基于向量误差修正模型的两区制门限协整检验

基于向量误差修正模型的两区制门限协整检验摘要这篇论文检验了一个具有单协整向量的两区制向量误差修正模型以及误差修正中的门限效应。

我们采用了一个相关的单一算法，能够给出二元情况下完全门限协整模型的最大似然估计。

我们对门限采用SupLM方法进行检验。

我们派生出一个空渐近分布，演示模拟临界值的方式，以及给出一个bootstrap近似。

我们研究了使用蒙特卡洛模拟的检验的有效性，发现这种检验方式十分有效。

通过使用这样的方法对利率期限结构模型的研究，我们发现，存在着非常强的门限效应。

I．引言门限协整是由Balke和Fomby（1997）提出的用于研究非线性协整关系的可行的工具。

特别值得注意的是，这个模型允许长期均衡的非线性调整。

这个模型被广泛应用：Balke and Wohar（1998）、Lo and Zivot（2001）、Martens et al （1998）、Michael et al（1997）、O’Connell（1998）、O’Connell and Wei（1997）、Obstfeld and Taylor（1997）以及Taylor（2001）、Lo and Zivot（2001）对这些方法展开了广泛的回顾。

这一系列模型最重要的统计问题在于检验门限效应的存在性（空的线性？）。

Balke和Fomby（1997）建议采用Hansen（1996）和Tsay（1989）用来检验误差修正（协整残差）的单因素检验方法。

众所周知，在协整向量已知的情况下这种检验方法是有效的，但是Balke-Fomby并没有对将此方法用于估计的协整向量的情况的检验做出理论上的说明。

Lo和Zivot（2001）将Balke和Fomby的方法扩展到了具有已知协整向量的多元门限协整模型，采用了Tsay（1998）以及Hansen（1996）对多元扩展模型的检验方法。

在本文中，我们将把这些方法扩展到检验未知协整向量的情况中。

正如Balk-Fomby所研究的，我们的模型是一个具有单协整向量以及误差修正中存在门限效应的向量误差修正模型（VECM）。

然而，与Balke-Fomby只关注于单变量估计以及检验方法不同，我们的估计与检验将关注于完全多变量门限模型。

事实上，将误差修正作为门限变量并不是本文分析的必要条件，我们这里所讨论的方法能够非常简单的合并到其他模型中，只要这些模型中的门限变量是前定变量的固定的变形形式。

本文有两点贡献。

第一，我们提出了一个采用最大似然估计方法估计门限模型的方法。

这种算法包含了一个搜索门限以及协整向量的联合网络结构。

这个算法在二元情况下非常容易实现，但是在更高纬度的情况下却可能非常困难。

此外，正因为如此，我们无法提供对于一致性以及最大似然估计分布理论上的证明。

第二，我们发展出一个检验门限效应的方法。

原假设不存在门限效应，所以模型简化为一个常规的线性VECM。

在此原假设下的估计非常容易，简化为一个常规的降秩回归。

这就表明其检验可以基于拉格朗日乘子（LM）准侧，只要求在原假设下进行估计。

由于门限参数并非在原假设下决定，我们在SupLM检验的基础上进行扩展推论（参照Davies（1987）、Andrews（1993）以及Andrews and Ploberger（1994）对这种检验思路的动机以及理由）。

我们的检验采用了与Seo（1998）为了检验误差修正模型中结构变异所派生出来的方法所具有的相似的代数形式。

我们派生出SupLM检验的渐近原分布，发现它与Hansen（1996）用来平稳数据进行门限检验的形式一致。

一般来说，渐近分布基于数据的协方差结构，预先排除制表。

我们建议采用Hansen（1996，2000b）的平稳回归元bootstrap 方法，或者参数残差bootstrap算法，来近似样本的分布。

Section2将介绍门限模型以及从Gaussian quasi-MLE方法中派生出来的用于检验该模型的方法。

Section3将采用LM检验方法检验门限协整以及它的渐近分布，并给出两种计算P值的方法。

Section4将给出一个关于该检验的大小以及有效性的模拟结果。

Section5给出一个在利率期限结构上的应用。

渐近分布理论的证明将在附录中给出。

本文估计、检验的Gauss程序以及本文中主要工作的副本发布在/~bhansen.2．估计2.1.线性协整设x t为一个p维一阶单整时间序列，具有一个p×1维的协整向量β。

用w tβ=β′x t表示0阶单整的误差修正序列。

那么一个滞后l+1阶的线性VECM 模型可以简洁的写成：△x t=A′X t−1β+u t（1）其中，X t−1β=1 w t−1β△x t−1△x t−2⋮△x t−l回归元X t−1β为一个k×1阶列向量，A为一个k×p阶矩阵，其中k=pl+2。

误差项u t为一个具有有限协方差矩阵Σ=E u t u t′鞅差序列（MDS）向量。

符号w t−1β和X t−1β代表对β的一般估计值。

当估计β真实值时，我们将分别将其表示为w t−1和X t−1。

我们需要对β做一些标准化处理以使其能够呗识别。

由于仅仅存在一个协整向量，那么就可以比较简单的将β中的一个元素设为1，在系统是双变量（p=2）的情况下不会造成任何优度损失，而在多变量（p>2）的情况下，也只是施加了在协整关系中增加了一个相关系数元素x t的一个约束。

参数 β，A，Σ 的估计采用最大似然估计的方法，并假设误差项u t服从高斯分布（对β做一些标准化处理）。

估计结果记为 β，A，Σ，回归残差向量为u t=△x t−A‘X t−1 β。

2.2.门限协整对模型（1）进行扩展为一个两区制门限协整模型：△x t=A1′X t−1β+u t if w t−1β≤γA2′X t−1β+u t if w t−1β>γ其中，γ为门限参数。

可以简化为如下形式：△x t=A1′X t−1βd1tβ,γ+A2′X t−1βd2tβ,γ+u t(2) 其中，d1tβ,γ=1w t−1β≤γd2tβ,γ=1w t−1β>γ1∙为一个条件状态函数。

门限模型（2）存在两区制，有误差修正的值决定。

系数矩阵A1和A2决定了区制机制。

模型（2）允许所有系数才两区制之间转换（除了协整向量β）。

在许多的例子中，通过仅允许个别系数在不同区制间能够变换，可以大大的简化模型。

这些是模型（2）的特殊形式，对 A1，A2施加了约束。

例如，仅允许常数项以及误差修正参数w t−1可以变动，施加约束使滞后的△x t−j在区制转移时保持不变。

门限效应只有当0<P w t−1≤γ<1是才存在，否则模型就是简单的一个线性协整模型。

我们通过如下假设假设这一约束π0≤P w t−1≤γ≤1−π0（3）其中，π0>0为显著性参数。

根据经验性应用，我们设定π0=0.05。

我们通过最大似然估计方法估计模型（2），其前提假设是误差项u t服从高斯分布。

高斯似然函数为：ℒn A1,A2,Σ,β,γ=−nlogΣ−1u t A1,A2,β,γ′Σ−1u t A1,A2,β,γnt=1其中，u t A1,A2,β,γ=△x t−A1′X t−1βd1tβ,γ−A2′X t−1βd2tβ,γ最大似然估计量 A1，A2，Σ，β，γ为使似然函数ℒn A1,A2,Σ,β,γ达到最大值的参数值。

为了计算上的方便，我们首先集中计算出A1,A2,Σ。

将β,γ固定，只计算A1,A2,Σ的最大似然估计量。

这就只是一个特殊的OLS回归：A1β,γ=X t−1βX t−1β′d1tβ,γnt=1−1X t−1β△x t′d1tβ,γnt=1（4）A2β,γ=X t−1βX t−1β′d2tβ,γnt=1−1X t−1β△x t′d2tβ,γnt=1（5）u tβ,γ=u t A1β,γ,A2β,γ,β,γ 以及：Σβ,γ=1nu tβ,γu tβ,γ′nt=1（6）值得注意的是，（4）式与（5）式分别是当w t−1β≤γ以及w t−1β>γ时△x t 对X t−1β的OLS回归结果。

这就将似然函数简化为：ℒnβ,γ=ℒn A1β,γ,A2β,γ,Σβ,γ,β,γ =−n2log Σβ,γ−np2（7）然后，最大似然估计量 β,γ就是使log Σβ,γ最小化的参数值。

根据前面对β的规范化处理的讨论以及施加于式（3）的约束条件π0≤11x t′β≤γnt=1≤1−π0A1与A2的最大似然估计量为A1=A1 β,γ和A2=A2 β,γ。

关键的（7）式并非平滑的，所以简便的梯度爬坡算法（FOB？）并不适合计算（7）式的最大化问题。

在前面的p=2的例子中，我们建议采用一种网格搜索的方法在二维空间β,γ中求解最大化的解。

在更高纬度的情况下，网格搜索方法并不合适，其他的所搜方法（例如Dorsey and Mayer，1995，提出的遗传算法）可能更为有效。

但在本文中，由于β是一个一直的前定变量，网格搜索可以极大的简化计算过程。

使用网格搜索，需要选取一个搜索的值域。

我们采用线性模型中β的一致估计（2.1中所讨论的MLE）校准得出的值域。

设w t=w t β，令γL,γU表示w t的经验性结果，在γL,γU上构建一个平均分布的空间网格。

令βL,βU表示一个基于线性估计β（渐近近似正态分布）的置信间隔，再在βL,βU上建立平均分布的空间网格。

然后，网格搜索算法将在γL,γU以及βL,βU上检验所有符合π0≤1n1x t′β≤γnt=1≤1−π0的 γ，β 。

在图1和2中，我们给出了在Section5中的经验性例子的不可微标准函数（基于一年期和十年期债券利率的应用性研究，设定l=1）。

图1将式（7）作为γ的函数绘制，图2则将其作为β的函数绘制。

综上所述，我们关于p=2情形的算法为：1、基于线性估计量β在γL,γU与βL,βU上构建网格；2、对于网格上的每一组 γ，β 的值带入（4）（5）（6）式分别计算A1β,γ、A2β,γ、Σβ,γ；3、找到网格中使log Σβ,γ取最小值的 γ，β 作为估计值 β,γ；4、计算得出A1=A1 β,γ、A2=A2 β,γ、Σ=Σ β,γ以及u t=u t β,γ。

值得注意的是，在第3步中，并不能保证最小化估计值 β,γ是唯一的，因为似然函数不是一个凹函数。

我们介绍了一个用于MLE的算法，但需要强调的是这并不是一个理论上的推断。

我们并没有给出估计结果的一致性的证明或者是分布理论。

在线性模型中，β以速率n靠近β，在一个平稳模型中，γ以速率n靠近γ。

那么似乎在门限协整模型中做这样的猜测是合理的： β,γ以速率n靠近 β，γ 。

在这种情况下，由于β和γ已知，斜率估计值A1和A2服从渐近正态分布。