分式运算和分式方程经典题型

分式运算

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1.因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式） ，三“用”（十字相乘法）

2.乘法公式：(1)（a ＋b ）(a －b)＝ ；(2) (a ±b)2＝ ；(3)22b a += ；(4)ab = ；

(5)22b a +=(a+b)2 － =(a －b)2 + ；(6)(a +b)2 =(a －b)2 + ； (7)(a －b)2＝ (a+b)2 － ；

3.分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果B 中含有 ，那么称 A

B

为分式；（分式只看

形式不看化简结果）；若A B 有意义，则 ；若 A B 无意义，则 ；若A

B

＝0，则 .

若A B >0，则 .若A

B

<0，则 .

4.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的 ．

5.通分的关键是确定n 个分式的 ，约分的关键是确定分式的分子、分母中的 。

6.分式的运算： ⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .② 异分母的分式相加减： . ⑵ 乘法法则： 乘方法则： ⑶ 除法法则： 。

7.整数指数幂：一个不为零的数的负整数幂等于这个数 .即=-n

a . 【典例精析】

1.代数式1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-，24x x +，a a 2，m

a 1+，21

321x x x +--，3πx -，323a a a +，中分式有（ ）

A.5个

B.6个

C.7个

D.8个

2.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -⑤12(1)

x x --⑥212x x x ---中,最简分式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.下列分式变形正确的是（ ） A.ab a b a 2= B.1121122-++=-+a a a a a C ．x y x y -+--=x y x y +- D.2

b ab

b a =

4.如果下列分式有意义，则x 的取值是任意实数的是（ ） 222

2

2

5

21....

1

2

1

x x x x A B C D x

x x x ++--++ 5．使分式

)3)(1()

3)(1(-++-x x x x 有意义，则x ；使分式2

)1(1+x 有意义，则x ；分式x

-11

-11无意义，则x . 6．使分式1

22--x x

x 的值为零的所有x 的值是（ ）A 0=x B ．1=x C ．0=x 或1=x D ．0=x 或1±=x

7．⑴若分式2|2|1

2

x x x +---的值为0，则x ＝ ；⑵若分式2

242x x x ---的值为零,则x 的值是 .

8.已知当x =-2时，分式

x b

x a

--无意义；x=4时，分式值为0．则a+b = ． 9．将分式323x y xy

-中的字母x ，y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）

A ．不变;

B ．扩大为原来的3倍

C ．扩大为原来的9倍;

D ．缩小为原来的

13

10.把分式)0(2≠-a a

b a 中的分子，分母的a 同时缩小3倍，那么分式的值是（ ） A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、改变 D 、不改变

11.用科学记数法表示：－0.0003085＝__________________（保留两个有效数字） 12．⑴若

13+a 表示一个整数，则整数a ＝ . ⑵若分式23

x

x -的值为负数，则x 的取值范围 ． 13．将分式 的分子、分母各项系数化为整数，其结果为 ． 132

132a b a b

+-

14. ⑴当x 时，分式72

53-+÷

-+x x x x 有意义；⑵ 若022(1)(1)2

x x x x -+--++-有意义，则x . 15. ⑴若m 为正实数，且13m m -

=，221m m

-则= ；⑵已知m 满足01102=+-m m ，则44-+m m ＝____． 16. ⑴计算(x+y)·22

22

x y x y y x

+-- =____________；⑵计算：d d c c b b a 111⋅÷⋅÷⋅÷＝____________. 17. ⑴计算1

2

01(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭

＝_________；⑵2012

2-01-31-3-2-）

（）（）（++π＝_________. 18．⑴已知已知2

111=-b a ，则b a ab -的值为 ；⑵已知11m n -＝3，那么2322m mn n

m mn n +---的值为________．

19．⑴若234a b c ==，则325a b c a b c -+++＝ ；⑵已知5:3:2::=c b a ，则分式c

b a c

b a 32+-++＝ ．

20．⑴计算4222x x x x x x

⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭＝ ；⑵计算：22

11121(1)a a a a a +---+-＝ ． 21．化简a a a -+

-11

1=________；化简2

224()22a a a a ---+＝________；化简（x －x 1-x 2）÷（1－x

1）=________． 22．已知

322(2)(5)25

x a b

x x x x -=-+-+-，则a =________．b =________．

23．⑴已知31=+x x ，分式22

1x

x +=________；⑵已知31=+m m ，分式12

42++m m m =________． 24．⑴若x 2－4x ＋1＝0，则2421x x x ++的值为________；⑵已知2

112=+-x x x ，则2421x x x ++＝________． 25．⑴若

21

=-y y x ，则y x ＝___________；⑵已知b

a b a +=+511，则b a a b +＝________________．

26．已知1=ab ，设11+++=

b b a a M ，1

1

11++

+=b a N ，则M 和N 的大小关系是________． 27．已知1=ab ，2=+b a 则式子b a a b +＝________；221

1b

a +＝________；a

b b a 22+＝ ．

28．观察下面一列有规律的数：

31，82，153，244，355

，48

6，……根据规律可知第n 个数应是 （n 为正整数）． 29．观察下列各式：11111323

⎛⎫=- ⎪⨯⎝

⎭

，111135235⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭

，…，观察计算：1111133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+＝ ． 30. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时.

A.

11a b + B.1ab C.1a b + D.ab

a b

+ 31．一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，•已知他上山的速度为v ，下山的速度为v′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为（ ） '2'2'

.

.

.

.

2'

'

'

u u s suu uu A B C D s

u u u u u u ++++