2019-微积分学的实际应用-文档资料
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微积分学的实际应用
一、微分学在几何中的应用
曲线的切线问题
y
割线MN 的斜率为
o
tan ? ? y ? y0 ? f ( x) ? f ( x0 ) ,
x ? x0
x ? x0
y ? f (x)
N
CM
??
x0
T
xx
切线MT 的斜率为
k?
lim
x? x0
f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x0
物理：功； 水压力； 引力和平均值等．
八 积分学在经济中的应用
八 积分学在经济中的应用
在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数 在某区间的总量。
九 积分学在生活中的应用
定义1 ：如果函数f(x)在区间I可导， 则称导函数f'(x) 为f(x)的边际函数。
在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。 由导数的定义知，f'(x) 是f(x0)在x点的变化率。 即当x=x0时，x改变一个单位，y改变了f'(x 0)个单位。 如边际成本C'(x0)表示生产x0个单位产品时，再生产一个单 位产品，成本增加C′(x0)。
其他的生物种群的生存不影响该生物种群的 生存。 3、假设时刻 t生物种群数量为 N(t) ，由于N(t) 的数量很大，可视为时间 t的连续可微函数。 4、假设在t=0时刻该生物种群的数量为 N0
问题分析
? 问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。
意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数， 或单位时间内单个个体增加的平均数量。
C'(x)=0.5 -9800/x2
令C′(x)=0，x=140 又C″(140)=1/140>0， 最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。
五 微分学在生物领域中的应用
生物种群数量问题
设某生物种群在其适应的环境下生存， 试讨论该生物种群的数量变化情况。
问题假设
1、假设该生物种群的自然增长率为常数 λ 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或
2
?
r
V
?r 2
]
?
2?[r
2
?
பைடு நூலகம்
V
?r
]
求驻点(临界点,critical point)
? ? ? ? 0 ? S?(r) ? 2
(2r ?
V r
2
)
?
2 r2
(2r 3 ?
V)
? r0
?
3
V 2
V V 4? 2 ?4 2V3 8V
? ? ? ? h ? r02 ?
3
V2
?3
2V 2
?3 2
? 2r0 ? d0
? ? 又由于
S??(r ) r0 ? 2
(2 ?
2V r3
)
r0
?
0
r0 ? 0
V 知道 r0 ? 3 2?
是一个局部极小值点. 实际上,它也是全局最小值点, 因为临界点是唯一的.
最小面积为
V
S(r0 ) ? 6 3 2?
? 6r02
七 积分学在几何，物理中的应用
几何：平面图形的面积； 体积； 平面曲线的弧长；
实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的直圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为 多少?
表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有
S(,r h) ? 2? r h ? ? r 2 ? ? r 2 ? 2?[r 2 ? rh] V ? ? r 2hh, ? V / ? r 2.
于是我们可以建立以下的数学模型：
min S(r, h) 其中 S 是目标函数,
r ? 0, h? 0
g(,r h) ? V ? ? r 2h ? 0 是约束条件 (V 已知, 即罐内体积一定),.
即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h.
把 h ? V / ? r 2 代入S(r , h) , 得到
S(r )
?
2?[r
解 设A ? ?r2 , r ? 10厘米, ? r ? 0.05厘米.
? ? ? A ? dA ? 2 r ?? r
? 2? ? 10 ? 0.05 ? ? (厘米2 ).
? y x ? x0 ? dy x? x0 ? f ?( x0 ) ?? x.
四 微分学在经济问题中的应用
1 边际函数的应用
2. 交流电路 :电量对时间的导数为电流强度 . i(t) ? lim ? q ? dq. ? t ? 0 ? t dt
3. 非均匀的物体 :质量对长度 (面积,体积)的导数为物 体
的线(面,体)密度.
三 微分学在近似计算中的应用
半径 10厘米的金属圆片加热后 ,半径伸长 0.05厘米 ,问面积增大了多少 ?
上面的模型的结果与19世纪以前欧洲地区的人口统计数据可 以很好吻合； 人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种 指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合 理性。
六 微分学在最优化问题的应用
易拉罐问题 :
分析和假设： 首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最 省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.
这表明当生产第901台时所花费的成本为1.5元。 同时也说明边际成本与平均成本有区别。
2 极值在经济中的应用
利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件， 可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。
某厂每天生产某商品x单位的总成本函数为 C(x)=0.5x2+36x+9800（元）， 那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？ 平均成本: C(x)=0.5x+36+9800/x
f '( x0 ),
二、微分学在物理中的应用
1.自由落体运动的瞬时速度问题
平均速度 v ?
?s
?
?t
s? t?
s0 t0
?
g 2 (t0
?
t).
t0 t
?t
当 t ? t0时, 取极限得
瞬时速度 v ? lim v ? lim s ? s0 ? lim ? s
t? t0
t? t0 t ? t0 ? t? 0 ? t
在Δt时段种群数量的净增加量 =在t+Δt时刻 的种群数量 —在t时刻的种群数量。
文字方程改写为符号方程
? N (t ??? t) N (t) ? N (t)? t
模型建立
Malthus模型
? ? ?
dN (t) dt
?
?
N
(t)
?? N (0) ? N 0
模型求解
Nt( ) ? Ne0 ?t
结果验证
一、微分学在几何中的应用
曲线的切线问题
y
割线MN 的斜率为
o
tan ? ? y ? y0 ? f ( x) ? f ( x0 ) ,
x ? x0
x ? x0
y ? f (x)
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x0
T
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切线MT 的斜率为
k?
lim
x? x0
f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x0
物理：功； 水压力； 引力和平均值等．
八 积分学在经济中的应用
八 积分学在经济中的应用
在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数 在某区间的总量。
九 积分学在生活中的应用
定义1 ：如果函数f(x)在区间I可导， 则称导函数f'(x) 为f(x)的边际函数。
在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。 由导数的定义知，f'(x) 是f(x0)在x点的变化率。 即当x=x0时，x改变一个单位，y改变了f'(x 0)个单位。 如边际成本C'(x0)表示生产x0个单位产品时，再生产一个单 位产品，成本增加C′(x0)。
其他的生物种群的生存不影响该生物种群的 生存。 3、假设时刻 t生物种群数量为 N(t) ，由于N(t) 的数量很大，可视为时间 t的连续可微函数。 4、假设在t=0时刻该生物种群的数量为 N0
问题分析
? 问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。
意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数， 或单位时间内单个个体增加的平均数量。
C'(x)=0.5 -9800/x2
令C′(x)=0，x=140 又C″(140)=1/140>0， 最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。
五 微分学在生物领域中的应用
生物种群数量问题
设某生物种群在其适应的环境下生存， 试讨论该生物种群的数量变化情况。
问题假设
1、假设该生物种群的自然增长率为常数 λ 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或
2
?
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求驻点(临界点,critical point)
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? ? 又由于
S??(r ) r0 ? 2
(2 ?
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)
r0
?
0
r0 ? 0
V 知道 r0 ? 3 2?
是一个局部极小值点. 实际上,它也是全局最小值点, 因为临界点是唯一的.
最小面积为
V
S(r0 ) ? 6 3 2?
? 6r02
七 积分学在几何，物理中的应用
几何：平面图形的面积； 体积； 平面曲线的弧长；
实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的直圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为 多少?
表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有
S(,r h) ? 2? r h ? ? r 2 ? ? r 2 ? 2?[r 2 ? rh] V ? ? r 2hh, ? V / ? r 2.
于是我们可以建立以下的数学模型：
min S(r, h) 其中 S 是目标函数,
r ? 0, h? 0
g(,r h) ? V ? ? r 2h ? 0 是约束条件 (V 已知, 即罐内体积一定),.
即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h.
把 h ? V / ? r 2 代入S(r , h) , 得到
S(r )
?
2?[r
解 设A ? ?r2 , r ? 10厘米, ? r ? 0.05厘米.
? ? ? A ? dA ? 2 r ?? r
? 2? ? 10 ? 0.05 ? ? (厘米2 ).
? y x ? x0 ? dy x? x0 ? f ?( x0 ) ?? x.
四 微分学在经济问题中的应用
1 边际函数的应用
2. 交流电路 :电量对时间的导数为电流强度 . i(t) ? lim ? q ? dq. ? t ? 0 ? t dt
3. 非均匀的物体 :质量对长度 (面积,体积)的导数为物 体
的线(面,体)密度.
三 微分学在近似计算中的应用
半径 10厘米的金属圆片加热后 ,半径伸长 0.05厘米 ,问面积增大了多少 ?
上面的模型的结果与19世纪以前欧洲地区的人口统计数据可 以很好吻合； 人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种 指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合 理性。
六 微分学在最优化问题的应用
易拉罐问题 :
分析和假设： 首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最 省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.
这表明当生产第901台时所花费的成本为1.5元。 同时也说明边际成本与平均成本有区别。
2 极值在经济中的应用
利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件， 可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。
某厂每天生产某商品x单位的总成本函数为 C(x)=0.5x2+36x+9800（元）， 那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？ 平均成本: C(x)=0.5x+36+9800/x
f '( x0 ),
二、微分学在物理中的应用
1.自由落体运动的瞬时速度问题
平均速度 v ?
?s
?
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s? t?
s0 t0
?
g 2 (t0
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当 t ? t0时, 取极限得
瞬时速度 v ? lim v ? lim s ? s0 ? lim ? s
t? t0
t? t0 t ? t0 ? t? 0 ? t
在Δt时段种群数量的净增加量 =在t+Δt时刻 的种群数量 —在t时刻的种群数量。
文字方程改写为符号方程
? N (t ??? t) N (t) ? N (t)? t
模型建立
Malthus模型
? ? ?
dN (t) dt
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N
(t)
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模型求解
Nt( ) ? Ne0 ?t
结果验证