椭圆双曲线抛物线复习

P在双曲线的右支上,准线方程为x 16 , 5
| PF1 | | PF2 | 5 , 5 | x 16 | 2 | x 16 | 5 ,
| x 16 | | x 16 | 4 4
5
54
5
5
由此得x 48 ,
代入双曲线方程得, y 3 119
5
5
代 它例到:入在右双双 焦曲点曲线的线 1距x62离方的y92程两 1倍得上.,求y一点P53,使它1到19左焦点的距离是
|y|≥5
(0,±5)
6,0 3 10 ,0 0,2 2 0, 74
e3 2 4
e 10 e 2 e 74 5
y 2 x y=±3x x y x 7 y
4
5
例:已知双曲线的两个焦点的距离为26，双曲线上 一点到两个焦点的距离之差的绝对值为24，求双 曲线的方程。
解：设焦点F1, F2在x轴上,由题意知 2c 26,2a 24.
例题: 设P是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b)上一点, F1, F2是焦点,
若PF1 PF2,求证 : F1PF2的面积是 b2.
证明: 如图,由椭圆的定义得|PF1|+|PF2| = 2a
由此得|PF1| 2 + |PF2| 2 + 2 |PF1| |PF2| = 4a2
又|F1 F2| = 2c ，PF1 ⊥PF2，
y P
故|PF1| 2 + |PF2| 2 = | F1 F2| 2 = 4C2
F1 o F2
x
| PF1 || PF2 | 2(a2 c2 ) 2b2.
SF1PF2
1 2
|
PF1
||
P
F2
| b2
练习:
(1)若方程 x2 y2 1表示椭圆,则k的取值范围是k__1
1 k 1k
若方程
x2
a 12, c 13,b2 c2 a2 132 122 25.
故当焦点在 x轴上时, 双曲线的方程为 x2 y 2 1. 144 25
当焦点在 y轴上时, 双曲线的方程为 y 2 x2 1. 144 25
例 : 若一个动点 P(x, y)到两个定点 F1(1,0), F2 (1,0)的距离
(5)渐近线方程： (6)离心率：e c
a
y a x b
例1:求双曲线 9x2 16 y2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解: 把方程化为标准方程：
可得:实半轴长a=4
x2 42
y2 32
1
虚半轴长b=3
半焦距 c 42 32 5
焦点坐标是(-5,0),(5,0)
F1, F2为两焦点, 且PF1 PF2, 若点P到两准线的距离
分别为6和12,求椭圆的标准方程 .
y
P
解:
如图, 设椭圆方程 焦距为2c,
x2 a2
y2 b2
1,
F1 O F2
x
由椭圆定义得|
| PF1 |2 | PF2 |2
PF1 | c 6a
| F1F2 |2
, | PF2 12
(2c)2 ,
并说明它是什么样的曲线.
解法一: 如图, 设动圆的圆心 Px, y, y
N
半径为R, 两已知圆的圆心
R
分别为O1 , O2 .
M
Hale Waihona Puke Baidu
P
x
分别将两已知圆的方程 配方
o oo
1
2
得x 32 y2 4,
x 32 y2 100.
当圆P与圆O1外切时, 有
OP 1
R 2, ①
当圆P与圆O2内切时, 有
(5)渐近线方程： (6)离心率：e c
a
y b x a
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
1.标准方程：
y2 a2
x2 b2
1
2.几何性质：
(1)范围： Y ≥a或y≤-a
Y F2
A2
B1 o
B2 X
(2)对称轴：关于x轴，y轴，原点对称。 A1
(3)顶点： A1（0,-a），A2（0,a）
F2
(4)轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
O P 10 R. ② 2
① ②两边分别相加, 得
O P O P 12,
1
2
即: x 32 y2 x 32 y2 12.③
2 x 32 y2 12 x. ④
将④两边分别平方,得 : 3x2 4y2 108 0
x2 y2 1.动圆圆心的轨迹是椭圆 , 36 27
它的长轴和短轴长分别 为12,6 3,如图中虚线所示
y2 b2
1
c y
B2
y2 2 a2
x2 b2
1
Y A2
F2
A1
x A2
B1 o F1 B2 X
B1
A1
a x a,b y b b x b,a y a
关于x轴，y轴， 原点 ,对称。
关于x轴，y轴， 原点 ,对称。
A(a,0), B(0,b) A(0,a), B(b,0)
e c (0 e 1)
那么F1PF2的面积为__1看2_ 过3程
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
1.标准方程： x 2 y 2 1
a2 b2
2.几何性质：
(1)范围： x≥a或x≤-a
F1 A1
(2)对称轴：关于x轴，y轴，原点对称。
Y
B2
X
A2 F
2
B1
(3)顶点： A1（-a，0），A2（a，0） (4)轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
练习: 求椭圆25x2 y2 25的长轴和 短轴的长, 焦点和顶点的坐标.
解: 椭圆的标准方程为 y2 x2 1,
25
a 5,b 1, c 25 1 2 6.
长轴长 2a 10.短轴长 2b 2,
焦点F (0,2 6), 顶点(0,5), (1,0).
例2 已知椭圆的焦点在 x轴上, P为椭圆上一点 ,
2
1, 轨迹是双曲线 ;
4
4
(4)当a 2时, 无轨迹.
例
:
在故双点曲P线的1x62坐标y92 为 1,上( 4求8一,点3P,
使它到左焦点的距离是
119).
它到右焦点的距离的两 倍.5 5
解一设P点的坐标为 (x, y), F1, F2为双曲线的左右焦点 ,
a 4,b 3,c 5, 又 | PF1 | 2 | PF2 | .
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
x2 y2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
y2 2 px
( p 0)
y
B1
x
y
y
M
M
P
A1
O
A2
F1 o F2 x
OF
x
B2
(a,0),(0,b) (a,0)
(0,0)
y
B1
x
y
y
M
M
P
A1
O
A2
F1 o F2 x
OF
x
B2
对称轴 x轴,长轴长2a x轴,实轴长2a
定义:
平面内到一个定点和一条定直线的距离 的比等于定长e的点的集合,
①当0<e<1时,是椭圆. ②当e>1时,是双曲线. ③当e=1时,是抛物线.
y
K
P
oF
x
椭圆
双曲线 抛物线
几何条件
标准方程 图形
顶点坐标
与两个定点的距 与两个定点的 与一个定点和 离的和等于定值 距离的差的绝 一条定直线的
对值等于定值 距离相等
| PF2 | 8 5 , | x 16 | | x 16 | 4
由此得x 48 , 5
5
5
例故: 在点双P曲的线 坐1x62 标y92为 1,上( 4求8一,点 P3,使它11到9左)焦 . 点的距离是 它到右焦点的距离的两 倍. 5 5
解三设P点的坐标为 (x, y), F1, F2为双曲线的左右焦点 ,
(2)双曲线: 平面上到两个定点F1, F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这 两个定点叫做焦点,两焦点间的距离叫做焦距(|| PF1 |
| PF2 || 2a). (3)抛物线: 平面内到一个定点F和一条定直线l的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做焦点, 直线l叫做 准线.
离心率:
e c 5
a4
渐近线方程:
y3x 4
方程 2a 2b
范围 顶点 焦点 离心率 渐近线
x2 8y2 32 9x2 y2 81 x2 y2 -4
82
6
4
4 18
4
| x | 4 2 |x|≥3 |y|≥2
4 2,0 (±3,0) (0,±2)
x2 y2 1 49 25
10 14
解法二: 同解法一得方程
O P O P 12,
1
2
由方程可知,动圆圆心Px, y到点O 3,0 1
和O 3,0的距离和为常数12,且12 6 2
点P的轨迹为椭圆即: 2c 6,2a 12
c 3,a 6 b2 36 9 27.
x2 y2 1. 动圆圆心的轨迹是椭圆, 36 27 长轴和短轴长分别为12,6 3.
例 : 过点P(8,1)的直线与双曲线x2 4y2 4相交于A, B 两点, 且P是线段AB的中点,求直线AB的方程.
解一 设直线AB的方程为y 1 k(x 8)
解方程组 x2 4 y2 4, 得 y 1 k(x 8)
(1 4k 2 )x2 8k(1 8k)x 4(1 8k)2 4 0,
解故二点设PP的点的坐坐标标为为(,x(,4y)8, F,1, F32为双 11曲9线).的左右焦点 , a 4,b 3,c5 5,5又 | PF1 | 2 | PF2 | .
P在双曲线的右支上,准线方程为x 16 , 5
又 | PF1 | | PF2 | 8,
| PF2 | 8,| PF1 | 16.
| 36ac,ac22P14F41
PF2,
c2 a2
4c
2
由此得 a2 45. 又6 12 2 a2 ,c 5.b2 a2 c2 20.
c
所求椭圆的方程为 x2 y2 1.
45 20
例3 : 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切,同时与圆
x2 y2 6x 91 0内切,求动圆圆心的轨迹方程,
e c (0 e 1)
a
a
椭圆的几何性质
由
x2 a2
y2 b2
1
即 x a和 y b
x2 a2
1和
y2 b2
1
y
说明：椭圆位于直线
X=±a和y=±b所围成 的矩形之中。
x o
焦点坐标(c,0),c a2 b2
准线方程 : x a2 c
离心率 : 0 e 1
例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离
点A, B的坐标为 A(x1, y1), B(x2 y2 ),
再由x1 x2 16, y1 y2 2解得k 2,
直线AB的方程为 2x y 15 0.
y2
1 k 1
1表示双曲线 ,则k的取值范围是 ___
1 k 1k
(2)已知椭圆的中心在原点, 焦点在坐标轴上, P1( 6,1),
P2 ( 3, 2),
(3)椭圆 x2 9
则椭圆的方程是x_2___y_2 1
y2 4
93
1的焦点为F1, F2, P为其上的动点,
当(4)P是F1P椭F圆2为6x42钝角3y62时,1点上P一横点坐, F1标, F的2焦取点,值且范F围1P是F2看__过3程,
心率、焦点和顶点坐标
解: 把已知方程化成标准方程得
x2
y2
1
52 42
这里a 5, b 4, c 25 16 3
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
焦点坐标分别是
离心率 e c 3 0.6 a5
F1(3,0), F2 (3,0)
四个顶点坐标是
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
y2 2 px
( p 0)
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0) (a 0,b 0)
定义:
(1)椭圆: 平面内到两个定点F1, F2的距离的和等于常 数(大于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做 焦点,两个焦点的距离叫做焦距(| PF1 | | PF2 | 2a).
y轴,短轴长2b y轴,虚轴长2b
x轴
焦点坐标 离心率 e c
a 准线方程
渐近线方程
(c,0) c a2 b2
0 e 1
a2 x
c
(c,0) c a2 b2
e 1
a2 x
c
ybx a
( p ,0) 2
e 1
x p 2
椭圆 方程
图形
范围 对称性 顶点 离心率
a x 2 准线方程 x a2
之差的绝对值为定值 a,求点P的轨迹方程 , 并说明轨迹的形状 .
解：| F1F2 | 2,
(1)当a 2时, 轨迹方程是 y 0(x 1或x 1),
轨迹是两条射线 ;
(2)当a 0时, 轨迹是线段 F1F2的垂直平分线 x 0;
(3)当0 a 2时, 轨迹方程是
x2 a2
1
y
2
a
a 4,b 3,c 5, 又 | PF1 | 2 | PF2 | .
P在双曲线的右支上 , F1(5,0), F2 (5,0).
(x 5)2 y2 2 (x 5)2 y2 ,
由
x2 y2 1 16 9
(x 5)2 y2 4(x 5)2 4y2
x 48 , 5
y 3 119 5