复合形法-cyf

j 1
如果不满足终止迭代条件，则返回步骤(3)继续进行 下一次迭代；否则，可将最后复合形的好点X(L)及其函数 值F(X(L))作为最优解输出。
方法特点
五、复合形法的特点总结
（1）复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种 直接方法，仅通过选取各顶点并比较各点处函数值 的大小，就可寻找下一步的探索方向。但复合形各 顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值下降的 要求，还应当满足所有的约束条件。
这便得到了一个顶点,要连续产生K个顶点.
二、初始复合形的产生
② 将非可行点调入可行域内
ⅰ) 检查已获得的各顶点的可行性,若无一可行,则重新产生随
机点;若有q个可行,其它K-q个为非可行点。将 X (q1)调入可行域.
ⅱ) 计算q个可行点点集的几何中心
X (s) 1 q X ( j) q j1 ⅲ) 将非可行点逐一调入可行域内.
的映射。
X 0

1 k 1
K j 1
X ( j),
j

SH
X (R) X (0) ( X (0) X (SH ) )
,K, j H}
再转回本步骤的开始处，直到构成新的复合形。
四、复合形法的具体迭代步骤
(8)判断终止条件 1) 各顶点与好点函数值之差的均方根值小于误差限，即
三、复合形法的搜索方法
2）计算除去最坏点XH 外的（k-1）个顶点的中心XC
1 L
xc k 1 j1 x j 3）从统计的观点来看，一般情况下，最坏点XH和中心点XC 的连线方向为目标函数的下降方向。
xR xC a xC xH
三、复合形法的搜索方法
4）判别反射点XR的位置
三、复合形法的搜索方法
2.扩张（映射点优于最好点）
3.收缩
三、复合形法的搜索方法
四、复合形法的具体迭代步骤
复合形法的具体迭代步骤：
（1）给定n，变量界限 ai , b，i 精度要求 k, ,
（2）产生初始复合形，得k个顶点 X j ；
（3）计算各顶点目标函数值，找出 最坏点 X H : f ( X H ) max{ f ( X j ) ( j 1,2,k)}
a.若XR 为可行点，则比较XR 和XH 两点的目标函数值， 如果f(XR) <f(XH)，则用XR取代XH ，构成新的复合形，完成
一次迭代； 如果f(XR) >=f(XH),则将α缩小0.7倍，重新计算新的反射点，
若仍不行，继续缩小α，直至f(XR) <f(XH)为止。
b.若为非可行点，则将α 缩小0.7倍，直至可行为止。然后再重 复可行点的步骤。
（2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。
• 例题
min f (s,t) s2 2t 2 4s 8t 15
s.t.9s

s2 0

t
2

0
t 0
其中初始复合形取
x0=(1,1.2),x1=(2,1.5),x2=(1.2,2.5)
取 1.2, 0.5, 2, 0.3
• 在用于求解约束问题的复合形法中，复合形各顶点的选择 和替换，不仅要满足目标函数值的下降，还应当满足所有 的约束条件。
一、基本原理
• 基本思想：在可行域中选取K个设计点
（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。比 可行域内构造初始复合形
较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函
数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其 余各点的中心为映射中心，用坏点的映射
{ 1
K
[
F
(
X
(
j
)
)

F
(
X
(
L)
)]2
1
}2

K j1
2）各顶点与好点的函数值之差的平方和小于误差限，即
K
[F( X ( j) ) F( X (L) )]2
j 1
四、复合形法的具体迭代步骤
3）各顶点与好点函数值差的绝对值之和小于误差限，即
K
F(X ( j)) F(X (L))
一、基本原理
二、初始复合形的产生
1. 复合形顶点数K的选择
建议: n 1 K 2n
n 小取大值, n大取小值
1) 为保证迭代点能逼近极小点, 应使
K n 1
2) 为避免降维, K应取大些; 但过大, 计算量也大.
二、初始复合形的产生
2. 初始复合形顶点的确定 1) 源自文库试凑方法产生---适于低维情况
约束最优化问题的直接解法
复合形法
程怡凡 靖仲虎 2012年5月24日
主要内容
1
基本原理
2
初始复合形的产生
3
复合形法的搜索方法
4
复合形法的具体迭代步骤
5
复合形法特点总结
一、基本原理
• 复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种重要的直接 方法，是单纯形法在约束问题中的发展。
• 在求解无约束问题的单纯形法中，不需计算目标函数的梯 度，而是靠选取单纯形的顶点并比较各顶点处目标函数值 的大小，来寻找下一步的探索方向的。
计算映射点 X R 并检查它是否在可行域内，若在可行
域内转（7），否则将映射系数减半，继续计算 X R
直至满足全部约束要求；
四、复合形法的具体迭代步骤
（7）构造新的复合形 计算映射点的函数值F(X(R))，并与坏点的函数值
F(X(H))比较，可能存在两种情况： 1）映射点优于坏点 F(X(R))< F(X(H)) 在此情况，用X(R)代替X(H)，构成新的复合形。
域内，可在 X C点和 X L点为界的超立方体内，重新利
用伪随机数产生k个新的顶点，这时，变量的上下限
改为：
当 xiL xiC ，则取
a i

x
L i
bi
xiC
否则相反，返回步骤（2）；
四、复合形法的具体迭代步骤
（6）按 X R X C ( X C X H )
最好点 X L : f ( X L ) min{ f ( X j ) ( j 1,2,k)}
四、复合形法的具体迭代步骤
（4）计算除最坏点外的其余各顶点的中心
X C 1
k
Xj
k 1 j1
( j H)
（5）检查 X C 的可行性；若 X C 不在可行域内，说
明可行域可能是一个非凸集，这里为了将 X C移入可行
2) 用随机方法产生
①用随机方法产生K个顶点 ② 将非可行点调入可行域内
3）由计算机自动生成初始复合形的所有顶点。
二、初始复合形的产生
随机方法产生初始顶点 ①用随机方法产生K个顶点
先用随机函数产生 n个随机数 i (0 ,然i 后1)
变换到预定的区间 ai中.xi bi
xi (bi ai )i ai ,i1,2,...,n
四、复合形法的具体迭代步骤
2）映射点次于坏点 F(X(R)) 〉 F(X(H)) 这种情况由于映射点过远引起的，减半映射系数，
若有F(X(R))< F(X(H))，这又转化为第一种情况。
若经过多次的映射系数减半，仍不能使映射点由于坏
点，则说明该映射方向不利，此时，应改变映射方向，
取对次坏点 X (SH ) : F ( X ) (SH ) max{F ( X ( j) ), j 1, 2,
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按照这个方法，同样使X (q+2)、X (q+3)、……X (K)都 变为可行点，这K个点就构成了初始复合形。
三、复合形法的搜索方法
1.反射
1）计算复合形各顶点的目标函数值，并比较其大小，求 出最好点XL、最坏点XH 及 次坏点XG，即
xL : f xL min f x j j 1, 2,..., k xH : f xH max f x j j 1, 2,..., k xG : f xG max f x j j 1, 2,..., k, j H
X (q1) X (s) 0.5( X (q1) X (s) )
X (s)
X (q1)
二、初始复合形的产生
这个新点X(q+1)实际就是 X(s)与原X(q+1)两点连线的中 点，如图。若新的X(q+1)点 仍为非可行点，按上式再产 生X(q+1)，使它更向X(s)靠拢， 最终使其成为可行点。
最坏点
点替换该点，构成新的复合形顶点。
映 收扩 射 缩张
• 检查复合形各顶点是否满足约束条件，如 果复合形点不在可行域，还要把它拉回到 可行域来，反复迭代计算，使复合形不断
新的复合形
迭收 代缩
向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形
最优点
的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度
要求为止。
• 由于复合形法不要求 函数形状是规则的图 形，对目标函数和约 束函数无特殊要求， 因此这种方法适应性 强，在机械优化设计 中应用广泛。