(完整版)复平面上的轨迹问题
浅谈复数在复平面的轨迹及极值
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浅谈复数在复平面的轨迹及极值
作者：秦慧萍
来源：《甘肃教育》2007年第13期
〔关键词〕复数；复平面；轨迹；极值
〔中图分类号〕 G633.65〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004—0463(2007)07（A）—0048—01
求复平面上的轨迹问题由于比较抽象且涉及到代数、三角、平面几何、解析几何等各方面的知识，具有较大的综合性和灵活性，往往令初学者望而生畏.本文旨在归纳求复数轨迹的常用方法及在求极值方面的应用.
几种复数的基本轨迹
一个复数对应复平面上的一个点，如果复数的实部与虚部是一对实数变量，则所对应的点就成为复平面上的动点，如果复数变量按某种条件变化，则复平面上的动点就构成具有某种特性的点集或轨迹.因此，通过复平面可把复数与平面解析几何的某些曲线联系起来，而且用复数形式表示曲线方程显得更简单、清晰.
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复数练习题(有答案)
一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1122i + D ．1122i - 3．在复平面内，复数534ii-（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3-C ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 4．212ii+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i5．已知i 为虚数单位，则复数23ii -+的虚部是（ ） A ．35B ．35i -C ．15-D ．15i -6．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y7．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i --C ．3i +D ．3i -+8．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若1m ii+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D10．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（ ）A ．B ．4C ．D ．811．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4B ．2C ．0D ．1-12．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i1i 2ia -=-+，则a ＝（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-113．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3B ．5C ．6D ．814．设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．715．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ） A ．z =-1+2i B ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=17．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =18．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i19．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>20．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >21．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z22．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 23．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为224．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=26．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限27．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =28．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=29．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模30．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C 解析：C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-.故选：C2．D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.因为，所以其共轭复数为. 故选：D.解析：D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.3．D 【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】 因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为. 故选：D解析：D 【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534ii-的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ⋅+-===-+--+， 所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D4．D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】 ， 故选：D解析：D利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-， 故选：D5．A 【分析】先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】因为，所以其虚部是. 故选：A.解析：A 【分析】先由复数的除法运算化简复数23ii-+，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】 因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 故选：A.6．C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-.7．A【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】 因为， 所以，复数的共扼复数是， 故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133iz i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-， 故选：A8．B 【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】 因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B 【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.9．C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题1m ii+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.10．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得． 【详解】 因为，所以， 所以 故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --． 【详解】因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A11．A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】 ， 故选：A解析：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+ 3,1a b ==，4a b +=故选：A12．B 【分析】 可得，即得. 【详解】 由，得a ＝1. 故选：B ．解析：B 【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =. 【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1. 故选：B ．13．D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】 ，故 则 故选：D解析：D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D14．D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得． 【详解】 解：，解得. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则， 模的性质：，，．解析：D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得a ． 【详解】解：()()()()24242422221212501111i i i i aai ai++++====+--，解得7a =. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z =模的性质：1212z z z z =，(*)nnz z n N =∈，1122z z z z =． 15．A 【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.18．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．20．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.21．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 22．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于23．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围24．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-； 因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102zz ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．26．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 27．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 29．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。
人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．满足条件34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆2．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-3．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．22i -+ D ．22i -- 5．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --6．已知z 是纯虚数，21z i＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 7．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -8．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i +9．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --10．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -11．复数51i i-的虚部是( )A ．12B ．2i C ．12-D ．2i -12．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A．)2 B．)1 C．)2-D．)1-二、填空题13．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.14．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______.15．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．16．化简2012221i ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________.点集{||1|1,}D z z z C =++=∈，则||z 的最小值_____和最大值________.17．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 18．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 19．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____．20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________三、解答题21．已知复数1z 、2z满足1||1z =、2||1z =，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.22．实数m 取什么值时,复数22(56)(215)z m m m m i =+++-- (1)与复数212i -相等(2) 与复数1216i +互为共轭复数 (3)对应的点在x 轴上方.23．已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值． 24．已知复数1z 满足：111z i z =++. （1）求1z ；（2）若复数()()22111z a a z a R =-+-∈，且2z 是纯虚数，求a 的值.25．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .26．若z C ∈，42i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ； （2）求z ω-的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为34z i i -=+，所以5z i -=，22(1)25,x y +-= 因此复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.2．D解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a -+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a a z i a a a-+-==++++， 所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a ax y a a-==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为22212111a x a a-==-+++， 又因为a R ∈，所以211a +≥， 所以22021a <≤+， 所以221111a-<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．4．A解析：A 【解析】 【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=,整理可得：()()2440b a i b b ++++=，所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A .5．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.6．D解析：D 【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．∵∈R ，∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．A解析：A 【解析】令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==8．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．9．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--， 所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.10．A解析：A 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i ii i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：1154-±【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++==2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sin 4θ=± 所以144z=-±， 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.14．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复解析：38； 【分析】假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果. 【详解】假设另外一个根为z ，23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则()232232p i z q i z ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数， 所以32z i =-- ② 把②代入①可知1226p q =⎧⎨=⎩所以38p q +=故答案为：38 【点睛】本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题15．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算解析：0 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解. 【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.16．13【分析】根据复数的代数形式的除法乘方运算法则计算可得根据复数的几何意义得到的轨迹即可得到的最值；【详解】解：设因为即根据复数的几何意义可知表示以为圆心为半径的圆上的点集则故答案为：；；【点睛】本解析：1- 1 3 【分析】根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到z 的轨迹，即可得到||z 的最值； 【详解】解：2012221i ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭)()()201222111i i i ⎡⎤-=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦2012022⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭20120⎫=+⎪⎪⎝⎭1006222⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()100610062514221i i i i ⨯+=-====-设(),z x yi x y R =+∈，因为{||1|1,}D z z z C =++=∈即11x yi +++=根据复数的几何意义可知{||1|1,}D z z z C =+=∈表示以(1,-为圆心，1为半径的圆上的点集，则max13z ==，min 11z ==，故答案为：1-；1；3. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题．17．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：1+【分析】先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：13i +. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.18．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题 解析：1i -【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出.【详解】解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-. 故答案为：1i -.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 19．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ．【详解】因为2021i i =，所以已知等式可变形为2(4)44i mi n ni +=+-，即2444m i n ni -+=+-，2444m n n ⎧-=-⎨=⎩ 解得31m n =⎧⎨=⎩ ，3i z =+z ∴=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离， 可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1的距离，等于5；即1z i --的取值范围是1,5⎡⎤⎣⎦，故答案为1,5⎡⎤⎣⎦.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．12473z i z +=±，12||4z z +=. 【分析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由于222(71)(71)4++-=，故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则1212||||4z z z z +=-=，()()212717147717171z z ++==±=±--+. 【点睛】本题的易错点在12771z z =-，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．（1）m ＝－1（2）m ＝1（3）m<－3或m>5.【解析】解：(1)根据复数相等的充要条件得22562{21512m m m m ++=--=-解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612{21516m m m m ++=--=-解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15>0，解得m<－3或m>5.23．（1）=42z i -（2）1【详解】试题分析：（1）求复数z 时采用待定系数法，首先=(,)z a bi a b R +∈设，代入已知条件得到关于,a b 的方程，从而解得,a b ，得到复数z （2）采用待定系数法得到复数ω实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到ω的最小值试题（1）=(,)z a bi a b R +∈设，则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=①(12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，所以20,20a b b a +=-≠，②由①②解得4,2a b ==-.故=42z i -.（2）因为=42z i -，则42z i =+，设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-=又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小值，因为原点到点(4,2)=r=1，原点在圆外，所以ω的最小值即为1.考点：1.待定系数法；2.复数运算及相关概念；3.数形结合法24．（1）1z i =-；（2）1a =-.【分析】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，将已知条件化简后可得1z ；（2）将2z 化简整理，令实部为0，可得a 的值.【详解】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，1(1)(1)i a bi a b i =+++=+++，100,,11b a b a +=⎧=⎧⎪∴∴⎨=-=+⎩∴1z i =-.（2）由（1）得221(1)(),z a a i a =---∈R由2z 是纯虚数得：21010a a ⎧-=⎨-≠⎩， 1a ∴=-.【点睛】本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识.考查概念识记､运算化简能力，属于基础题.25．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++. ∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩∴21x y =⎧⎨=-⎩∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.26．（1）1i 2z =+；（2）[]0,2. 【分析】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出z ω-=，利用正弦函数的值域可求出z ω-的取值范围.【详解】 （1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z a bi =-，()()42a bi a bi i ++-=∴，即62a bi i +=，所以621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，122z i ∴=+； （2）()11sin cos sin cos 222z i i i ωθθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=+⎭---+=== 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛⎫ ⎪⎝⎭≤∴， 02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.【点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆2．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）. ①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．33．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．34．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．325．213(1)ii +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 6．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 7．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --8．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．下列命题中,正确的命题是（ ） A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z > B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =11．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +二、填空题13．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．14．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 15．已知复数342iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限.16．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.17．在复平面内，复数(3)a z =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 18．已知复数[(1)]z a ai i =++（i 是虚数单位）是虚数，且||1z =，则实数a 的值是______19．已知复数032z i =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z 的模等于__________.20．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <.22．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值. 23．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ； （2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 24．在复平面内，A B C ，，分别对应复数1231i 5i 33i z z z =+=+=+，，，以AB,AC 为邻边作一个平行四边形ABCD ，求D 点对应的复数4z 及AD 的长.25．设复数z ：满足432243z i z i +--=-+-，求z 的最大值和最小值． 26．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B 【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的. 【详解】对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．B解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．4．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．A解析：A 【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.6．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 7．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.8．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，22476555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.9．A解析：A 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-，∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+． 则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限． 故选：A ． 【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.10．C解析：C 【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z zz ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确. 【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z z z ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误.故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．二、填空题13．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为5AB ==，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.14．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为： 解析：0【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和22化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及82的值，然后得出88112i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()842284881111101122i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．15．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识解析：一 【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限. 【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1）， 故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故答案为：一.本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.16．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】 【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值.【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==，所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题 解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果. 【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-． 故答案为：66i - 【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【解析】【分析】计算复数根据结合模长公式即可解出实数的值【详解】由题：复数是虚数则即解得或（舍）所以故答案为：【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值注意概念辨析一个复数是虚数则虚部不为零 解析：0【分析】计算复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，根据||1z =，结合模长公式即可解出实数a 的值． 【详解】由题：复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，是虚数，则10a +≠，||1z ==，即2220a a +=，解得0a =或1a =-（舍） 所以0a =． 故答案为：0 【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值，注意概念辨析，一个复数是虚数，则虚部不为零，此题的易错点在于漏掉考虑为虚数的限制条件．19．【分析】可设出复数z 通过复数相等建立方程组从而求得复数的模【详解】由题意可设由于所以因此解得因此复数的模为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算相等的条件比较基础【分析】可设出复数z ，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模. 【详解】由题意可设z a bi =+，由于003z z z z ⋅=+，所以(32)(23)(33)(23)a b a b i a b i -++=+++，因此32332323a b a a b b -=+⎧⎨+=+⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此复数z2=. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础.20．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z = （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． 考点：复数的计算．23．（1）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.【分析】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .【详解】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得12a b =-⎧⎪⎨=±⎪⎩，因此，12z i =-±； （2）设复数(),z a bi a b R =+∈，则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭， 由题意可得2220a a a b -=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=，得()2211a b +-=，所以有()()()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.24．z 4＝7＋3i ，210AD =【分析】由复数的几何意义得到AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1，AD AB AC ＝＋，z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，再由复数的加法运算和模长的公式得到结果.【详解】如图所示：AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD AB AC ＝＋，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1).∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为41AD z z ＝-＝()()73i 1i 62i ＋－＋＝＋＝ 【点睛】在复平面上，点,()Z a b 和复数z a bi =+(),a b ∈R 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．25．最大值7；最小值3．【分析】先根据绝对值定义得不等式，再根据绝对值三角不等式求最值.【详解】 由已知等式得()4320z i --+-≤ ()|||43|4322||523||7z i z i z z ∴--+≤--+≤∴-≤-≤∴≤≤所以z 最大值为7； z 最小值为3．【点睛】本题考查复数模、绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.26．112m =【解析】 分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=， 因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=， 由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2 CD ．5 2．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（ ）． A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2B．CD10．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．011．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 17．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程：23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）； （2）设系数为整数的一元二次方程20ax bx c ++=的两根恰为（l ）中方程的解，求||||||a b c ++的最小值；22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.23．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________. 24．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数； (2)求的模.25．证明：在复数范围内，方程()()255112iz i z i z i-+--+=+（为虚数单位）无解． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．D解析：D 【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12ii 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 4．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．5．C解析：C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
理解复数定义,求解轨迹问题
理解复数定义，求解轨迹问题作者：林光勇来源：《新高考·数学进阶》2019年第01期如何利用复数几何意义求有关点的轨迹等问题呢？首先要理解复数的定义z=a+bi，理解i2=-1，然后理解復平面，知道复数有序实数对（a，b）点Z（a，b）的关系.这为讨论复数建立了数学模型，也为用数形结合求解有关复数问题提供了依据;最后，要理解复数模的意义，因为复数的几何图形基本都是由模联系起来的.一、一一对应要厘清例1在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_____.解析利用复数与复平面上的点间的一对应关系，可知点A（6，5），B（-2，3），于是可以设AB中点C（x，y），在平面直角坐标系中由中点坐标公式得，x=6-2/2=2，y=5+3/2=4即C（2，4），所以点C对应的复数为2+4i.解题感悟看到复平面要想到初中已学习过的平面直角坐标系，理解复数与复平面上的点是一对应的关系.具体怎么对应法？复数z=a+bi在复平面内的对应点坐标为（a，b），要注意，比如复数2-3i对应的复平面内的点的坐标为（2，-3），而不是（2，3）.先将复数对应到平面上的点，利用解析几何有关知识求解，然后再将求得的点坐标返回对应到复数.二、轨迹问题实数化例2复数满足|z-1|2-|z+i|2=4，求复数z在复平面内对应点所表示的曲线.解析设z=x+yi（x，y∈R），则|x-1+yi|2-|x+（y+1）i|2=4.即（√x-1）+y）2-（√x+（y+1）2=4，化简得x+y+2=0.所以复数z在复平面内对应点所表示的轨迹为直线x+y+2=0.解题感悟首先要将复数问题实数化，设z=x+yi（x，y∈R）代人化简是最扎实可靠的方法;其次，“取模”是把复数问题实数化的一种重要手段.例3满足|z|2-2|z|-3=0的复数z的对应点的轨迹是_____.解析按常理设z=x+yi（x，y∈R）代入化简，效果不理想.回头再看看，复数z满足|z|2-2|z|-3=0，若是把|z|看成一个整体，那么这便是一个关于|z|的一元二次方程.分解因式得（|z|-3）（|z|+1）=0，解得|z|=3或|z|=-1（舍）.它表示以原点为中心，半径为3的圆.解题感悟复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质.三、数形结合是工具例4已知z∈C，且|z-（4-5i）|=1，求|z+i|的最大值和最小值.解通过观察发现：其实|z-（4-5i）|=1表示Z对应的点表示的曲线是以Z。
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立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE AC．则动点P的轨迹与△SCD组⊥成的相关图形最有可能的是( )D DA．B．C．解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB ∴EG⊥AC∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG，E∈平面EFG，∴AC⊥PE．另解：本题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PE AC；C中P点所在的轨⊥迹与CD平行，它与CF成角，显然不满足PE AC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角π4⊥为锐角，显然也不满足PE AC．⊥评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是线段B1C．(3)正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心)．(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．1ACC1AE1AA1A1(1)(2)(3)(4)若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．A【例3】(1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ．A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)．(2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ．(3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =，点P 到直13线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 ．π6【例4】(04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )BAB CD 【例5】四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是()A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面PAB ，BC ⊥平面PAB ∴AD ∥BC 且AD ⊥PA ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴=AD PA CBPB ∴PB =2PA在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0)∴P 的轨迹是(B)1AA 3A立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1面AB 1，所以⊥PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分 简析由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为A D 11（A ）．A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体中，过P 作PF AD ，过F 作FE A 1D 1，垂足分别为F 、E ，ABCD A B C D -1111⊥⊥连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为__________． 简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1面ACB 1，所以满足BD 1AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及⊥⊥其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________． 答案线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是：（D ）∆A A A AB C B C B C B C A B C D简析动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在的内角∠ABC 平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在的内角平分线与AB 之间的区域∠ABC 内．只能选D ．10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD A B C D -1111BCC B 11233成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．12．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11M ，且，则M 点轨迹图形的面积是 ．PM MQ =2提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．14．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直//αβl α⊂l P ∈αββ线的距离为的点的轨迹是（ ）l 29A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点简析：如图，设点P 在平面内的射影是O ，则OP 是、的公垂线，OP=4．在βαβ点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为面PAB ，面PAB ，所以AD//BC ，且．⊥AD ⊥BC ︒=∠=∠90CBP DAP 又，8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（ ）AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为，且PC 在内的射影为BC ，所以，即．所以点C 的轨迹是PC AC ⊥αBC AC ⊥︒=∠90ACB 以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体中，P 是侧面内一动点，若P 到直线1111D C B A ABCD -1BC BC 与直线的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）11D C A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到的距离即为P 到的距离，所以在面内，P 到定点11D C 1C 1BC 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．1C 19．已知正方体的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作于E 、于F ，连结EF ，易知AD PE ⊥11D A PF ⊥建议收藏下载本文，以便随时学习！1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作于N ，则．依题意，CD PN ⊥|1y ||PN |-=|PN ||PF |=故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线分析：由于线段AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上．又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P 的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线 ．a 21．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）M N ，BP x =MN y =()y f x=ABCD MN P A 1B 1C 1D 1分析：将线段MN 投影到平面ABCD 内，易得y 为x 一次函数．22．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面上，直线、为平面内过MN 的中α'a 'b α点O 分别平行于a 、b 的直线，于，于，则，且P 也为的中点．'a 'AA ⊥'A 'b 'BB ⊥'B P 'B 'A AB =⋂'B 'A 由已知MN=2，AB=4，易知得．,2AP ,1'AA ==32'B 'A =则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P 的轨迹．现以32'B 'A 'A 'B 'a 'b 的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．'OB 'A ∠图6设，，)y ,x (P n |'OB |,m |'OA |==则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A -)n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++-消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为．1y 9x 22=+点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ）A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ A D 11）A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是（ ∆）A A AB C B C B C B CA B C D7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直//αβl α⊂l P ∈αββ线的距离为的点的轨迹是（l 29）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（ ）AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线13．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）M N ，BP x =MN y =()y f x =ABCD MN P A 1B 1C 1D 114．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD AB C D -1111BCC B 11233成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11M ，且，则M 点轨迹图形的面积是．PM MQ =219．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是．20．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．。
用复数求平面几何中旋转的一些轨迹问题
用复数求平面几何中旋转的一些轨迹问题作者：陈金华来源：《知识窗·教师版》2014年第07期摘要：初等数学知识包含数与形两个方面，复数是数与形互相渗透的典型代表。
复数就如一座桥梁把图形和数紧密地联系在一起，也就是说一个代数的问题，可以通过复数的几何意义，转化成图形的问题。
当然，一个图形问题也可以通过复数，用代数方法进行研究。
因此，平面中两直线的夹角和位置关系等几何关系都可以通过复数的关系式来刻画，平面解析几何问题也可以用复数去求解。
本文通过复数的几何意义，求出了圆锥曲线中一些特殊点的轨迹方程。
关键词：复数平面几何旋转轨迹1797年，挪威数学家维塞尔提出了对复数的几何解说。
他在平面上自点O作两条实轴，从而建立了一个坐标平面，每一个复数Z=a+bi与坐标平面上的点（a，b）一一对应，称点Z （a，b）为复数Z=a+bi的对应点。
之后，著名的德国数学家高斯把上面建立的坐标平面称为复平面，任意一个复数都与复平面上的一个点构成一一对应的关系。
我们知道，复数可以用几何方法表示，也可以用代数方法表示，复数可以看作是平面上的向量，复数加减法的几何表示和向量的加减法一样，都可使用平行四边形法则。
但是，复数乘法的几何表示不同于向量的一般乘法，它表示为向量的拉伸与旋转的合成。
利用这一特点，在解决与旋转有关的解析几何命题时，复数比向量更为巧妙。
一、复数及其运算1.复数的定义复数的代数形式是Z=a+bi，与该复数Z相对应的点的坐标是（a，b），复数Z的模|Z|=r= a2+b2，复数Z的辐角θ=argZ=∠XOZ。
在复平面上，绕一直线其上一定点旋转，有两种旋转方向，一种是逆时针旋转，另一种是顺时针旋转。
按照惯例，我们规定逆时针方向旋转的角度为正，顺时针方向旋转为负。
在本文中，旋转角度都为正，即都是按逆时针方向旋转。
2.复数运算的几何意义复数乘法的几何意义是：设复数Z1=r1（cosθ1+isinθ1），Z2=r2（cosθ2+isinθ2），Z1·Z2对应的向量是把Z1的模变为原来的r2=| Z2 |倍，然后再按逆时针旋转角度θ2得到的。
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北师大版数学选修2-2 第五章数系的扩充与复数的引入自我总结卷一、选择题：1、复数 z 1i （ i 是虚数单位），则复数( z1)( z 1) 虚部是( )【答案】 DA、 -1+2 iB、 -1C、2 iD、21、a 0是复数a bi( a, b R) 为纯虚数的（）【答案】 BA、充分条件B、必要条件C、充要条件 D 、非充分非必要条件1、已知复数z134i ， z2t i ，且z1gz2是实数，则实数 t 等于 (A) ．期中考试题3443A. 4B.3C．－3D．－4解析 z1· z2＝(3 ＋4i)(t － i)＝(3 t ＋4)＋(4 t －3)i.因为 z1· z2是实数，所以3因此选 A.4t －3＝0，所以 t ＝ .41、若复数( m23m4)(m25m6)i 是虚数，则实数 m 满足（）【答案】 D（ A）m 1 （B）m6(C)m1或 m 6(D)m1且 m 61、若z1, z2 C ，则z z2z z 是（）【答案】 B112A 纯虚数B实数C虚数D无法确定1、若(x21)(x23x2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是（）【答案】 AA 1 B1C1D以上都不对1．已知复数z1m2i, z234i, 若z1为实数，则实数 m 的值为()【答案】 D z2A、 2B． 2C、3D．3 222． i 表示虚数单位，则i1i 2i 3i 2008的值是（）答案 A A． 0B．1C． i D ．i2、已知z1i, 则1z50z100的值为（ A）2A 、 i B、 1C、 2 i D 、 32 、复数(22i )4等于（）答案 : B (13i) 5A ． 13i B ． 13iC ． 13iD ． 1 3i2、复数 ( 1 i)10 的值是 （ ）【答案】 A1 i A ．－ 1 B ．1 C ．32 D ．－ 322、已知 x 1 ，则 1996 1的值为（ ） 【答案】A x 1 x x 1996A 1B 1C iD i2、 f ( n) i n i n ,( n N ) 的值域中，元素的个数是（ B ）A、 2B 、 3C 、 4D 、无数个3、在复平面内，若复数满足| z 1| | z i | ，则所对应的点的集合构成的图形直线 yx3、 | z 3 4i | 2 ，则 | z |的最大值为（ B ）A 3B 7C 9D 53．若 z C 且 | z | 1，则 | z 22i | 的最小值是（ C ）A ． 2 2B ． 2 2 1C ． 2 2 1D ． 23．如果复数 z 满足 | z ＋i| ＋ | z －i| ＝2，那么 | z ＋1＋i| 的最小值是 () ．A ．1 B. 2C ．2D. 5解析|z ＋ i| ＋ z － i| ＝ ，则点 Z 在以 (0,1)和 (0 ，－ 1)为端点的线段上，| 2| z ＋ ＋i| 表示点 Z 到( － ，－ 1)的距离．由图知最小值为1.11答案A3．若 z 2 且 z i z 1 ，则复数 z =z2 (1 i) 或 z2 (1 i)3．如果 z C ，且 z 1，则 z 1 2i 的最大值为【答案】5 13．若 z C 且 | z 2 2i | 1, 则 | z 22i |的最小值是（） 答案 : BA ． 2B ．3C ．4D ． 53．已知复数 zx yi ( x, y R ， x1 ) ，满足 z 1x ，那么 z 在复平面上对应的点 ( x, y) 的轨迹是 () ．A ．圆B．椭圆C．双曲线D ．抛物线解析∵ z ＝ x ＋ y i( x， ∈R ，x1 z － 1| ＝ x ，∴ ( －2y 2＝2，故 y 2＝ 2 － 1. 答案 D≥ ) ，满足 |1) ＋y2xxx3、已知方程 | z 2 | | z 2 | a 表示等轴双曲线，则实数 a 的值为（ A）A 、2 2B 、2 2C 、2D 、24．已知复数 z1 i ，则 z 在复平面内对应的点在第几象限( )【答案】 CA ．一B ．二C ．三D ．四 4．在复平面内，复数2i对应的点位于 ()【答案】 DA. 第一象限1 iB.第二象限 C.第三象限D.第四象限4．在复平面内，复数ii (13i )2 对应的点位于 ( )【答案】 B1A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知 i 为虚数单位，则1 i 所对应的点位于复平面内点 ( ) 【答案】 AiA ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限5、 ( m i) 3 R ，则实数 m 的值为（ B）A 、 2 3B 、3C 、3 D 、3325、若 x C ，则方程 | x | 1 3ix 的解是（ C）A 、13 i B 、 x 14, x 21 C 、4 3iD 、13 i22225、复数 z1 cosi sin ,(2 ) 的模是（ B）A 2cos2B2cos2 C2sinD2tan226． 2i2 i 的值是 ( ) 【答案】 C1 2i1 2iA ． iB ． 2iC ．0D ．413i56．复数 z的虚部是 ( )【答案】 BA ． 21 iB ． 2 C． 2iD ． 2i6．(12i ) 2 ( 2 i ) 2 等于 ( )【答案】 B1 i1 iA ． 3 4iB ． 3 4iC ． 3 4iD ． 3 4i6．若复数1ai （i 是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a 等于 () 【答案】D2iB ．1C ．1A ． -1D ．333．已知复数 z 13, z 2 1 2 , 若 z 1 是实数，则实数 b 的值为( ) 【答案】 A 6bii z 2A ． 6B ．-6C ．0D ．167．对于两个复数13i ，13i ，有下列四个结论： ①1；②1；2222③1 ；④331，其中正确的结论的个数为（ ） 【答案】 BA ． 1B ． 2C ． 3D ．47．下面是关于复数2 的四个命题 :【答案】 Cz1 ip 1 : z 2 ,p 2 : z 22ip 3 : z 的共轭复数为 1 i p 4 : z 的虚部为 1其中真命题为 ()A ． p 2, p3B ． p 1, p2C ． p 2, p4D ． p 3 , p48．若复数 z 满足方程 z 22 0 ，则 z3 的值为（）【答案】 CA ． 2 2B ． 2 2C ． 2 2 iD ． 2 2 ia bz 112．定义运算 c ＝ad －bc ，则对复数 z ＝ x ＋ yi(x ，y ∈R)符合条件＝3dz 2i＋ 2i 的复数 z 等于 ________．z 13＋ 2i 解 析 由 定 义 运 算 ， 得 z 2i ＝ 2zi － z ＝ 3 ＋ 2i ， 则 z ＝ －1＋2i ＝3＋ 2i －1－2i 1 8 － 1＋2i－1－ 2i＝5－5i.1 8答案 5－5i1．若复数 z2t 2 3t 2 (t 2 4)i (t R) 为纯虚数，则 t 的值为 _____【答案】122．已知 i 为虚数单位，复数 z2 i，则 | z | ＝.【答案】101 i23．若 i 为虚数单位，则复数3i＝ ____________．【答案】 1 2i1 i4．已知 m1 ni ，其中 m, n 是实数，i 是虚数单位，则 m ni【答案】 2 i1 i．若 (a 2i )ib i ，其中 a, bR ， i 是虚数单位，复数 abi5【答案】1 2i6．若复数a3i （ a R ， i 为虚数单位）是纯虚数 , 则实数 a 的值为 1 2i【答案】67、设13i ，则集合 A={ x | x kk(k Z) } 中元素的个数是2。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1．复数34i z i-=，|z |＝（ ）A B ．3 C ．4 D ．52．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（ ）A 1B 1C 1D 1 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3iB ．3i -C ．3D ．-3 5．若复数1a i a i -+为纯虚数，则实数的值为 A ．i B ．0 C ．1 D ．－16．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -7．2(1)1i i+=-（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 8．设i 是虚数单位，复数1a i i -+在复平面内对应的点在直线10x y -+=上，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．29．已知复数z 满足21i z i =+，那么z 的虚部为（ ） A ．1B ．-iC ．1-D ．i 10．复数411-i ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是( )． A ．－4i B ．4i C ．－4 D ．411．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+ 12．在复平面内，复数3i 12i +在复平面中对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题13．复数z 满足(1＋i)z ＝i|，则z 的共轭复数z ＝________．14．若复数12,z z满足12121,z z z z ==+=，则122z z -的值是____________. 15．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________.16．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．17．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 18．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________19．设复数1=-i z i ，则z =_____________． 20．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________. 三、解答题21．已知关于x 的方程20x x m -+=()m R ∈的两根为1x 、2x ，且123x x +=，求m 的值.解：1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，12121x x x x m +=⎧∴⎨=⎩， 123,x x +=22112229x x x x ∴++=()2121212229x x x x x x +-+=，即122||9m m -+=，解得2m =-.请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误.如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程.22．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________.23．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+. （1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.24．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，(其中i 为虚数单位)（1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.25．已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=（1）当实数m 取什么值时，复数z 是：②纯虚数；③.52i z +=（2）若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围．26．设m ∈R ，复数z 1＝22m m m ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模.【详解】 ()()()2234343443i i i i i z i i i i i----+====----，5z ∴==.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.2．C解析：C【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±.又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 3．A解析：A由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解.【详解】 因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上， 因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径，即min 111z i ++==，故选：A【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．C解析：C【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案.【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =,故选C.【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.5．C解析：C【解析】分析：由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 详解：不妨设()1a i ki k R i-=∈+，则：()21a i ki i ki ki k ki -=+=+=-+， 由复数相等的充分必要条件可得：1a k k =-⎧⎨-=⎩，即11a k =⎧⎨=-⎩， 即实数a 的值为1.本题选择C 选项. 点睛：本题主要考查复数的分类，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 7．C解析：C【分析】 由题意结合复数的运算法则计算其值即可.【详解】由复数的运算法则有：()()()()()22121(1)21111112i i i i i i i i i i i i i +++====+=-+---+. 故选C .【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C【解析】【分析】 根据复数的运算得11122a i a a i i --+=-+，得到复数在复平面内对应的点为11(,)22a a -+-，代入直线的方程，即可求解． 【详解】 由题意，复数()()()()1(1)(1)11111222a i i a i a a i a a i i i i -----+-+===-++-， 所以复数在复平面内对应的点为11(,)22a a -+-， 则111022a a -+++=，解得1a =-，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9．A解析：A【分析】根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部.因为22(1)112i i i z i i -===++，所以虚部为1，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.10．C解析：C【解析】【分析】 利用复数的代数形式的乘除运算法则将411i ⎛⎫- ⎪⎝⎭化简，即可求值. 【详解】 ∵21111i i i i-=-=+ ∴2(1)1212i i i +=+-= ∴()421124i i ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭故选C.【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，利用i 的幂的性质是迅速化简的关键，属于基础题． 11．D解析：D【解析】分析：根据两个复数对应的点的坐标分别为(6,5)A ，(2,3)C -，由C 为线段AB 的中点即可确定中点B 的坐标，从而可得答案．详解：∵复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C∴(6,5)A ，(2,3)C -∵C 为线段AB 的中点∴(10,1)B -∴点C 对应的复数是10i -+故选D.点睛：本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数(,)x yi x y R +∈与复平面内(,)x y 一一对应. 12．A解析：A【解析】复数()()()3123631212125i i i i i i i ⨯-+==++-，它在复平面内对应的点的坐标为63,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故对应的点在第一象限故选A二、填空题13．1＋i 【分析】先求出复数的模长把已知登时变形然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数求出即可【详解】因为所以则故答案为【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数模长和共轭复数的概念解题的关键是 解析：1＋i【分析】先求出复数3i -的模长，把已知登时变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 即可.【详解】因为()132i z i +=-=，所以211z i i==-+，则，故答案为1i +. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模长和共轭复数的概念，解题的关键是求出z ，是基础题． 14．【分析】作图先证明四边形ABCD 是正方形再利用复数的几何意义求解【详解】如图所示因为所以所以四边形ABCD 是正方形因为AB=BE 所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算意在考查 解析：5【分析】作图，先证明四边形ABCD 是正方形，再利用复数的几何意义求解.【详解】如图所示，||1||,||2AB AD AC ===,AC AB AD =+，因为222AD DC AC +=,所以090ADC ∠=,所以四边形ABCD 是正方形.因为AB=BE,所以2212|||2|125ED z z =-=+=.故答案为：5【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段的几何意义为复数对应的点到点的距离利用数形结合思想可得出的最小值【详解】设由复数模的三角不等式可得所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段如下图 解析：1【分析】先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值.【详解】设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==， 所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：当z i =-时，则1z i ++取得最小值1.故答案为1.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.16．【分析】根据复数的运算可得再利用模的计算公式即可求解【详解】由题意复数满足则则的模为【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解答的关键着重考 解析：【分析】根据复数的运算可得11i z i i+==-，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，复数z 满足(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i i z i i i i +++====--+， 则z 的模为1z i ==.【点睛】 本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.17．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解 解析：7-【分析】 利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43cos 0,sin 055θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】4333cos 0,sin 0sin tan 5554θθθθ-=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3147314--=--, 故答案为：7-.【点睛】本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.18．【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |22(1)310=-+=．故答案为10．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为a bi -．19．【解析】试题分析：因为所以故应填考点：复数的基本概念及其运算 解析：． 【解析】试题分析：因为1iz i=-，所以z =，故应填． 考点：复数的基本概念及其运算．20．【详解】由复数的运算法则可知因为复数是实数则 解析：1- 【详解】由复数的运算法则可知223()(1)()(1)m i mi m m m i ++=-++，因为复数2()(1)m i mi ++是实数，则3101m m +=⇒=-.三、解答题21．不正确，详见解析【分析】解题过程不正确．1x 、2x 为虚根时，22221122||,||x x x x ≠≠．由1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，得12121x x x x m +=⎧⎨=⎩，当△0即14m 时，方程有两个实数根，求出2m =-；当△0<即14m >时，方程有一对共轭虚根，求出94m =． 【详解】解：解题过程不正确．当两根正确的解答过程如下： 1x 、2x 为虚根时，22221122||,||x x x x ≠≠．1x 、2x 是20x x m -+=的两个根，∴12121x x x x m +=⎧⎨=⎩， ①当0∆≥即14m 时，方程有两个实数根． 12||||3x x +=，∴2211222||9x x x x ++=．2121212()22||9x x x x x x +-+=，即122||9m m -+=，解得2m =-．②当∆<0即14m>时，方程有一对共轭虚根． 221212||||x x x x m ===，13||2x ∴=，解得94m =， 综上所述，2m =-或94m =． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，考查一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．22．()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+【分析】配方为()()()222422262531634x x x x i -+=-+=--，由()2234i i ±=±结合平方差公式即可求得答案.【详解】 ()2234i i -=-，()2234i i +=+，()()()()()222422222625316343434x x x x i x i x i ∴-+=-+=--=---+()()()()222222343422x i x i x i x i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+--=-+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+=.故答案为()()()()2222x i x i x i x i ++--+--+.【点睛】本题考查在复数范围内进行因式分解，充分利用平方差公式进行分解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.23．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】 试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴10z =； （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． 考点：复数的计算． 24．（1）,（2）()1,2m ∈ 【详解】（1）由题意有时，解得，即时，复数为纯虚数.（2）由题意有：222320{320m m m m --<-+<， 解得：12{212m m -<<<<，所以当()1,2m ∈时，复数z 对应的点在第三象限考点：纯虚数概念25．（1）①m=1；②m=0；③m=2；（2）30m -<<【解析】试题分析：在复数a bi +中复数为0需满足0a b ==，为纯虚数需满足0,0a b =≠，复数对应的点在第四象限需满足0,0a b ><试题（1）①中需满足()2101230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩②中需满足()2100230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-≠⎩③中()2122235m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩（2）⎩⎨⎧<-+>-0320)1(2m m m m ⇒30m -<< 考点：复数及相关概念26．m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)【解析】试题分析：根据虚数定义得m 2－2m －15≠0，根据分母不为零得m ≠－2，解得m 的取值范围．试题∵z 1＝22m m m ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ， ∴z 1＋z 2＝222m m m +-+（）＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝242m m m --+＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R)．点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi。
复数与轨迹问题
复数与轨迹问题 例1：分别画出满足下列条件的复平面上 ： 表示的区域 ；
①练习： z 练习：
= 3
y 3
⇒
z −(2+3i) = 3
⇒
－2 －2
z +(2+3i) = 3
o －3 －3
2
x
表示以z 为半径的圆方程。 注1：|z－z0|=r表示以 0为圆心，r为半径的圆方程。 ： － 表示以 为圆心， 为半径的圆方程
复数与轨迹问题
满足|z+1|2-|z+i|2=1，则z在复平面内 例2：若复数 满足 ：若复数z满足 ， 在复平面内 的对应点所表示的图形是（ 的对应点所表示的图形是（ ） （A）直线 （B） 圆 （ C） 椭圆 （D）双曲线 ） ） ） ）
√
练习: 若复数z满足 练习 若复数 满足 则z在复平面 在复平面 直线y=1 内的对应点所表示的图是 直线
复数与轨迹问题 变题： 变题：
z −4 = z + 4
注：若满足|z－z1|－|z－z2|=2a（a>0且2a=|z1z2|） 若满足 － － － （ 且 ） 表示以z 为端点的射线。 表示以 1、z2为端点的射线。. 练习： 的三个顶点对应的复数分别为z ∆ 练习：ABC的三个顶点对应的复数分别为 1、 的三个顶点对应的复数分别为 若复数 满足|z-z ， 所对 z2、z3若复数z满足 1|=|z-z2|=|z-z3|，则z所对 满足 外 心； 应的点是 ∆ ABC的 的
z−z =2i
复数与轨迹问题 小结： 小结： 1、|z1－z2| 表示复数 1、z2所对应的两点间的 、 表示复数z 距离；特别的： 表示复数 距离；特别的：|z|表示复数 z 所对应的点到原 点的距离。 点的距离。 2、特殊曲线的复数方程形式； 、特殊曲线的复数方程形式； 3、要善于利用数形结合解题。 、要善于利用数形结合解题。
人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(答案解析)(1)
【详解】
因为 是方程 的一个根，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.
2．A
解析：A
【解析】
【详解】
由 是方程 的根可得 ,
整理可得： ，
所以 ，解得 ，所以 ，故选A.
3．C
25．已知复数 满足 ， 的虚部为 ，且 在复平面内对应的点在第二象限.
（1）求复数 ；
（2）若复数 满足 ，求 在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.
26．已知
（1）若 若在复平面上对应的点分别为A,B，求 对应用的复数
（2）若
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
9．复数 ， 是虚数单位，则下列结论正确的是
A． B． 的共轭复数为
C． 的实部与虚部之和为1D． 在复平面内的对应点位于第一象限
10．复数 的实部和虚部分别为 ， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
11．已知复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
12．已知复数 满足： ，那么 的最小值为（）
二、填空题
13．6【解析】分析：先找到复数z对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这
解析：6
【解析】
分析：先找到复数z对应的点的轨迹，再求 的最大值.
详解：设复数 ，则 ，
11．A
解析：A
【分析】
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
复数问题的常见解题策略与技巧
复数问题的常见解题策略与技巧复数题是高考题型的一个重要组成部分，它重点考查复数的概念、两个复数相等的充要条件、复数代数形式的四则运算。
在高考中多以选择题、填空题的形式考查，解高考复数题若不加分析，盲目设出复数的代数式进行二元性转化，就会使运算繁琐，影响解题速度和正确率，甚至使解题半途而废。
其实，复数试题只要分析其结构特征，充分以复数的有关概念为理论依据，常常可以寻找到一条有效的解题途径。
因此在解题时必须研究策略与技巧，以求做到选择捷径，避繁就简，合理解题．下面举例介绍解复数问题的常见解题策略与技巧．一. 利用i 、ω的性质简化运算 记住一些常用的结果，简化运算，提高运算速度：23111)2,,,111i iii i i i i ω+-±=±==-=-+（， 210.ωω++=【例1】(2011·江苏泰州市高二检测)若ω1=-+22，则246ωωω++ 等于【解析】ω1=-+22，3=1ω∴，2+10.ωω+=246ωωω++2=+10.ωω+= 【答案】: 0二. 分析式子结构特征、整体代入在涉及到若干个量的求值时，不必把每个量都具体求出来，可以把它们当作整体来求，这样，就能避免由局部运算所带来的麻烦．【例2】如果虚数z 满足38,z =求3222z z z +++的值.【解析】328,(2)(24)0,z z z z =∴-++=又因为z 为虚数，故z-2也为虚数，所以2240.z z ++=323222(24)2z z z z z z ∴+++=+++-802 6.=+-=三.借助方程、不等式的思想、复数问题实数化对于一些较为复杂的复数问题，要善于综合运用有关的知识以及重要的数学思想，从不同的角度去进行研究。
利用方程的思想，可将复数问题转化为实数集内的问题，这往往是一种解复数题的高效途径。
【例3】.已知z 为复数，2z i +和2z i -均为实数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ；（2）若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【解析】（1）设z (,)x yi x y R =+∈，则2(2)z i x y i +=++，由z ＋2i 为实数知2-=y同理可算得4=x ，所以i z 24-=.（2）]2222()(42)4(2)16(2)8(2)z ai i ai a i a a i ⎡+=-+=+-=--+-⎣. 而它在复平面上对应的点在第一象限，所以满足⎩⎨⎧>->--0)2(80)2(162a a ，解得62<<a .四.求轨迹问题，巧妙引入参数通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁，这样，把问题转化为对参变量的讨论．这种方法运用的巧妙，可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果．【例4】复数11,z ≠且1111z z -+是纯虚数，复数214(1)z z =+，求复数z 在复平面内对应的点的轨迹.【解析】设1111z z -+=(,0)bi b R b ∈≠，则22121241,(1)121(1)z z bi b bi bi z =-∴==-=---+，设(,)z x yi x y R =-∈，得21,2x b y b⎧=-⎨=-⎩消去b 得，24(1)(1)y x x =--≠， 即复数z 对应点轨迹为抛物线（除去顶点）.五.借助数形结合的思想，巧用几何意义复数与平面上的点之间或复数与平面上以某定点为始点的向量之间以及复数的运算与向量之间，都有其鲜明的几何意义。
复变函数——复平面上的曲线和区域
一 复平面上的曲线方程
直角坐标方程 参数方程
1、直角坐标形式
(1)
z+z z−z F ( x , y ) = 0 → F , =0 2i 2
x=
z+ z z−z , y= 2 2i
(2 )利用
⋅ 的几何意义
• z − z 0 表示从 z 0到z的向量 • z − z 0 表示 z 0与 z之间的距离 • 以单位复数乘任何数， 几何上相当于将此数所 对应的向量旋转一个角 度 例如： iz相当于将 z所对应的 oz沿逆时针旋转 π 2
2、参数方程形式
x = x (t ) ⇒ z (t ) = x (t ) + iy (t ) y = y (t )
例1：指出满足下列条件的点集
(1) z−i = z+1
( 2) Re(iz ) = 3
( 3)
z − 3 + z + 3 = 10
( 4)
( 5)
解
z −1 + z +1 = 2
二、简单曲线与光滑曲线
以参数方程 C : z (t ) = x (t ) + iy (t ) α ≤ t ≤ β 为例 1、连续曲线： x (t )与 y (t )在 [α ， β ]连续 — z (t )在 [α ， β ]连续 2、简单曲线： ∀ t1 ≠ t2 ∈ [α , β ]有z(t1 ) ≠ z(t 2 ) 3、简单闭曲线： z (α ) = z (β ) 4、光滑曲线： 若z′(t ) = x′(t ) + iy′(t )在[α，β ]上连续，且z′(t ) ≠ 0 5、逐段光滑：由有限条光滑曲线所连接成
高中数学竞赛与强基计划试题专题：复数
高中数学竞赛与强基计划试题专题：复数一、单选题1．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，满足122z z i z ---=的点Z 的轨迹是（）.A ．圆B ．椭圆C ．一段圆弧D ．双曲线2．（2020·北京·高三强基计划）设a ，b ，c ，d 是方程43223450x x x x ++++=的4个复根，则11112222a b c d a b c d ----+++=++++（）A ．43-B ．23-C ．23D ．前三个答案都不对3．（2020·北京·高三校考强基计划）已知复数12,z z 在复平面内对应的点为12,Z Z ，O 为坐标原点．若22111221,520z z z z z =-+=，则12 OZ Z 的面积为（）A ．1BC ．2D．4．（2020·北京·高三强基计划）已知复数z满足112z =，则232020,,,,z z z z 中不同的数有（）A ．4个B ．6个C ．2019个D ．以上答案都不正确二、多选题5．（2020·北京·高三校考强基计划）设复数z 满足|37i |3z -=，令21221iz z z z -+=-+，则1z 的（）A ．最大值为83B ．最大值为73C ．最小值为43D ．最小值为236．（2020·北京·高三校考强基计划）已知()1010551()2f z z z z z --=+++，则（）A ．()0f z =存在实数解B ．()0f z =共有20个不同的复数解C ．()0f z =的复数解的模长都等于1D ．()0f z =存在模长大于1的复数解7．（武汉·高三统考强基计划）设12z z ，）AB ．没有最小值C ．最大值为2D ．没有最大值8．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设复数z 的实部和虚部都是整数，则（）A ．2z z -的实部都能被2整除B ．3z z -的实部都能被3整除C ．4z z -的实部都能被4整除D ．5z z -的实部都能被5整除三、填空题9．（2018·辽宁·高三竞赛）设a 、b均为实数，复数11)i z b =-+与2z 2bi =-+的模长相等，且12z z 为纯虚数，则a +b=_____.10．（2019·全国·高三竞赛）已知虚数1z 、2z满足12z z -=，2110z z q ++=，2220z z q ++=.则实数q =______.11．（2022·广西·高二统考竞赛）若复数z 满足i =1+i zz z -，则z 的虚部为______．12．（2019全国高三竞赛）复平面上动点cos sin 23,,,cos sin cos sin 4Z k k R Z θθπθθπθθθθ-⎛⎫⎛⎫∈≠+∈ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭的轨迹方程为______.13．（2020·江苏·高三竞赛）已知复数z 满足1z =的最大值为__________．14．（2019·全国·高三竞赛）设()20102010201012kkk k k k f x x a x i b x ==⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑，其中，,0,1,,2010k k a b R k ∈= 、．则()670330k k k a b =+=∑____________．15．（2019·全国·高三竞赛）设k 是复数,关于x 的一元二次方程2102x kx +-=的两个复数根为12x x 、.若3122x x k +=,则k =_____.16．（2021·浙江·高二竞赛）设复数i z x y =+的实虚部x ，y 所形成的点(),x y 在椭圆221916x y +=上.若1i i z z ---为实数，则复数z =______.17．（2022·福建·高二统考竞赛）已知复数1z ､2z 在复平面上对应的点分别为A ､B ，且12z =，221122240z z z z -+=，O 为坐标原点，则△OAB 的周长为___________.18．（2019·全国·高三竞赛）已知正实数a b 、满足()22253a b b +=>，复数u v w 、、满足,3w a bi u w v =+-=，若1v =，那么，当u 的辐角主值最小时，uw的值为______．19．（2019·全国·高三竞赛）复数列01,,z z ⋅⋅⋅满足01z =，1nn niz z z +=.若20111z =，则0z 可以有_______种取值.20．（2021·浙江·高三竞赛）复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z -=()()10101221z z z z +=______.21．（2021·全国·高三竞赛）设复数1z ､2z ､3z 满足1232z z z ===，则122331123z z z z z z z z z ++=++___________.22．（2021·北京·高三强基计划）已知复数z 满足1111011110111,z z z z z z z ---=+-=+-，则满足条件的z 有_________个．23．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x 、y满足151,411,4x y x y ⎫+=⎪+⎭⎫-=-⎪+⎭，则x =__________．四、解答题24．（2018·全国·高三竞赛）已知()()cos cos cos sin sin sin cos sin x y z x y za x y z x y z ++++==++++求()()()cos cos cos y z z x x y +++++的值.25．（2019·全国·高三竞赛）已知a 、b 、c 是互不相等的复数，满足0abc ≠，a b b c c aa b b c c a+++==---.求证：200720072007a b c ==.26．（2019·全国·高三竞赛）设21i =-．证明：112cot cotn k k i n n ππ-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∏为纯虚数．27．（2021·全国·高三竞赛）设,[0,2)a θπ∈∈R ，复数123cos isin ,sin i cos ,(1i)z z z a θθθθ=+=+=-.求所有的(,)a θ，使得1z ､2z ､3z 依次成等比数列.28．（2019·全国·高三竞赛）设{}1,2,,X p =，其中p 为质数．对X 的一个子集A ，如果A 中所有元素的和（空集的元素和规定为0）为p 的倍数，则称A 是X 的一个“倍子集”．试求X 的所有倍子集的个数S ．29．（2021·全国·高三竞赛）设122020,,,z z z 和122020,,,w w w 为两组复数，满足：202020202211i ii i z w==>∑∑．求证：存在数组()122020,,,εεε （其中{1,1}i ε∈-），使得2020202011i iiii i zwεε==>∑∑．30．（2021·全国·高三竞赛）设{}n a 、{}n x 是无穷复数数列，满足对任意正整数n ，关于x 的方程210n n x a x a +-+=的两个复根恰为n x 、1n x +（当两根相等时1n n x x +=）．若数列{}n x 恒为常数，证明：（1）2n x ≤；（2）数列{}n a 恒为常数．高中数学竞赛与强基计划试题专题：复数答案一、单选题1．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，满足122z z i z ---=的点Z 的轨迹是（）.A ．圆B ．椭圆C ．一段圆弧D ．双曲线【答案】C【详解】设()0,0A 、()1,0B 、()1,2C ，z 对应的点为Z .由122z z i z -+--=，可得···ZB AC ZC AB ZA BC +=.由托勒密逆定理知，Z 的轨迹为ABC ∆外接圆上不含点A 的那一段BC .2．（2020·北京·高三强基计划）设a ，b ，c ，d 是方程43223450x x x x ++++=的4个复根，则11112222a b c d a b c d ----+++=++++（）A ．43-B ．23-C ．23D ．前三个答案都不对【答案】A【分析】利用换元法将原方程转化为高次方程，再结合高次方程的韦达定理可求代数式的值.【详解】法1：设12a a a -'=+，则211a a a +''=--，类似的，定义,,b c d '''，则,,,a b c d ''''是方程43221212121234501111x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即432234(21)2(21)(1)3(21)(1)4(21)(1)5(1)0x x x x x x x x +-+-++--+-+-=的4个复根，方程左侧中4x 的系数为161612859-+-+=，3x 的系数为3112432C 2(8C 2)3(84)4(231)5412--+⨯+-+--⨯+-⨯=根据韦达定理，有12493a b c d '++-'='+=-'．法2：题中代数式也即1111432222a b c d ⎛⎫-+++ ⎪++++⎝⎭，因此2,2,2,2a b c d ++++是关于x 的方程432(2)2(2)3(2)4(2)50x x x x -+-+-+-+=，即4326151690x x x x -+-+=的4个复根，故1111,,,2222a b c d ++++为方程23416151690x x x x -+-+=的4个复根，从而11111622229a b c d +++=++++，原式为1644393-⨯=-．3．（2020·北京·高三校考强基计划）已知复数12,z z 在复平面内对应的点为12,Z Z ，O 为坐标原点．若22111221,520z z z z z =-+=，则12 OZ Z 的面积为（）A ．1BC ．2D ．【答案】A【分析】利用复数乘法的几何意义可求12 OZ Z 的面积.【详解】根据题意，有1212i z z z =-⋅±，故()2112i z z ±=⋅，故2z 可看出由1z故121121OZ Z S =⨯=△4．（2020·北京·高三强基计划）已知复数z 满足112z =，则232020,,,,z z z z 中不同的数有（）A ．4个B ．6个C ．2019个D ．以上答案都不正确【答案】B【分析】根据复数的三角形式可求61z =，从而可判断出不同的数的个数.【详解】根据题意，有61cos isin 1233z z ππ⎛⎫⎛⎫==-+-⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是232020,,,,z z z z 中有6个不同的数．二、多选题5．（2020·北京·高三校考强基计划）设复数z 满足|37i |3z -=，令21221iz z z z -+=-+，则1z 的（）A ．最大值为83B ．最大值为73C ．最小值为43D ．最小值为23【答案】AD【分析】利用复数差的几何意义可求1z 的最值【详解】根据题意，有7i 13z -=，且1(1i)z z =-+，于是1z 为以点70,3⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，1为半径的圆上的点到点(1,1)的距离，其取值范围是551,133⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，因此1z 的最小值为23，最大值为83．6．（2020·北京·高三校考强基计划）已知()1010551()2f z z z z z --=+++，则（）A ．()0f z =存在实数解B ．()0f z =共有20个不同的复数解C ．()0f z =的复数解的模长都等于1D ．()0f z =存在模长大于1的复数解【答案】BC设55z z t -+=，利用换元法可求得52t z =，从而可判断()0f z =的20个复数解的模都是1.【详解】设55z z t -+=，则()101055211222z z z z t t --+++=+-，于是1()04f z t -=⇒=，这两个t 的取值都在区间(2,2)-内．故55z z t -+=有解52t z =，因此()0f z =有20个不同的复数解．当t =5||1z =，因此()0f z =的复数解的模长都等于1．综上所述，选项BC 正确．7．（2020武汉高三统考强基计划）设12z z ，是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，）AB ．没有最小值C ．最大值为2D ．没有最大值【答案】AD【分析】在复平面内（O 为坐标原点），设复数2121,,z z z z +对应的点分别为,,,A B C AOB θ∠=，利用复数的几何意义及向量的加法和平面向量数量积，然后结合已知条件及均值不等式即可.【详解】解：在复平面内（O 为坐标原点），设复数2121,,z z z z +对应的点分别为,,,A B C AOB θ∠=，因为12z z ，是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，所以0,2π⎡⎤θ∈⎢⎣⎦，从而有0cos 1θ≤≤），===又由均值不等式有2OA OB OB OA+≥ ，当且仅当OA OB =时等号成立，，当且仅当OA OB = ，且2πθ=（比如12i z z ==1，）时等号成立.8．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设复数z 的实部和虚部都是整数，则（）A ．2z z -的实部都能被2整除B ．3z z -的实部都能被3整除C ．4z z -的实部都能被4整除D ．5z z -的实部都能被5整除【答案】BD【分析】设z a bi =+分别计算出2345,,,z z z z 代入化简即可.【详解】设z a bi =+则2222z a b abi=-+()3322333z a ab a b b i =-+-()442243364z a a b b a b ab i=-++-()553244235105510z a a b ab a b a b b i=-++-+因为()()()2222212z z a a b ab b i a a b ab b i-=--+-=--+-()1a a -可以被2整除，当b 为奇数时()21a a b --不能被2整除，故排除A.因为()3322333z z a a ab a b b b i -=--+--，由费马小定理得3a a -能被3整除，故B 对.4z z -的实部为42246a a b b a -+-，当,a b 为奇数时42246a a b b a -+-也为奇数，故不能被4整除，C 排除.5z z -的实部为5324105a a a b ab --+，由费马小定理5a a -能被5整除，故5324105a a a b ab --+能被5整除，故D 对.三、填空题9．（2018·辽宁·高三竞赛）设a 、b均为实数，复数11)i z b =-+与2z 2bi =-+的模长相等，且12z z 为纯虚数，则a +b=_____.1【详解】由题设知121z z =，且1122z z z z =为纯虚数，故12z i z =±.因此1,2.b b ⎧-=-⎪=-或1,2.b b ⎧-=-⎪=-解得12a b ==或12a b +==，故1a b +±.10．（2019·全国·高三竞赛）已知虚数1z 、2z满足12z z -=，2110z z q ++=，2220z z q ++=.则实数q =______.【答案】1【详解】由12z z -=，知12z z ≠.又由方程解的定义知，1z 、2z 是二次方程20x x q ++=的两个虚根，则有140q ∆=-<.解方程得1,2z =于是，12z z -=.解得1q =.11．（2022·广西·高二统考竞赛）若复数z 满足i =1+i zz z -，则z 的虚部为______．【答案】0或1【详解】设z a b =+i,则z a b =-i.设()()()i i i i 1i a b a b a b +---=+，22i 1i a b b a ⇒+--=+，21,0a b b ⇒=--=，0b ⇒=或1，12．（2019·全国·高三竞赛）复平面上动点cos sin 23,,,cos sin cos sin 4Z k k R Z θθπθθπθθθθ-⎛⎫⎛⎫∈≠+∈ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭的轨迹方程为______.【答案】2212y x -=【详解】注意到221sin24,1sin21sin2x y θθθ-==++，则2212y x -=.13．（2020·江苏·高三竞赛）已知复数z 满足1z =的最大值为__________．【答案】3【详解】解析：由题意可得22221z ===-，则()11z z -=-表示复平面上点Z到(1,的距离．如图所示，(1,C ，由此可得13ZC ≤≤的最大值为3．14．（2019·全国·高三竞赛）设()201020102010kkk k k k f x x a x i b x ==⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑，其中，,0,1,,2010k k a b R k ∈= 、．则()670330k k k a b =+=∑____________．【答案】100423-⨯【详解】注意到()20102010201033320101xxx i i k kk f x x e e x Cx e--=⎛⎫⎛⎫=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，所以670300k k b ==∑，且20102010201020102670210041004333663001110132333j i i i i i kk j a f e e e e e πππππ⋅--==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥==++++=+=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑.15．（2019·全国·高三竞赛）设k 是复数,关于x 的一元二次方程2102x kx +-=的两个复数根为12x x 、.若3122x x k +=,则k =_____.【答案】0或32i 或32i-【详解】因为222102x kx +-=，所以，32222102x kx x +-=.从而，3222212x kx x =-+221122k kx x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭22122k k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.代入3122x x k +=，得()21221x k x k k++-=()22222230k k x k kx k ⇒-+=⇒-=0k ⇒=或232x k=（当0k ≠时）.当0k ≠时，把232x k=代入222102x kx +-=，得29310422k +-=.解得32k i =±.综上所述，0k =或32i ±.16．（2021·浙江·高二竞赛）设复数i z x y =+的实虚部x ，y 所形成的点(),x y 在椭圆221916x y+=上.若1i i z z ---为实数，则复数z =______.i或i +.【详解】由1i 11i (1)i z z x y --=--+-，所以1y =，则4x =±，所以i z或i z =.17．（2022·福建·高二统考竞赛）已知复数1z ､2z 在复平面上对应的点分别为A ､B ，且12z =，221122240z z z z -+=，O 为坐标原点，则△OAB 的周长为___________.【答案】【详解】由221122240z z z z -+=，得21122240z zz z ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，所以12=1z z ±，所以()12=1z z，()122=1=2z z z ±，又12z =，所以21z =，()12222=1==z z z z --，所以△OAB的周长为18．（2019·全国·高三竞赛）已知正实数a b 、满足()22253a b b +=>，复数u v w 、、满足,3w a bi u w v =+-=，若1v =，那么，当u 的辐角主值最小时，uw的值为______．【答案】16122525i -【详解】由1v =，知33u w v -==,于是，在复平面上，u 对应的点P 在以w 对应的点M 为圆心、3为半径的圆C 上,当u 的辐角主值最小时，OP 与圆C 相切，而5OM =，3PM =，则4OP =,于是，54w u =,而wu 的辐角主值POM θ=∠，又4cos 5θ=，3sin 5θ=，于是，543314554w i i u ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,因此，16122525u i w =-.19．（2019·全国·高三竞赛）复数列01,,z z ⋅⋅⋅满足01z =，1nn niz z z +=.若20111z =，则0z 可以有_______种取值.【答案】20112【详解】显然，对任意的非负整数n 均有1n z =.设[)()0,2n i n o z e θθπ=∈.则12122n n ni i n n i ee e πθθθπθθ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭+-=⇒=+1022222n n n πππθθθ+⎛⎫⎛⎫⇒+=+=⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由20111z =，得()20112k k Z θπ=∈，即201102222k ππθπ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.由[)00,2θπ∈，得2010201022252k ππππ≤+<⨯20112011200920092152125244k k -⨯-⇒≤<⇒≤<⨯.因此，满足条件的n z 共有2009200920115222⨯-=（个）.20．（2021·浙江·高三竞赛）复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z -=()()10101221z z z z +=______.【答案】203【详解】如图所示，设12,z z 在复平面内对应的点分别为12,Z Z ,由已知得12123,OZ OZ Z Z ==-=由余弦定理得向量12,OZ OZ 所成的角为2π3,不妨设()12223cos sin ,3cos sin 33z i z i ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()()12223cos sin ,3cossin 33z i z i ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12229cos sin 33z z i ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1222 9cos sin 33z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()10201220203cos sin 33z z i ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()1020122020 3cos sin 33z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()()1010202020121220232cos 32cos 333z z z ππ+=⨯⨯=⨯⨯=,()()10102012123z z z z +=.21．（2021·全国·高三竞赛）设复数1z ､2z ､3z 满足1232z z z ===，则122331123z z z z z z z z z ++=++___________.【答案】2【详解】解析：1231231213112312312313123111124t z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭==⋅⋅=++++++.22．（2021·北京·高三强基计划）已知复数z 满足1111011110111,z z z z z z z ---=+-=+-，则满足条件的z 有_________个．【答案】1【分析】将题设中的方程化为()()1011(1)110z z z ---=，再根据10，11均与111互质可得满足条件的z 的个数.【详解】根据题意，有()()101101(1)(1)11z z z z z z ------=---，于是()()()10110(1)111z z z z ----=--，因此()()111010(1)1(1)1z z z z z --=--，从而()()1011(1)110z z z ---=，注意到10，11均与111互质，因此满足条件的z 只有1个，为1z =．23．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x 、y满足151,411x y x y ⎫+=⎪+⎭⎫-=-⎪+⎭，则x =__________．【答案】116u v ==，则原方程组222222221514115311i 411u u v u v u v u v v u v ⎧⎛⎫+= ⎪⎪+⎝⎭-⎪⎛⎫⎛⎫⇔++-=⎨⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪-=- ⎪+⎝⎭⎩22i 1i u v u v z v v z -⇔++=+=+i z u v =+）1z ⇔=-（舍）或113,41616z x y +=⇒==．四、解答题24．（2018·全国·高三竞赛）已知()()cos cos cos sin sin sin cos sin x y z x y za x y z x y z ++++==++++求()()()cos cos cos y z z x x y +++++的值.【答案】0【详解】令S x y z =++.又cos sin ix e x i x =+,cos sin iy e y i y =+，cos sin iz e z i z =+.则()()()()cos cos cos sin sin sin cos sin ix iy iz e e e x y z i x y z a x y z ia x y z ++=+++++=+++++()i x y z iS ae ae ++==.同理,ix iy iz iS e e e ae ----++=.故()()()()()()()()i y z i z x i x y i S x i S y i S z iS ix iy iz iS iS iS iS ee e e e e e e e e e ae ae a+++--------++=++=++===则()()()()()()cos cos cos sin sin sin x y x z y z i x y x z y z a ⎡⎤⎡⎤+++++++++++=⎣⎦⎣⎦.所以,()()()cos cos cos x y x z y z a +++++=且()()()sin sin sin 0x y x z y z +++++=.25．（2019·全国·高三竞赛）已知a 、b 、c 是互不相等的复数，满足0abc ≠，a b b c c aa b b c c a+++==---.求证：200720072007a b c ==.【详解】由已知条件知，复数a 、b 、c 两两不等，且皆不为0.对题中比例式用合比、分比可得a b c b c a==.设1a b ck b c a===≠，则c ak =，2b ak =，3a ak =.但0a ≠，故31k =（但1k ≠），有()2007200720072007cak a k ==︒()66920073669200732007a k a k a ⨯===.同理，20072007ba =.因此，200720072007ab c ==.26．（2019·全国·高三竞赛）设21i =-．证明：112cot cot n k k i n n ππ-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∏为纯虚数．【详解】首先证明：若21i =-，则()()11cot2n n n k k i x x i x i n nπ-=⎛⎫⎡⎤-=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭∏①令()()()2n ni P x x i x i n ⎡⎤=--+⎣⎦.则()P x 是一个1n -次多项式，其首项系数为()1112n n i C i C n⎡⎤--=⎣⎦.又当()cot11k x k n nπ=≤≤-时，()cot nnk x i i n π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭csc cos sin nnk k k i n n n πππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭csc cos sin knn k i n n n πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()csc 1nk k n π⎛⎫=- ⎪⎝⎭csc cos sin nnk k k i n n n πππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()nx i =-.所以，cot0k P n π⎛⎫= ⎪⎝⎭.由因式定理得()11cot n k k P x x n π-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∏.在式①中令2cotx i nπ=+.则112cot cot n k k i n n ππ-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∏2cot 2cot 22n ni i n n n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12i cot cot i n n n n n n ππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12csc nn i n n π-⎛⎫= ⎪⎝⎭.cos cos sin n m i n n n πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()12csc csc cos sin nnn i i n n n ππππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12csc cos 1nn n i n n n ππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12cot csc nnn i n n n ππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.命题获证.27．（2021·全国·高三竞赛）设,[0,2)a θπ∈∈R ，复数123cos isin ,sin i cos ,(1i)z z z a θθθθ=+=+=-.求所有的(,)a θ，使得1z ､2z ､3z 依次成等比数列.【详解】因为2132z z z =，所以：()()2(1)cos i sin sin i cos a i θθθθ-+=+，整理得：()()22cos sin sin cos i sin cos 2isin cos a a θθθθθθθθ++-=-+，所以(cos sin )(cos sin )(sin cos ),(sin cos )2sin cos .a a θθθθθθθθθθ+=+-⎧⎨-=⎩（1）3cos sin 04πθθθ+=⇒=或74π，34πθ=时，代入得2a =-；74πθ=时，代入得a =（2）若cos sin 0θθ+≠，则有：22(sin cos )2sin cos tan 4tan 10θθθθθθ-=⇒-+=，故tan 2θ=θ的值为12π或512π或1312π或1712π，对于的a分别为2-2-，故所有的(,)a θ为：5313177,,,2122122421221224ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.28．（2019·全国·高三竞赛）设{}1,2,,X p =，其中p 为质数．对X 的一个子集A ，如果A 中所有元素的和（空集的元素和规定为0）为p 的倍数，则称A 是X 的一个“倍子集”．试求X 的所有倍子集的个数S ．【答案】()2,21222,.pp S p p p =⎧⎪=⎨+-⎪⎩；为奇质数【详解】当2p =时，{}1,2X =，此时，X 有2个倍子集：∅、{}2，所以，2S =.当2p >时，p 为奇质数，令()()()()22012111p mm f x x x x a a x a x a x=+++=++++ 考察{}1,2,,X p =的元素和为t 的所有子集的个数.当0t >时，它就是不定方程12r i i i t +++= 的正整数解()()1212,,,,r r r i i i i i i <<< 的个数，也就是()f x 的展开式中t x 的系数t a ；当0t =时，其和为t 的子集只有空集，子集的个数为01a =.所以，X 的所有倍子集的个数，就是()f x 的展开式中那些次数为p 的倍数的项的系数和，即02p p S a a a =+++.设22cossin i p pππω=+.当n 是p 的倍数时，()121p n n n p ωωω-++++= ；当n 不是p 的倍数时，有()()121101pn p n n n nωωωωω--++++==-.于是，由()2012mm f x a a x a x a x =++++ ，得()()()()211f f f f ωωω-++++ 2242012012012m mm m m a a a a a a a a a a a a ωωωωωω=++++++++++++++()()2111012p m p p m a a a a ωωω---+++++⋯+ ()02p p p a a a pS =+++= .又()()()()2111p f x x x x =+++ ，则()()()()211p f f f f ωωω-++++=p 112+()p k k f ω-=∑其中，()()()()2111k k k pkf ωωωω=+++ .注意到当1,2,,1k p =- 时，(),1k p =，所以，,2,,k k pk 是模p 的完系.而1pr t ωω+=，则2,,,k k pk ωωω 是2,,,p ωωω的一个排列.故()()()()2111k p f ωωωω=+++ ，1,2,,1k p =- .又()()()21p p x x x x ωωω-=--- ，而p 为奇数，取1x =-，得()()()21112pωωω+++= .故()()()()21112k pf ωωωω=+++= ，1,2,,1k p =- .则()()()()211p f f f f ωωω-++++ 1111=2()2222(1)p p k p p pk k f p ω--==+=+=+-∑∑比较两式的右边得()221ppS p =+-.故()1222pS p p=+-，2p >.综上，()p2,2122p 2,.p p S p =⎧⎪=⎨+-⎪⎩；为奇质数29．（2021·全国·高三竞赛）设122020,,,z z z 和122020,,,w w w 为两组复数，满足：202020202211i i i i z w ==>∑∑．求证：存在数组()122020,,,εεε （其中{1,1}i ε∈-），使得2020202011i iiii i zwεε==>∑∑．【详解】用()()1212,,,,,,n n f εεεεεε∑表示对所有数组()12,,,nεεε 的求和，下面用数学归纳证明如下的等式：()12221122,,,12n nn n n ii z z z z εεεεεε=+++=∑∑ ①(1)当1n =时，①式显然成立；当2n =时，()()()()()()222212121212121211221222z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++-=+++--=+=+，即①式成立．（2）假设n k =时，①式成立，则1n k =+时，我们有()1212112211,,,k k k z z z εεεεεε+++⋅⋅⋅+++∑ ()()12221122111221,,,k k k k k k k z z z z z z z z εεεεεεεεε++⋅⋅⋅=++++++++-∑()()122211221,,2k k k k z z z z εεεεεε+⋅⋅⋅⋅=++++∑1221111222k k k k i n i i i z z z +++==⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，即1n k =+时①式成立．由（1）（2）可得：()12221122,,,12,n nnn n i i z z z z n εεεεεε+⋅⋅⋅=+++=∈∑∑N ．回到原题，由202020202211i ii i z w==>∑∑，可得2020202022202020201122iii i zw==>∑∑，即()()12202012202022112220202020112220202020,,,,,,z z z w w w εεεεεεεεεεεε⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++>+++∑∑，所以存在数组()122020,,εεε （其中{1,1}i ε∈-，使得222020202011i ii ii i zwεε==>∑∑，即2020202011i iiii i zwεε==>∑∑．30．（2021·全国·高三竞赛）设{}n a 、{}n x 是无穷复数数列，满足对任意正整数n ，关于x 的方程210n n x a x a +-+=的两个复根恰为n x 、1n x +（当两根相等时1n n x x +=）．若数列{}n x 恒为常数，证明：（1）2n x ≤；（2）数列{}n a 恒为常数．【分析】（1）根据题意和韦达定理可得()211n n n x x x ++=-，取模得211n n n x x x ++=-，若0n x =，结论2n x ≤显然成立，否则，由于数列{}n x 恒为常数，则11n x -=，即结论也成立；（2）由（1）和题意知，数列{}n x 恒为常数，则n x 只有互为共轭的两种取值，不妨设为ε和ε，依据题意即可证明.【详解】由题意和韦达定理得,111,.n n n n n n x x a x x a ++++=⎧⎨=⎩则1112n n n n n x x a x x ++++==+，即()21111n n n n n n x x x x x x ++++=-=-．①（1）由①取模得211n n n x x x ++=-，若0n x =，结论2n x ≤显然成立；否则，由于数列{}n x 恒为常数，则11n x -=，即有112n n x x ≤-+=．（2）由（1）知，对任意的,11n n x +∈-=N ，又数列{}n x 恒为常数，因此n x 只有互为共轭的两种取值ε和ε．若存在n +∈N ，使得1n n x x +=，不妨设1n n x x ε+==，则22{,}n x εεεε+=-∈．若2n x ε+=，则220εε-=，即0ε=或2；若2n x ε+=，则2εεε=+∈R ，且|1|1ε-=．因此，要么ε∈R ，要么{}n x 呈ε、ε周期．故显然1n n n a x x +=+是常数，即证数列{}n a 恒为常数.【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列不等式的证明，解题关键在于利用韦达定理得出()211n n n x x x ++=-，再取模，对0n x =这种特殊情形和一般情形11n x -=讨论即可证明结论成立；（2）本题主要考查常数列的证明，解题关键在于n x 的取值情况和1n n x x ε+==的假设，由（1）和题意知，数列{}n x 恒为常数，则n x 只有互为共轭的两种取值，不妨记为ε和ε，若存在n +∈N ，使得1n n x x +=，不妨设1n n x x ε+==，则22{,}n x εεεε+=-∈，对2n x +分类讨论即可证明.。
用复数法解一类轨迹问题
. 。
簇x 《亿 Z a 故点 的 轨 迹 是 第 一 象 限 角 a ) a 平 分 线 上 的 一 线 段 其 端点 为 (
`侧
丁
a
侧了时
2
:
适 当 地 建 立 复平 面
已 知点
,
. 。
,
分
例
等边 三 角 形 月 B C 的 边 长 为
,
.
1
,
当
别 用 复数 表示 动点 和 代 入 复数 件
的夕 轴
, , ,
,
以 A 尸为 一 边 作 正 三 角 形 A 尸 Q
.
例
月( 0
,
西)
在直 角 坐 标 系 上 取 一定 点 x b> o 在 轴上 任取 一 动 点 B 求 点 C的 轨
在第 一 象限 内作 正 方形 A B CD 添卞 脚 解 复平 面 为(
x
, , :
.
解 以 A 为 原 点 月 O 所 在直 线为 x 轴 二 a Op 二 几 建立 复平 面 并 设 月O , 。 (O < < ) 故 圆在直 角 坐 标 系 X O Y 中 的 口 犷 方 程为 ( x 一 ) 十; 二
过 A B 的 中点
0
,
则 向 量口B 所
c o s
M作 A B 的垂 线
在 垂线 上取 一点 P
,M尸 卜
a
,
使 点P
求点P的
对 应 的 复数为
s
s
,
与原 点在 月 B 的 异侧 且 轨迹
.
向量 O 且 所对 应的复 数为i
AB
二
解 复平 面
二
:
(完整版)复平面上的轨迹问题
复平面上的轨迹问题教学目标：了解通过复平面可以把复数与平面解析几何中的某些曲线联 系起来。
巩固复习复数的几何意义和解析几何中的求轨迹的方法。
教学重点与难点重点：复数的几何意义的应用与复平面上的轨迹的求法 难点：复数的几何意义与复平面上的轨迹的综合应用教学过程一）、知识概述：1、复数与轨迹： 复数 z x yi, x, y R 对应着复平面内的一个点（x,y ）,若复数的实部与虚部是一对变量，则它对应的点就构成了复平 面上的动点，因此复数若按某种条件变化时，则复平面上的动点自然 就构成了具有某种特征的曲线（或曲面）2、求复数的轨迹问题的核心问题：理解用复数形式表示复平面 上的两点距离 d | z 1 z 2 | 。
3、熟练掌握以下几种复数形式的基本轨迹： 设 动 点 Z 、 定 点 Z 0 、 Z 1 、 Z 2 分 别 对 应 于 复 数z,z 0,z 1,z 2,r 1 0,r 2 0,a 0 。
1、 2、3、理解并熟记常见曲线的复数方程。
4、 掌握利用复数求轨迹的几种方法。
圆：〔z Z 0 1 r ,其中「为半径，Z o 为圆心；单位圆：〔z 1「 圆面（不包括圆周）：Iz z 0 I 「。
径，左边等号成立，包括内圆周；右边等号不成立，不包括外圆周。
段的两个端点。
段乙Z2 ；当2a Iz 1 Z 2I 时，不表示任何图形）。
双曲线：IZ 召I |z Z 2 I 2a 2a I 乙z ? |，其中Z 1、化为对应双曲线的焦点，2a 为实轴长，（当2a |z 1 z 2l 时，表示两2a |z i Z 2|时，不表示任何图形）。
（二）、例题分析:R ,求z 在复平面内所对应的点的轨迹。
-R Z - Z — Z Z0 z z z zz(1) 圆环面:,其中为r i 内半径，「2为外半线段的垂直平分线：Iz Z 1I IzZ 2 I ，其中Z 1、Z 2为对应线椭圆：IZ Z 1 I IZ Z 2 I 2a ， 2aIZ 1 Z 2 I ，其中Z 1、Z 2为对 应椭圆的焦点，2a 为其长轴长（当2a 1 z i z 2 1时，表示线 条射线线段 乙Z 2的延长线及其反向延长线；当Z 2 解题提示:1Z Z （1 冷）0 Z Z 或|z| 1 Z R或|z| 1。
复平面上点的轨迹的求法
复平面上点的轨迹的求法山东 黄丽生复平面上点的轨迹问题涉及到代数、解析几何和平面几何等多方面知识，此类问题综合性强、灵活性大，具有较高的思维训练价值．本文加以归纳，供参考．一、转移法例1 已知2(i)(z a b a b =+，为实变数，且221a b +=），求复数1z zω+=在复平面内所表示的轨迹．解：由已知，可得2z =．且由1z z ω+=，得11z ω=-． 两边取模，得121z ω==-． ∴112ω-=，即所求点的轨迹为复平面上以(10)，为圆心，半径为的圆． 点评：对11z ω=-两边取模，借用2z =而得轨迹方程．当复平面内两类动点的关系可知，其中一类动点的轨迹是已知或可求的，求另一类动点的轨迹的方法称作“转移法”．二、参数法例2 设sin i(1cos )z θθ=+-，22i z z ω=-，求复数ω对应点的轨迹方程． 解：设i()x y x y ω=+∈R ，，则2i [sin i(1cos )]2i[sin i(1cos )]x y θθθθ+=+--+- (1cos 2)isin 2θθ=--，∴1cos 2sin 2x y θθ=-⎧⎨=-⎩，，消去θ得()x y ω，的轨迹方程为22(1)1x y -+=． 点评：设出复数ω的代数式，由复数相等的充要条件，列出参数方程，再化成普通方程．三、整体法例3 设复数1z 、2z 满足12120z z Az Az ++=，A 为非零复数，2z A ≠-，求12()iz A z A ω+=+的对应点的轨迹． 解：将条件12120z z Az Az ++=整理为212()()z A z A A ++=，∵0A ≠， ∴20z A +≠，∴ 212A z A z A +=+，∴22122222i 1()i ()i A A z A z A z A z A z Aω-+===++++ ， 显然222A z A +为正实数，∴ω是一个虚部为负数的纯虚数，其图象为虚轴的下半轴，即0(0)x y =<． 点评：本题用前两种方法都很困难，但注意到将条件中隐含的1z A +，2z A +整体代入，可获得简解．四、性质法例4设复数3z t =++，r ∈C ，又33t t +-是纯虚数，试求复数z 对应点的轨迹． 解：∵33t t +-是纯虚数，由纯虚数的性质，可得33033t t t t +++=--，即(3)(3)(3)(3)0(3)(3)t t t t t t +-++-=--， 化简，得2(9)0(3)(3)t t t t -=-- ，∴3t =． 又∵33t t +-是纯虚数，∴3t ≠±．由3z t =++得(3t z =-+，∴(33z t -+==．又因3t ≠±，故(33z -+≠±，∴6z ≠+或z ≠．故复数z对应的点的轨迹是复平面上以(3为圆心，半径为3的圆，但要去掉两点(6及(0．点评：本题巧用了纯虚数的性质，使题目的解题思路优化，避免了冗繁的运算．。
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复平面上的轨迹问题
一、教学目标：
1、了解通过复平面可以把复数与平面解析几何中的某些曲线联系起
来。
2、巩固复习复数的几何意义和解析几何中的求轨迹的方法。
3、理解并熟记常见曲线的复数方程。
4、掌握利用复数求轨迹的几种方法。
二、教学重点与难点重点：复数的几何意义的应用与复平面上的轨迹的求法难点：复数的几何意义与复平面上的轨迹的综合应用
三、教学过程
（一）、知识概述：
1、复数与轨迹：复数z x yi, x, y R 对应着复平面内的一个点（x,y），若复数的实部与虚部是一对变量，则它对应的点就构成了复平面上的动点，因此复数若按某种条件变化时，则复平面上的动点自然就构成了具有某种特征的曲线（或曲面）。
2、求复数的轨迹问题的核心问题：理解用复数形式表示复平面上的两点距离 d | z1 z2 | 。
3、熟练掌握以下几种复数形式的基本轨迹：
设动点Z 、定点Z0 、Z1 、Z2 分别对应于复数
z,z0,z1,z2,r1 0,r2 0,a 0 。
1）圆：|z z 0 | r,其中 r 为半径， Z 0为圆心；单位圆： |z| 1.
0 解题提示： z 1 R z zz
zz
zz
2）圆面（不包括圆周）：| z z 0 | r 。
3）圆环面： r 1 |z z 0 | r 2 r 1 r 2 ，其中为 r 1内半径， r 2为外半 径，左边等
号成立，包括内圆周；右边等号不成立，不包 括外圆周。
4）线段的垂直平分线： |z z 1| |z z 2 |，其中 z 1、z 2 为对应线 段的两个
端点。
5）椭圆：|z z 1| |z z 2| 2a ， 2a |z 1 z 2 | ，其中 z 1、 z 2为对 应椭圆的焦
点， 2a 为其长轴长（当 2a |z 1 z 2 |时，表示线 段 Z 1,Z 2；当 2a |
z 1 z 2 |时，不表示任何图形） 。
6）双曲线：|z z 1| |z z 2 | 2a 2a |z 1 z 2 | ，其中 z 1、z 2为对 应双曲线的焦
点， 2a 为实轴长，（当 2a |z 1 z 2 |时，表示两 条射线 线段 Z 1Z 2
的延长线及其反向延长线；当
2a | z 1 z 2 |时，不表示任何图形） 。
例1、 设z 1 R ，求 z 在复平面内所对应的点的轨迹 z
例题分析：
1
z z (1 2) 0 z z 或| z| 1 z R 或| z| 1。
z 2 点评分析：本题利用了整体法求复数的轨迹。
利用整体法求复数 的轨迹的思路是：运用复数的有关性质，通过复数的有关运算、化繁 为简，寻找复数形式的基本轨迹。
例2、 已知复数 z 满足argz 4 ，求复数 z 1z 在复平面内对
应点的轨迹。
解法提示：要求复数 z 1 在复平面内对应点的轨迹，可以令
z
x yi （x, y R ） ，再利用复数相等的充要条件求出 的直角坐标方程。
点评分析：本题利用了设点法求复数的轨迹。
利用设点法求复数 的轨迹的思路是：（1）先设点 z x yi （x,y R ） ，（ 2）再找出 z 满足的条 件，
（ 3）由复数相等的充要条件写出轨迹的参数方程， （ 4）消去参数 化为普通方程。
例3、 若复数 z 在以 1+i 为圆心， 1为半径的圆周上运动，问
解题分析：已知圆的方程为 |z （1 i ）| 1，由 11 i i z z 解出 z 代
入圆的方程即得关于 的方程。
点评分析：本题利用了相关点法求复数的轨迹。
iz
iz 的图形是怎样？
例4、设复数Z 满足| z 1 3i| 1。
（1）求arg z的最大值与最小值。
（2）以|OZ|为一边作正方形OZAB（按逆时针顺序），求点B 的
轨迹方程。
点评分析：此题沟通了解析几何与复数之间的内在联系，由正方形向量垂直向量旋转复数乘除法。
这是复数方法解决几何问题的常用方法。
（三）课堂总结：
1、解决复平面上的轨迹问题实质上同平面解析几何中的求轨迹问题是运用
相同的方法。
2、理解用复数形式表示复平面上的两点距离 d | z1 z2 |是运用复数求轨迹问题的关键。
四、能级层次训练题
1、满足条件| z 2i | |z 1| 5的点Z 的轨迹是（）
A 椭圆
B 直线
C 线段
D 圆
2、设|z （1 3i）| 2，且0 argz 3，则复数z 在复平面内对应
区域的面积是 _________________________ .
3、已知复数的模为2，则的最大值为（）
A 1
B 2
C 5
D 3
4、表示点Z 的复数满足不等式z z iz i z 0 ，求arg z i 的最大值与最小
值。
5、正方形ABCD 的一边AB 在直线y x 4上，C、D 在抛物线y2 x 上，求正方形ABCD 的面积。