推论费马定理是一条著名的数学定理，由法国数学家费尔马在17世纪提出。
它是数论中的一个重要命题，与素数性质相关。
费马定理的内容是对于任何大于2的自然数n，不存在三个整数x、y、z，使得x^n+ y^n = z^n成立。
费马定理是数学史上的一个难题，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯通过巴黎贝斯公式（Wiles’ proof）给出了完整证明，这一问题才得以解决。
费马定理的证明十分复杂，涉及到多个数学分支的知识，包括代数几何、模形式、椭圆曲线等内容。
费马定理的证明受到广泛关注，因为它不仅是数论的一个重要问题，更是集合了数学的各个分支。
费马定理的证明过程中，涌现出许多具有里程碑意义的数学思想和方法，对于推动数学发展起到了重要作用。
其中，怀尔斯的证明尤其引人注目，因为他应用了模形式的理论，并通过构造和理解椭圆曲线来解决了这一难题。
费马定理的证明给数学界带来了巨大的影响，激发了人们对于数学基础问题的思考。
在费马定理的证明过程中，数学家们发展了新的数学工具和技巧，并深入研究了数论和代数几何等领域。
这为数学的未来发展提供了宝贵的经验。
除了费马定理本身，它还有一些重要的推论。
其中最著名的推论是费马大定理，也被称为费马小定理。
费马大定理指出，如果p是一个素数，且a是任意整数，那么a^p - a能够被p整除。
这个推论具有广泛的应用，被应用在密码学、编码理论等领域。
费马大定理的证明相对较简单，可以通过欧拉公式和数学归纳法来完成。
费马大定理的证明过程清晰简洁，易于理解，因此经常在数学教育中被选为例题进行讲解。
它的应用非常广泛，对于理解数论中的一些基本概念和方法具有重要意义。
除了费马大定理，费马定理还有一些其他的推论，包括费马定理的整数解和特殊情况下的解等。
这些推论在数论的研究中也起到了一定的作用，有助于深入理解费马定理的性质。
综上所述，费马定理及其推论是数论中的重要内容。
费马定理的证明历经漫长而复杂的过程，但最终为数学界解开了一个世纪之久的谜团。
费马大定理—数学史上著名的定理
— 数学史上著名的定理
中文名： 外文名： 费马大定理 Fermat’ s Last Theorem
别 称： 表达式：
费马最后的定理 x n y n z n (n 2时， 无正整数解)
提出者： 皮耶 • 德 • 费马(法国) 提出时间： 1637年左右 证明者： 安德鲁 • 怀尔斯(英国) 证明时间： 1995年彻底证明
历史研究
莫德尔猜想
1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫 做莫德尔猜想。按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、 有理系数的二元多项式，当它的 “亏格” 大于或等于 2 时，最 多只有有限个解。记这个多项式为f ( x ， y )，猜想便表示：最 多存在有限对数偶 xi ， yi Q ，使得 f ( xi ， yi ) 0。后来，人们 把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象 代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。 ( n 1)( n 2) n n 而费马多项式 x y 1没有奇点，其亏格为 。 2 当 n ≥ 4 时，费马多项式满足猜想的条件。因此，如 果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程 x n y n z n 本质上最多有有限多个整数解。
历史研究
接力证明
1844年，库默尔提出了 “理想数” 概念，他证明了：对于 所有小于100的素指数 n ，费马大定理成立，此一研究告一阶 段。但对一般情况，在猜想提出的头两百年内数学家们仍对 费马大定理一筹莫展。 1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，当时著名数学家 拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称 证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔 则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯 入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了 德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数 系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅 和柯西的证明都是错的。
费马大定理
费马大定理（Fermat's last theorem）现代表述为：当n＞2时，方程xn＋yn＝zn没有正整数解。
费马大定理的提出涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费马。
丢番图活动于公元250年左右，他以著作《算术》闻名于世，不定方程研究是他的主要成就之一。
他求解了他这样表述的不定方程（《算术》第2卷第8题）：将一个已知的平方数分为两个平方数。
（1）现在人们常把这一表述视为求出不定方程x2＋y2＝z2 （2）的正整数解。
因而，现在一般地，对于整系数的不定方程，如果只要求整数解，就把这类方程称为丢番图方程。
有时把不定方程称为丢番图方程。
关于二次不定方程（1）的求解问题解决后，一个自然的想法是问未知数指数增大时会怎么样。
费马提出了这一数学问题。
费马生前很少发表作品，一些数学成果常写在他给朋友的信中，有的见解就写在所读的书页的空白处。
他去世后，才由后人收集整理出版。
1637年前后，费马在读巴歇校订注释的丢番图的《算术》第2卷第8题，即前引表述（1）时，在书的空白处写道：“另一方面，将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。
关于此，我已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
” （3）费马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这一段话，却没有找到证明，这更引起了数学界的兴趣。
后来，表述（3）被理解为：当整数n＞2时，方程xn＋yn＝zn （4）没有正整数解。
欧拉、勒让德、高斯等大数学家都试证过这一命题，但都没有证明出来，问题表述的简单和证明的困难，吸引了更多的人投入证明工作。
这一命题就被称为费马猜想，又叫做费马问题，但更多地被叫做“费马最后定理”，在我国，则一般称之为费马大定理。
“费马最后定理”的来历可能是：费马一生提出过许多数论命题，后来经过数学界的不懈努力，到1840年前后，除了一个被反驳以外，大多数都被证明，只剩下这个费马猜想没有被证明，因此称之为“最后定理”。
费马最终定理
费马最终定理费马最终定理是数学界最为著名的问题之一，它是由17世纪法国数学家费马所提出的一道数学难题。
费马最终定理的核心内容是：对于任意大于2的正整数n，不存在正整数x、y、z，使得x^n+y^n=z^n 成立。
这个问题在数学界中被称为费马大定理，或费马最后定理，是数学史上最长的一道未解决问题之一。
费马最终定理的历史可以追溯到17世纪，当时费马提出了这个问题，并在自己的笔记中写下了他的证明，但他却没有公开发表这个证明。
随后，这个问题成为了数学史上最为著名的未解决问题之一，许多数学家都试图证明这个问题，但一直没有成功。
直到20世纪，英国数学家安德鲁·怀尔斯发表了一篇论文，他在论文中提出了一种新的证明方法。
这种方法被称为“椭圆曲线方法”，它利用了椭圆曲线的一些性质来证明费马最终定理。
怀尔斯的证明方法受到了广泛的赞誉，但是它仍然存在一些问题，因为这个问题的证明涉及到了很多高级数学知识和技能。
随后，许多数学家都尝试使用怀尔斯的方法来证明费马最终定理，其中最为著名的是法国数学家皮埃尔·德费尔马特。
德费尔马特使用了一种新的技术来证明这个问题，他将费马最终定理与另一个问题联系在了一起，这个问题被称为“塔特定理”。
通过将这两个问题联系在一起，德费尔马特最终成功地证明了费马最终定理，这个问题被解决了近四百年。
费马最终定理的证明过程非常复杂，它需要运用到很多高级数学知识和技能。
但是，这个问题的解决对于数学界来说具有非常重要的意义。
它证明了数学是一门无限深奥的学科，它的发展需要数学家们不断地探索和创新。
同时，费马最终定理的解决也对其他学科的发展产生了很大的影响，例如密码学、计算机科学等。
除了数学家之外，费马最终定理的解决也对普通人产生了很大的启示。
它告诉我们，无论面对多么困难的问题，我们都应该坚持不懈地去探索和寻找答案。
同时，它也告诉我们，只要我们付出足够的努力和时间，我们就有可能解决看似无解的难题。
费马定理
2：费马自己证明了n=4的情形。
3：1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。
4：1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。
用不定方程来表示，费马大定理即：当n > 2时，不定方程x^n + y^n = z^n 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只需证明方程x^4 + y^4 = z^4 ，(x , y) = 1和方程x^p + y^p = z^p ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［p是一个奇素数］均无xyz≠0的整数家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。
1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n + b^n = c*n。
1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。
怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。
关于费马大定理
关于费马大定理费马在数论方面的有几个猜想，除了他关于素数的猜想，费马大定理是费马的所有猜想中最困难、最有影响的一个，从1637年提出直到1994年有怀尔斯（A.Wiles ）解决，整整经历了357年，费马大定理的证明是20世纪诸多重大数学成就之一。
1. 什么是费马大定理？费马大定理又称费马最后一个定理（Fermat ’ Last Theorem ），简记成FLT ，据说是由于到19世纪初期，除了这个定理以外，费马的所有其他猜想均以被解决而得名。
1637年费马在阅读古希腊数学家丢番图著的《算术》的拉丁文译本中第二卷第八个命题：“把一个平方数写成两个平方数之和”时，在书的填白处写道：“相反，不能把一个立方数写成两个立方数之和，也不能把一个四次方表成两个四次方之和，一般地，每个幂次大于2的方幂数均不能表成两个同样方幂次之和，我对此已经找到了一个真正奇妙的证明，但空白的地方太小写不下。
”这就是数学史上著名的费马大定理，用现代术语可表述如下：对每个正整数3≥n ，方程n n n z y x =+均没有正整数解),,(z y x 使得0≠xyz 。
对于2=n 的情况，早在三千多年前，即公元前1100年，我国西周的商高就提出了“勾3股4弦5”的结论，在几何上讲，这是勾股定理的特例，从代数角度看，就是方程222z y x =+有一组整数解)5,4,3(。
费马大定理一提出就立即引起了数学界的兴趣，特别是数学家们都在寻找他说的“奇妙证明”。
多数数学家对此说持怀疑态度。
至少可以说，方程n n n z y x =+对于费马并不是典型的，他所研究的绝大多数方程的指数均小于等于4。
此外，他在与朋友的通信中只叙述了3=n 的情形。
对4=n 时，他采用无穷下降（推）的技巧给出了证明。
虽然后人一直未找到他的证明细节，但对此却确信无疑，因为这可由费马的另一个定理推出。
这个定理是：“三边为整数的直角三角形的面积不能为平方数”。
而后者的证明，费马写在空白处。
费马最后的定理：费马大定理
费马最后的定理费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。
它断言当整数n >2时,关于x, y, z的方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内,第一个证明该定理的人,吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
被提出后,经历多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。
大约1637年左右,法国学者费马在阅读丢番图(Diophatus)《算术》拉丁文译本时,曾在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。
关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。
”(拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.")毕竟费马没有写下证明,而他的其它猜想对数学贡献良多,由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容,推动了数论的发展。
证明完成定理到了最后攻关阶段,并且这刚好是他的研究领域,他开始放弃所有其它活动,精心疏理有关领域的基本理论,为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。
接下来的要将二种“排队”序列对应配对,这一步他二年无进展。
此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效,到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线,这一方法使其工作有重大进展。
1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议,组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨,于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题,分三次作了演讲。
费马大定理
奖励 德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人， 德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人， 吸引了不少人尝试并递交他们的“证明” 吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地 下降。 莫德尔猜想 1983年，联邦德国数学家伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇 1983年，联邦德国数学家伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇 章．获得1982年菲尔兹奖 章．获得1982年菲尔兹奖 伐尔廷斯于1954年 伐尔廷斯于1954年7月28日生于联邦德国的杰尔森柯琛，并在那里渡过了学生时代，而后就 28日生于联邦德国的杰尔森柯琛，并在那里渡过了学生时代，而后就 学于内斯涛德教授门下学习数学．1978年获得博士学位．他作过研究员、助教，现在是乌珀塔尔 学于内斯涛德教授门下学习数学．1978年获得博士学位．他作过研究员、助教，现在是乌珀塔尔 的教授．他在数学上的兴趣开始于交换代数，以后转向代数几何． 1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个 1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想．按其最初形式，这个 猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2 猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有 限个解．记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi， 限个解．记这个多项式为f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi， yi)=0． yi)=0． 后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重 新用代数曲线来叙述这个猜想了．因此，伐尔廷斯实际上证明的是：任意定义在数域K 新用代数曲线来叙述这个猜想了．因此，伐尔廷斯实际上证明的是：任意定义在数域K上，亏格 大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K 大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K一点． 数学家对这个猜想给出各种评论，总的看来是消极的． 1979年利奔波姆说：“可以有充分 1979年利奔波姆说：“ 理由认为，莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事．” 理由认为，莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事．” 对于“猜想” 1980年威尔批评说：“ 对于“猜想”，1980年威尔批评说：“数学家常常自言自语道：要是某某东西成立的话， ‘这就太棒了’(或者‘这就太顺利了’)．有时不用费多少事就能够证实他的推测，有时则很快 这就太棒了’ 或者‘这就太顺利了’ 否定了它．但是，如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测，那么他就要说到‘猜想’这 否定了它．但是，如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测，那么他就要说到‘猜想’ 个词，既便这个东西对他来说毫无重要性可言．绝大多数情形都是没有经过深思熟虑的。”因此， 个词，既便这个东西对他来说毫无重要性可言．绝大多数情形都是没有经过深思熟虑的。” 对莫德尔猜想，他指出：我们稍许来看一下“莫德尔猜想” 对莫德尔猜想，他指出：我们稍许来看一下“莫德尔猜想”．它所涉及的是一个算术家几乎不会 不提出的问题；因而人们得不到对这个问题应该去押对还是押错的任何严肃的启示．
费马大定理
费马大定理（Fermat's last theorem）现代表述为：当n＞2时，方程xn＋yn＝zn没有正整数解。
费马大定理的提出涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费马。
丢番图活动于公元250年左右，他以著作《算术》闻名于世，不定方程研究是他的主要成就之一。
他求解了他这样表述的不定方程（《算术》第2卷第8题）：将一个已知的平方数分为两个平方数。
（1）现在人们常把这一表述视为求出不定方程x2＋y2＝z2 （2）的正整数解。
因而，现在一般地，对于整系数的不定方程，如果只要求整数解，就把这类方程称为丢番图方程。
有时把不定方程称为丢番图方程。
关于二次不定方程（1）的求解问题解决后，一个自然的想法是问未知数指数增大时会怎么样。
费马提出了这一数学问题。
费马生前很少发表作品，一些数学成果常写在他给朋友的信中，有的见解就写在所读的书页的空白处。
他去世后，才由后人收集整理出版。
1637年前后，费马在读巴歇校订注释的丢番图的《算术》第2卷第8题，即前引表述（1）时，在书的空白处写道：“另一方面，将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。
关于此，我已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
” （3）费马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这一段话，却没有找到证明，这更引起了数学界的兴趣。
后来，表述（3）被理解为：当整数n＞2时，方程xn＋yn＝zn （4）没有正整数解。
欧拉、勒让德、高斯等大数学家都试证过这一命题，但都没有证明出来，问题表述的简单和证明的困难，吸引了更多的人投入证明工作。
这一命题就被称为费马猜想，又叫做费马问题，但更多地被叫做“费马最后定理”，在我国，则一般称之为费马大定理。
“费马最后定理”的来历可能是：费马一生提出过许多数论命题，后来经过数学界的不懈努力，到1840年前后，除了一个被反驳以外，大多数都被证明，只剩下这个费马猜想没有被证明，因此称之为“最后定理”。
费马定理
定理及其证明费马定理：设)(f x 在c 的某邻域）（δδ+-c c ,内有定义，而且在这个领域上有)()(c f x f ≤（其中)c (f 为局部最大值）或者)()(c f x f ≥（其中)c (f 为局部最小值），当)(f x 在c 处可导时，则有0)c ('=f ．证明：因为假设)c ('f 存在，由定义可得左导数)('-x f 和右导数)(f 'c +均存在且满足：)(f )()('''-c c f c f ==+当c x <时，0)()(≥--c x c f x f ，所以0)(f )(lim )(f '≥--=-→c x c x f c c x当c >x 时，0)()(≤--c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≤--=+→c x c x f c cx 所以0)c ('=f以上是对于)()(c f x f ≤这种情况进行的证明，同理也可证明)()(c f x f ≥这种情形 罗尔定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，若)()a (b f f =，则必有一点()b a ,c ∈使得0)c ('=f ．证明：分两种情况，若)(f x 为常值，结论显然成立．若)(f x 不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间[]b ,a 上的连续函数)(f x 具有最大值和最小值）可知，)(f x 必在()b ,a 内某一点c 处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，0)c ('=f ．拉格朗日中值定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使ab a f --=)(f )b ()(f 'ξ．证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('=f 在()b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (ab a f x ---=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且()a ab b a bf ϕϕ=--=)(f )a ()b (，这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有一点ξ，使得()0)(f )b (f )(''=---=ab a f ξξϕ．即()ab a f --=)(f )b (f 'ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使()()()()ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =--． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '在()b ,a 内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()()()()()a g a g b a f x F ----=x g g )(f )b ()(f )x (．由()()b F F =a ，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立．泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内有()()()()()()()x R x n f x f f f x n nn +++++=!0...!20x 00f 2'''．其中()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．证明：做辅助函数()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f -------+=!...!2t 2'''ϕ．由假设容易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----------⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=-+11n 2'''''2''''''''!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ化简后有()()()()n 1n '!-t x n t f t -=+ϕ．在引进一个辅助函数()()1t +-=n t x ψ．对函数()t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到()()()()()()ξψξϕψψϕϕ''00x =--x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ-=+!-1n '，()1n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()nx ξξψ-+=1n -'，代入上式，即得()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．定理证明完毕．这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得()x f 在0x x =点附近的泰勒公式()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +-++-+-+=0200''00'0!...!2f ．其中()()()()()101n !1++-+=n n x x n f x R ξ．ξ是介于0x 与x 之间的某个值．定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。
费马 定理
费马定理
费马定理，也称为费马大定理或费马最后定理，是法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的一个数论问题。
该定理的原始陈述是：对于任何大于2的整数n，不可能找到三个正整数a、b、c使得a^n + b^n = c^n成立。
费马在其手稿中提出了这个猜想，并表示自己有证明，但未给出具体证明。
这个猜想在数学界引起了长期的关注和研究，成为数论中的一个重要问题。
直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马定理的一个特例，即当n大于2时，方程a^n + b^n = c^n没有正整数解。
这一证明被广泛认可并获得了费尔马奖。
然而，怀尔斯的证明并不能推广到一般情况，即对于所有大于2的整数n。
至今，费马定理在一般情况下仍然是一个未解决的问题。
数学家们一直在寻找一个通用的证明方法，但目前还没有找到。
费马小定理 威尔逊定理 洛谷
费马小定理（Fermat's Little Theorem）、威尔逊定理（Wilson's Theorem）以及洛谷（Luogu）是数学领域中常见的概念和工具。
它们在数论、离散数学等领域中有着重要的应用和意义。
接下来，我将分别介绍这三个概念，并阐述它们的相关内容和特点。
一、费马小定理费马小定理是由法国数学家费马（Pierre de Fermat）于17世纪提出的一条基本定理。
该定理是关于整数的一个重要性质，其内容可以用如下的形式来表述：1.1 定理内容如果p是一个质数，a是任意一个整数且a与p互质（即a与p没有公约数），则有如下等式成立：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)其中，a^(p-1) 表示a的p-1次方，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
1.2 定理应用费马小定理在密码学、离散数学等领域有着广泛的应用。
在密码学中，费马小定理常用于快速计算模幂运算，以及构造和破解RSA公钥密码系统。
在离散数学中，费马小定理可以用来证明一些数论性质，推导一些数论定理等。
二、威尔逊定理威尔逊定理是由英国数学家约翰·威尔逊（John Wilson）于18世纪提出的一条关于质数的定理。
它的内容可以用如下的形式来表述：2.1 定理内容对于任意一个正整数p，p是质数当且仅当：(p-1)! ≡ -1 (mod p)其中，(p-1)!表示(p-1)的阶乘，≡表示同余，mod p表示对p取模的意思。
2.2 定理应用威尔逊定理在数论中有着重要的应用。
它可以用来判定一个数是否为质数，也可以用来证明一些数论性质和定理。
威尔逊定理还与费马小定理有一定的通联，可以互相补充和应用。
三、洛谷洛谷（Luogu）是一个面向中学生和高中生的上线OJ（Online Judge）系统，提供有关基于计算机编程的竞赛和练习评台。
它起源于我国大陆，为用户提供了一系列的习题和比赛，涵盖了多种编程语言和算法题型。
洛谷的主要特点包括：3.1 提供多种编程语言的支持，如C/C++、Java、Python等，让用户可以根据自己的喜好和实际需要选择合适的编程语言进行练习和比赛。
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定理及其证明(c _ 6, c + 6)费马定理：设f(X)在c的某邻域内有定义，而且在这个领域上有f(X)乞f (c) (其中f(c)为局部最大值)或者f(x) 一f(c)(其中f(c)为局部最小值)，当f(x)在c处可导时，则有f'(c)=O.证明：因为假设f'(c)存在，由定义可得左导数f-'(x)和右导数fjc)均存在且满足：f-'(c)=仃。
= f'(c)当X :c 时，f(x) - f(c)_0，所以f'(c)=lim f(x)—f(c)_oX —C ―― X —c当x c 时，f(x)一f(c)M，所以f'(c) = lim f(x)—f(c)M X —C X —C所以f'(c) =0以上是对于f (X)空f (c)这种情况进行的证明，同理也可证明 f ( X)_ f(C)这种情形罗尔定理：设f (X)在a,b ］上连续，在a,b上可导，若f(a)=f(b)，则必有一点c a,b使得f'(c) =0.证明：分两种情况，若f (x)为常值，结论显然成立•若 f (x)不为常值，根据最大、最小值定理(有界闭区间a,b上的连续函数f (x)具有最大值和最小值)可知，f(x)必在a,b内某一点c处达到最大值或最小值，再有费马定理可得， f '(c) = 0.拉格朗日中值定理：设f (x)在a, b 1上连续，在a, b上可导，则一定有一点-三ia,b使f(.b —a证明：分两种情况，若f (x)恒为常数，则f'(x) =0在a,b上处处成立，则定理结论明显成立•若f(x)在a,b不恒为常数时，由于f(x)在a,b 1上连续，由闭区间连续函数的性质，f (X)必在a, b 1上达到其最大值M和最小值m，有一种特殊情况f (a) = f (b)时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理•考虑一般情形，f (a) = f (b).做辅助函数「(x)二f(x) -f (b)—f (a )x •由连续函数的性质及导数运算法则，可得(x)在a,b 1上连b —a续，在 a,b 上可导，且「(b) 一bf (a八af (b)— a , 这就是说半(x)满足刚刚的特殊情况，b —a因此在 a,b 内至少有一点'，使得「'「)= f '『;「f (b)-f(a)=o 即b — a『•二辿上坐•定理得证.b -a柯西中值定理：若f (x)和g(x)在la, b 1上连续，在a,b 上可导，且g '(x) = 0，则一定存在a,b 使仙")」,’• g(b)-g(a) g (C)证明：首先能肯定g(a)= g(b)，因为如果g(a) =g(b)，那么由拉格朗日中值定理， g ' (x)在a,b 内存在零点，因此与假设矛盾. 还是做辅助函数 F (x) = f (x) -丄^―f(a)gx-ga .由Fa=Fb ，再由拉格朗日 g(b )-g (a )中值定理，可以证明定理成立.泰勒中值定理：若f(x)在x = 0点的某个邻域内有直到n 1阶连续导数，那么在此邻域内有 f x f 0 f ' 0 x X 2…」0x nR n x •其中2!n!证明：做辅助函数「t 二 f X • f t - f't x-t - f t x-t 2 -…- f n t x-t n •由 2! n!假设容易看出t 在0,x 1或 x,0 上连续，且 0 = R n x ，: x =0 ,'t=-ft-〔ftx-t-ft :」：x-t -ft x-t -…-ft x-t 〕〔x-t -...-_ 2! 2!［心叫x —t —H —t rln!(n -1 !化简后有「’t A - (叫) n------- (x -t f .在引进一个辅助函数n! R n X 二n 1 !是介于0与x 之间的某个值.对函数t 和t t 利用柯西中值定理得到X- 0 = _ ,-是介于o 与x 之间的某屮（x a 屮（0）屮（匕）个值，此时有 o = R n x ，:: x =o ,'二x - n ，- o =x n 1 , x =o , n!；•」］：-n • 1 x - n ，代入上式，即得尺x = f、 定理证明完毕.这是函数f X 在X =0点的泰勒公式，同理推导可得 f X 在X =x 0点附近的泰勒公式△x-X o 2…jx-J R n X .其中2! n!f n 1 \X-X 0--是介于X o 与X 之间的某个值.定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本 定理。
这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理Xn 1!f x ]=f X o f X o X-X o应用（判别函数单调性、求不定式极限、证明不等式和等式、证明终止点的存在性、证明方程根的存在性与唯一性、利用泰勒公式求近似值）证明方程根的存在性把要证明的方程转化为f x =0的形式•对方程f x =0用下述方法：（1）根的存在定理若函数f x在区间a,b ］上连续，且f a f b ：：：0，则至少存在一点］三ia,b，f =0.（2）若函数f x的原函数F x在a,b 1上满足罗尔定理的条件，则f x在a,b 内至少有一个零值点•（3）若函数f x的原函数F x在x0处导数也存在，由费马定理知F' X。
=0即f x°= 0.（4）若f X在区间a,b ］上连续且严格单调，则f X在a,b 1内至多有一个零值点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，贝U f x无零值点，若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则 f x有一个零值点•（5）用泰勒公式证明根的存在性.（6）反证法.（7）在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.例1若f x在a,b 1上连续，在a,b内可导a 0，证明：在a,b内方程2x〔f b；；-f a 1= b2-a2f' x 至少存在一个根.证明：令Fx - fb-fax2-b2-a2fx显然F X在a,b 1上连续，在a,b内可导，而且F a = f ba2- b2f a A F b根据罗尔定理，至少存在一个'，使2 f b 一f a 丨- b2— a2f' x至少存在一个根•证明不等式不等式是数学中的重要内容和工具。
在微分学中，微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.（1）拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数（值）的不等式（2）泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式.例2 求证In 1 x - x x -1分析：根据不等式两边的代数式选取不同的 F x ,应用拉格朗日中值定理得出一个等式后，对这个等式根据x取值范围的不同进行讨论，得到不等式.证明：当x = 0时，显然In x • 1 = x = 0设x=0对ft =lnt在以1与1 x为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，有介于1与1 x之间的，使f 1 X - f 1 二f' 1 x-1 ,即x 1In 1 x 当x ：：0 时，0 ：：：：1，. 1，但此时注意In x 1与x均为负值，所以仍有In 1 • x空x，即对x • -1不等式恒成立.当x 0时，• 0，0 ：. - ::: 1，所以有In 1 • x 空x.注：学会把隐藏的条件找出来，即In 1 = 0，然后就可以利用定理，这个结果以后可以作为结论用.例3证明当b a e时，a b b a证法一 分析：要证a b .b a 成立，只要证In a b lnb a成立，只要证blna a Inb 成立，只要证 In a In b .> 成立，只要证a b In a In b 0成立,a b证明：设 f x =x ：二 a,b 1x由f X 在a,b ］上连续，在a,b 内可导,且1 .x -1 n x 1 lf ' x 二2一 二 一2^ ：：： o ,知 f x 在 a,b 1 上严格递减， x x由af a f b ，即Z -—成立，知bln a aln b 成立, a b即ln a b ln b a 成立，所以a b - b a 成立.证法二证明：要证a b b a ，只要证设f x 4哑 a,b 1，由f x 在a,b 1上连续，在a,b 内可导, x且f ' x ::: 0于是应一严二 f b —f a 二 f ' b — a <0， a b即Z A Z 故原式成立•a b注：证明某些不等式时，可转化为区间两端点函数值大小的比较或化为右边 为0的不等式，转化为区间内任意一点函数值与端点函数值或与趋于端点极限值 的比较，然后利用单调性证明.能用单调性定理证明的不等式，都可用拉格朗日 中值定理证明，因为单调性定理就是拉格朗日中值定理证明的 .相同的一道题可 以有多种解法• 讨论函数的单调性，并利用函数的单调性求极值利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性 ，其方法是：若函 数f X 在a,b 1上连续,在a,b 内可导,则有：如果在a,b 内f ' x . 0,则f x 在a,b 1上单调增加；如果在a,b 内f ' x :: 0,则f x 在a,b 】上单调减少.另 外，f x 在a,b 内除有个别点外,仍有f ' x 0 (或f ' x :: 0),则f x 在 a,b i 上仍然是单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函 数的单调性.再利用函数的单调性及函数图像上峰值点与各值点的性质，便可以 很方便地求出函数的极值。
其方法为：确定函数的定义ln aa ln b成立域，并求出f' x ,然后求出定义域内的所有驻点，并找出f x连续但f' x不存在的所有点，讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近f' x的符号变化情况，从而确定函数的极值点，并求出相应的极大值或极小值•2例4求证x . 0时，| n「x ^―2-x21证明：令f(x)=ln(1+x)—|x-—:2 一因为f x在0, •」上连续，在0,=内可导，且2当x 0时，f' X —0,所以当x 0时，f x是单调增加的.1 +x故当x 0 时，f X f 0 =0,即2f 0 0,从而In 1 X X -』2例5求y二一'的极值.In x解：函数的定义域为0,1 1,二.而In x -1 ' In x -1 _y - 2,令y=0,即2=0,In x In x解得驻点x二e,且该函数在定义域内没有导数不存在的点.而当x e 时，y ：：：0;当x e 时，y • 0.所以,x =e 是函数f x 的极小值点,其极小值为f e ]=e.利用函数的单调性可证明某些不等式注：在求极值时，若极值的怀疑有导数不存在的点时，只能用列表法 求极限 对于有些求极限的题， 如果使用洛必达法则，则求导数的计算量很大.微分 中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法 •其方法是对极 限题中的某些部分构造辅助函数，使用微分中值定理，然后求出极.解：对f x 二a x 应用拉格朗日中值定理,有2a x ，2 |n a 计n a Tim n n 1=ln a泰勒公式泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理 •它不仅在理论分析中 具有很重要的作用，下面的例子说明它的应用•例7求In x 在x = 2处的泰勒公式.解 由于 In x = lnb+(x —2 山In2 + ln1+ ―2 ［，< 2丿 因此1 1 2ln x = ln 2 x -22x 一 22 2 22例6求lim n 2n _,其中a ■ 0.lim n 2n —:1 1nn ：叼同理兰kf'GkI其中 c ：：： 1 ：：： x.求近似值微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法，只要构造出一个适当的 函数,应用微分中值定理就可以得出其近似值.例8求,0.97的近似值.解：,0.97是函数f x 「X 在 0.97处的值.令X o =1,x=x °「x,即Ax =-0.03.由微分中值定理得叫丽7 怎訐 + Wx i x ^x (— 0.03 )1=1 + 丄汇( — 0.03 )= 0.985.2用来证明函数恒为常数导数是研究函数性态的重要工具，但用导数研究函数性态的着眼点在局部 范围.而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态，主要工具还是微分中值定理，它是应用导数研究整体性问题的重要工具.证明函数恒为 常数这是函数的整体性质，在这个应用中微分中值定理很实用.例9设f ' x 在0,1上连续，f ' c i=0, c 「0,1且在0,1内恒有f (x )兰 k f '(x ).LT其中k 为小于1的常数，试证：f x 为常数函数.证明：一x • 0,11,不妨设 c ：：： x ,则 x - c ：：： 1,而 f 'c A 0, 所以有=f ''G l x -c ) k =1,2, ,n,n 1I— n…1 厂 ^n(x-2)x-2--------- i2兰 kfO^i 卜 ^<-k +<-k ，其中所以f '(X ^k f C )兰 k 2 f 也屮 <k n f'G),I 1 I其中c ：：： n<1.又f ' X 在0,1上连续,从而f ' X 有界• 故 lim k n f '(J b= 0n _jpc * T 即f ' X =0（当c X 时同样成立），从而，f ' X =0 , x • 0,1 . 故在0,1上f X 为常数函数.[1] 欧阳光中,朱学炎，陈传璋•数学分析[M].上海：高等教育出版社.2006[2] 侯谦民.中值定理的推广[J].武汉职业技术学院学报.2003 (02)[3] 胡付高.微分中值定理的推广及其应用[J].孝感学院学报.2000(04)[4] 张弘.微分中值定理的又一证明方法[J].重庆交通学院学报.2004(S1)⑸吴赣昌.微积分[M].北京：中国人民大学出版社.2006⑹郭政，高理峰.大学教材全解--数学分析[M].吉林：延边大学出版社.2013。