第04章_留数定理
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j 1
n
称为留数定理。
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第4章 留数定理
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留数定理：设函数f(z)在回路l所围区域B上除去有限个孤 立奇点b1, b2 , b3 , …., bn 以外解析，在闭区域 B 上除去b1, b2 , b3 , …., bn 以外连续，则
洛必达法则
P ( z ) lim [( z z0 ) P ( z )]' P ( z0 ) Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) z z0 z z0 Q '( z0 ) Q '( z ) Q ( z )
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第4章 留数定理
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f(z)的洛朗展开应为 (2) 若z0为f(z)的m阶极点 am am1 a1 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) m m1 z z0 ( z z0 ) ( z z0 ) 用(z-z0)m遍乘各项
(z z0 )m f (z) am am1(z z0 ) a1(z z0 )m1 a0 (z z0 )m
z z0
2. 计算极点的留数 ( z z0 ) f ( z ) (1) 若z0为f(z)的单极点 Resf ( z0 ) lim z z
0
P ( z ) P ( z0 ) Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) z z0 Q( z ) Q '( z0 ) (2) 若z0为f(z)的m阶极点 1 d m1 m Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z ) m 1 z z0 ( m 1)! dz
l
f ( z )dz 2πiResf ( z0 )
a1 Resf ( z0 )
(3) 若l所围区域有f(z)的n个奇点b1, b2 , b3 , …., bn ，则作 回路l1, l2, l3, …., ln 分别对应包围b1, b2 , b3 , …., bn ，根据 复连通区域的Cauchy定理，有
l
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l1 l2 l3 ln
b2
l2
b3
2πi[Resf (b1) Resf (b2) Resf (b3) Resf (bn )]
l3
b1
l1
l
2π i Resf (b j )
Resf (1) lim ( z 1) f ( z )
z 1
1 lim ( z 1) n z 1 z 1
1 1 1 lim n1 lim n z 1 ( z 1)' n z 1 nz
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1 1 i lim ( z 2i) f ( z ) lim 3 z 2i z 2i z 8i 8
i z0 2i是f ( z )的单极点，留数就是 8
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第4章 留数定理
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第4章 留数定理
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第4章 留数定理
§4.1 留数定理 §4.2 利用留数定理计算实变函数定积分
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第4章 留数定理
2
§4.1 留数定理(Residue Theorem) 考虑回路积分
l
f ( z )dz
l
f ( z )dz f ( z )dz
l0
z0
l0
l
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l
l
f ( z )dz f ( z )dz
l0
l0
f ( z)
将洛朗展开代入右端，逐项积分，得
z z0 m lim ( z z ) f ( z) 0 非零有限值 a m Resf ( z0 )
f(z)在m阶极点z0的留数a-1 = Resf(z0)是(z-z0)m-1项的系数， 该系数可以通过对(z-z0)mf(z)求m-1阶导数求得，
m 1 1 d m z z f z Resf ( z0 ) lim ( ) ( ) 0 m 1 z z0 ( m 1)! dz
14
1 (2) lim f ( z ) lim 3 z0 0也是f ( z )的极点。 z z0 z 0 z ( z 2i)
1 1 lim z f ( z) lim z 0 z 0 z 2i 2i
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b3
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f(z)的洛朗展开应为 (1) 若z0为f(z)的单极点 a1 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 z z0 用(z-z0)遍乘各项
z 2i z 2i 1 z 2i 3 3 f ( z) 5 3 2 3 z 4z z ( z 4) z ( z 2i)( z 2i) z ( z 2i)
1 (1) lim f ( z ) lim 3 z0 2i是f ( z )的极点。 z z0 z 2i z ( z 2i)
为0/0型极限，利用洛必达法则，
( z nπ)' 1 n lim (1) lim ( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z nπ (sin z ) ' z nπ cos z
(1) n 为非零有限值，因此，z0 nπ是f ( z )的单极点，
n 的留数就是 f ( z )在单极点z0 nπ (1) 。
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例4：确定函数 f ( z ) ( z 2i) / ( z 5 4 z 3 ) 的极点，并求出 函数在这些极点的留数。 先对分母进行因式分解，并与分子约去公因式，得 解：
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例3：确定函数 f ( z ) 1/ sin z 的极点，并求出函数在这些 极点的留数。
1 解： lim f ( z ) lim z nπ z nπ sin z
z0 nπ是f ( z )的极点。
z nπ lim ( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z nπ sin z
k
k a ( z z ) k 0
f ( z )dz
k
k a ( z z ) k 0 dz
根据不定积分的重要结果： 0, (l不包围 ) 1 1 dz , (n 1) 2π i l z 1, (l包围 ) 1 n ( ) dz 0, (n 1) z 2π i l 上式右边除去k=-1的一项之外全为零， 而k=-1的一项的积分等于2πi，
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小结 1. 判断极点的阶 lim ( z z0 ) f ( z ) 非零有限值 z0为一阶极点
z z0 m lim ( z z ) f ( z) 0 非零有限值 z0为m阶极点
2
( z z0 ) f ( z ) a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
z z0
lim ( z z0 ) f ( z ) 非零有限值 a1 Resf ( z0 )
P( z ) , P( z )和Q( z )都在z0解析, z0是Q ( z )的一阶零点。 若f ( z ) Q( z ) P( z0 ) 0, 从而z0是f ( z )的一阶极点,
(1) 若l所围区域f(z)解析，由单连通区域的Cauchy定理，
l
f ( z )dz 0
(2) 若l所围区域只有f(z)的一个奇点z0，则可在以z0为圆心 而内半径为零的圆环域上将f(z)展开为洛朗级数：
f ( z)
k
a (z z )
k 0
k
在洛朗级数的收敛环中，任取一个紧紧 包围着z0的小回路l0，由复连通区域的 Cauchy定理，
z0
l
f ( z )dz 2πia1
l0
l
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可见，在洛朗级数中，(z-z0)-1项的系数a-1特别重要，称为 函数f(z)在奇点z0的留数(残数)，记作 Resf ( z0 ) ，因此
z-1的系数a-1即为留数 Resf (0) 1
1 z
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例2：求 f ( z ) 1 / ( z n 1) 在z0=1的留数Resf(1)
1 解： lim f ( z ) lim n z0 1是f ( z )的极点。 z z0 z 1 z 1 1 1 或者f ( z ) n = z 1 ( z 1)( z n 1 z n2 z 1)
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1 z
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例1：求 f ( z ) e 在z0=0的留数Resf(0) 解： 利用e1/z在z0=0邻域上的洛朗级数展开式
1 1 k 11 1 1 1 1 1 , ( ) e ( ) 1 2 3 z 1! z 2! z 3! z k 0 k ! z
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例2：求 f ( z ) 1 / ( z n 1) 在z0=1的留数Resf(1) 另解：
P ( z ) P ( z0 ) Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z ) lim ( z z0 ) z z0 z z0 Q( z ) Q '( z0 )
l
f ( z )dz 2 π i Resf (b j )
j 1
n
函数f(z)的回路积分归结为回路内所围各奇点的留数之和。 留数的计算：若能在以奇点为圆心的圆 环域上将函数展开为洛朗级数，取它的 -1次幂的系数即可。但是求展开式比较 麻烦。能否不展开而直接求留数？ 对于极点，是可以的。如何求a-1 = Resf(z0)？
可见z0 1是f ( z )的单极点。
Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
1 lim ( z 1) n 1 n2 z 1 ( 1)( 1) z z z z 1 n
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n
称为留数定理。
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留数定理：设函数f(z)在回路l所围区域B上除去有限个孤 立奇点b1, b2 , b3 , …., bn 以外解析，在闭区域 B 上除去b1, b2 , b3 , …., bn 以外连续，则
洛必达法则
P ( z ) lim [( z z0 ) P ( z )]' P ( z0 ) Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) z z0 z z0 Q '( z0 ) Q '( z ) Q ( z )
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f(z)的洛朗展开应为 (2) 若z0为f(z)的m阶极点 am am1 a1 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) m m1 z z0 ( z z0 ) ( z z0 ) 用(z-z0)m遍乘各项
(z z0 )m f (z) am am1(z z0 ) a1(z z0 )m1 a0 (z z0 )m
z z0
2. 计算极点的留数 ( z z0 ) f ( z ) (1) 若z0为f(z)的单极点 Resf ( z0 ) lim z z
0
P ( z ) P ( z0 ) Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) z z0 Q( z ) Q '( z0 ) (2) 若z0为f(z)的m阶极点 1 d m1 m Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z ) m 1 z z0 ( m 1)! dz
l
f ( z )dz 2πiResf ( z0 )
a1 Resf ( z0 )
(3) 若l所围区域有f(z)的n个奇点b1, b2 , b3 , …., bn ，则作 回路l1, l2, l3, …., ln 分别对应包围b1, b2 , b3 , …., bn ，根据 复连通区域的Cauchy定理，有
l
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l1 l2 l3 ln
b2
l2
b3
2πi[Resf (b1) Resf (b2) Resf (b3) Resf (bn )]
l3
b1
l1
l
2π i Resf (b j )
Resf (1) lim ( z 1) f ( z )
z 1
1 lim ( z 1) n z 1 z 1
1 1 1 lim n1 lim n z 1 ( z 1)' n z 1 nz
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1 1 i lim ( z 2i) f ( z ) lim 3 z 2i z 2i z 8i 8
i z0 2i是f ( z )的单极点，留数就是 8
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§4.1 留数定理 §4.2 利用留数定理计算实变函数定积分
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§4.1 留数定理(Residue Theorem) 考虑回路积分
l
f ( z )dz
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f ( z )dz f ( z )dz
l0
z0
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l
l
f ( z )dz f ( z )dz
l0
l0
f ( z)
将洛朗展开代入右端，逐项积分，得
z z0 m lim ( z z ) f ( z) 0 非零有限值 a m Resf ( z0 )
f(z)在m阶极点z0的留数a-1 = Resf(z0)是(z-z0)m-1项的系数， 该系数可以通过对(z-z0)mf(z)求m-1阶导数求得，
m 1 1 d m z z f z Resf ( z0 ) lim ( ) ( ) 0 m 1 z z0 ( m 1)! dz
14
1 (2) lim f ( z ) lim 3 z0 0也是f ( z )的极点。 z z0 z 0 z ( z 2i)
1 1 lim z f ( z) lim z 0 z 0 z 2i 2i
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f(z)的洛朗展开应为 (1) 若z0为f(z)的单极点 a1 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 ) 2 z z0 用(z-z0)遍乘各项
z 2i z 2i 1 z 2i 3 3 f ( z) 5 3 2 3 z 4z z ( z 4) z ( z 2i)( z 2i) z ( z 2i)
1 (1) lim f ( z ) lim 3 z0 2i是f ( z )的极点。 z z0 z 2i z ( z 2i)
为0/0型极限，利用洛必达法则，
( z nπ)' 1 n lim (1) lim ( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z nπ (sin z ) ' z nπ cos z
(1) n 为非零有限值，因此，z0 nπ是f ( z )的单极点，
n 的留数就是 f ( z )在单极点z0 nπ (1) 。
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例4：确定函数 f ( z ) ( z 2i) / ( z 5 4 z 3 ) 的极点，并求出 函数在这些极点的留数。 先对分母进行因式分解，并与分子约去公因式，得 解：
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例3：确定函数 f ( z ) 1/ sin z 的极点，并求出函数在这些 极点的留数。
1 解： lim f ( z ) lim z nπ z nπ sin z
z0 nπ是f ( z )的极点。
z nπ lim ( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z nπ sin z
k
k a ( z z ) k 0
f ( z )dz
k
k a ( z z ) k 0 dz
根据不定积分的重要结果： 0, (l不包围 ) 1 1 dz , (n 1) 2π i l z 1, (l包围 ) 1 n ( ) dz 0, (n 1) z 2π i l 上式右边除去k=-1的一项之外全为零， 而k=-1的一项的积分等于2πi，
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小结 1. 判断极点的阶 lim ( z z0 ) f ( z ) 非零有限值 z0为一阶极点
z z0 m lim ( z z ) f ( z) 0 非零有限值 z0为m阶极点
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( z z0 ) f ( z ) a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
z z0
lim ( z z0 ) f ( z ) 非零有限值 a1 Resf ( z0 )
P( z ) , P( z )和Q( z )都在z0解析, z0是Q ( z )的一阶零点。 若f ( z ) Q( z ) P( z0 ) 0, 从而z0是f ( z )的一阶极点,
(1) 若l所围区域f(z)解析，由单连通区域的Cauchy定理，
l
f ( z )dz 0
(2) 若l所围区域只有f(z)的一个奇点z0，则可在以z0为圆心 而内半径为零的圆环域上将f(z)展开为洛朗级数：
f ( z)
k
a (z z )
k 0
k
在洛朗级数的收敛环中，任取一个紧紧 包围着z0的小回路l0，由复连通区域的 Cauchy定理，
z0
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f ( z )dz 2πia1
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可见，在洛朗级数中，(z-z0)-1项的系数a-1特别重要，称为 函数f(z)在奇点z0的留数(残数)，记作 Resf ( z0 ) ，因此
z-1的系数a-1即为留数 Resf (0) 1
1 z
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例2：求 f ( z ) 1 / ( z n 1) 在z0=1的留数Resf(1)
1 解： lim f ( z ) lim n z0 1是f ( z )的极点。 z z0 z 1 z 1 1 1 或者f ( z ) n = z 1 ( z 1)( z n 1 z n2 z 1)
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1 z
第4章 留数定理
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例1：求 f ( z ) e 在z0=0的留数Resf(0) 解： 利用e1/z在z0=0邻域上的洛朗级数展开式
1 1 k 11 1 1 1 1 1 , ( ) e ( ) 1 2 3 z 1! z 2! z 3! z k 0 k ! z
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例2：求 f ( z ) 1 / ( z n 1) 在z0=1的留数Resf(1) 另解：
P ( z ) P ( z0 ) Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z ) lim ( z z0 ) z z0 z z0 Q( z ) Q '( z0 )
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f ( z )dz 2 π i Resf (b j )
j 1
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函数f(z)的回路积分归结为回路内所围各奇点的留数之和。 留数的计算：若能在以奇点为圆心的圆 环域上将函数展开为洛朗级数，取它的 -1次幂的系数即可。但是求展开式比较 麻烦。能否不展开而直接求留数？ 对于极点，是可以的。如何求a-1 = Resf(z0)？
可见z0 1是f ( z )的单极点。
Resf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
1 lim ( z 1) n 1 n2 z 1 ( 1)( 1) z z z z 1 n
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