哈工大理论力学第七版十二章动能定理
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哈工大理论力学第七版十二章动能定理解读
质心平移坐标系运动的动能之和。
§12-3
1.质点的动能定理
动能定理
dv 将 m F 两端点乘 vdt dr , dt 1 2 mv dv d( mv ), F dr δW 得 mv dv F dr 2 1 2 因此 d( mv ) δW －－质点动能定理的微分形式 2
2 得 W12 r r1 k (r l0 )dr
A2
A2
1
A1
即 W k ( 2 2 ) 12 1 2
2
1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
δW F dr Ft ds Ft Rd
第十二章
动
能
定
理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W F cos s F s
二、变力在曲线运动中的功 元功
δW F cos ds
δW F dr
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
记
W Fx dx Fy dy Fz dz
drC M C d W12 FR
C1
2
1
说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
W1 F R
W2 0
W1 W1 W2 F R
60 3.78 F 6.45kN π 0.1112
d πn P有用 Fv F · 2 30
§12-5 势力场.势能.机械能守恒定律
理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
理论力学12—动能定理
2
ω ϕ
vB B
vB = O1 B ⋅ ω AB = 2a sin ϕ ⋅ ω = 3aω
1 3ma ω 2 TB = mB vB = 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
I O = mOC a 2 = ma 2
1 3
vA A O1
TOC = I Oω 2 = ma 2ω 2
1 2 1 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此F在整个过程中所作的功为
1 1 2 2 2 2 WF = k (δ1 − δ 2 ) = 0.5(5 − 25 ) = −150 N⋅ cm 2 2
因此所有力的功为
W = WT + WF = 200 − 150 = 50 N⋅ cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 2 W12 = k (δ 1 − δ 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 当刚体转动时，转角ϕ与弧长s的关系为
z F
Ft = F cos θ
第12章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。
ω ϕ
vB B
vB = O1 B ⋅ ω AB = 2a sin ϕ ⋅ ω = 3aω
1 3ma ω 2 TB = mB vB = 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
I O = mOC a 2 = ma 2
1 3
vA A O1
TOC = I Oω 2 = ma 2ω 2
1 2 1 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此F在整个过程中所作的功为
1 1 2 2 2 2 WF = k (δ1 − δ 2 ) = 0.5(5 − 25 ) = −150 N⋅ cm 2 2
因此所有力的功为
W = WT + WF = 200 − 150 = 50 N⋅ cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 2 W12 = k (δ 1 − δ 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 当刚体转动时，转角ϕ与弧长s的关系为
z F
Ft = F cos θ
第12章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。
12理论力学动能定理2
mg
T1 TA TB TC TD
7 M 10m 2 v0 4
A速度增大一倍时的动能为
2 T2 (7M 10m)v0
7 M 10 m 2 T1 v0 4
mg
FS FN
由 T2 T1 W12 得
3 2 (7 M 10m)v0 M (1 2 f )m hg 4 2 Mg 3v0 (7M 10m) h 解得 4 g M (1 2 f )m FT D
初始时刻： T1 0
mg
O
F
mg
A
vA
OA运动到水平位置时：
1 1 2 1 2 2 T2 J 0 m v J AB F ox 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 m1vB J B B ml 2 2 3
m1 g
B
vB
FS FN
A B
vB
F oy
运动学关系： AB杆的速度瞬心为 B点
vA B 4r
vA A r
1 1 2 2 J A mr J B m(4r ) 2 2
2 T2 2mvA
mg
mg
mg Fs2
T2 T1 W 12
Fs1
2mv Fs
2 A
N1
外力功：
N2
Fs vA 2m
W
12
Fs
v A 1 Fs A r r 2m
A mg
FCy B
C
FCx Mg
例： 在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常 力 F，开始时系统静止，如图。求连杆 OA运动 到水平位置时的角速度。设连杆长均为 l，质量 均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。
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第 12 章 动量矩定理
一、选择题 1．图 12-1 所示无重刚杆 AB，两端各固连一个小球，其质量分别为 m1、m2。若 m1 ＞m2，不计空气阻力，则当杆 AB 在重力作用下由水平静止位置进入运动后（ ）落地。 A．两端同时 B．A 端先 C．B 端先 D．无法判断
图 12-10
解：系统初始静止，T1 = 0 ，当杆 AB 运动到与铅垂线夹角为 时的动能为
下面建立 与 vC 的关系。
4 / 25
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垂线的夹角 为常数，杆长为 l。
（3）图 12-8（c）：均质 L 型刚杆，质量为 m，在铅垂面内以等角速度 ω 绕轴 O 转 动。
（4）图 I4-8（d）：质量为 m1 的滑块，沿水平直线运动，通过铰链 A，用长为 l 质量 为 m2 的刚杆固结一垂球 B，重球质量为 m3。设图示瞬时，滑块的速度为 υ，杆 AB 绕 A 点 转动的角速度为 ω。
履带
段合在一起是一个均质圆环，作平面运动，其动能为
因此，系统的总动能为
（2）图 12-8（b）：杆 0A 作锥形转动，取 dx 微段，其质量为 dm = m dx ，速度 l
v = xsin ，动能为
因此，杆 0A 总的动能为
（3）图 12-8（c）：L 型杆由 OA 和 AB 两部分组成，它们都作定轴转动。 OA 段： AB 段： 则 L 型杆的动能为
D．
【答案】D
图 12-2
3．质量为 m 的均质细圆环半径为 R，其上固结一个质量也为 m 的质点 A（图 12-3）。 细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为 ω，则系统的动能为（ ）。
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第 12 章 动量矩定理
一、选择题 1．图 12-1 所示无重刚杆 AB，两端各固连一个小球，其质量分别为 m1、m2。若 m1 ＞m2，不计空气阻力，则当杆 AB 在重力作用下由水平静止位置进入运动后（ ）落地。 A．两端同时 B．A 端先 C．B 端先 D．无法判断
图 12-10
解：系统初始静止，T1 = 0 ，当杆 AB 运动到与铅垂线夹角为 时的动能为
下面建立 与 vC 的关系。
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垂线的夹角 为常数，杆长为 l。
（3）图 12-8（c）：均质 L 型刚杆，质量为 m，在铅垂面内以等角速度 ω 绕轴 O 转 动。
（4）图 I4-8（d）：质量为 m1 的滑块，沿水平直线运动，通过铰链 A，用长为 l 质量 为 m2 的刚杆固结一垂球 B，重球质量为 m3。设图示瞬时，滑块的速度为 υ，杆 AB 绕 A 点 转动的角速度为 ω。
履带
段合在一起是一个均质圆环，作平面运动，其动能为
因此，系统的总动能为
（2）图 12-8（b）：杆 0A 作锥形转动，取 dx 微段，其质量为 dm = m dx ，速度 l
v = xsin ，动能为
因此，杆 0A 总的动能为
（3）图 12-8（c）：L 型杆由 OA 和 AB 两部分组成，它们都作定轴转动。 OA 段： AB 段： 则 L 型杆的动能为
D．
【答案】D
图 12-2
3．质量为 m 的均质细圆环半径为 R，其上固结一个质量也为 m 的质点 A（图 12-3）。 细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为 ω，则系统的动能为（ ）。
理论力学 第十二章动能定理
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对于转轴的转 动惯量与角速度平方乘积的一半
18
§12–2
3、平面运动刚体
T
动能
1 I P 2 （P为速度瞬心）I 为瞬轴的转动惯量 P 2
瞬轴：通过速度瞬心并与运动平面相垂直的轴。 它在刚体内的位置不断变化。 2
I P IC md
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 I m ( d ) m v I T （I C md ) C C C 2 2 2 2 2
1
第十二章
§12–1 力的功 §12–2 动能
动能定理
§12–3 动能定理 §12–4 势力场 势能 机械能守恒定律
§12–5 功率和功率方程
§12–6 普遍定理的联合应用
2
第十二章
动能定理
动量动量矩定理是用动量动量矩来度量质点系 的机械运动，用矢量的方法来研究。
而动能定理是用能量法来研究动力学问题。能 量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且 是沟通机械运动和其它形式能量转换的桥梁。从这 方面来说，动能比动量更具广泛性。 动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和 作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传 递的规律。
6
z2
§12–1 力的功
2、弹性力的功 弹簧原长为 r0 ，在弹性极限内 r F c(r r0 ) r c—弹簧的刚度系数。单位：N/m r dr d (r r ) W F dr c(r r0 ) r dr rdr r 2
2、不变质点系的内力功之和等于零。 3、刚体的内力功之和等于零。 问：什么时候内力功需考虑？
13
§12–1 力的功
七、约束力的功
哈尔滨工业大学 第七版 理论力学.12
Lz1 = mv0 (l + r )
(1 )
在任意时刻：
Lz 2 = Jω + M z (mv M ) = Jω + M z (mv 0 ) + M z (mv e )
由图 12-5b 中，可得
Lz 2 = Jω + mv0 [l cos ϕ + r ] + m(l 2 + r 2 + 2lr cos ϕ )ω
12-4 1 半径为 R，质量为 m1 的均质圆盘，可绕通过其中心 O 的铅垂轴无摩擦地旋转， 如图 12-4a 所示。1 质量为 m2 的人在盘上由点 B 按规律 s = 开始时，圆盘和人静止。求圆盘的角速度和角加速度 α 。
1 2 at 沿半径为 r 的圆周行走。 2
R r O
(a) 图 12-4
LO = m ⋅ v A ⋅ 2 R + J Aω a 1 = m ⋅ 2 Rω O ⋅ 2 R + mR 2 ⋅ (ω O + ω r ) = 5ω O mR 2 = 20 kgm 2 /s 2
156
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
（3）在图 12-2c1 中，轮 A 绕 O 作圆周曲线平移
接合后，依靠摩擦使轮 2 启动。已知轮 1 和 2 的转动惯量分别为 J1 和 J2。求： （1）当离合 器接合后，两轮共同转动的角速度； （2）若经过 t 秒两轮的转速相同，求离合器应有多大的 摩擦力矩。
Mf
ω
2
(a) 图 12-6
(b)
解 （1）以轮 1 和 2 为一个系统进行研究，因为系统所受外力（包括重力和约束反力） 对转轴之矩均为零，所以系统对转轴的动量矩守恒，即
理论力学第十二章 动能定理
解:
2υC ω= = CP l cosθ
υC
T = 0, 1
成 θ 角时
1 1 1 1 2 2 2 T2 = mυC + JCω = m1+ υC 2 2 2 2 3cos θ
1 1 2 l mg (1− sin θ ) = m1+ υ 2 C 2 2 3cos θ
压力角为
20o
M − mraA 1 F 1 x = 0.364 O r M − mraA 1 F 1y = m g − O 1 r
′ = tan 20o ⋅ P′ = 0.364P′ P n t t
F 1 x + P′ = 0 O n
F 1 y + P′− m g = 0 O t 1
研究物块A 研究物块
解:
1 1 3 2 2 2 T = m C + JCω = m C υ υ 2 2 4
重力的功率
ds r r ds r r r ds r P = mg ⋅υ = mg ⋅ τ = m g ⋅τ = m ( −g sinθ ) dt dt dt ds = −mg sinθ dt
例5 已知： 为弹簧原长， 为常力偶 为常力偶. 已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，M为常力偶 为弹簧原长 无初速度由最低点到达最高点时， 处约束力 处约束力. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力 圆心 无初速度由最低点到达最高点时
A
其中
利用
1 dh = rdϕ 2 dT = ∑δW dt rα1 α1 aA = ,α2 = 2 2
M
2(2M − mAgr) a A= (2mA + 4m1 + 4m2 + m3 ) r
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
哈尔滨工业大学理论力学第七版第12章 动能定理
vB cos 30 v A
0
vA A
60
0
vB
2 3
r
2r 3R
2 B
O
30
vB
0
B
B
T
vB R
J C m r
2 B 2 2
1 2
mv
1 2
已知：机构由OA与AB两杆铰接而成，两杆 长均为L，质量均为M，在图示位置时，杆 OA的角速度为ω， OAB 90 求：此时系统的动能。
2 1 1 2 2 2 2
FOy
FOx m3 g
v1 m1 g
v2 m2 g
均质圆盘和均质薄圆环的质量均为m，外径相同， 用细杆AB铰接于二者的中心，如图所示。设系 统沿倾角为θ的斜面由静止作无滑动地滚动，不 计细杆的质量，试求杆AB的加速度
v
mg
v
mg
F fB
FNB
F fA
其中: FR
MC 为力系主矢，
为力系对质心的主矩。
当质心由 C1 ~ C2
1 ~ ，转角由 2
时，力系的功
W12
C2
C1
FR drC M C d
1
2
平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作 功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力 偶作功之和。
已知：K， m。物体从静止位置（设静伸长为δ）
AB
P
vA vC vB
T TOA TAB
TOA TAB 1 2 1 6 1 2 2 MvC J C AB 2 2
5 2
J O
2
1
ML
0
vA A
60
0
vB
2 3
r
2r 3R
2 B
O
30
vB
0
B
B
T
vB R
J C m r
2 B 2 2
1 2
mv
1 2
已知：机构由OA与AB两杆铰接而成，两杆 长均为L，质量均为M，在图示位置时，杆 OA的角速度为ω， OAB 90 求：此时系统的动能。
2 1 1 2 2 2 2
FOy
FOx m3 g
v1 m1 g
v2 m2 g
均质圆盘和均质薄圆环的质量均为m，外径相同， 用细杆AB铰接于二者的中心，如图所示。设系 统沿倾角为θ的斜面由静止作无滑动地滚动，不 计细杆的质量，试求杆AB的加速度
v
mg
v
mg
F fB
FNB
F fA
其中: FR
MC 为力系主矢，
为力系对质心的主矩。
当质心由 C1 ~ C2
1 ~ ，转角由 2
时，力系的功
W12
C2
C1
FR drC M C d
1
2
平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作 功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力 偶作功之和。
已知：K， m。物体从静止位置（设静伸长为δ）
AB
P
vA vC vB
T TOA TAB
TOA TAB 1 2 1 6 1 2 2 MvC J C AB 2 2
5 2
J O
2
1
ML
理论力学第十二章 动能定理
§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
理论力学第七版 第十二章 动能定理
T2 T1 Wi
质点系动能定理积分形式
32
探索系统全部力的功的问题 主动力 外力 全部力 外部约束力 内力
A O
B
A O
B
R
理想光滑面约束，约束力的功等于零。 为什么？ 固定铰支座其约束力也不作功。 为什么？ 当轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力 静摩擦力的功等于零。 为什么？ 滚阻力偶作负功
刚体所有内力
36
三（质点系）动能定理的特点
1 标量方程----只能求解一个未知量 2 不考虑中间过程，对运动不加限制 3 可以解决什么问题？ 思考 能否求出理想约束里面的外部约束力？ 能否求出理想约束里面的内部约束力？ 对于具有理想约束的刚体运动机构，若在主动 力（力矩）的作用下运动（隐含运动）。 求运动量（速度 角速度）、加速度（角加速度）
本章的第二个重点问题
要求：
质点系动能定理的内容 特点(记牢 理解) 2 质点系动能定理的应用 （重点掌握）
1
30
一、质点的动能定理（基础）
dv m dr F dr dt
F dr W
d v ma F m dt F
1 2 d mv W 2
20
1 平移刚体的动能 平移刚体的运动特点
1 1 2 1 2 2 T mi vi vC mi MvC 2 2 2
2 定轴转动刚体的动能
1 T mi vi2 2
1 2 mi ( ri ) 2 1 2 2 mi ri 2
z
ri
1 2 J z 2
33
3 探索全部力的功的问题 外力 全部力 内力
第十二章 动能定理
③ 作用在纯滚轮上的摩擦力的功 接触点为瞬心，滑动摩擦力 作用点没动，此时滑动摩擦 力也不做功。
W F d rp 0
如果不是纯滚动，有相对滑 动，则摩擦力作负功。
13
§13 - 2 质点和质点系的动能 1 质点的动能
T
2 2
1 2
mv
2
动能是恒正的标量，
单位:
是瞬时量。
2
kg m / s kg m / s m N m J
( mi ri )
2
所以，刚体定轴转动的动能为:
Jz
T
1 2
J z
2
15
(3) 平面运动刚体的动能
设刚体作平面运动，如图。
C
由定轴转动刚体动能的公式
T
1 2
1
J p
2
rc p
2 C
由平行轴定理，有: 所以:
2
J p JC m r
1 2
2 C 2
T J C m r
m2g
2
d T [] 2vB d vB
Wi m3 g d s
2
vB
ds
m3g
d vB ds 两边同除d t，得: []v m3 g B dt dt m3 所以: a g B []
29
例 3
已知：两相同均质杆, m, l , 水平面光滑。初始静 止，高为h。设杆在铅垂 面内落下。 求：铰链D与地面接触时 的速度。
1
FDy
vo
F
m1g
FDx m2g m3g
2
vB
FN
受力如图。 求加速度可用动能定理的微分形式。
计算一般位置的动能
理论力学第12章(动能定理)
2 2 2 1 2 2 1 1 1 m ( v l l v cos j ) ( ml ) A A 2 4 2 12 2 1 2 2 1 m ( v A 2 3 l l v A cos j )
理论力学
20
§12-3
动能定理
一、质点的动能定理： dv m F 牛顿定律 dt dv dr F dr 两边点乘以 dr ，有 m dt
3.刚体沿固定面作纯滚动 4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dW F
R
dr FR dr FR dr 0 dr FR
5.柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
理论力学 10
[ 例 1] 如图所示滑块重 P ＝ 9.8 N ，弹 簧刚度系数 k ＝ 0.5 N/cm ，滑块在 A 位置时弹簧对滑块的拉力为 2.5 N， 滑块在 20 N 的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置 A 运动到位置 B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
理论力学
1 2
3 2
1 6
4 3
7 2
19
[例5]滑块A以速度 vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动，如 A 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
vA
j
l
vC v A vCA
速度合成矢量图如图。由余弦定理
AB
O1
AB作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式 求动能：
J O1 J C mAB O1C 2
1 2m (2a)2 12
vC
8 3
C
2m a 2 ma 2
理论力学
20
§12-3
动能定理
一、质点的动能定理： dv m F 牛顿定律 dt dv dr F dr 两边点乘以 dr ，有 m dt
3.刚体沿固定面作纯滚动 4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dW F
R
dr FR dr FR dr 0 dr FR
5.柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
理论力学 10
[ 例 1] 如图所示滑块重 P ＝ 9.8 N ，弹 簧刚度系数 k ＝ 0.5 N/cm ，滑块在 A 位置时弹簧对滑块的拉力为 2.5 N， 滑块在 20 N 的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置 A 运动到位置 B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
理论力学
1 2
3 2
1 6
4 3
7 2
19
[例5]滑块A以速度 vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动，如 A 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
vA
j
l
vC v A vCA
速度合成矢量图如图。由余弦定理
AB
O1
AB作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式 求动能：
J O1 J C mAB O1C 2
1 2m (2a)2 12
vC
8 3
C
2m a 2 ma 2
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由
T1 V1 T2 V2
有
1 2 k 2 mv 0 0 max st 2 mg max st 2 2
2 v2 即 2 2 st 0 max st max st g 2 得 max st 1 g st v2 v Fmax k max k st 1 mg 1 g st g
机械效率
P有效 P输入
多级传动系统
12 n
例12-8 已知:
P输入 5.4kW, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
求:切削力F的最大值。 解: P P P 3.78kW 无用 输入 有用
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2
－－质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用 于质点的力作的功.
2.质点系的动能定理
由 得
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
取零势能点在无穷远
r1
fm1m2 V r
3. 机械能守恒定律
机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和.
由
T2 T1 W12
质点系仅在有势力作用下,有
W12 V1 V2
得
T1 V1 T2 V2
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此 类系统称保守系统.
非保守系统的机械能是不守恒的.
力场 :一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由
所在位置确定的力的作用.
F F x, y, z
势力场(保守力场):力的功只与力作用点的始、末位置有关, 与路径无关. 势力场中,物体所受的力为有势力.
2.势能
在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0,有势力所作 的功为质点在点M相对于M0的势能.
W Fx dx Fy dy Fz dz
W12
M2 M1
δW
M2 M1
F ·dr
三、几种常见力的功 1.重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg W12 z mgdz mg( z1 z2 ) z
2 1
质点系
W
由 得
12
mzC mi zi
第十二章
动
能
定
理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W F cos s F s
二、变力在曲线运动中的功 元功
记 F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
δW F dr
δW F cos ds
mi g ( z i1 z i 2 )
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2.弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力的功为
W12
A2
1 1 r er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解:
轮C与轮O共同作为一个质点系
W12 M m2 gs sin
W12 T2 T1
T1 0
1
vC v , 2 C R1 R2
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2v2 ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2
A1
A F dr A k (r l0 )er dr
2 1
得 W12 r2 k (r l0 )dr r1 即 W k ( 2 2 ) 12 1 2
2
1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
？
称约束力作功等于零的约束为理想约束.
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
内力作功之和不一定等于零.
思考：
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
例12-3 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
F
C
P
FS
FN
§12-2
1.质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2 1 T mi vi 2 2
1 2 T mvC 即 2
2.质点系的动能
（1）平移刚体的动能
1 1 2 2 T mi vi vC mi 2 2 （2）定轴转动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 2 2
1.功率：单位时间力所作的功.
由 δW
δW P dt F dr ,得
dr P F F v Ft v dt
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 作用在转动刚体上的力的功率为
δW d P Mz M z dt dt 单位W（瓦特）,1W=1J/S
1 2 即 T J z 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬心为P
1 1 2 T J P ( J C md 2 ) 2 2 2 1 2 1 得 T mvC J C 2 2 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动 的动能之和. 对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动，质点 系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于
对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。
将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力
偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力 系中所有力所作元功的和，有
δW δWi FR ' drC M C d
平面运动刚体
δW FR ' drC M C d
60 60 3.78 F P有用 17.19kN πdn π 0.1 42 当 n 112r / min 时
60 3.78 F 6.45kN π 0.1112
d πn P有用 Fv F · 2 30
§12-5 势力场.势能.机械能守恒定律
1.势力场
k m
16.9kN
§12-6
普遍定理的综合应用
动能
非负的标量，与方向无关 内力作功时可以改变动能 理想约束不影响动能
动量、动量矩
矢量，有大小方向 内力不能使之改变 只有外力能使之改变 约束力是外力时对之有影响。不与 能量相互转化，应用时不考虑能量 的转化与损失。 当外力主矢为零时，系统动量守恒 当外力对定点O 或质心的主矩为零 时，系统对定点或者质心的动量矩 守恒。
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
M z Ft R
F 的功为
δW M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
W12 M z d
1
2
若
M z 常量 M z ( 2 1 )
则 W12
4. 任意运动刚体上力系的功 无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功 的代数和。
vC 2 M m2 gs sin (2m1 3m2 ) 4 s ( M m2 gR1 sin ) s
R1
(a )
vC 2
R1 (2m1 3m2 )
式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得
vC 1 (2m1 3m2 )vC aC M m2 gvC sin 2 R1 2 ( M m2 gR1 sin )
W1 F R
W2 0
W1 W1 W2 F R
例12-1 已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使O 向右运动, f , 初静止。 求: O 走过S 路程时力的功。
F
解： 重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功， 将力F向质心简化，得
W F ' s M C 2Fs
0 0为零势能点, 则
（3）万有引力场中的势能
A0 fm1m2 V F dr 2 er dr A A r 由于er dr dr有
A0
V
r1
r
1 1 fm1m2 2 dr fm1m2 r r1 r
得冲断试件需要的能量为
Wk 78.92J
Wk k A
冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。
例12-5 已知:均质圆盘R ,m ,F=常量,且很大,使O 向右运动, f ,初静止。 求:O 走过S 路程时ω， 。
解: 圆盘速度瞬心为C
W Fs 2mgfs W T
3 FS 2mgfs mv0 2 4 s v0 2 ( F 2mgf ) 3m
质心平移坐标系运动的动能之和。
§12-3
1.质点的动能定理
动能定理
dv 将 m F 两端点乘 vdt dr , dt mv dv d( 1 mv 2 ), F dr δW 得 mv dv F dr 2 1 2 因此 d( mv ) δW －－质点动能定理的微分形式 2
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
~ 2 时,力系的功为
W12
C2
C1
2 FR drC M C d
1
说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。