二次函数所描述的关系
二次函数所描述的关系 教案
1.探索并归纳二次函数的定义. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 3.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数 学模型. 4.二次函数是某些单变量最优化问题的数学模型. 对二次函数的研究为进一步学习函数,体会函数思想奠 定基础,积累=(x+3)(x-2).
3.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是关于 x 的二次函数的条件 是( ) A.m、n 为常数，且 m≠0 B.m、n 为常数，且 m≠n C.m、n 为常数，且 n≠0 D.m、n 可以为任何常数 4.已知函数 y=ax2+bx+c(其中 a， c 是常数)， b， ____ 是二次函数；____时，是一次函数；____时，是正比例 函数. 5.函数 y=(m+2)xm2-2+2x-1 是关于 x 的二次函数，则 m=____. 6.用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积 S(m2)与矩形一边长 a(m)之间的关系是什么？是函数关 系吗？是哪一种函数？ 7.某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元 出售，每天可销售 100 件.现在他采用提高售价，减少进 货量的办法增加利润，已知这种商品每提高 1 元，其销 售量就要减少 10 件.若他将每件商品售出价提高为 x 元， 每天所赚利润为 y 元，请你写出 y 与 x 之间的函数表达 式. 五、总结回顾
税)． 三、思考归纳 1.二次函数的定义. 四、新知运用 1.下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3(x-1)2+1； (3)s=3-2t2； (5)y=(x+3)2-x2； (2) y=32-2x； (4) y= 1x -2x. (6)v=10π r2. ) 2.二次函数的判断.
2.下列函数中不是二次函数的是( A.y=3x2+4； C.y=-x2+x3-5； B.y=-x2；
§2、1 二次函数所描述的关系
随堂练习
知道就做别客气
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m² )与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a(
60 - a)=a(30-a) 2
=30a-a²
= -a²+30a .
是二次函数关系式.
小试牛刀
心动不如行动
如果函数y=
0或3 则k的值一定是______
喷泉（2）
喷泉(1)
第二章
二次函数
§2.1二次函数所描述的关系
06 12 03
回顾与思考
温故知新
变量之间的关系 函 数
函数知多少
一次函数 y=kx+b (k≠0) 正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数 二次函数 k y k 0. x y=ax²+bx+c(
a,b,c是常 数,a≠ 0)
?
y=100(x+1)² 100x² = +200x+100.
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000, y=100x²+200x+100.
y是x的函数吗？ y是x的一次函数？是反比例函数？
有何 特点
你能根据所学的一次函数、反 比例函数的定义，并结合上述 式子的形式给它下一个定义吗？
思索归纳
(4) s=1+t+5t²
小试牛刀
心动不如行动
圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时, 圆的面积增加ycm² .
（1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm,
2cm
,
2cm时,圆的面积增加多少？
二次函数所描述的关系
二次函数所描述的关系引言二次函数是一种常见的数学函数形式，由形如y=ax2+bx+c的方程所描述。
其中a、b和c是实数常数，并且a eq0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的曲线，它在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，探讨二次函数图像的性质，以及二次函数在现实世界中的应用。
二次函数的基本形式二次函数是一种以x的二次幂为最高次的多项式函数。
其基本形式是y=ax2+bx+c，其中a、b和c分别是函数的系数。
•当a>0时，二次函数的图像开口朝上，称为正向开口的二次函数。
•当a<0时，二次函数的图像开口朝下，称为负向开口的二次函数。
二次函数的图像通常是一条平滑的曲线，关于 $x = -\\frac{b}{2a}$ 对称。
二次函数图像的性质二次函数的图像具有一些重要的性质，包括顶点、对称轴、开口方向和零点等。
1.顶点：二次函数的顶点表示图像的最高点或最低点。
顶点坐标可以通过 $x = -\\frac{b}{2a}$ 计算得出，并且x的值表示对称轴的位置，y的值表示函数的最大值或最小值。
2.对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和垂直于x轴的直线得出的。
对称轴的方程是 $x = -\\frac{b}{2a}$，它将图像分成两个对称的部分。
3.开口方向：二次函数的开口方向由系数a的符号决定。
当a>0时，图像开口朝上；当a<0时，图像开口朝下。
4.零点：二次函数的零点是函数曲线与x轴交点的横坐标值。
零点可以通过求解方程ax2+bx+c=0得到。
当方程有两个不同的实数解时，图像与x轴交于两个点；当方程有一个实数解时，图像与x轴相切；当方程无实数解时，图像与x轴没有交点。
二次函数的应用二次函数在现实世界中有着广泛的应用，以下是其中几个常见的应用领域：物理学二次函数的图像可以描述一些物体的运动轨迹。
例如，抛体运动的高度和时间之间的关系可以用二次函数来表示。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一个具有以下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$。
其中，$a$、$b$和$c$是常数。
二次函数在数学分析、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数与$a$、$b$和$c$之间的关系。
关系一：二次函数的图像开口方向与$a$的正负有关。
当$a>0$时，二次函数的图像开口向上；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下。
这是因为当$a>0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向上；当$a<0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向下。
关系二：二次函数的图像是否与$x$轴相交与$c$的正负有关。
当$c>0$时，二次函数的图像与$x$轴有两个交点；当$c=0$时，二次函数的图像与$x$轴有一个交点（相切）；当$c<0$时，二次函数的图像与$x$轴没有交点。
关系三：二次函数的顶点坐标与$a$和$b$有关。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，它的顶点的$x$坐标为$x =\frac{-b}{2a}$，$y$坐标为$y = f(\frac{-b}{2a})$。
根据$a$和$b$的不同取值，顶点可以位于$y$轴的上方或下方，并且根据$a$的正负可以确定顶点的凹凸性质。
当$a>0$时，顶点位于图像的下方（凹）；当$a<0$时，顶点位于图像的上方（凸）。
综上所述，二次函数与$a$、$b$和$c$之间存在着紧密的关系。
通过对$a$、$b$和$c$的取值进行分析，可以推断出二次函数的图像特征、对称性以及与$x$轴的交点情况等。
这种关系在数学中具有重要的意义，对于解题和应用中的问题分析都起到了重要的作用。
了解和掌握这些关系，有助于提高对二次函数性质的理解和应用能力。
在实际应用中，二次函数与$a$、$b$和$c$的关系也有着重要的应用。
九年级数学下册 第2章二次函数讲学稿(无答案) 北师大版
第二章 二次函数第1节 二次函数所描述的关系本节内容：二次函数的定义 列函数关系式（重点）一般地，形如的二次函数。
的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 例如：的二次函数。
等等都是x x y x x y x x y 13,2,32222+-=+=--= 在理解二次函数的定义时，应注意以下几点：（1）任何一个二次函数的关系式都可以化成)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的形式，因此，把)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式，其中c bx ax 、、2分别是二次项、一次项和常数项。
（2）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，y x 、是变量，c b a 、、是常量。
自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，要特别注意a 必须是不等于0的实数。
因为当a =0时，c bx ax y ++=2就是c bx y +=，若0≠b ，则c bx y +=是一次函数；若0=b ，则c y =，就是一个常数函数。
（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程。
■例1下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．012=++y x B.2)1()1)(1(---+=x x x y C.242x y ++= D.022=-+y x函数关系式其实是一个等式，左边字母表示的量随右边的字母变化而变化，所以左边的字母（因为右边的的字母变化它才变化）叫因变量，右边的字母是自己不断的变化，所以叫自变量。
（1）在实际问题中，要表示两个变量间的关系，需找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，再按要求化成用含一个变量的式子表示另一个变量的形式。
（2）用尝试求值的方法解决实际问题，可以列出表格，依次对自变量取值，求出它们对应的函数值，然后取得符合题意的值。
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抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
北师大版九年级数学下册2.1二次函数所描述的关系导学案
，c
m
时，是正比例函数. .
3.若 y (m2 1) xm
是二次函数，则 m=
4.下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2＋bx＋c (a≠0)模型的是( ).
A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系； B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数 随年份的变化关系； C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号 弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)； D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
第 1 页 /共 5 页
，它的二次项系数为 一次项系数为 ，常数项为 .
,自我评价：小Fra bibliotek长评价：第 2 页 /共 5 页
合作探究一：
某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验 估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，且增 加的橙子树最多不得超过 20 棵. (1)问题中的变量是 其中 是自变量， 和 . 是因变量.
2
．
m4
(m 2) x 3 . 当 m
为何值时，y 为二次函数？当 m 为何值时，y 为一次函 数？
课后作业：
课本第 39 页，习题 2.1，知识技能，1；问题解决，3.
教师评价： 补案：
第 5 页 /共 5 页
3、 (15 分)下列各式中，y 是 x 的二次函数的是(
A. xy=x2-1；B.x2+y-2=0；C. y2-ax=-2；D. x2-y2+1=0. 4、 (15 分)某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出
达标 检测：
时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装 每提高 1 元售价，销量就减少 5 套.则每天销售利润 y 与售价 x 的函数表达式为 5、 (40 分)已知函数 y (m 3) xm
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学和实际问题中都有广泛应用。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
本文将总结二次函数与a、b、c之间的关系。
1. a的影响：a决定了二次函数的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的值随着自变量的增大而增大；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的值随着自变量的增大而减小。
a的绝对值越大，抛物线的开口越大。
2. b的影响：b决定了二次函数抛物线的平移方向和程度。
当b>0时，抛物线向右平移；当b<0时，抛物线向左平移。
b的绝对值越大，抛物线平移的水平距离越大。
3. c的影响：c决定了二次函数抛物线的纵向平移。
当c>0时，抛物线向上平移；当c<0时，抛物线向下平移。
c的绝对值越大，抛物线平移的垂直距离越大。
4. a、b、c之间的综合关系：a、b、c之间的关系可以通过顶点坐标来描述。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
通过顶点坐标可以判断抛物线的开口方向和顶点的位置。
综上所述，二次函数与a、b、c之间存在着密切的关系。
通过a、b、c的取值可以确定二次函数的形状、平移和开口方向。
理解和掌握这些关系对于解决二次函数相关问题具有重要意义。
二次函数在数学中的应用非常广泛，包括几何、物理和经济等领域。
在几何中，二次函数可以描述抛物线的形状和轨迹；在物理中，二次函数可以描述自由落体运动的轨迹；在经济中，二次函数可以描述成本和收益的关系。
因此，理解二次函数与a、b、c之间的关系，不仅对于学习数学理论，也对于实际问题的分析和解决都有着重要的帮助。
总结一下，二次函数与a、b、c之间的关系可以通过a的正负确定开口方向和大小，通过b的正负确定水平平移方向和程度，通过c的正负确定垂直平移方向和程度。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是数学中的一个重要概念，它的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，a决定了函数的开口方向和开口的大小，b决定了函数的对称轴位置，c则是函数的纵轴截距。
首先，我们来看a与二次函数的关系。
当a>0时，二次函数的开口向上，形状类似于一个U型；当a<0时，二次函数的开口向下，形状类似于一个倒置的U型。
而当a的绝对值越大时，二次函数的开口越大，曲线越陡峭；当a的绝对值越小时，二次函数的开口越小，曲线越平缓。
接下来，我们来看b与二次函数的关系。
b决定了二次函数的对称轴位置。
对称轴是二次函数的一个重要特征，它是垂直于x轴的一条直线，将二次函数分为两个对称的部分。
当b>0时，对称轴在y轴的右侧；当b<0时，对称轴在y轴的左侧。
而当b的绝对值越大时，对称轴离y轴越远；当b的绝对值越小时，对称轴离y轴越近。
最后，我们来看c与二次函数的关系。
c是二次函数的纵轴截距，即当x=0时，函数与y轴的交点。
当c>0时，二次函数与y轴的交点在y轴的上方；当c<0时，二次函数与y轴的交点在y轴的下方。
而当c的绝对值越大时，二次函数与y轴的交点离原点越远；当c的绝对值越小时，二次函数与y轴的交点离原点越近。
综上所述，二次函数的形状、对称轴位置和纵轴截距都与a、b、c 有着密切的关系。
通过调整a、b、c的值，我们可以改变二次函数的形状、位置和交点，从而得到不同的二次函数图像。
这对于解决实际问题、分析数据趋势等具有重要的意义。
例如，在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹；在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量的关系；在工程学中，二次函数可以用来描述曲线的形状和变化趋势。
因此，对于理解二次函数与a、b、c的关系，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
总之，二次函数与a、b、c之间存在着密切的关系。
二次函数-第一讲
第一讲 1.二次函数所描述的关系（教师版）授课时间：授课教师：卢老师教学重点：二次函数的有关概念，表示简单变量之间的二次函数关系；掌握的图像和性质及描点作图法；掌握的图像和性质。
中考提示：利用二次函数解决实际问题教学过程：知识点1；二次函数的概念一般的，形如的函数叫做的二次函数。
【知识拓展】（1）二次函数的形式是关于自变量的二次整式，其中二次项系数不能为0，如果二次项系数为0，那么二次函数就变成一次函数或常函数了。
（2）确定一个函数是不是二次函数，应注意自变量的最高次数是否为二次，再看它是否是一个二次的整式，最后再分析二次项系数是否为0，只有认真判断这三个方面后才能得出正确结论。
【例1】下列函数是二次函数的是( )A: B: C: D:知识点2：二次函数的一般形式任意一个二次函数的解析式都可以化成形式，因此，把叫做二次函数的一般形式，其中，，,分别是二次项、一次项、和常数项，而和分别是二次项系数和一次项系数。
【知识拓展】（1）在一般式中，只有当时，才是二次函数；当时，，若，则它是一次函数；若，则是一个常函数。
（2） 在中，的取值范围是全体实数，且按的降幂排列。
（3） 二次函数与一元二次方程有着密切的联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就变成一个一元二次方程了。
【例2】如果函数是二次函数，试确定m的值。
【易错点】易忽略二次函数定义中的二次项系数这一隐含条件【例3】已知函数是关于的二次函数，你能确定的值？2. 结识抛物线知识点3：二次函数的图像和性质（1） 二次函数的图像是一条抛物线，它关于轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。
（2） 当时，抛物线开口向上；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，顶点是抛物线上位置最低的点。
（3） 当时，抛物线开口向下；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，顶点是抛物线上位置最高的点。
【知识拓展】a：的符号决定抛物线的开口方向b：的绝对值决定抛物线的开口大小；越大，开口越小，图像上升（或下降）的速度越快；c：如果两条抛物线和中，，那么这两条抛物线的形状相同。
二次函数图像和性质
y
b c x1 x2 , x1 x2 a a
对称轴
AB=|x1-x2|= | a |
x x2 x 1 2
o
x
x1 x2 x 2
y
x1x2>0, 点A,点B在原点同侧
x1 x2 0, 原点右侧
x1 x2 0，原点左侧
x1x2<0,点A,点B在原点两侧 x1 x2 0, BO AO
2 4.当m= -1 时，y=(m+2)xm +3m+2是二次函数，
二.二次函数的图象及性质
a的符号 图象
开口方向 对称轴
a>0
a<0
x
开口向上
b 2a 4ac b 2 b ( ， ) 4a 2a b x 当 2a 时，y x
开口向下
b 2a 4ac b 2 b ( ， ) 4a 2a x
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
抛物线y=ax2向左 直线X=h (h,0) （h<0）、向右（h>0） 平移|h|个单位, 向上 （k>0）、向下（k<0） 直线X=h (h,k) 平移|k|个单位后,可以得 到抛物线y=a(x-h)2+k 。
a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
做一做: 1 2 y 2 y x ， x 1. 已知函数 2 的图象如图所示。 抛物线①②③④ 分别对应哪个函数？
3.已知抛物线y＝ax2＋2x＋c 经过点(－1，0)、(0，3) （2）x取何值时，y 随 x 的增大而增大； x取何值时，抛物线在 x 轴的上方； x取何值时，y 随 x 的增大而减小且 y <０。 （3）利用图象求方程 ax2＋2x＋c＝－5 解。
二次函数关系式的三种形式
二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。
它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c分别代表函数的系数。
二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。
本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。
在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。
标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。
标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。
另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。
顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。
顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。
顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。
此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。
描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。
描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。
描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。
总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。
通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。
首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。
二次函数所描述的关系 教学课件
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
用心想一想， 用心想一想，马到功成
60495 60480 60455 60420 60375 60500 60495 60480 60455 60420 60375
y是随着X的变化而变化，但是 随着X直线型的变化它有最大值 或最小值 。
做一做，看谁最快结束战斗！！！ 做一做，看谁最快结束战斗！！！
作业设计 课本习题2.1 课本习题2.1 第3,4题; 3,4题 教后反思： 教后反思：
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化 也就是说，利率是一个变量.在我国, 的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利 率的调整是由中国人民银行根据国民经济发 展的情况而决定的. 展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x, x,一年到 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后, 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄 转存.如果存款是100 100元 转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的 本息和y( 的表达式(不考虑利息税). y(元 本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
2、定义：一般地，形如 、定义：一般地， y=ax²+bx+c(a,b,c是常数 是常数,a≠ 0)的函数 是常数 的函数 叫做x的二次函数。 叫做 的二次函数。
注意： 注意： （1）关于 的代数式一定是整 ）关于x的代数式一定是整 为常数， 式,a,b,c为常数，且a≠0. 为常数 等式的右边最高次数为 最高次数为2， （2 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有 一次项和常数项， 不能没有二次项。 一次项和常数项，但不能没有二次项。
y=100(x+1)²=100x +200x+100 y=100(x+1) =100x²+200x+100 =100x
二次函数所描述的关系
§2.1 二次函数所描述的关系学习目标：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间的关系的体验。
2、理解并掌握二次函数的概念。
3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题。
4、能够表示简单变量之间的二次函数关系。
学习重点：理解并掌握二次函数的概念 学习难点：表示简单变量之间的二次函数关系学习过程：一、复习旧知，温故知新1、设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应。
那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2、正比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 ， 反比例函数表达式为 。
3、08922=+-x x 是 方程，化为一元二次方程一般形式为 ，它的二次项系数为 ， 一次项系数为 ，常数项为 。
二、创设情境，引入新知探究：利用已经学过的知识解决下列问题；探究1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(1)问题中有哪些变量？自变量是 ，因变量是 。
(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树,这时平均每棵树结 个橙子。
(3)如果果园橙子的总产量为y 个，写出y 与x 之间的关系式 。
想一想：在上述问题中，使果园橙子的总产量最多，要增种多少棵橙子树呢？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况。
根据表中的数据作出猜测：探究2、某商场销售一批T 恤衫，在一段时间内，单价15元时，销售量是500件，市场调查发现，单价每降低1元，就多销售出100件。
请你分析：(1)在这一问题中有哪些变量？自变量是 ，因变量是 。
(2)假设单价降低x 元，那么每件T 恤衫的单价是 元,这时的销售量为 件。
(3)请写出销售额y （元）与x （元）之间的函数关系式 。
三、合作探究，发现新知Y/个 1413 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X/棵【探索发现，同伴交流】（1）从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？（2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？（3）你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。
《二次函数》知识点解读
《二次函数》知识点解读二次函数是数学中的一种重要函数类型，它在图形学、物理学、经济学等多个学科中广泛应用。
本文将从定义、性质、图像、最值、应用等几个方面对二次函数进行解读。
一、定义二次函数是一种形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
函数中的x的最高次数为2，因此称为"二次"函数。
a决定了函数的开口方向和形状，b决定了函数在x轴上的平移，c决定了函数图像在y轴上的平移。
二、性质1.对称性：二次函数的图像关于与顶点的纵轴对称。
2.单调性：当a>0时，二次函数向上开口，凹上凸下；当a<0时，二次函数向下开口，凹下凸上。
3. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即满足ax^2 + bx+ c = 0的解。
4.最值：当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
三、图像二次函数的图像通常为开口向上或向下的抛物线。
根据函数的a值的正负关系，可以得到不同形状的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点在最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在最高点。
函数的b值影响了抛物线在x轴方向上的平移，c值影响了抛物线在y轴方向上的平移。
四、最值对于二次函数y = ax^2 + bx + c，根据函数的开口方向和抛物线的顶点位置，可以知道函数的极值。
当a > 0时，函数是最小值，即抛物线的顶点是函数的最低点；当a < 0时，函数是最大值，即抛物线的顶点是函数的最高点。
五、应用1.物理学中，二次函数可以用于描述自由落体运动、抛体运动等。
2.经济学中，二次函数可以用于描述成本、利润等与产量的关系。
3.图形学中，二次函数可以用于生成平滑的曲线和曲面。
六、解题技巧1.求二次函数的顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/2a和y=c-b^2/4a来求得。
2. 求二次函数的零点：二次函数的零点可以通过求解ax^2 + bx +c = 0的解来得到，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。
第一节：二次函数的描述和关系
2.1 二次函数所描述的关系学习目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 学习重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数. 学习难点:经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 学习方法:讨论探索法.【知识要点】1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数的图像是一条抛物线，抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.（1）开口：a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）对称轴：抛物线式是轴对称图象，有一条平行于y 轴（或重合）的对称轴，对称轴公式为（3）顶点：抛物线的最高（低）点，顶点坐标公式(ab ac a b 4422--，) 3.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,对抛物线的影响（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 4.二次函数图像的平移：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.【典型例题】例1在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”).(l ）22x y -= ( ) (2）2x x y -= ( ) (3）3)1(22+-=x y ( ) (4）332--=x y ( )(5) )8(a a S -= ( ) （6）212+=xy （ ）例2 说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1) 2x y =中 a = , b = , c = ; (2)x x y 252+=中a = , b = , c = ; (3)2)12(-=x y 中a = , b = , c = ;例3 当m 是何值时，下列函数是二次函数，并写出这时的函数关系式． (1)y=234mm mx -+,m= ,y= ;(2)y=2(1)mmm x ++,m= ,y= ;(3)y=232(4)m m m x -+-,m= ,y= .例4 函数),,(2是常数c b a c bx ax y ++=问当a ，b ，c 满足什么条件时： (l ）它是二次函数 ； (2）它是一次函数 ； (3）它是正比例函数 ；例5（1）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ,若0=x 时1-=y ；1=x 时1=y ；2=x 时1-=y ；求这个二次函数关系式.（2）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ,若1=x 时3=y ；1-=x 时4=y ；2-=x 时3=y .求这个二次函数关系式.例6 （1）已知正方形边长为3，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是 .（2）在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式为 .例7 一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月 可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的 取值范围）(2 )求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；例8 已知1-<a ，点),1(1y a -、),(2y a 、),1(3y a +都在函数2x y =的图象上，则（ ）A ．321y y y <<B ．231y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y << 例3 已知抛物线2ax y =经过点()4,1--A ．（1）判断点()4,1-B 是否在此抛物线上；（2）求出此抛物线上纵坐标为-8的点的坐标．例4 已知函数()421-+-=m m x m y 是关于x 的二次函数，求： （1）满足条件的m 值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？例5 已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y =31x 2的图象经过A 、B 两点.(1)请求出一次函数的表达式;(2)设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积.例6 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度v (km/h)的汽车的刹车距离s (m)可以由公式s =1001v 2确定；雨天行驶时，这一公式为s =501v 2.(1)如果行车速度是70km/h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？(2)如果行车速度分别是60km/h 与80km/h ，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距离相差多少？(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？【大展身手】1.下列函数中，哪些是二次函数？(1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y（4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y 2.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）12+=x y（2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=3.若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 。
二次函数所描述的关系
二次函数所描述的关系【教学目标】1.探索并归纳二次函数的定义.2.会根据二次函数的关系式计算一些函数值.3.能用二次函数描述有关实际生活中的变量间的关系.【教学重点】1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.【教学难点】经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.【知识点梳理】一、二次函数的定义1、一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。
（其中y是x的二次函数，ax2+bx+c 是整式，x是自变量并且自变量x的最高次数是二次）二、在理解二次函数的定义时，应注意以下几点：1、函数y是用关于x的整式表示的，也就是说ax2+bx+c是整式；2、任何一个二次函数的关系式都可以化成y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的形式，因此，把y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式，其中ax2、bx、c分别是二次项、一次项、常数项；3、在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中， x、y是变量，a、b、c是常量，自变量x 的取值范围是全休实数，b和c可以是任意实数，要特别注意a必须不等于0的实数，因为a=0时，y=ax2+bx+c就变成了y=bx+c（若b≠0,则y=bx+c是一次函数；若b=0，则y=c就是常数函数）；4、二次函数与一元二次方程有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就变成了一个一元二次方程；三、判断二次函数的依据有三点：1、为整式；2、是自变量x的最高次数是二次；3、二次项系数不为0四、y=kx m(k≠0)与二次函数、一次函数、反比例函数的关系：1、当m=－1时，为反比例函数；2、当m=1时，为一次函数；3、当m=2时，为二次函数；五、建立实际问题中的二次函数关系式（1）审清题意:找出问题中的已知量（定量），未知量（变量）及相互关系.（2）建立函数关系式:根据题意建立函数形式，并指出函数的定义域.（3）判断是否为二次函数解析式:根据二次函数的定义及解析式的形式，判断求出的函数关系式是否为二次函数.3．计算函数值根据二次函数解析式，当x 取某一个值时，代入二次函数解析式中计算出最后结果，即为函数值.【典型例题】题型1 根据二次函数的定义确定字母的取值1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）13-=xz y 132-=x y （2）2323x x y += x x y 12+= （3）22)3(x x y -+= （4）322++=x x y2、 若y=(a －4) 2a x-+ax+2是二次函数，求a 的值。
第2章 二次函数知识点
第二章 二次函数第1节 二次函数所描述的关系1、二次函数的定义:一般地，形如的二次函数。
的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 2、列函数关系式（重点）:因变量&自变量第2节 结识抛物线1、 二次函数=y 2ax 的图象的画法（重点）：描点法：列表——描点——连线2、 二次函数=y 2ax 的图象的性质（难点）对称图形，对称轴是y 轴，顶点是原点（0，0）——顶点是指对称轴与抛物线的交点。
当a >0时，开口向上，在y 轴左边，下降趋势；在y 轴右边，上升趋势。
顶点处取得最小值0。
当a <0时，开口向下，在y 轴左边，上升趋势；在y 轴右边，下降趋势。
顶点处取得最大值0。
第3节 刹车距离与二次函数1、二次函数2ax y =中的a 的作用：（1）a 的符号决定抛物线的开口方向（2）a 的值决定抛物线的形状和开口大小2、比较)0()0(22≠+=≠=a c ax y a ax y 与的图象的异同（难点）二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，c ）。
对于)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象，形状相同，只是位置不同。
)0(2≠+=a c ax y 可以看做是把)0(2≠=a ax y 的图象向上（c>0）或向下（c<0）平移|c|个单位长度得到的。
第4节 二次函数c bx ax y ++=2的图象1、二次函数c bx ax y ++=2的图象的平移（1）二次函数k ax y +=2的图象可由抛物线2ax y =向上（或向下）平移而得到。
（2）二次函数2)(h x a y -=的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移而得到。
（3）二次函数k h x a y +-=2)(的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移再向上（或向下）平移|k|个单位而得到。
二次函数所描述的关系
二次函数所描述的关系
1.二次函数的一般形式为。
2.当时，函数y=(m2-4)x2+(m+2)x+5是二次函数。
3.当时，函数y=（k+3）x k²+k-4+(k+2)x+3是二次函数。
4.一个长方形的周长为50cm,一边长为xcm，它的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为。
5.下列函数中，是二次函数的是
A．y=8x2+1 B.y=8x+1 C.y= 8
x D.y=
8
x²
6.写出下列各函数关系式：
（1）有一个角为60°的直角三角形，面积S（cm2）与斜边长x(cm)之间的函数关系式为。
（2）设圆柱的底面半径为r，高为4，则圆柱体的体积V与半径r间的函数关系式为。
7.请写出一个二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为-4的二次函数的解析式，在这个函数中，函数值为6时，自变量值为。
8.y与x2成正比例，且当x=1时，y=-2,则y与x的函数关系式为，当y=-8时，x= .。
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思索归纳 y=-5x²+100x+60000, y=100x²+200x+100.
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
哪些是因变量?
问题一
某果园有100棵橙子树，每一 棵树平均结600个橙子。现准备多 种一些橙子树以提高产量，但是 如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减 少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(2)假设果园增种x棵橙子 树，那么果园共有多少棵橙 子树?这时平均每棵树结多 少个橙子?
2cm时,圆的面积增加多少？
小结
拓展
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
（是）
(5) v=πr².
（是）
（不是）
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m² )与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
是二次函数.
3.如果函数y=x k 3 k 2 +kx+1是二次函数, 0或3 则k的值一定是______ .
3、什么叫做反比例函数？ 形如y= 4、函数有哪些表示方法？ 解析法 列表法 图象法
(k为常数，k≠0)
温故知新
函数知多少
变量之间的关系 函 数
一次函数 y=kx+b (k≠0) 正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y k x
k
0.
60375
想一想
亲历知识的发生和发展 银行的储蓄利率 是随时间的变化而变 化的,也就是说，利 率是一个变量.在我 国,利率的调整是由 中国人民银行根据国 民经济发展的情况而 决定的.
问题二
亲历知识的发生和发展
问题一
某果园有100棵橙子树，每一 棵树平均结600个橙子。现准备多 种一些橙子树以提高产量，但是 如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减 少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(1)问题中有哪些变量?
其中哪些是自变量?
9
60495
10 11 12 13 14
60500
15 -
- 60375 60420
60480 60420 60455 60375 60495
用心想一想，马到功成
你发现了吗？
60495 60480 60455 60420 60375 60500 60495 60480 60455 60420
4.如果函数y=(k-3) x +kx+1是 二次函数,则k的值一定是______ . 0
k
2
2
3k 2
5.圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时,
圆的面积增加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, 2 c m ,
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)²+1;
怎 么 判 断? （是）
( 2 ). y x
( 4 ). y 1 x x
2
1
.
.
x （不是）
(3) s=3-2t².
想一想
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树， 每一棵树平均结600个橙 子。现准备多种一些橙子 树以提高产量，但是如果 多种树，那么树之间的距 离和每一棵树所接受的阳 光就会减少．根据经验估 计，每多种一棵树，平均 每棵树就会少结5个橙子。
X/棵 y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
1
2
3
4
5 6
7
8 9 10 11 12 13 14
用心想一想，马到功成
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以 使果园橙子的总产量最多？
y=-5x²+100x+60000,
x y - 5 6 7
60455
8
60480
(3)如果果园橙子的总产 量为y个，那么请你写出 y与x之间的关系式． y= (100+x) (600-5x) =-5x2+100x+60000
想一想
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结 （600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=-5x² +100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
y=100(x+1)² =100x² +200x+100.
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000, y=100x²+200x+100.
y是x的函数吗？y是x的一次函数吗？ y是x的反比例函数吗？
有 何 特 点?
定义：一般地,形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做x的二次函数.
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
小结
拓展
回 味 无 穷
定义中应该注意的几个问题 : 2.定义的实质是：ax² +bx+c是整 式,自变量x的最高次数是二次.
作 业
课本P36页习题2.1
思索归纳 定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
羊庄镇羊庄中学
张夫文
温故知新
复习： 1、什么是函数？ 在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每 一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x 的 函数。 2、什么叫做一次函数？ 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
k x
(100+x)棵
(600-5x)个
问题一
某果园有100棵橙子树，每一 棵树平均结600个橙子。现准备多 种一些橙子树以提高产量，但是 如果多种树，那么树之间的距离 和每一棵树所接受的阳光就会减 少．根据经验估计，每多种一棵 树，平均每棵树就会少结5个橙子。
第1,2题
思索归纳 y=-5x²+100x+60000, y=100x²+200x+100.
定义：一般地数叫做x的二次函数.
提问:
1．上述概念中的a为什么不能是0？ 2．二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0 或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是 不是二次函数？ 3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键 看什么？
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就 是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由 中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).