高等数学极限习题道
高数考研极限试题及答案
高数考研极限试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 8在x=3处的极限值是（）。
A. 1B. 5C. 9D. 11答案：C2. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x) = 1/x在x→0时的极限是（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：C4. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x=2处的极限值是（）。
A. 0B. 2C. 4D. 6答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算极限lim(x→2) (x^2 - 4)/(x - 2)的值为______。
答案：82. 函数f(x) = (x^3 - 27)/(x - 3)在x=3处的极限值为______。
答案：03. 计算极限lim(x→∞) (2x^2 + 3x - 1)/(x^2 - 5x + 6)的值为______。
答案：24. 函数f(x) = sin(x)/x在x→0时的极限值为______。
答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x。
答案：首先，我们使用洛必达法则，分子和分母同时求导，得到lim(x→0) (e^x - 1)/x = lim(x→0) e^x = 1。
2. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 4x + 4)/(x^2 + 2x + 1)。
答案：分子和分母同时除以x^2，得到lim(x→∞) (1 - 4/x +4/x^2)/(1 + 2/x + 1/x^2) = 1。
3. 计算极限lim(x→0) (tan x - sin x)/x^3。
答案：使用泰勒展开，tan x ≈ x + x^3/3，sin x ≈ x，所以原式= lim(x→0) (x + x^3/3 - x)/x^3 = lim(x→0) x^3/3x^3 = 1/3。
高等数学函数极限练习题
高等数学函数极限练习题第一篇：高等数学函数极限练习题设f(x)=2x1+x，求f(x)的定义域及值域。
设f(x)对一切实数x1，x2成立f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且f(0)≠0，f(1)=a，求f(0)及f(n)．(n为正整数)定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若f(x)表示将x之值保留二I(x)位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用法则保留2位小数，试用I(x)表示g(x)。
表示f(x)。
定义函数I(x)表示不超过x的最大整数叫做x的取整函数，若g(x)表示将x依4舍5入在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。
若每天进报纸t份，而销售量为x份，试将报摊的利润y表示为x的函数。
定义函数I(x)表示不超过ϕ(x)=x-I(x)的周期性。
判定函数f(x)=(exx+xx的最大整数叫做x的取整函数，试判定-1)⋅ln(1+x-x)的奇偶性。
设f(x)=esinx，问在0，+∞)上f(x)是否有界？函数y=f(x)的图形是图中所示的折线OBA，写出y=f(x)的表达式。
[⎧x，⎧x，0≤x<2；0≤x<4；设f(x)=⎨ϕ(x)=⎨求f[ϕ(x)]及ϕ[f(x)]．2≤x≤4．4≤x≤6．⎩x+2，⎩x-2，⎧-1，x≤0；设f(x)=⎨ϕ(x)=2x-1，求f[ϕ(x)]及ϕ[f(x)]．⎩1，x>0．⎧-ex，x≤0；⎧0，x≤0；求f(x)的反函数设f(x)=⎨ϕ(x)=⎨2⎩x，x>0．⎩-x，x>0．g(x)及f[ϕ(x)]．2设f(x)=⎧x，x<0；(x+x)，ϕ(x)=⎨2求f[ϕ(x)]．2⎩x，x≥0．1⎧2+x，x<0；设f(x)=⎨求f[f(x)]．⎩2，x≥0．⎧0，x<0；⎧x+1，x<1；设f(x)=⎨ϕ(x)=⎨求f(x)+ϕ(x)．⎩x，x≥0．⎩x，x≥1．⎧ex，-∞<x<0；⎪设f(x)=⎨x+1，0≤x≤4；求f(x)的反函数ϕ(x)．⎪x-1，４<x<+∞．⎩⎧x，-∞<x<1；⎪2设f(x)=⎨x，1≤x≤4；求f(x)的反函数φ(x)．⎪x⎩2，4<x<+∞．2⎧⎪1-x，x<0；设f(x)=⎨求：⎪⎩-x，x≥0．(1)f(x)的定义域；2(2)f(2)及f(a)．(a为常数)。
高等数学极限习题500道汇总
．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim)()(11110x x x x x x o o x x 答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（ ） 答 阶的是时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：， ．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x→+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==0000[] 答（ ） ． ． ． ．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（ ） ． ． ． ．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x x x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在 ． ． ．D C B A e e e e x x x x x 1231234lim =++--∞→ 答：（ ）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在 答：（ ）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x x x x →+--+03416125 已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0000关于极限结论是： 不存在 答（ ）lim x x e A B C D →+015353054答（ ） ，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim .)(lim )(lim )(000000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（ ） 不存在 2.2...0.1arctan tan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（ ） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（ ） 不存在 .2.2.2.312lim 2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x ，则设 答（ ） 不存在 2....0.1cot arc lim 0ππ=→D C B A xx lim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中 答（ ）π____________cos 13lim 20的值等于x x e e x x x ----→lim (cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答：（ ）设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim 2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x d cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件 答（ ）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是 ．lim ()lim ()()lim ()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=00000000 ．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ． ：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值．求极限3sin 01)(cos lim x x x x -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
高等数学极限习题500道汇总
．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim)()(11110x x x x x x o o x x 答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（ ） 答 阶的是时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：， ．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x→+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==0000[] 答（ ） ． ． ． ．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（ ） ． ． ． ．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x x x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在 ． ． ．D C B A e e e e x x x x x 1231234lim =++--∞→ 答：（ ）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在 答：（ ）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x x x x →+--+03416125 已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0000关于极限结论是： 不存在 答（ ）lim x x e A B C D →+015353054答（ ） ，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim .)(lim )(lim )(000000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（ ） 不存在 2.2...0.1arctan tan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（ ） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（ ） 不存在 .2.2.2.312lim 2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x ，则设 答（ ） 不存在 2....0.1cot arc lim 0ππ=→D C B A xx lim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中 答（ ）π____________cos 13lim 20的值等于x x e e x x x ----→lim (cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答：（ ）设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim 2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x d cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件 答（ ）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是 ．lim ()lim ()()lim ()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=00000000 ．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ． ：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值．求极限3sin 01)(cos lim x x x x -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
（完整版）函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。
4、设)(x f 的定义域是的定义域是[0[0[0，，1]1]，则，则)(sin x f 的定义域为。
5、设)(x f y =的定义域是的定义域是[0[0[0，，2] ，则)(2x f y =的定义域为。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222n n nn nn n n Λ。
1010、函数、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。
1111、、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
1212、、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
1313、函数、函数23122+--=x x x y 的间断点是。
1414、当、当+∞→x 时，x 1是比13+-+x x 的无穷小。
1515、当、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
1616、函数、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
1717、设、设113--=x x y，则x=1为y 的 间断点。
1818、已知、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
1919、设、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
2020、曲线、曲线2sin 2-+=xx x y 水平渐近线方程是 。
高数极限习题50题分步骤详解
高数极限习题50题分步骤详解1. 求极限)]12ln()12[ln(lim --+∞→n n n n解：依题意，对算式进行变形，得到原式＝1212ln lim -+∞→n n n n＝12212ln lim -+-∞→n n n n ＝)1221ln(lim -+∞→n n n 【注：当∞→n 时，122~)1221ln(--+n n 】 ＝122lim -∞→n nn ＝12. 求极限xx x e x x sin 1lim 3202--→解：本题为0型未定式，可运用洛必达法则求极限。
因为 )0(~sin 43→x x x x所以 原式＝4201lim 2x x e x x --→＝30422lim 2x xxe x x -→ （洛必达法则）＝2021lim 2x e x x -→＝x xe xx 42lim 2∞→ （洛必达法则）＝2lim 20xx e →＝213. 求极限2sin 0cos )21(lim x xx x x -+→解：本题属于“幂指函数”，不适合直接应用洛必达法则求导。
应先对算式适当变形，再求极限。
过程如下：原式＝2sin 0)1(cos ]1)21[(lim xx x x x ---+→ （注：表达式的分子加1减1，恒等变形。
） ＝2sin 01)21(lim x x x x -+→-201cos lim x x x -→ （注：和差的极限，等于极限的和差。
） ＝20sin 2lim xx x x →-2202lim x x x -→ ＝2202lim x x x →+21 ＝25 （注：当时0→x ，.2~1cos ,2~sin 2~1)21(22sin x x x x x x x---+）4. 求极限x xe e x x x cos 1320lim ----→解：本题看似很复杂，其实完全可以通过两次运用洛必达法则求出极限，具体过程如下：因为 )0(2~cos 12→-x x x 所以 原式＝23220lim x xe e x x x ---→ ＝x e e x x x 3220lim -+-→ （第一次运用洛必达法则）＝1420lim xx x e e -→- （第二次运用洛必达法则）＝35. 求极限)1ln(2)cos(sin 12lim x x x +-→ 解：本题可运用洛必达法则，但建议优先采用等价无穷小替换。
高数 上 习题及答案 极限
x +1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2x ⎠
3
=
lim
x→∞
⎛⎜1 ⎝ ⎛⎜⎝1
+ +
3 2x 1 2x
x +1
⎞ ⎟ ⎠
x +1
⎞ ⎟⎠
3
⎡
⎤ 2x 2
=
lim
⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎝ 1 +
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
3
⎥
⎥ ⎥⎦
⎛⎜ 1 + ⎝
3 2x
⎞ ⎟ ⎠
x→∞
1
⎡⎢⎢⎣⎛⎜⎝1
+
1 2x
2
⎞ ⎟ ⎠
x
⎤ ⎥ ⎥⎦
ln lim y = ln e0 , lim y = 1
x→π
x→π
2
2
5
解： lim sin xln x
lim xsin x = lim esin xln x = ex→0+
x→0+
x→0+
ln x
lim sin xln x = lim
x→0+
1 x→0+
sin x
1
= lim
x→0+
x⋅
−cos x sin2 x
⎛⎜1
+
⎠⎝
3 n
⎞ ⎟ ⎠
=1
（18） lim sin 5x = （ ）
x→π sin 3x
（a） − 4 （b）-1 （c）1
3 分析：lim sin 5x = lim 5cos5x = 5
x→π sin 3x x→π 3cos 3x 3
（d） 5
3
（22） lim x2 +1 − 3x = （ ）
高等数学极限习题500道(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（ ） 答 阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim nn n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：， ．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx→+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（ ） ． ． ． ．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（ ） ． ． ． ．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在 ． ． ．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（ ）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（ ）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x xx x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是： 不存在 答（ ）limx xeA B C D →+015353054答（ ） ，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（ ） 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（ ） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（ ） 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设 答（ ） 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中 答（ ）π____________cos 13lim 20的值等于xxe e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n nn n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件 答（ ）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是 ．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a nn ． ：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a a nn ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim 2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→[]之值．求极限3sin 01)(cos limx x xx -→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
高数极限练习题
高数极限练习题高数极限练习题高等数学作为大学数学的重要组成部分，对于理工科学生来说是一门重要的基础课程。
而在高等数学中，极限是一个非常重要且基础的概念。
通过练习极限题目，可以帮助学生更好地理解和掌握极限的概念和计算方法。
下面我们来看一些常见的高数极限练习题。
1. 计算极限：(a) lim(x→0) (sinx/x)(b) lim(x→∞) (1/x)(c) lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)(d) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x + 1)对于题目(a)，我们可以利用极限的定义，将sinx展开成其泰勒级数形式，然后化简得到lim(x→0) (sinx/x) = 1。
这个结果是非常重要的，因为它表明当x趋近于0时，sinx/x的极限等于1，这个结果在微积分中经常被使用到。
对于题目(b)，我们可以直接计算lim(x→∞) (1/x) = 0。
这个结果也是比较容易得到的，因为当x趋近于无穷大时，1/x趋近于0。
对于题目(c)，我们可以将分子和分母同时除以(x - 1)，得到l im(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1) = lim(x→1) (x + 1) = 2。
这个题目的关键是将分式化简成一个可以直接计算的形式。
对于题目(d)，我们可以将分子和分母同时除以x，得到lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x + 1) = lim(x→∞) (x - 2) = ∞。
这个题目的关键是将分式化简成一个可以直接计算的形式，并且注意到当x趋近于无穷大时，x - 2也趋近于无穷大。
2. 利用极限计算导数：(a) 计算f(x) = x^2的导数(b) 计算f(x) = sinx的导数(c) 计算f(x) = e^x的导数对于题目(a)，我们可以利用极限的定义，计算f(x) = x^2的导数。
根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) (f(x + h) - f(x))/h = lim(h→0) ((x + h)^2 - x^2)/h =lim(h→0) (2xh + h^2)/h = lim(h→0) (2x + h) = 2x。
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
高等数学极限习题500道
答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n_____________sin 1lim 3202=--→的值x x x e x x求极限之值．lim ()cos sin x xx xx→+-0212[] 答（ ） ． ． ． ．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（ ） ． ． ． ．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xxx =+→_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在 ． ． ．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（ ）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（ ）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x____________lim 0的值等于xx x e e x-→-．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x xx x →+--+03416125关于极限结论是： 不存在 答（ ）limx xeA B C D →+015353054 答（ ） 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（ ） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（ ） 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设 答（ ） 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xx____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211求极限．lim ()()x x x →∞++32232332之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→___________)1ln(2)cos(sin 1lim2的值等于x x x +-→ ．求极限应用等阶无穷小性质，xx x x )1arctan()1arctan(lim--+→求极限．limx x xx x →+--+0215132limsin ()()()()x x xA B C D →∞=∞10 不存在但不是无穷大 答（ ）lim sin ()()()()x x xA B C D →∞===∞110之值 不存在但不是无穷大 答（ ）已知 其中、、、是非常数则它们之间的关系为 答（ ）limtan (cos )ln()()()()()()()x x A x B x C x D eA B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-011211022222计算极限lim x x x x x x →-+---23223322计算极限lim ln()cos x x x x e ex x →-⋅+021求．lim x x x x xe e e e →∞---+234．____________)31(lim sin 20=+→xx x计算极限limcos x x x ex →---02112_____________________4sin 3553lim 2=⋅++∞→xx x x ） 答（ 穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B xx A x 1cotarc )(1arctan )(ln )(sin )(0+→答（ ） 不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于 .)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 2D C B A x x x +→ 答（ ） ， ，， ，，则必有设.104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(14lim 231=-=-==-=====-+--→A a D A a C A a B A a A A x x ax x x） 答（ 不存在但不是无穷大 为等于 等于的极限时，当. )( ; )(;0)( ; 2)(11)(1112D C B A ex x x f x x ∞--=→-求，使a b x x ax b x lim()→∞++-+=32112之值。
高等数学极限练习题
高等数学极限练习题高等数学极限练习题高等数学是大学数学中的一门重要课程，其中极限是一个基础概念。
极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。
通过极限的概念，我们可以研究函数的连续性、导数和积分等重要性质。
为了更好地理解和掌握极限的概念，我们需要进行大量的练习。
下面我将给大家介绍一些高等数学极限练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 计算极限：(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$(c) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 - x + 1}$这些练习题涉及了常见的极限计算方法。
对于第一个问题，我们可以利用泰勒展开式来近似计算。
对于第二个问题，我们可以利用指数函数的性质来计算。
对于第三个问题，我们可以进行分子分母同时除以$x^2$，然后利用极限的性质进行计算。
2. 计算导数：(a) $f(x) = \ln(x^2 + 1)$，求$f'(x)$(b) $f(x) = \arcsin(\sqrt{x})$，求$f'(x)$(c) $f(x) = \frac{1}{x^3}$，求$f'(x)$这些练习题要求我们计算函数的导数。
对于第一个问题，我们可以利用链式法则和对数函数的导数性质来计算。
对于第二个问题，我们可以利用反三角函数的导数性质来计算。
对于第三个问题，我们可以利用幂函数的导数性质来计算。
3. 计算定积分：(a) $\int_0^1 x^2 dx$(b) $\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx$(c) $\int_1^e \frac{1}{x} dx$这些练习题要求我们计算函数的定积分。
对于第一个问题，我们可以利用定积分的性质和幂函数的积分公式来计算。
专升本高数3极限练习题
专升本高数3极限练习题1. 极限的概念题- 定义：设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 < |x - x_0| < \delta$时，都有$|f(x) - A| <\varepsilon$，则称$A$是函数$f(x)$当$x$趋近于$x_0$时的极限。
2. 极限的计算题- 计算极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
- 计算极限：$\lim_{x \to \infty} \left(1 +\frac{1}{x}\right)^x$。
3. 无穷小与无穷大- 判断无穷小：$\lim_{x \to 0} x^2$是否为无穷小。
- 判断无穷大：$\lim_{x \to \infty} x^2$是否为无穷大。
4. 极限的性质- 极限的乘法法则：若$\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x\to a} g(x) = B$，则$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A\cdot B$。
- 极限的加法法则：若$\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x\to a} g(x) = B$，则$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = A + B$。
5. 极限的运算法则- 极限的商法则：若$\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x \to a} g(x) = B$，且$B \neq 0$，则$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$。
- 极限的复合函数法则：若$\lim_{x \to a} f(x) = A$，且$\lim_{x \to A} g(x) = B$，则$\lim_{x \to a} g(f(x)) = B$。
高等数学极限习的题目500道
．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(11110x x x x x x o o x x 答（ ） ．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当232123211cos )(1)1()(0312--=-=β-+=α→D C B A a x x ax x x（ ） 答 阶的是时，下述无穷小中最高当xx D x C x B x A x sin 11cos 1022----→[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→_____________sin 1lim 3202=--→的值xx x e x x．及求证：，，设有数列n n n n n n n nn n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221．及，求记：， ．，设n n n n nn n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=>>==lim lim 112)0(111221求极限之值．lim ()cos sin x x x xx →+-0212设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x Bu x A A v x Bu x A →→→=>==0[] 答（ ） ． ． ． ．2ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=+-→ 答（ ） ． ． ． ．21)21(lim 2sin 0D e C e B A x xx x =+→[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f xx x u x x u_____________69lim 223的值等于---→x x x x．不存在 ． ． ．D C B A e e e e xx xx x 1231234lim =++--∞→答：（ ）lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯2361112335853 不存在答：（ ）____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于xx x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()x x x x x →+--+03416125已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0关于极限结论是： 不存在 答（ ）limx xeA B C D →+015353054答（ ） ，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)()(lim .0)()(lim.)(lim )(lim )(0000∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→= 答（ ） 不存在 2.2...0.1arctantan lim 0π-π=⋅→D C B A xx x答（ ） 2.1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A xx x 答（ ） 不存在 .2.2.2.312lim2D C B A x x x ±-=++∞→___________)0(23)(1=-+=f e x f x，则设 答（ ） 不存在 2....0.1cotarc lim 0ππ=→D C B A xxlim cos ln ....x a x xa A B C D →--==0100123，则其中 答（ ）π____________cos 13lim 20的值等于xx e e x x x ----→lim(cos ).....x x xA B C D →-=-0212220 不存在 答：（）设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞→2555112031求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++32232332[]之值．、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim2241=--+-+-+→之值．，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x dcx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x bx b a x 4313)(lim 1=+-+++→为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 00x x x x x x当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000()lim ()()()．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x ．用无穷大定义证明：+∞=-+∞→)4(lim 3x x x ．其中用无穷大定义证明：)10( log lim <<-∞=+∞→a x a x[]若当时，、都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小 答（ ）x x x x x x A x x B x x C x x D x x →→+++⋅002221αβαβαβαβαβ()().()()()()()()()ln ()()()()()＂当，是无穷小量＂是＂当时，是无穷小量＂的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件 答（ ）x x x x x x A B C D →→00αα()()()()()()＂当时，是无穷小＂是＂＂的：充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件 答（ ）x x f x A f x A A B C D x x →-=→00()lim ()()()()()若，，但．证明：的充分必要条件是 ．lim ()lim ()()lim()()lim ()()()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-⋅=0000000．其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞→a a n n ． ：用数列极限的定义证明)10(1lim 1<<=∞→a ann ．：用数列极限的定义证明2152)2(lim2=++∞→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []之值．求极限3sin 01)(cos lim xx x x -→[]求极限之值．lim(sin )x xx x x→+-0311____________1)sin (cos lim220=-+→x x x x x _____________1)21(lim 230=-+→x x x x __________1)sin 1(lim 0=-+→x x x x ______________1)(cos lim 3sin 20=-→xx x x 求极限之值．lim ()x xx x x →∞+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥21111．时 试证明：当．时，，且当的某去心邻域内设在)(~)()(~)()()()(0000x u x x x x x x x x x u x x α→βα→β≤≤α<[]．求证：存在．，，时，设当A x u x x A x u x x x x x o x x x x x x x x =β-α≠=β-αααα=β→α→→→)()()(lim )0()()()(lim)(~)()()(0)(11000求之值．lim ()()()x x x x →+-+--05721312211[][]设当，，，，均为无穷小，且；，如果试证明：．x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x →=+=+→→→011111110111ααββααββαβααββ()()()()()~()()~()lim ()()lim ()lim ()()()[]设当，，都是无穷小，且，试证明：．x x x x x x x x x x →≠≠+0001αβαβααββ()()()()()~()()()[][])()(1)(1lim)(1)(1lim)()(lim )(~)()()(11100是正常数式中．试证明：；如果均为无穷小，且与时，设当a x x x x A x x x x x x x x a x x a x x x x β-α+=β-α+=βααααα→→→→．用数列极限的定义证明0!1lim=∞→n n成立．时恒有 存在，使当试证必有正整数．，且设22lim CA x AB N n NC A B A x n n n +<<+><<=∞→{}{}设有两个数列，满足； 为定数．试证明：．x y x y M M x y n n n n n n n n ()lim ()()lim()1020→∞→∞=≤⋅=设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sinsin x x x x →021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限．lim sin x x x→+011求极限．limarctan x xx x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x→∞⋅1 求极限．lim x x x →-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。
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设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==0求极限limsinsin x x x x→021[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞+-1 求极限．lim sin x x x →+011求极限．lim arctan x x x x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞⋅1 求极限．lim x x x→-+012122 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限[]Ax f Au f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 000试证：，又，且设设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；当时，为无穷大。
f x x xa b x a f x x b f x ()ln ()()=-→→1设，问：当趋于何值时，为无穷小。
f x xx x f x ()tan ()=2．该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00x f x g x AB B x g A x f x x x x >>==→→设，试证明：对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<000010201221εδδδε．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim0)(lim 0{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +求的表达式f x x xx n n n ()lim =-+→∞+2121设 其中、为常数，，求的表达式；确定，之值，使，．f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim sincos()()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121121021211ππ求的表达式f x x n n ()lim(ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n xx x x x f ---+∞→++=12lim )( ．，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n nn ∞→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕΛ 求的表达式．f x x x x x x xx n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞-11122221Λ 求的表达式．f x x x n nn ()lim =+→∞1 ．，求，其中设n n k nk k n S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1求的表达式。
f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞1121212222Λ ．的表达式，其中求01)1(1)1(lim)(≥+++++=∞→x x x x x x f nn n ．其中．求数列的极限)0( )(23)(23lim 11>>-+-+++∞→b a b a b a n n nn n求数列的极限．lim ()n n nn →∞⨯+⨯-53323求数列的极限．lim()n n n →ℵ++++-123453212Λ ．，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞→q nq q q n n Λ求数列的极限其中．lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥>11211231110Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⋅+⋅∞→)12)(12(1531311lim n n n Λ求数列的极限 ．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+⋅+⋅∞→)1(1431321211lim n n n Λ [])0( )1(321lim 222232>-++++∞→a n na n 其中求数列的极限Λ．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n Λ 求数列的极限．lim ()n n n n →∞+-+21[]求数列的极限．lim ()n n n n →∞++--2451．求数列的极限nn n n n n )1)(1(63lim 34+---+∞→．其中．求数列的极限)1( 2lim ≠+∞→a a a nnn ．求数列的极限)11()311)(211(lim 222nn ---∞→Λ求数列的极限．lim n n n →∞+1000012 求数列的极限．lim n n n n n →∞++-+2243351 求数列的极限．lim()n n n →∞+-1 求数列的极限．lim n n n n →∞++123)200( 2122lim≠>>+-+--+∞→b b a n b n n a n n 且，．求数列的极限求数列的极限．lim ()n n n n →∞--1212 求数列的极限． lim ()n n n n →∞-+-1213求极限．lim n n nn n →∞--⨯-⨯⨯+⨯2103103102102121．，，且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(00．试判定是否可得：B A >是否成立？为什么？，则，若0)()(lim 0)(1lim 0)(lim 000=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x[][]确定，之值，使，并在确定好，后求极限a b x x ax b a b xx x ax b x x lim()lim ()→+∞→+∞++-+=++-+347034722求极限．lim()x xx x x →∞+--11求极限．lim cos sin x x xx x →∞+-23求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222Λ[]求极限．lim ()x xx x x →+∞++-+2251求极限．lim ()x x x x →-∞-+++485212讨论极限．lim x x xx x e e e e→∞---+2343232 求极限．lim ()()()()()()()x x x x x x x x →∞-----++121314151233232 求极限．lim ()()()()()()x x x x x x x →∞+++++-⋅12131415153222222222335 求极限．lim ()()()x x x x →∞--+43326723425 求极限 ，．lim ()x x x a a a a →+∞+>≠1012 求极限．lim tan tan()x x x →⋅-ππ424为无穷小．时，之值，使当，确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→求极限．lim x x x x x →-+-+1343243求极限．lim x x x x →-+-222564求极限．limx x x →+--233222求极限．lim x x x x →--+-2251254求极限．limx xx →+-0255求极限lim ()()()()x x x x x →---++--0352312114132求极限．lim ()()x x x x →+--02324211．为自然数，求极限)( )2(lim n m ax a a x n n mm a x ---→ 求极限lim ()()x x x x →+-+0531214 求极限．lim ()x x x→+-04131设f x ax a x ax a x a()()()=------2211222问：当为何值时，； 当为何值时，； 当为何值时，，并求出此极限值。
()lim ()()lim ()()lim ()1212301112a f x a f x a f x x x x →→→=∞=>求极限．limcsc cot x x x x →-0 求极限．lim cos x axx →-021求极限．lim tan sin x x x x →+-+0311 )20(tan tan lim π<α<α-α-α→ 求极限x x x 求极限 为常数，．lim sin cos sin cos ()x x xpx px p p →+-+-≠0110 讨论极限．lim cos x x x→-022．求极限x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→求极限．lim ln()x x x→+013 ．求数列的极限1)41(arctan lim 2+π-+∞→n n n n求数列的极限．lim sin n n e n→∞ ．求数列的极限12sin 2lim -∞→πn n n 求数列的极限．lim (cos )n n n →∞-21π[] 答（ ） 存在不一定存在都存在，而，不一定存在存在，但不一定存在存在，但，则，上的单调增函数，，是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(00000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈．存在，并求出此极限值，证明：，且设n n n n x ax x a x ∞→+=>>lim 011 。
存在，并求出此极限值，证明，且设n n n n x x x x ∞→++==lim 2211设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．x x x ax a x n n n n n 110120>=+>+→∞()()lim设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。
x x x x x x x x n nnn n 010*******==++=+++→∞Λlim存在．求证：为正整数，设n n n x n n x ∞→++++=lim )(131211222Λ .lim 1311311311112存在，求证：设n n n n x x ∞→++++++++=Λ设，，，，证明：；求极限．x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211212==⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅<+→∞ΛΛΛ()()()()lim求极限．lim ...x x x x x x →∞+++++100101010010001232 {}．为定数）证明：适合设数列0lim ( ,11=<≤∞→+n n nn n x r r x xx求极限．limtan tan cos()x x xx →-+ππ3336求数列的极限．lim !n nn →∞2 ．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02lim =∞→n n n．求数列的极限)12111(lim 222nn n n n +++++∞→Λ ．求数列的极限1!sin lim 32+∞→n n n n．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++∞→222)2(1)2(1)1(1lim n n n n Λ 求极限．lim ln()ln()x xx e e →+∞++233223 求极限．lim ln()ln()x x x x x →∞++-+6325734求极限．limx x x x xx→+∞+++[]设，，当，当讨论及．f x xg x x x x x g x f g x x x ()sin ()lim ()lim ()==-≤+>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪→→220200ππ [])()(lim , )()(lim )(lim 0000u f x f u f u f u x x x u u x x =ϕ==ϕ→→→证明：，设。