最新高一数学暑假预科讲义 第2讲 一元二次不等式解法 基础教师版

第二讲 一元二次不等式解法

考点1：一元二次不等式及其解集

1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：

250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.

设一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式

20ax bx c ++>的解集为{}

21x x x x x ><或，不等式20ax bx c ++<的解集为

{}21

x x x

x <<

2.对于一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设

ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来

讨论一元二次不等式2

0ax bx c ++>(0)a >或2

0ax bx c ++<(0)a >的解集.

24b ac ∆=-

0>∆ 0=∆ 0<∆

二次函数

c

bx ax y ++=2（0>a ）的图象

20(0)ax bx c a ++=>的根

有两相异实根 )(,2121x x x x <

有两相等实根

a

b x x 221-== 无实根

的解集

)0(02>>++a c bx ax

{}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

∅ ∅

3.解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程2

0ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：

①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根a

b

x x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.

题型一：解一元二次不等式

例1. 解下列一元二次不等式

（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2

450x x -+-> 【解析】（1）方法一：因为2

(5)410250∆=--⨯⨯=>

所以方程2

50x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数2

5y x x =-的简图为：

因而不等式2

50x x -<的解集是{|05}x x <<.

方法二：2

50(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或0

50x x <⎧⎨->⎩

解得05x x >⎧⎨<⎩ 或

05

x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅.因而不等式2

50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一：因为0∆=，方程2

440x x -+=的解为122x x ==.

函数2

44y x x =-+的简图为：

所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠

方法二：2

2

44(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2

(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠

（3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2

450x x -+=无实数解，函数245y x x =-+的简图为：

所以不等式2

450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.

方法二：∵2

2

45(2)110x x x -+-=---≤-<∴原不等式的解集是∅. 例2.解下列一元二次不等式

（1）2420x x -->；（2）2613280x x --<；（3）2(11)3(21)+++x x x x ≥； （4）2450x x ++>；（5）220x x -+->；（6）22320x x -->；（7）240x x ->；

（8）210x x -+≤；（9）2233312

x x x -+>-．

6)(7)+∞，(2)⎫+∞⎪

⎭，（7）题型二：含字母系数的一元二次不等式的解法

例3.解下列关于x 的不等式 （1）2

2

21x ax a -≤-+； （2）210x ax -+>；

（3）()210x a x a -++<.

【解析】(1) 22

210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2

-4

当Δ<0，即-2

当a>1时，原不等式的解集为{x|1

（1）)0(01)1

(2

≠<++

-a x a x ；

①a=1或a=-1时，解集为∅；

（2）2

2

3

()0x a a x a -++>（a R ∈）；

【答案】2

2

3

2

()0()()0x a a x a x a x a -++>⇒--> 当a ＜0或a ＞1时，解集为2

{|}x x a x a <>或； 当a=0时，解集为{|0}x x ≠；

当0＜a ＜1时，解集为2

{|}x x a x a <>或； 当a=1时，解集为{|1}x x ≠； （3）2

210ax x -<＋；