高三理科数学第二次教学质量检测试题

安徽省巢湖市届高三第二次教学质量检测数学（理科）试题命题人： 庐江二中 孙大志 柘皋中学 孙 平 巢湖四中 胡善俊参考公式：1.球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径.2.球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径. 3.柱体的体积公式 V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 4.锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 5. 线性回归方程中的,a b 的计算公式1122211()()()n nii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nxa y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.请将你认为正确的选项前面的代号填入答题卷相应的表格中.1.设集合{}2(1)11,,1,,,2i M i i N i ⎧⎫-=--=-⎨⎬⎩⎭，则M N ⋃为 A. MB.NC. {}1,i -D. {},1i -2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若420062a a += ，则2009S =A.1004B.2008C.2009D.20103. 函数()sin()(||)2f x x πωϕϕ=+<的最小正周期为π，且其图像向右平移12π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 A ．关于点(,0)6π对称 B ．关于直线125π=x 对称 C ．关于点5(,0)12π对称D ．关于直线12π=x 对称4． 已知,,l m n 为直线，,,αβγ为平面，则下列命题中真命题的是A. ,,m m αβαβ若则‖‖‖B. 若,l αβα⊥⊂，则l β⊥C. ,,αγβγαβ⊥⊥⊥若则D. ,,m n m n αα⊥⊥若则‖5．已知双曲线2222:1,x y C a b-=以坐标原点为顶点，以曲线C 的顶点为焦点的抛物线与曲线C 渐近线的一个交点坐标为（4，4），则双曲线C 的离心率为 A.2.2C.3D. 36. 下列结论：①2a =是sin(1)y ax =+周期为π的必要条件； ②,110,0,21 5.8a b a b a b>>+=+>则若且； ③“x R ∃∈，使得2(3)10ax a x +-+≤”是假命题,则19a <<；④某校在巢湖市第一次教学质量检测中的数学成绩ξ服从正态分布2(100,10)N ，则10D ξ=.其中正确的是 A. ②③ B.③④ C. ①②③ D. ①②③④7．已知向量,120||||1a b a b ︒==的夹角为，，c a b +与共线，则||a c +的最小值为A. 1B.12C.34D.2 8. 某厂一月份、二月份、三月份、四月份的利润分别为2、4、4、6（单位：万元），用线性回归分析估计该厂五月份的利润为 A ．6.5万元 B ．7万元 C ．7.5万元 D ． 8万元 9. 下图是把二进制的数()211111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是A. 4i ≤B. 5i ≤C. 4i ＞D. i ＞510.关于x 的不等式|1|||x x m ++≥的解集为R ，则实数m 的取值范围为 A 1m < B. 1m ≥ C. 1m ≤ D.1m =11.已知集合{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤，集合2{(,)|,210}A x y y x x y =≥-+≥，若向区域Ω内投一点P ,则点P 落在区域A 内的概率为 A.110B.12C.14D.51212. 已知函数()f x 的定义域为(2,2),-导函数为(0)0()2cos ,ff x x ='=+且，则满足2(1)()0f xf x x ++-＞的实数x 的取值范围为A. (1,1)-B. (11)-， C. (1- D. (11+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.13.已知直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ+=（），圆C 的参数方程为12cos 12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（为参数），若以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，则直线被圆截得的弦长为 .14. 如图是甲乙两同学在高三的5次月考成绩的茎叶图，甲 乙 根据茎叶图对甲乙两人的考试成绩作比较，请你写出 5 7两个统计结论： 8 6 1 8 0 2 6 7 ① ； 5 9 0 ② . 15. 二项式n 展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于_ _.16.一个球的表面积为4π，则它的内接圆柱的体积的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知向量a (sin),(cos ,cos )2222x x x xb ==，设().f x a b =⋅ （Ⅰ）求函数()f x 在[0,2]π上的零点；（Ⅱ）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知()f A =2,sin 2sin b A C ==，求边c 的值．18. （本小题满分12分）一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：（Ⅰ）求三棱锥A-PDC 的体积；（Ⅱ）试在PB 上求点M ，使得CM ∥平面PDA ；(Ⅲ) 在BC 边上是否存在点Q ，使得二面角A-PD-Q 为120？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．19. （本小题满分12分）某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖. 抽奖规则是:盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖.（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是13.求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽.用ξ表示获奖的人数.求ξ的分布列及,E D ξξ．20. （本小题满分12分）圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为221x y m n+=.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：已知直线l 与曲线C ：221x y m n+=交于,A B 两点，AB 的中点为M ，若直线AB 和OM(O 为坐标原点)的斜率都存在，则AB OM n k k m⋅=-. 这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”. （Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：C① 过点(1,1)P 作直线l 与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，求AB 的中点M 的轨迹W 的方程；② 过点P (1,1)作直线l '与有心圆锥曲线22:1(0)C kx y k '+=≠交于E 、F 两点，是否存在这样的直线l '使点P 为线段EF 的中点？若存在，求直线l '的方程；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知,a R ∈函数()ln()(1)f x x x a x =-+-.（Ⅰ）若()f x 在x e =-处取得极值,求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间21[,]e e ---的最大值()g a .22. （本小题满分14分）已知数列}{n a 满足21=a ,2*112()n n n na a a n N a μλ+-=++∈. （Ⅰ）若1λμ==，证明数列{lg(1)}n a +为等比数列,并求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若0λ=，是否存在实数μ，使得2≥n a 对一切*n N ∈恒成立？若存在，求出μ的取值范围，若不存在，说明理由；（Ⅲ）当0,31λμ=-≤<时，证明n n a a a 21111121-≥+⋯++.巢湖市2009届高三第二次教学质量检测数学（理科）参考答案一、 A C C D A B D B A C D C二、13. 14. ①甲乙的平均数相同，均为85；② 甲乙的中位数相同，均为86；③乙的成绩较稳定，甲的成绩波动性较大；…… 15.7三、17（Ⅰ）2()sincos 222x x x f x a b =⋅=⋅=1sin 2x x=sin()32x π++由sin()0,32x π++=得，42,33x k πππ+=+或2,33x k πππ+=-k Z ∈ 由[0,2],x π∈得 x π=或43x π=. 故函数()f x 的零点为π和43π. ……………………………………6分（Ⅱ）由()sin()32f A A π=++=，(0,),A π∈得 .3A π= 由sin 2sin A C =得 2a c =.又2,b =由2222cos a b c bc A =+-得 2224222cos 3c c c π=+-23240c c +-=，0,c c >∴=……………………………………12分 18. 由三视图可知：PB ABCD ⊥底面，底面ABCD 为直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=211111326A PCD P CDA V V --==⨯⨯⨯= …………3分(Ⅱ) 当M 为PB 的中点时CM ∥平面PDA.取PB 中点N,连结MN ，DN ，可证MN ∥DN 且MN ＝DN∴CM ∥DN ，∴CM ∥平面PDA …………6分 (Ⅲ)分别以BC 、BA 、BP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系. 假设在BC 边上存在点Q ，使得二面角A-PD-Q 为120∴()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,1,(,0,0)[0,1],B A D P Q x x ∈且设1111(,,)PND n x y z =设平面的法向量111111(1,1,0),(1,1,1)(1)0111(,1,1)0DQ x PD x x y n x y z x x =--=---=⎧==-⎨+-=⎩1∵∴令z 得 同理，2222(,,)PDA n x y z =设平面的法向量，可得2(1,1,2)n =121212,1n n COS n n n n ⋅==⋅=12=-cos120，解得11,(,0,0)22x N BC =即为边中点.………………………………………12分19. （Ⅰ）设“世博会会徽”卡有n 张，由221013n C C =,得n =6.故“海宝”卡有4张. 抽奖者获奖的概率为24210215C C =. …………6分（Ⅱ）2(4,)15B ξ， ξ的分布列为 44213()()()1515k k k p k C ξ-==（k=0,1,2,3,4） 或28221044,4(1)15151515225E D ξξ∴=⨯==⨯⨯-=………………………………12分20. （Ⅰ）证明 设11220012(,),(,),(,)()A x y B x y M x y x x ≠2211222211x y m n x y mn ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 相减得12121212()()()()0x x x x y y y y m n +-+-+=注意到 1201202,2x x x y y y +=+=1111,00n DQ n PQ n DQ n PQ ⊥⊥⋅=⋅=∴∴有00121222()0()x y y y m n x x -+=- 012012y y y nx x x m -∴=--即AB OM nk k m ⋅=-…………………………………………5分（Ⅱ）①设1(,),,1AB OM y yM x y k k x x -==-则 由垂径定理，12AB OM k k ⋅=-即 1112y y x x -=--化简得 22220x y x y +--=当AB 与x y 或轴平行时，M 的坐标也满足方程.故所求AB 的中点M 的轨迹W 的方程为22220x y x y +--=；…………………………………………8分② 假设过点P(1,1)作直线l '与有心圆锥曲线22:1C kx y '+=交于E 、F 两点，且P为EF 的中点，则 EF OP k k k ⋅=-由于1,OP k =EF k k ∴=-直线:(1)1l y k x '=--+，即1y kx k =-++，代入曲线C '的方程得22(1)1kx kx k +-++=即 2(1)2(1)(2)0k k x k k x k k +-+++=由2224(1)4(1)(2)0k k k k k ∆=+-++> 得1k <-. 故当1k <-时，存在这样的直线，其直线方程为1y kx k =-++；当1,0k k ≥-≠且时，这样的直线不存在. ………………………………12分 21. （Ⅰ）()ln(),f x x a '=-+由()0f e '-=得 1.a =- …………………………3分 ()ln()1,f x x '∴=--当(,)x e ∈-∞-时，()0,f x '>当(,0)x e ∈-时，()0,f x '<故函数)(x f 的单调增区间为(,)e -∞-，单调减区间为(,0)e -. ………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）()ln(),f x x a '=-+ 由()0f x '=得 .a x e -=-当(,)ax e -∈-∞-时，()0,f x '>当(,0)ax e -∈-时，()0,f x '<()f x ∴在a x e -=-处取得极大值, ()()a af x f e e --=-=极大……………………………………7分（1） 当2a <-时，2,aee --<-函数)(xf 在区间为21[,]e e ---递减 ，22max ()()(1).f x f e a e =-=-+（2） 当21a -≤≤时， 21[,]ae e e ---∈--，max ()()a af x f e e --=-=（3） 当1a >时，1,aee --->-函数)(xf 在区间为21[,]e e ---递增 ，1max 2()().af x f e e --=-=2(1),2(),212,1a a e a g a e a a a e -⎧⎪-+<-⎪=-≤≤⎨⎪-⎪>⎩………………………………………12分 22. （Ⅰ）1λμ==2211211n n n n n a a a a a ++=+∴+=+（）(){}11lg 12lg(1)lg(1)lg(1)2n n n n n a a a a +-+=+∴+∴+=是公比为2的等比数列，且首项为lg3lg311221331n n n n a a --∴+=∴=- …………………………………6分（Ⅱ）解法1：由211112422a a a μμ--=+=+≥，得3μ≥-猜想3μ≥-时，一切*N n ∈时2≥n a 恒成立. ①当1=n 时，21=a 成立.②设k n =时，2≥k a ，则由2121n n na a a μ++-=得222113332()2()22122222k kk k k k ka a a a a a a μμμ+-+-⨯+--+--==≥=30k a μ+≥ 1+=∴k n 时，21≥+k a由①②知3μ≥-时，对一切*N n ∈，有2≥n a . ………………………………10分解法2：假设21212n n n a a a μ++-=≥22132212()22n n n a a a μ≥-+=--+记)2(23)21(2)(2≥+--=n n a a n f ，可求 max ()33f n μ=-∴≥-故存在3μ≥-，使2≥n a 恒成立. …………………………………10分（Ⅲ）证法1：112n n na a a μ+-=+31μ-≤<，由（Ⅱ）知2≥n a121*1211222222()nn nn n n n n a a a a a a a n N μ+----∴<∴<∴≤<<<⋯<=∈第6页 共8页 n n n n n n a a a a 211211)211(21212121111211221-=--=+⋯++≥+⋯++∴≥∴…………………………………14分 证法2：112n n n a a a μ+-=+22111311222a a a a μμ-≤<-∴=+<<猜想n n a 2≤.数学归纳法证明①当1=n 时，21=a 成立②假设当k a =时，k k a 2≤成立1k a +=11222k k k k a a a μ+-+≤≤由①②对*N n ∈，n n a 2≤成立，下同证法1。