递推关系的建立及其求解方法
三项递推关系求通项
三项递推关系求通项1. 什么是递推关系？在数学中，递推关系是指通过给定的初始条件和递推公式来确定一系列数值的方法。
递推关系常用于解决一些复杂的问题，特别是与数列、函数或图形有关的问题。
2. 什么是通项？通项是指一个数列中任意一项与其序号之间的关系。
通过求得一个数列的通项，我们可以方便地计算出该数列的任意一项。
3. 求解三项递推关系的方法下面将介绍如何求解三项递推关系，并得到该递推关系的通项公式。
步骤1：观察前几个数值首先，我们需要观察给定的数列或序列，并记录下前几个已知的数值。
这些已知数值将作为我们求解递推公式和通项公式的基础。
步骤2：建立递推公式根据观察到的已知数值，我们可以尝试建立一个递推公式，使得该公式能够从前一项或几个前置项计算出当前项。
例如，假设我们观察到以下数列：1, 2, 4, 8, …我们可以发现，每一项都是前一项的两倍。
因此，我们可以建立如下的递推公式：a(n) = 2 * a(n-1)，其中a(n)表示第n项。
步骤3：求解递推公式在建立了递推公式之后，我们需要通过该公式来计算数列的其他项。
首先，我们可以使用递推公式计算出第3项和第4项：a(3) = 2 * a(2) = 2 * 2 = 4 a(4) = 2 * a(3) = 2 * 4 = 8然后，我们可以继续使用递推公式计算出更多的项。
步骤4：观察数列并总结规律通过计算数列的多个项，我们可以进一步观察数列中的规律，并总结出通项公式。
以前面的例子为例，观察数列可知，每一项均为前一项乘以一个常数。
因此，通项公式可以表示为：a(n) = a(1) * (常数)^n对于这个例子来说，常数为2。
因此，通项公式可以写成：a(n) = a(1) * (2)^n步骤5：验证通项公式最后，我们需要验证所得到的通项公式是否能够正确地计算出数列中的任意一项。
我们可以选择一个任意的n值，将其代入通项公式中计算得到的结果与实际数列中的对应项进行比较。
递推关系解题的关键技巧与应用
递推关系解题的关键技巧与应用递推关系（recurrence relation）是数学中常见的一种关系式，它可以通过前一项或前几项的数值来表示后一项。
在解决问题时，递推关系常常被用于推导出问题中的规律，从而找出解决方法。
本文将介绍递推关系解题的关键技巧以及应用。
一、递推关系解题的关键技巧1. 确定初始条件：在使用递推关系解题时，首先需要确定初始条件。
也就是说，要找到递推关系式中的第一个或前几个数值。
初始条件的确定通常需要根据问题的具体情况来判断。
2. 推导递推关系：通过观察问题中给出的数值和规律，可以尝试推导出递推关系。
这个关系有可能是数列、数表或者其他形式的递推公式。
3. 利用递推关系求解：一旦递推关系确定，就可以利用它来求解问题。
根据递推关系的定义，通过已知的数值逐步推导出后面的数值。
4. 验证解答的正确性：最后，需要验证所得到的解答是否正确。
可以通过递推关系来逐项验证，或者将解答代入原始问题中进行验证。
通过以上技巧的应用，可以更加轻松、高效地解决递推关系问题。
二、递推关系解题的应用递推关系的应用非常广泛，以下是一些常见的例子：1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递推关系问题。
其递推关系式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
可以利用这个递推关系来求解斐波那契数列中的任意项。
2. 阶乘计算：阶乘是另一个常见的递推关系问题。
定义n的阶乘为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，其中0的阶乘为1。
通过递推关系n! = n * (n-1)!，可以计算出任意非负整数的阶乘。
3. 数字排列组合：在某些排列组合问题中，递推关系也经常被使用。
比如在八皇后问题中，可以通过递推关系来确定皇后在每一行中的位置，从而求解出问题的解。
4. 动态规划问题：动态规划是一种使用递推关系进行求解的方法。
通过将问题分解为子问题，并利用递推关系求解子问题，最终得到原始问题的解。
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式特征根法和不动点法是两种常用的方法来求解递推数列的通项公式。
本文将从这两个角度详细介绍这两种求解方法，并举例说明其应用。
一、特征根法（Characteristic Root Method）特征根法是一种基于代数方法的求解递推数列通项公式的方法，它通过寻找递推关系式的特征根来获取通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
（2）设通项公式：假设递推数列的通项公式为Un=a^n。
（3）代入递推关系式：将通项公式Un=a^n代入递推关系式，得到方程Un=P(Un-1,Un-2,...,Un-k)，其中P为k个变量的多项式函数。
（4）寻找特征根：解方程Un=0，得到特征根r1，r2，...，rk。
（5）确定通项公式：根据特征根，得到通项公式Un=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1，C2，...，Ck为待定系数。
（6）确定待定系数：利用已知序列的初始条件，求解待定系数，得到最终的通项公式。
2.示例：求解递推数列Un=3Un-1-2Un-2，已知U0=1，U1=2（1）建立递推关系式：Un=3Un-1-2Un-2（2）设通项公式：Un=a^n。
（3）代入递推关系式：a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)。
（4）寻找特征根：解方程a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)，得到特征根a=2，a=1（5）确定通项公式：Un=C1*2^n+C2*1^n。
（6）确定待定系数：利用初始条件U0=1，U1=2，得到方程组C1+C2=1，2C1+C2=2，解得C1=1，C2=0。
最终的通项公式为Un=2^n。
二、不动点法（Fixed Point Method）不动点法是一种基于迭代的求解递推数列通项公式的方法，它通过设定一个迭代公式，求解极限来获得通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
组合数学讲义3章递推关系
组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。
（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。
（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。
（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。
递推算法
递推算法典型例题一、教学目标1、由浅入深，了解递推算法2、掌握递推算法的经典例题二、重点难点分析1、重点：递推关系的建立2、难点：如何将所求问题转化为数学模型三、教具或课件微机四、主要教学过程(一)引入新课客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。
我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。
递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。
(二)教学过程设计递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。
这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。
从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。
无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。
这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。
递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。
一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。
（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。
所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，这种方法称为迭代。
）1．递推关系的定义和求解递推关系的方法有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：f n=g(f n-1)或者f n-1=g'(f n)这样就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。
递推法
Fibonacci数列的应用
Fibonacci数列是最著名的递推公式。经常 出现在各种竞赛题中。 你能看出这几个题都是这个问题的应用吗？
例2 完美覆盖问题
问题描述:有2×n的一个长方形棋盘,用一些1×2的骨牌铺满 方格.例如n=3时,在2×3的棋盘上用1×2的骨片覆盖,共有 3种铺法。
问题求解:编写一个程序,试对给出的任意一个n(n>0),输出铺
01串
有1个长为n的01串，要求不能出现101和111.求符合条件的字符串有多 少个？ n<1000000 分析一：设a[n]为n个字符最后两位为00所形成的方案数，同样，b[n]对 应最后两位为01，c[n]对应最后两位为10，d[n]对应最后两位为11. 则a[n]=a[n-2]+b[n-2]+c[n-2]+d[n-2]=a[n-1]+c[n-1] b[n]=a[n-1]=f[n-3] c[n]=b[n-1]+d[n-1] d[n]=b[n-1]=a[n-2]=f[n-4] 所以f[n]=a[n]+b[n]+c[n]+d[n]=f[n-1]+f[n-3]+f[n-4]
我们用递推法求解问题时，关键是找出后项与前项之前的数学关系。 然后从初始项开始，逐项递推。在算出前n-1项之前，我们是不知道第 n项的值的。可以说，为了求第n项值，我们总共要计算n次，因此时间 复杂度为O(n)
而通项式建立的是第n项与项数n之间的数学关系。我们可以直接用项 数n计算出第n项的值。可以说，为了求第n项的值，我们只需计算1次 ，因此时间复杂度为O(1)
生成树的数目
在网格中取一个N x 1的矩形，并把它当作 一个无向图。这个图有2(N+1)个顶点，有 3(N-1)+4条边。这个图有多少个生成树？ 样例输入：1 样例输出：4
高中数学：第三章：数列-递推法解题(竞赛精讲)
§3.3递推法解题基础知识对于某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，扎谓用递推法解题，就是根据题目的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系。
递推关系一般可以用归纳、猜想等途径获得。
利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系求通项。
递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n个数为a n，则a n+1=a n+1; 即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。
由此可得a n＋2=a n＋1＋1，这样就可以得到自然数数列中任何一个数.再看一个例子：平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？解：假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k＝0，1，2，….a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11…归纳出递推公式a n＋1＝a n+n. （1）即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式（1）是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成：a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。
高中数学中的数学归纳法与递推关系求解
高中数学中的数学归纳法与递推关系求解数学归纳法和递推关系是高中数学中重要的概念和方法。
它们在解决数列、证明等问题中起着重要的作用。
本文将从数学归纳法和递推关系的基本概念入手，探讨它们在高中数学中的应用。
数学归纳法是一种证明方法，它的基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
通过这种逐步推进的方式，最终可以得出结论：对于任意的自然数n，命题都成立。
这种方法的关键在于将问题分解为若干个子问题，通过证明每个子问题的成立，最终得到整体问题的解。
例如，我们想要证明对于任意的正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2成立。
首先，当n=1时，左边等于1，右边等于1(1+1)/2，两边相等。
然后，假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
左边等于1+2+3+...+k+(k+1)，根据假设，可以将前面的部分替换为k(k+1)/2，于是左边等于k(k+1)/2+(k+1)。
右边等于(k+1)((k+1)+1)/2，即(k+1)(k+2)/2。
将左右两边进行化简，可以得到相等的结果。
因此，根据数学归纳法，对于任意的正整数n，等式都成立。
数学归纳法在高中数学中广泛应用于数列的证明和性质的推导。
通过将数列的性质分解为每个项的性质，可以通过数学归纳法逐步证明整个数列的性质。
例如，我们想要证明斐波那契数列的性质：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
首先，当n=1时，左边等于F(1)，右边等于F(0)+F(-1)，根据斐波那契数列的定义，F(0)=0，F(-1)=1，所以右边等于1。
因此，当n=1时，等式成立。
然后，假设当n=k时，等式成立，即F(k)=F(k-1)+F(k-2)。
接下来，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
左边等于F(k+1)，右边等于F(k)+F(k-1)，根据假设，可以将右边替换为F(k-1)+F(k-2)+F(k-1)。
线代递推法
线代递推法
线代递推法指的是在线性代数中，通过递推关系式来求解一系列线性方程组的方法。
具体操作步骤如下：
1. 设定初始条件。
给出递推关系式之前，首先需要给出起始的一组线性方程组解。
这些解可以通过已知条件、初值或者自选来确定。
2. 建立递推关系式。
假设我们已经知道了第n个方程组的解，我们希望求解出第n+1个方程组的解。
通过观察已知的方程
解的规律，我们可以得到一个递推关系式，将第n+1个方程
组的解与第n个方程组的解建立起联系。
3. 求解递推关系式。
根据递推关系式，我们可以通过已知的第n个方程组的解求解出第n+1个方程组的解。
这可以通过矩阵
运算来实现，例如求解矩阵的特征值和特征向量，进行矩阵相乘等。
4. 迭代求解。
通过不断重复第2步和第3步，我们可以计算出连续的方程组解，直到达到所需的精度或者满足其他终止条件。
5. 检验结果。
最后，我们需要检验所求得的方程组解是否满足递推关系式，并对计算结果进行验证。
线代递推法常用于求解具有递推性质的问题，在数学、物理等领域中有广泛的应用。
三项递推关系求通项
三项递推关系求通项要求一个递推关系的通项，需要知道递推关系的初始条件和递推公式。
以下是三种常见的递推关系的通项求解方法：1. 线性递推关系：假设线性递推关系为 a_n = p*a_(n-1) + q*a_(n-2)，其中p和q为常数，a_n为第n项的值。
我们需要知道的初始条件为 a_0和 a_1。
假设通项形如a_n = x^n，其中x为常数。
将其代入递推关系，得到：x^n = p*x^(n-1) + q*x^(n-2)整理，得到特征方程：x^2 - p*x - q = 0解特征方程，得到x1和x2，这两个根就是递推关系的通项的形式。
2. 非线性递推关系：假设递推关系为 a_n = f(a_(n-1), a_(n-2))，其中f为一个函数。
我们需要知道的初始条件为 a_0 和 a_1。
通常情况下，求非线性递推关系的通项比较困难，没有统一的解法。
需要根据具体的递推关系和函数f的性质来进行分析和求解。
3. 递归递推关系：递归递推关系是一种常见的递推关系形式，常用于定义数列的递推关系。
比如斐波那契数列的递推关系为：F_n = F_(n-1) + F_(n-2)，初始条件为 F_0 = 0 和 F_1 = 1。
可以通过数学归纳法证明，斐波那契数列的通项为F_n = (φ^n - (-φ)^(-n)) / √5，其中φ=(1+√5)/2为黄金分割比。
总结来说，要求一个递推关系的通项，需要根据具体的递推关系形式进行分析和解决。
对于线性递推关系，可以通过特征方程解得通项表达式；对于非线性递推关系，需要具体问题具体分析；对于递归递推关系，可以通过数学归纳法证明通项的形式。
递推关系的建立及其求解方法
区域①是一个凸k边形,区域②是一个凸n-k+1边形,区域①的拆分方案总数是f(k) 区域②的拆分方案数为f(n-k+1),故包含△P1PkPn的n 边形的拆分方案数为 f(k)* f(n-k+1)种
F(n)=
∑ f(i) * f(n - i + 1)
i =2
n 1
问题二: 问题二:二叉树数目 问题描述: 个结点能构成不同二叉数的数目. 问题描述:求n个结点能构成不同二叉数的数目. 个结点能构成不同二叉数的数目 【问题分析】: 设F(n)为n个结点组成二叉树的数目. 容易知道:f(1)=1;f(2)=2,f(3)=5
现在要求把1柱上 个圆盘按下述规则移到 柱上: 现在要求把 柱上n个圆盘按下述规则移到 柱上: 柱上 个圆盘按下述规则移到m柱上 (1) 一次只能移一个圆盘; 一次只能移一个圆盘; (2) 圆盘只能在 个柱上存放; 圆盘只能在m个柱上存放 个柱上存放; (3) 在移动过程中,不允许大盘压小盘. 在移动过程中,不允许大盘压小盘.
通过以上步骤我们可以初步得出: 通过以上步骤我们可以初步得出: f[i] = 2*f[j]+2^(i-j)-1
j可取的范围是 可取的范围是1<=j<I,所以对于不同的 ,得到的 可能 可取的范围是 ,所以对于不同的j,得到的f[i]可能 是不同的, 是不同的,本题要求最少的移动次数
f[i] = min{2*f[j]+2^(i-j)-1},其中1<=j<I
n
F(n)=
∑ f(i - 1) * f(n - i)
i =1
4,第二类Stirling数 ,第二类 数 问题一: 问题一:放置小球 n个有不同的球放到 个相同的盒子中,要求无一空盒,其不同的方案数用 个有不同的球放到m个相同的盒子中 要求无一空盒, 个有不同的球放到 个相同的盒子中, S(n,m)表示,称为第二类 表示, 表示 称为第二类Stirling数 ,求S(n,m). 数 . 设有n个不同的球,分别用b1,b2,……bn表示.从中取出一个球bn,bn 的放法有以下两种: 1)bn独自占一个盒子;那么剩下的球只能放在m-1个盒子中,方案数为 S(n-1,m-1) 2)bn与别的球共占一个盒子;那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个 盒子中,然后再将球bn可以放入其中一个盒子中,方案数为 mS(n-1,m)
递推关系的解
递推关系的解简介递推关系是数学领域中一种常见的描述数列的方式。
通过建立递推关系，我们可以根据已知的数值计算出后续的数值，从而得到数列的规律和性质。
本文将介绍递推关系的概念、求解方法以及应用举例。
递推关系的定义递推关系是指数列中的每一项都可以通过它的前一项或前几项计算得出。
一般来说，递推关系可用一个递推公式来表示，例如：a n=f(a n−1,a n−2,…,a n−k)其中a n表示数列的第n项，f是一个函数，a n−1,a n−2,…,a n−k是已知的前几项。
递推关系的求解就是要找到该函数f的具体形式，以便计算出数列的任意项。
递推关系的求解方法直接求解法对于一些简单的递推关系，我们可以直接观察规律，找到递推公式的具体形式。
例如，斐波那契数列的递推关系是a n=a n−1+a n−2，我们可以通过观察发现a n等于前两项的和。
递推公式的代入法对于一些较为复杂的递推关系，我们可以通过代入的方式求解。
首先，我们可以列出递推公式的前几项，然后将这些项代入递推公式中。
通过计算，我们可以发现一些规律，从而找到递推公式的具体形式。
递推关系转化为矩阵形式对于一些特殊的递推关系，我们可以将其转化为矩阵形式，进而求解。
如果递推关系具有如下形式：[a n a n−1⋮a n−k+1]=A⋅[a n−1a n−2⋮a n−k]其中A是一个矩阵，[a n a n−1⋮a n−k+1]和[a n−1a n−2⋮a n−k]分别表示数列的第n项和第n−1项到第n−k项的向量。
我们可以通过计算矩阵的幂，求得数列的任意项。
递推关系的应用举例斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推关系的例子。
该数列的递推关系是a n=a n−1+ a n−2，其中a1=a2=1。
通过不断求解递推关系，我们可以得到斐波那契数列的前几项：1,1,2,3,5,8,13,…。
等差数列和等比数列除了斐波那契数列，等差数列和等比数列也是常见的递推关系。
对于等差数列，递推关系为a n=a n−1+d，其中a1是首项，d是公差。
15. 递推方法
an=an-1+2(n-1).
从而 an=an-2+2(n-2)+2(n-1)
=an-3+2(n-3)+2(n-2)+2(n-1)=……
a b
xn1 axn bxn1可变形为xn1 xn ( xn xn1 )
解：பைடு நூலகம்递推公式得：ak 1 2ak 2k ，令k n 1, n 2,
an 2an1 2n1 , an1 2an2 2n2 ,
, 2,1, 得：
, a3 2a2 22 , a2 2a1 21
将以上各式分别乘以1,2, , 2n3 , 2n2 , 得：
第四节 递推方法
一、递推方法的含义
递推方法是根据具体问题 ,首先建立递推关系 ,再 通过递推关系进行求解 , 从而解决这一具体问题的方 法.递推关系是表示带正整数参数的一类特殊关系 ,从 给定的初始值出发 , 通过这种关系一步一步地递推获 得结果. 利用递推方法解题的步骤是:
①求初始值;
②建立递推关系;
1 1 例5已知 f (1) 3 , 且 f (n) 3 f (n 1) (n 2,3, ). 2 2 求 f (n)的表达式. 1 1 3 1 解： f (1) 3 ( ) 2 (sin ) 2 2 2 3
，
1 1 1 1 1 f (2) 3 f (1) 3 ( f (1)) 4 [ f (1)] 4 2 2
高中数学教学备课教案递推关系的建立与计算
高中数学教学备课教案递推关系的建立与计算一、引言在高中数学教学中，备课教案的编写是非常重要的一环。
备课教案旨在帮助教师系统地组织教学内容，提供教学方案和教学步骤，以便学生能够更好地理解和掌握数学知识。
本文将讨论高中数学备课教案中递推关系的建立与计算方法，以帮助教师提高备课效率和教学效果。
二、递推关系的概念递推关系是指一种数列中的每一项都与它的前一项（或前几项）之间存在某种确定的关系，通过这种关系可以逐步推导出数列的每一项。
递推关系在数学中具有广泛的应用，例如在等差数列、等比数列、斐波那契数列等中都存在递推关系。
三、递推关系的建立方法建立递推关系是备课教案中的重要内容之一，下面将介绍一些常用的方法。
1. 观察法观察法是最直观的建立递推关系的方法之一。
通过观察数列的规律，找出数列中每一项与前一项之间的关系，并用代数式表示出来。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，可以观察到每一项都比前一项大2，因此可以建立递推关系为an = an-1 + 2。
2. 代数法代数法是通过将数列的每一项用代数式表示，然后根据代数式之间的关系建立递推关系。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16，可以将每一项表示为an = 2^n，其中n为项数。
根据代数式an与an-1之间的关系，可以建立递推关系为an = 2 * an-1。
3. 公式法有时候可以利用已知的数学公式建立递推关系。
例如，对于斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5，可以利用斐波那契数列的定义公式建立递推关系为an = an-1 + an-2。
四、递推关系的计算方法在建立递推关系之后，需要用递推关系计算数列的每一项。
下面将介绍一些常用的计算方法。
1. 递归法递归法是一种常用的计算递推数列的方法。
首先确定数列的初始项，然后根据递推关系，通过逐项计算得到数列的每一项。
例如，对于斐波那契数列的递推关系an = an-1 + an-2，初始项为a1 = 1, a2 = 1，可以通过递归法计算得到整个数列。
（最新）递推算法典型例题
高一年级信息学·竞赛辅导教案【授课教师：张辉】第 1 页共12 页递推算法典型例题一、教学目标1、由浅入深，了解递推算法2、掌握递推算法的经典例题二、重点难点分析1、重点：递推关系的建立2、难点：如何将所求问题转化为数学模型三、教具或课件微机四、主要教学过程(一) 引入新课客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。
我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。
递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。
(二) 教学过程设计递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。
这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。
从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。
无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。
这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。
递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。
一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。
（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。
所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，高一年级信息学·竞赛辅导教案【授课教师：张辉】第 2 页共12 页这种方法称为迭代。
递推关系
递推关系递归公式是用它自身来定义的一个公式，我们习惯称之为递推关系或递推式。
如正奇数序列可以用递推式描述为：f(n)=f(n-1)+2, n>1 且f(1)=1当n为很大的值时，直接用递推来计算f(n)会很麻烦，所以希望能够用一种封闭的式子来描述这个序列，从它入手可以直接计算f(n)。
如果找到这样一种封闭的式子，则称递推式已经解出。
下面的内容给出了求解基本的递推式的一些方法。
递推关系如果具有如下这种形式，则称为常系数线性齐次递推式：f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)这里f(n)称为k次的。
当一个附加项包括常数或者n的函数出现在递推中，那么它就称为非齐次的。
一、线性齐次递推式的求解令f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)的一般解含有f(n)=x n形式的特解的和。
用x n来代替上式中的f(n)，得到：x n =a1x n-1+a2 x n-2 +…+a k x n-k两边同时除以x n-k得到：x k =a1x k-1+a2 x k-2 +…+a k或者写成x k -a1x k-1-a2 x k-2 -…-a k =0以上两等式都称为原递推关系的特征方程。
下面我们只限于一阶和二阶的线性递推关系。
一阶齐次递推方程的解可以直接得到，令f(n)=af(n-1)，假定递推序列从f(0)开始，由于f(n)=af(n-1)=a2f(n-2)=…=a n f(0)所以f(n)=a n f(0)是递推的解。
如果递推的次数是2，那么特征方程变为x2-a1x-a2=0,令这个二次方程的根是r1和r2，递推的解是：f(n)=c1r1n+c2r2n(r1≠r2)f(n)=c1r n+c2nr n(r1=r2)代入序列初始的值f(n0)和f(n0+1)解方程得到c1和c2的值。
例1序列1,4,64,256,…可以用递推关系表示为f(n)=3f(n-1)+4f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=4，求此递推式的解。
数列的递推公式
等比数列的递推公式
$a_n = a_{n-1} times r$， 其中 $r$ 是公比，表示相邻 两项的比。
递推公式的应用
通过递推公式可以快速地求 出数列中任意一项的值，也 可以用于证明数列的性质。
拓展延伸：非线性递推关系简介
非线性递推关系的
定义
如果数列的递推公式中包含了非 线性运算（如乘法、除法、指数 等），则称该递推关系为非线性 递推关系。
02
CATALOGUE
常见数列递推公式类型
等差数列递推公式
01
一般形式
$a_n = a_{n-1} + d$，其中 $d$ 为公差。
初始条件
02
03
求解方法
给出首项 $a_1$ 和公差 $d$。
通过递推关系逐步计算每一项的 值。
等比数列递推公式
一Байду номын сангаас形式
$a_n = a_{n-1} times r$，其中 $r$ 为公比 。
非线性递推关系的
求解
对于非线性递推关系，通常没有 通用的求解方法，需要根据具体 情况进行分析和求解。常用的方 法包括迭代法、数学归纳法、特 征根法等。
非线性递推关系的
应用
非线性递推关系在数学、物理、 计算机科学等领域都有广泛的应 用，如分形、混沌、密码学等。
THANKS
感谢观看
方法求解。
03
CATALOGUE
递推公式求解方法
迭代法求解
初始条件确定
根据递推公式中的初始条件，确定数列的前几 项。
结果输出
输出计算得到的数列各项。
迭代计算
从初始条件出发，利用递推公式逐项计算数列 的后续项。
特征根法求解
递推关系的建立及其求解方法共37页文档
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
对角线是0其余都是1的行列式递推关系
对角线是0其余都是1的行列式递推关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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现在要求把1柱上n个圆盘按下述规则移到m柱上： (1) 一次只能移一个圆盘； (2) 圆盘只能在m个柱上存放； (3) 在移动过程中，不允许大盘压小盘。
求将这n个盘子从1柱移动到m柱上所需要移动盘子的最少次数 。
问题Ⅰ:三柱问题
设f(n)为n 个盘子从1柱移到3柱所需移动的最少盘次。 当n=1时，f(1)=1。 当n=2时，f(2)=3。
F(n)=
f(i - 1) * f(n - i)
i 1
n
4、第二类Stirling数 问题一：放置小球 n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用 S(n,m)表示，称为第二类Stirling数 设有n个不同的球，分别用b1,b2,……bn表示。从中取出一个球bn，bn 的放法有以下两种： bn独自占一个盒子；那么剩下的球只能放在m-1个盒子中，方案数为
【问题分析】： 用f(I,j)表示将整数I分成j分的分法，可以划分为两类： 第一类 ：j分中不包含1的分法，为保证每份都>=2，可以先那出j个1分到 每一份，然后再把剩下的I-j分成j份即可，分法有：f(I-j,j). 第二类 : j份中至少有一份为1的分法，可以先那出一个1作为单独的1份， 剩下的I-1再分成j-1份即可，分法有：f(I-1,j-1). 所以：f(I,j)= f(I-j,j)+ f(I-1,j-1) 边界条件：f（i，1）=1， f（i，j）=0， （I<j）
S(n-1,m-1)
bn与别的球共占一个盒子；那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个盒子 中，然后再将球bn可以放入其中一个盒子中，方案数为 mS(n-1,m)
S(n,m)=mS(n-1,m)+S(n-1,m-1) (n>1,m1)
问题二：集合划分问题。
设S是一个包含n个元素的集合，S={b1,b2,b3,…,bn},现需要将S集合 划分为m个满足如下条件的集合S1,S2, …Sm。 Si≠∮; Si∩Sj=∮; S1∪S2∪…∪Sm=S; (1<=I ,j<=m) 则称S1,S2, …,Sm是S的一个划分。 编程：输入n和m的值，输出不同的划分方案数。 要求：输入数据有一行，第一个数是n,第二个数m。 样例： 输入：4 3 输出：6
不同的方案数用S(n,m)表示 从中取出bn，bn的放法有以下两种： S(n-1,m-1) １、bn独自占一个集合；那么剩下的数只能放在m-1个集合中，方案数为； ２、bn与别的数共占一个集合；那么我们可以先将b1,b2,……bn-1这n-1个数划分为m个 集合，然后再将bn可以任意放入其中一个集合中，方案数为 m*S(n-1,m) 综合以上两种情况可以得出： S(n,m)=m*S(n-1,m)+S(n-1,m-1) (n>1,m1) 边界条件：S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(k>n)。
问题Ⅲ：‘M’分割平面 问题二的扩展：在问题二的基础上进一步考虑：如果‘z’图形扩展为m边的 下列图形：看一下问题的解。
通过上面的分析我们很容易知道：n个上述图形可以将 平面划分的区域的递推关系： f（n）=f（n-1）+m（m（n-1）+1）-（m-1） 初始条件：f（1）=2
3、Catalan数
procedure Run; var i, j : integer; minF4i,temp : double; begin for i := 2 to n do begin minF4i :=1e+100; for j := 1 to i-1 do begin temp := 2*F4[j] + F3[i-j]; if (temp < minF4i) then minF4i := temp; end; {*F4[i] = min(2*F4[j] + F3[i-j]);( 1=< j <=i-1) *} F4[i] :=minF4i; end; writeln(F4[n]:0:0); end; begin Init; Run; end.
F（n）=f（n-1）+2(n-1)
问题Ⅱ
问题的提出：一个‘z’形曲线可以把一个平面分割成2部分。如图所示。求n 个‘z’形曲线最多能把平面分割成多少部分。写出递推式f(n)。
【问题分析】： 根据上图容易得出：f（1）=2；f（2）=12。 假设平面上已有n-1个‘z’图形把平面分成了f（n-1）个区域。加入 第n个‘z’后，单独考虑第n个‘z’的3条边，每一条边和前面的n-1个 ‘z’共有3（n-1）个交点，即这条边被分成3（n-1）+1部分，所以增 加3（n-1）+1个区域，3条边共增加3（3（n-1）+1）个区域。但是 第n个‘z’本身有2个交点，故少了2个区域，所以实际增加了3（3 （n-1）+1）-2个区域。 由以上得出：f（n）=f（n-1）+3（3（n-1）+1）-2 即：f（n）=f（n-1）+9n-8 初始条件：f（1）=2
F(n)=
f(i) * f(n - i 1)
i 2
n 1
问题二：二叉树数目 问题描述：求n个结点能构成不同二叉数的数目。
【问题分析】： 设F(n)为n个结点组成二叉树的数目。 容易知道：f(1)=1;f(2)=2,f(3)=5
Байду номын сангаас
选定1个结点为根，左子树结点的个数为i，二叉树数目f（i）种； 右子树结点数目为n-i-1，二叉树数目f（n-i-1）种，I的可取范围[0， n-1]。所以有： F(n)=
二、递推式的求解方法： 1． 递归函数 ２．用数组实现 ３．求递推式的通项表达式： 3．1、迭加法 3．2、待定系数法 3．3、特征方程法 3．4、生成函数法
一、递推式的建立
1、Hanoi塔问题 问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和m根木柱1,2,3…….m 组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在1柱上，如图所示。
问题Ⅲ：m柱问题
j
【问题分析】： 设F(m,n)为m根柱子,n个盘子时移动的最少次数：
1、先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个除m柱以外的非目标柱上，移 动次数为：f[m, j]；
2、再把原1柱上剩下的n-j个盘子在m-1根柱子之间移动，最后 移动到目标柱m上，移动次数为：f[m-1, n-j]； 3、最后把非目标柱上的j个盘子移动到目标柱没柱上，移动 次数为：f[m, j]。
F(m,n) = min{2*F(m, j)+F(m-1,n-j)} (1<= j < n)
2、平面分割问题
问题Ⅰ
问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且 任何三条封闭曲线不相交于同一点，求这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
【问题分析】： 设f(n)为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图4很容易得出：f(1)=2；f(2)=4。
递推式的建立及其求解方法
山东师大附中 赵宗昌
一、递推式的建立 1、Hanoi塔问题 问题Ⅰ: 三柱问题 问题Ⅱ：四柱问题 问题Ⅲ：m柱问题 2、平面分割问题 问题Ⅰ：封闭曲线分割平面 问题Ⅱ：‘Z’分割平面 问题Ⅲ：‘M’分割平面 3、Catalan数 问题一：凸n边形的三角形剖分 问题二：二叉树数目 问题三：出栈序列 4、第二类Stirling数 问题一：放置小球 问题二：集合划分问题 5、其他 问题一：集合取数问题 问题二：整数划分问题
问题一：凸n边形的三角形剖分 在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若 干三角形，不同的拆分数目用f(n)表之，f(n)即为Catalan数。例如五边形 有如下五种拆分方案，故f(5)=5。求对于一个任意的凸n边形相应的f(n)。
区域①是一个凸k边形，区域②是一个凸n-k+1边形，区域①的拆分方案总数是f(k) 区域②的拆分方案数为f(n-k+1)，故包含△P1PkPn的n 边形的拆分方案数为 f(k)* f(n-k+1)种
通过以上步骤我们可以初步得出： f[i] = 2*f[j]+2^(i-j)-1
j可取的范围是1<=j<I，所以对于不同的j，得到的f[i]可能 是不同的，本题要求最少的移动次数
f[i] = min{2*f[j]+2^(i-j)-1}，其中1<=j<I
const MaxNum = 1000; var n : integer; F3, F4 : array[1..MaxNum] of double; procedure Init; var i : integer; begin fillChar(F3,sizeOf(F3),0); fillChar(F4,sizeOf(F4),0); readln(n); F3[1] := 1; F4[1] := 1; {*F3[n] 为Hanoi塔中3根柱子，n个盘子的最少移动次数 F3[n] = 2^n -1; F4[n] 为Hanoi塔中4根柱子，n个盘子的最少移动次数*} for i :=2 to n do F3[i] := 2*F3[i-1] + 1; end;
以此类推，当1柱上有n(n>2)个盘子时，我们可以利用下列步骤： 第一步：先借助3柱把1柱上面的n-1个盘子移动到2柱上，所需的移 动次数为f(n-1)。 第二步：然后再把1柱最下面的一个盘子移动到3柱上，只需要1次 盘子。 第三步：再借助1柱把2柱上的n-1个盘子移动到3上，所需的移动次 数为f(n-1)。
假设当前平面上已有的n-1条曲线将平面分割成f(n-1)个区域，现在加 入第n条封闭曲线。第n条曲线每与已有的n-1条曲线相交共有2(n-1)个 交点，也就是说第n条曲线被前n-1条曲线分割成2(n-1)段弧线，而每 一条弧线就会把原来的区域一分为二，即增加一个区域，所以共增加 2(n-1)个区域