北师版高数必修五第8讲：正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理

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教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用

教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状

1、 正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即ABC ∆中，若,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c 则____________

2、 解三角形

一般地，我们把三角形的三个角及其________分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：

（1） 已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有__________解； （2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。 3、 正弦定理的常见公式拓展：

①

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ∆的外接圆半径） ②2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（边化角公式）

③sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R

=

==(角化边公式) ④::sin :sin :sin a b c A B C =

⑤

2sin sin sin sin sin sin a b b c c a

R A B B C C A +++===+++

⑥

2sin sin sin a b c

R

A B C ++=++

4、 余弦定理

①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

②定义式： ________________________ 5、 余弦定理的变形式和特例

①222222222

cos ,cos ,cos 222a b c c a b b c a C B A ab ac bc

+-+-+-===

②22290C c a b =⇔=+o ③22260C c a b ab =⇔=+-o ④222120C c a b ab =⇔=++o

⑤2

2

2

30C c a b =⇔=+o

⑥222

45C c a b =⇔=+o 6、 余弦定理可以解决的两类三角形问题

（1） 已知三边长，求三个内角；

（2） 已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。

类型一：已知三角形两角及任意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。

例1：（2015山东潍坊一中月考）在ABC ∆中，已知8,60,75,a B C =∠=∠=o

o

则b 等于（）

A. D.22

3

练习1：在ABC ∆中，若60A ∠=o ,45B ∠=o

,BC =则AC =() 练习2：在ABC ∆中，已知2,30,45,a B A ===o

o

求b

例2：在ABC ∆中，若1,2,a b c ===试求A

练习3：在ABC ∆中，若1,2,a b c ===试求B

练习4：在ABC ∆中，若1,2,a b c =

==试求C

规律总结：已知边求角时，需运用正弦定理余弦定理公式及公式的变形。

类型二：已知三角形两边及其中一角，解三角形；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。 例3：(2014北京高考)在ABC ∆中，1

3,5,sin ,3

a b A ===

则sin B =（）

A.

15 B.59

1

练习5：（2015广东六校联盟第三次联考）)在ABC ∆中，45,75,2,A B c ∠===o

o

则此三角形的最短边的长度是__________

练习6：（2014广东深圳模拟）已知ABC ∆,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且

4

2,3,cos 5

a b B ===

则sin A 的值_________ 例4：设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若2,3sin 5sin ,b c a A B +== 则角C 为（）

A.3

π

B.23π

C.34π

D.56π

练习7：在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( )

A. 5

B. 4

C.3

D.10

练习8：在△ABC 中，已知222

a b c bc =++，则角A 等于( )

类型三：判断三角形形状及面积

例5：（2015辽宁锦州月考）在ABC ∆中,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若cos ,c A b =则ABC ∆的形状为（）

A 锐角三角形

B 钝角三角形

C 直角三角形

D 以上皆有可能 练习9：在ABC ∆中，如果22

sin sin ,a B b A =则ABC ∆的形状为() A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形 练习10：在ABC ∆中，如果22

sin sin a C c A =,则ABC ∆的形状为() A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形

例6：在ABC ∆中，1,30,AB AC B ===o

则ABC ∆的面积为____

练习11：在ABC ∆中，60,4,A AC BC ===o

则ABC ∆的面积等于多少

例7：(2014·江西理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2

＝(a －b )2

＋6，C ＝π

3

，则△ABC 的面积是( ) A. 3 B. 932 C. 33

2

D. 3 3

练习12：以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)