2019-微积分学的实际应用-文档资料
第十七章积分的应用
17-8 )
利用微元法,取极角为积分变量,变化区间为, ,在任
意子区, +d 上,曲边扇形面积的部分量可用处的极径r
( )为半径,以d为圆心角的扇形来近似代替,即面积的微元
为dA
1 2
r(
)2
d
,
在
,
上积分,
得曲边扇形面积为
A
1 2
r(
)2
代替,那么(2)中的近似形式f (i )xi可表示为f (x)dx,它和(4)中
b
的定积分 f (x)dx被积表达式相同,从而可以把上述四步简化 a
为两步.
y
(1)选取积分变量x a,b,在
y f (x)
a,b上任取一代表性区间x, x dx
如图17 1所示,区间x, x dx上的小
a
ax
h
x
b 图17-12 例6示意图
图17-13 例7示意图
例7 求底圆半径为r,高为h的圆锥体的体积.
解 以圆锥全的轴线为x轴,顶点为原点(见图17 13).过点O及点
P(h, r)的直线方程为
y
r h
x
此圆锥体可看作由直线y
r h
x,
x
0,
x
h及x轴所围成的直角
三角形绕x轴旋转围成的.由旋转体体积的计算公式,得所求圆锥
1 2
cos
2
d
1 a2 2
3 2
2sin
1 4
sin
2
0
3 a2
4
故所求的面积A
微积分在实际中的应用
微积分的综合应用微积分的综合应用表此刻：1）微分在近似计算中能够较快的求得近似值，一般偏差不大，能够节俭时间和精力；2）定积分在物理学中的应用：变力做功问题常常是用微积分来求功；3）设计桥拱也是微积分利用的一个例子，利用微积分知识能够计算桥墩的受压状况以及整座桥的抗压抗风能力，进而设计出既轻又坚固的桥身；4）天气预告也常常用到微积分例子，将众多的外界要素当成多元函数，进行概括剖析；城市规划、建筑设计等用到了空间分析几何；5）设计元件、容器等节俭资料又保证质量的问题，需要运用微积分计算不规则物体的表面积、体积、质量等有关数据；6）微积分能够用于在天文学上当算引力做功，轨道及运动状况；此外，微积分在经济学还有特别宽泛的作用，在计算盈余状况，投资风险，希望值，回报率，保险行业等都要用到微积分知识。
综上，不论是在科学研究仍是实质生活中，微积分作为一种数学工具的作用是非比寻常的。
站在我们学生的角度，能够掌握微积分的基础知识并在现实中灵巧运用，才算是真实地理解了这门课程的精华。
下边用以详细模型来说明方法及过程。
对于火箭升空原理的商讨火箭是一种靠发动机发射物质产生的反作使劲、向前推动的飞翔器，是实现卫星上天和航天飞翔的运载工具，故称运载火箭。
火箭技术就是要解决火箭的制造和发射等问题。
没有火箭技术的发展，就没有空间科学蓬勃发展的今日——火箭技术为人类翻开了探究宇宙的大门。
本文主要议论微积分在发射过程中的应用。
一、火箭升空过程中的主要原理设 t 时辰主体的质量为m，速度为v。
dt 时间内有质量为dm、速率为u 的流动物加到主体上。
t+dt 时辰主体的质量变成m+dm、速度变成 v+dv ，t 时辰质点系的动量为mv+udm ，t+dt 时辰质点系的动量为（m+dm ）（v+dv ）。
下列图为质量流动的质点系。
若主体受外力下，流动物质受外力F ’，则依据质点系动量定理的微分形式，有dp( m dm)(v dv) (mvudm)F F 'dtdt在这一类问题中，流动物体所受外力常常远小于主体所受外力，故 F ’能够忽视。
微积分学的实际应用
问题分析
• 问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。
意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数， 或单位时间内单个个体增加的平均数量。
六 微分学在最优化问题的应用
易拉罐问题:
分析和假设： 首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最 省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.
实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的直圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为 多少?
表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有
二、微分学在物理中的应用
1.自由落体运动的瞬时速度问题
平均速度 v
s
t
s s0 t t0
g 2
(t
0
t).
t0 t
t
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim v lim s s0 lim s
tt0
tt0 t t0 t0 t
2. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. q dq
C’(x)=0.5-9800/x2
令C′(x)=0，x=140 又C″(140)=1/140>0， 最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。
五 微分学在生物领域中的应用
生物种群数量问题
设某生物种群在其适应的环境下生存， 试讨论该生物种群的数量变化情况。
问题假设
1、假设该生物种群的自然增长率为常数λ 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或
第12讲积分的简单应用-28页精品文档
2 1 a2Dx2dxdy2 1 a2Dy2dxdy,
因为 x 2dxdyy 2dxdy ，故
D
D
m 2 1 a 22D x 2d xdy a 1 2 a a x 2d x a ady 4 3 a 2。
5. 静力矩
设质m量 的为 一质点L（ 到或 已 ） 平 知的 面 直
点X (x, y)：
n
m mi i 1
n
x
My m
mi xi
i 1 n
mi
i 1
Mx my My mx
n
mi yi i 1 n
mi xi i 1
n
y
Mx m
miHale Waihona Puke yii 1 nmi
i 1
推广至 R3中
n
x
M yz m
D 1 { ( x ,y ) |0 x a ,0 y a 2 x 2 } 。
V 1
a 2 x 2d xd ya d xa 2 x 2 00
a 2 x 2d y
D 1
a(a2x2)dx2a3。
0
3
故 V8V1136a3。
4. 薄板的质量
于是 xd xdy 2 da b c c o ors c s o rd sr
D
2
b 3 3 a 3 2 2c4 od s 2 (b 3 3 a 3 ) 0 2c4 od s
2 (b 3 a 3)(4 1 )!!(b 3 a 3)。
由重心的概念，有
mxMy, myMx。
由 M x y (x ,y )d x d y ， M y x (x ,y )d x d y ，以
微积分在生活中的应用
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。
到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。
直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
微积分学是微分学和积分学的总称。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
微积分学的建立从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
微积分思想在高中物理中的典型应用
微积分思想在高中物理中的典型应用任孝有 任雅群（北京市通州区潞河中学 北京 １０１１００）（收稿日期：２０１９－０４－１６）摘要：微积分思想是现代物理学中的重要思想，它将复杂变化的物理过程转化为定量可解，对学生物理思维和数学思维的提升十分有益．本文结合高中物理中的典型习题，实际说明了如何运用微积分思想解决物理问题．关键词：微积分 图像面积 物理方程 对如图１所示的匀加速直线运动过程，将其运动过程分为ｎ个运动间隔，如图２所示，每个间隔的时间为Δｔｉ，每个间隔的最小速度为ｖｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则每个间隔的位移近似为ｘｉ＝ｖｉΔｔｉ，全程的总位移近似为Ｘ＝ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋…＝∑ｘｉ，在几何上体现为如图２所示的Δｔｉ上的矩形面积和，此时的Ｘ小于真实总位移．增大ｎ从而减小Δｔｉ，ｖｉ更加接近全程的真实速度，则ｘｉ更加接近对应过程的真实位移，Ｘ也更加接近真实总位移，矩形面积和也更加接近梯形面积；令ｎ趋近于无穷，则ｘｉ和Ｘ趋近于真实值，即对ｎ取极限后，矩形面积和等于梯形面积，也就是图线与横纵轴所围成图形的面积，为真实的位移．因此直接求得梯形面积，就可算出对应的变速运动的位移．其他物理过程同理．图１ 匀加速直线运动ｖ－ｔ图像图２ 匀加速直线运动分割当然，如果ｖｉ表示的是每个间隔的最大速度，取和后Ｘ大于真实值，但取极限后，Ｘ转化为真实值，仍旧体现为图线与横纵轴所围成图形的面积．分割，化变为恒获得物理意义；求和，获得宏观近似值；取极限，获得精确值．以上过程是一种连续后的跳跃，突变．也就是说，在数学图像中，如果横纵轴两个物理量的乘积是个新物理量，而且这个物理量是个过程量，那么图像与横纵轴所围的面积就反映着这个过程量的具体数值．但如果是个状态量则对应的是矩形面积，不可累加，如图３所示电源的Ｕ－Ｉ图像．櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆 （ｍｇ）２＋（ｑＥ）槡２ｍｇ＝ｖＭｖＮ（１２）设Ｍ和Ｎ离开电场的动能分别为Ｅｋ１和Ｅｋ２，由题设条件可得Ｅｋ１＝１．５Ｅｋ２．即 １２ｍｖ２Ｍ＝１．５×１２ｍｖ２Ｎ（１３）联立式（１２）、（１３）可得 Ｅ＝ｍｇ槡２ｑ（１４）点评：在这道题中运用了运动的合成与分解、平均速度、动量定理、相似比等方法．巧妙的分别在水平方向和竖直方向来进行分析研究，一切问题迎刃而解．图３ Ｕ－Ｉ图像１ 数学图像的面积先微分再积分【例１】电容器充电后就储存了能量，某同学研究电容器储存的能量Ｅ与电容器的电容Ｃ，电荷量Ｑ及电容器两极间电压Ｕ之间的关系．他从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷从一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力所做的功．为此他做出电容器两极间的电压ｕ随电荷量ｑ变化的图像如图４所示．请按照他的想法，推导电容器储存的能量．图４ ｕ－ｑ图像解析：电容器两极板间电压为ｕ′时，从一个极板搬运Δｑ的电荷量到另一极板，克服电场力所做的功近似为Ｗ＝Δｑｕ′，图像上体现为Δｑ上方小矩形的面积，类似于ｖ－ｔ图像，图线与横轴所围的面积表示的就是充电过程中克服电场力做功即最终储存的电能Ｅ＝１２ｑＵ＝１２ＣＵ２＝１２ｑ２Ｃ小结：克服电场力做功的过程就是其他形式的能转化为电容器储存的能量的过程．【例２】利用图像分析问题是物理学中常用的方法，其中的斜率、面积通常具有明确的物理意义．（１）小明以６ｍ／ｓ的初速度将足球水平踢出，足球在草坪上滚动直到停下来的全过程中的速度－时间图像如图５所示．图５中图线与坐标轴所围的面积等于１２个小方格的面积．求足球滚动了多远才停下来？解析：图５中图线与坐标轴所围的面积即为足球滚动距离，每个小格代表的距离为１ｍ，所以足球滚动了１２ｍ才停下来．图５ 足球在草坪滚动时的ｖ－ｔ图像（２）用如图６所示的电路研究电容器的放电过程，其中电压传感器相当于一个理想电压表，可以显示电阻箱两端电压随时间的变化关系．实验时将电阻箱Ｒ的阻值调至２ ０００Ω，将开关Ｓ拨到ａ端，电源向电容器充电，待电路稳定后，将电压传感器打开，再将开关Ｓ拨到ｂ端，电容器通过电阻箱放电．以Ｓ拨到ｂ端时为ｔ＝０时刻，电压传感器测得的电压Ｕ随时间ｔ变化图像如图７所示．忽略导线及开关的电阻，且不考虑电路的辐射问题．求电容器所带电荷量的最大值．图６ 研究电容器放电过程电路图图７ 电阻箱两端Ｕ－ｔ图像解析：Ｕ－ｔ图像面积无物理意义，但改造成ＵＲ ｔ图像即Ｉ－ｔ图像，面积即最大电荷．在电容器放电过程中的极短时间内有ΔＱ＝ＩΔｔ根据欧姆定律有Ｉ＝ＵＲＵ ｔ图线与ｔ轴所围面积除以电阻Ｒ即为电容器所带电荷量的最大值，由图可知该面积等于１２个小方格的面积．因此电容器所带电荷量的最大值Ｑ＝６×１０－３ Ｃ小结：非规则图形如何求总面积？数格！对于不是整格的，将不足半格与超过半格凑成一个整格，但不好凑怎么办？舍去不足半个的，只数超过半个的就可以！不能恰好凑成一个呢？数格子也是一种测量方法，有误差不可避免！可以将格子分得尽可能小，以减小误差．计算时，注意横纵轴的物理单位．这种思想在“用油膜法估测分子大小”的实验中得到很好的体现．【例３】摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如８所示．考虑安全、舒适、省时等因索，电梯的加速度ａ随时间ｔ变化．已知电梯在ｔ＝０时由静止开始上升，ａ－ｔ图像如图９所示．类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由ｖ－ｔ图像求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图９所示ａ－ｔ图像，求电梯在第１ｓ内的速度改变量Δｖ１和第２ｓ末的速率ｖ２．图８ 电梯简化模型图９ 电梯ａ－ｔ图像解析：Δｖ１＝１２×１×１ｍ／ｓ＝０．５ｍ／ｓｖ２＝Δｖ２＝１２（１＋２）×１ｍ／ｓ＝１．５ｍ／ｓ小结：面积是速度的变化量而不是速度，清楚乘积的物理意义才能正确解决问题．【例４】如图１０所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计．物块（可视为质点）的质量为ｍ，在水平桌面上沿ｘ轴运动．以弹簧原长时物块的位置为坐标原点Ｏ，当弹簧的伸长量为ｘ时，物块所受弹簧弹力大小Ｆ＝κｘ，κ为常量．请画出Ｆ随ｘ变化的示意图，并根据Ｆ－ｘ图像求物块沿ｘ轴从Ｏ点运动到位置ｘ的过程中弹力所做的功．图１０ 例４情境图解析：根据胡克定律Ｆ＝κｘ，可以画出Ｆ－ｘ图像如图１１所示，有Ｗ＝－１２κｘ２图１１ Ｆ－ｘ图像小结：弹簧弹力的功写成－κｘ·ｘ则是以末状态的力充当了全程的力，忽视了弹簧弹力是变力的特点．【例５】如图１２所示的匀强磁场内有一光滑水平轨道，在外力作用下，金属杆从Ｏ点由静止开始向右做匀加速运动．加速度大小为ａ，磁感应强度大小为Ｂ，光滑轨道宽Ｌ，左侧电阻阻值为Ｒ，不计其他电阻．求在从静止开始的一段时间ｔ内安培力的冲量大小．图１２ 例５情境图解析：根据题意有Ｆ安＝ＢＩＬＩ＝ＢＬｖＲｖ＝ａｔ联立以上３式Ｆ安＝Ｂ２ Ｌ２ ａＲｔ画出安培力的冲量与时间关系的Ｆ安－ｔ图像，如图１３所示，由图像面积可得安培力的冲量Ｉ安＝１２ｔＢ２ Ｌ２ ａＲｔ＝Ｂ２ Ｌ２ ａ２Ｒｔ２图１３ Ｆ安－ｔ图像小结：可否不画图，直接根据安培力的平均值Ｆ安＝０＋Ｂ２ Ｌ２ ａｔＲ２计算冲量？不可以，因为需要体现Ｆ安与时间ｔ是线性关系．２ 物理方程的先微分再积分【例６】如图１４所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为Ｂ，一个质量为ｍ，电荷量为＋ｑ的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ．现使圆环以初速度ｖ０向上运动，经时间ｔ圆环回到出发位置．不计空气阻力．已知重力加速度为ｇ．求当圆环回到出发位置时速度ｖ的大小．图１４ 例６情境图解析：在圆环运动的过程中，圆环受向下的重力ｍｇ，水平方向的洛伦兹力ｑｖＢ，细杆的弹力Ｎ和摩擦力ｆ，其中ｆ一直与运动方向相反，且摩擦力的大小ｆ＝μＮ＝μｑｖＢ圆环从开始向上运动到回到出发位置的过程中，取竖直向上为正方向，根据动量定理有Ｉｆ－ｍｇｔ＝－ｍｖ－ｍｖ０而Ｉｆ＝－∑ｆ上ｉｔ上ｉ＋∑ｆ下ｉｔ下ｉ＝－∑μｑｖ上ｉＢｔ上ｉ＋∑μｑｖ下ｉＢｔ下ｉ＝－μｑＢ∑ｖ上ｉｔ上ｉ＋μｑＢ∑ｖ下ｉｔ下ｉ＝μｑＢ（ｘ下－ｘ上）＝０所以ｖ＝ｇｔ－ｖ０小结：需要对上下两个过程分别使用微积分，因为向上运动的距离与返回运动的距离相等，最终求得滑动摩擦力的冲量为零．【例７】如图１５所示，在竖直向下的磁感应强度为Ｂ的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ．一质量为ｍ的导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．若轨道左端Ｍ与Ｐ间接一电容器，电容器的电容为Ｃ，导体棒在水平向右恒力Ｆ的作用下从静止开始运动．求导体棒运动过程中加速度的大小．图１５ 例７情境图解析：导体棒ａｂ向右加速运动，在极短时间Δｔ内，导体棒的速度变化Δｖ，根据加速度的定义ａ＝ΔｖΔｔ导体棒产生的电动势变化ΔＥ＝ＢＬΔｖ电容器增加的电荷Δｑ＝ＣΔＥ＝ＣＢＬΔｖ根据电流的定义Ｉ＝ΔｑΔｔ解得Ｉ＝ＣＢＬａ导体棒ａｂ受到的安培力Ｆ安＝ＢＩＬ＝Ｂ２ Ｌ２ Ｃａ根据牛顿第二定律Ｆ－Ｆ安＝ｍａ解得ａ＝Ｆｍ＋ＣＢ２ Ｌ２小结：加速度是恒定的吗？不清楚！为了求出加速度，分割后看成是匀变速运动，此处也是化变为恒，是化变加速为匀加速，即变化的ａ转化为恒定的ａ．从最终结果看出，ａ与时间无关，也就是说各段的ａ相同，即全程是匀加速直线运动．上什么山唱什么歌，具体问题要具体分析．【例８】在磁感应强度为Ｂ，方向如图１６所示的匀强磁场中，两根平行且光滑的金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ，电阻不计．轨道端点Ｍ和Ｐ间接有阻值为Ｒ的电阻．一个长为Ｌ，质量为ｍ，阻值为ｒ的金属导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．给导体棒ａｂ瞬时速度ｖ０，求：金属棒ａｂ向前运动的最大距离ｘ．图１６ 例８情境图解析：以金属棒为研究对象，在很短的一段时间Δｔ内根据动量定理 ＢｉＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（１）在某时刻根据全电路欧姆定律ｉ＝ＢＬｖｉＲ＋ｒ（２）由式（１）、（２）得 ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（３）ａｂ经时间ｔ停下来，对式（３）在时间ｔ内求和 ∑ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝∑ｍΔｖｉ ＢＢＬＲ＋ｒＬ∑ｖｉΔｔ＝ｍ∑Δｖｉ ＢＢＬＲ＋ｒＬｘ＝ｍｖ０（４）解得ｘ＝ｍｖ０（Ｒ＋ｒ）Ｂ２ Ｌ２小结：安培力的冲量，用式（４）左侧计算出的结果是真实值还是近似值？式（１）左侧的匀速如何对应于右侧的变速？下面简要说明为什么是近似值．对于在一极短时间Δｔ内，初速度为ｖｉ的匀减速直线运动过程，结合Ｆ安－ｔ图像，如图１７所示，安培力的冲量ＩＦｉ＝１２Ｂ２ Ｌ２ｖｉＲ＋ｒ＋Ｂ２ Ｌ２（ｖｉ－ａΔｔ）Ｒ＋ｒ［］Δｔ＝Ｂ２ Ｌ２２（Ｒ＋ｒ）（２ｖｉΔｔ－ａΔｔ ２）图１７ Δｔ时间内Ｆ安－ｔ图像因为Δｔ为一极短时间，Δｔ ２相对于Δｔ来说可以忽略不计，所以ＩＦｉ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｖｉΔｔ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｘｉ同样ａｂ经时间ｔ停下来，对上式在时间ｔ内求和ＩＦ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｘ与式（４）左侧一致，因此近似在Δｔ ２的忽略上．物理结果是存在误差的，但这个误差是极小的，可以满足实际的需要．微积分思想与整体法和隔离法是一脉相承的，只是操作时，先分析可研究的局部，再获得整体，适当的练习有益于学生尤其是高三学生物理思维的提升．参考文献１ 程守洙，江之永．普通物理学．北京：高等教育出版社．２０１６２ 匡继昌．微积分和无穷小量的哲学思考．数学教育学报，２００７，１６（２）。
ch-7-5微积分实际应用举例 共39页
解
M
6(2 x3
0
3x
6)dx
0
2 3
x3
3 2
x2
6
6 x 0
234 (kg)。
6x
图7.5.1
数学分析
2、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动
的过程中有一个不变的力F 作用在这物体
上，且这力的方向与物体的运动方向一致，
数学分析
例 10 计算纯电阻电路中正弦交流电i Im sint 在
一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）.
解 设电阻为 R， 则电路中的电压为
u iR Im Rsint,
功率 p ui Im2Rsin2 t,
一个周期区间 [0, 2 ],
平均功率
p 1 2
第五节
数学分析
微积分实际应用举例
一、微元法
二、定积分在物理上的应用
三、平均值与均方根 四、简单数学模型和求解 五、小 结
重点：求功、压力、引力
一、微元法
数学分析
1、面积表示为定积分的步骤
（1）把区间[a, b]分成 n 个长度为xi 的小区间，相
应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小
阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第 一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作
的功相等，问第 n次锤击时又将铁钉击入多少？
o
解 建立坐标系
x
取x [0，1]为积分变量
x dx
任取[x, x dx] [0,1]
该小区间对应的功为 dw1 kxdx,
x
§5微积分实际应用举例
则几何体的体积为
V
=
∫b
a
A(x)dx 。
此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数
A(x) 是截面的面积。
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线
⎧ x = x(t),
⎨ ⎩
y
=
y(t ),
t ∈[T1, T2 ]
上，分布函数（即物理量的密度）为 f (t) ，在 ( x(t), y(t) ) 处截取一段
长度为 dl 的弧，那么在这段弧上的物理量 dQ 为
dQ = f (t)dl 。
利用弧长的微分公式，
dQ = f (t )dl = f (t ) x′(t )2 + y′(t )2 dt ，
关于 t 在[T1, T2 ]上积分，就得到
Q
=
∫T2
T1
f
(t)
dl
∫= T2 f (t ) T1
x′(t )2 + y′(t )2 dt 。
6
= ⎜⎛ 2 x3 + 3 x2 + 6x ⎟⎞ = 234 (kg) 。
⎝3 2
⎠0
0
6x
图 7.5.1
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根
金属棒，其密度分布为
ρ(x) = 2x2 + 3x + 6 (kg/m) ，
求这根金属棒的质量 M 。
0
6x
∫ 解 M = 6 (2x2 + 3x + 6)dx 0
y = y(x)
y
利用跟踪的要求，可以得到数学模型
⎪⎧ ⎨
y′
=
−
a2 − x2 ,
x
⎪⎩ y(a) = 0,
第五讲-微积分学的应用
题型六 求变力作用的功、水压力及引力
例1 一容器由y x2绕y轴旋转而成，其容积为72 m3， 其中盛满水，水的比重为，现将水从容器中抽出64 m3，
问需做多少功？
解 设容器深度为h，首先建立容积与深度h的关系,即
dV x2dy ydy V h ydy h2
t t
,
求：1）它所包围的面积；2）它的周长；
3）它绕x轴旋转而成旋转体的体积和侧面积。
解 1)面积
A4
a 0
ydx
4
0
a
sin3
t(3a
sin
t
cos2
t
)dt
2
12
2 a2(sin4 t sin6 t)dt
3 a2
0
8
2)弧长 L 4 2 x2 y2 dt 0
40 93
3
第五讲 微积分学的应用 20
位于微区间 x, x dx上的压力元素
dP
1
x
2
y
dx
4
x
x 3
1
dx,
总压力
9
P
9 3
x2
4x
dx
4 9
x3
2x2
3
168 g 1.65 N
注：也可以上顶为原点建立坐标系再计算， 留给读者演算和验证。
6 a3
0
2 sin7 t(1 sin2 t)dt
32 a3
0
105
第五讲 微积分学的应用 16
ch75微积分实际应用举例
4
V 12 4 ydy 64. 0
数学分析
二、定积分在物理上的应用 1、质量 2、变力沿直线所作的功 3、水压力 4、引力
二、定积分在物理上的应用
数学分析
1、质量
例 3 如图 7.5.1 的一根金属棒，其密度布为
(x) 2x2 3x 6 (kg/m)，
求这根金属棒的质量 M 。
解
M
6(2 x3
0
3x
6)dx
0
2 3
x3
3 2
x2
6
6 x 0
234 (kg)。
6x
图7.5.1
数学分析
2、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动
的过程中有一个不变的力F 作用在这物体
上，且这力的方向与物体的运动方向一致，
那么，在物体移动了距离 s 时，力F 对物体所 作的功为W F s.
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o
x
x dx
5
x
数学分析
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
o
x
x dx
5
x
5
w 0 88.2 x dx
88.2
x2 2
5 0
3462 (千焦)．
数学分析
大学生学习微积分的意义-文档资料
大学生学习微积分的意义微积分理论实用性非常强大，它是研究各种科学的工具，是学生终身学习最重要的数学基础。
通过微积分可以描述运动的事物，描述一种变化的过程，可以说，微积分的创立极大地推动了生活的进步。
大学生应当努力学好微积分，从而树立科学的世界观，用变化的观点观察世界。
、微积分概述微分学的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，尽管二人在研究背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的[1] 。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨则是从几何学来考虑。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去许多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分的非凡威力。
微积分是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。
历史上，微积分曾经指无穷小的计算。
更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，如几何学是研究空间的科学一样[2] 。
二、大学生为什么要学微积分或许你对微积分不是那么有兴趣，或许你来这里，是想学一些跟微积分无直接相关的知识，关于学习微积分，你的心中一定有很多疑惑。
但是，问“为什么要学微积分”，其实就好像问“为什么要学数学”是一样的意思。
怎么说呢？因为微积分是现代数学的发展起点，主修科学相关领域的学生就必须打好这个数学基础，用下面两个主要的理由来说明。
数学是科学的语言！想想看，如果你到了一个陌生的国家却不会说当地的语言。
当然，你可以完全不学或只学会需要用到的几个字就能舒服地在那儿生活好几年。
可是，这样会限制你的生活，限制你对所处环境的了解，当然也会限制你的自我发展。
在你不用心去学习当地语言前，你将永远无法一窥这个环境的全貌，许多应该属于你的机会可能在你浑然不知的状况下悄悄溜走。
或许你只学习一小部分的数学，就能满足获得某个领域知识的需是求；但没有好好学数学，你所获得部分还是有所局限的, 因为你将无法了解更广更深的部份。
微积分在生活的应用之欧阳文创编
微积分在生活中的应用摘要：微积分作为一种重要的数学工具，在解决实际问题时并不是一开始就得心应手的,在开始应用微积分解决间题时,常常会感到困惑,主要表现在：积分元的选取,积分限的确定及模型的建立等等.比如，利用微积分来确定一些简单的学习方法、投资决策、对实际问题进行数学建模等,这些问题都可以通过微积分的知识和方法来进行分析，并找出其中的规律,从而做出决策.本文将结合它在几何、物理与经济等方面的应用,利用理论知识付诸于实践中,有利于于人们更好的学习了解微积分的应用.关键词：微积分物理经济应用摘要字数偏多，再去掉两三行。
摘要是反映你文章中的内容，前面两句介绍微积分，后面直接说文章通过哪些内容反映你的主题引言通过微积分可以描述运动的事物,描述一种变化的过程,可以说,微积分的创立极大地推动了生活的进步.由于微积分是研究变化规律的方法，因此只要与变化、运动有关的研究都要与微积分发生联系，都需要运用微积分的基本原理和方法.随着现代科学的发展和各学科之间的相互交融，微积分仍会进一步丰富和发展人们的生活，进一步将微积分的理论应用于实践，从而为人类社会的进步作出更大的贡献.无论是在生活中还是学习中,微积分都能实现其最大化、最优化的作用.在学习数学中,利用微积分能很好的计算平面上那些不规则图形的面积、曲线的弧长、三维空间中旋转曲面的表面积、旋转体的体积及在我们生活中“切菜”的物体的体积等;在物理上,利用微积分可以研究物体做匀速直线运动的位移问题、研究匀速圆周向心加速度的方向问题及研究物体的变力做功等;在经济中,利用微积分能分析边际分析在经济中的应用、弹性在经济中的应用及学会用微积分解决实际中的最优问题与投资决策等.可见，微积分存在于生活中的方方面面，是解决实际问题最方便的工具.如果没有微积分的出现,生活中遇到的问题就不能转化为数学语言来进行研究,生活中存在的大量的实际问题就不能够解决,因此,要想解决这些问题我们就必须学好微积分的有关知识，好好利用微积分这个工具.本文将通过具体的实例分析微积分在数学、物理及经济中的具体的应用，进一步加强人们对于微积分的理解及其在实际的广泛的应用.引言部分写的还可以，暂时不用动，最后在修改细节。
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在经济应用上相应地有边际收益，边际利润，边际成本等。 由导数的定义知，f'(x) 是f(x0)在x点的变化率。 即当x=x0时，x改变一个单位，y改变了f'(x 0)个单位。 如边际成本C'(x0)表示生产x0个单位产品时，再生产一个单 位产品，成本增加C′(x0)。
解 设A ? ?r2 , r ? 10厘米, ? r ? 0.05厘米.
? ? ? A ? dA ? 2 r ?? r
? 2? ? 10 ? 0.05 ? ? (厘米2 ).
? y x ? x0 ? dy x? x0 ? f ?( x0 ) ?? x.
四 微分学在经济问题中的应用
1 边际函数的应用
实际上, 用几何语言来表述就是: 体积给定的直圆柱体, 其表面积最小的尺寸 (半径和高)为 多少?
表面积用 S 表示, 体积用 V 表示, 则有
S(,r h) ? 2? r h ? ? r 2 ? ? r 2 ? 2?[r 2 ? rh] V ? ? r 2hh, ? V / ? r 2.
于是我们可以建立以下的数学模型：
min S(r, h) 其中 S 是目标函数,
r ? 0, h? 0
g(,r h) ? V ? ? r 2h ? 0 是约束条件 (V 已知, 即罐内体积一定),.
即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的 r, h.
把 h ? V / ? r 2 代入S(r , h) , 得到
S(r )
?
2?[r
? ? 又由于
S??(r ) r0 ? 2
(2 ?
2V r3
)
r0
?
0
r0 ? 0
V 知道 r0 ? 3 2?
是一个局部极小值点. 实际上,它也是全局最小值点, 因为临界点是唯一的.
最小面积为
V
S(r0 ) ? 6 3 2?
? 6r02
七 积分学在几何，物理中的应用
几何：平面图形的面积； 体积； 平面曲线的弧长；
其他的生物种群的生存不影响该生物种群的 生存。 3、假设时刻 t生物种群数量为 N(t) ，由于N(t) 的数量很大，可视为时间 t的连续可微函数。 4、假设在t=0时刻该生物种群的数量为 N0
问题分析
? 问题涉及的主要特征的数学刻画：自然增长率。
意指单位时间内种群增量与种群数量的比例系数， 或单位时间内单个个体增加的平均数量。
微积分学的实际应用
一、微分学在几何中的应用
曲线的切线问题
y
割线MN 的斜率为
o
tan ? ? y ? y0 ? f ( x) ? f ( x0 ) ,
x ? x0
x ? x0
y ? f (x)
N
CM
??
x0
T
xx
切线MT 的斜率为
k?
lim
x? x0
f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x0
上面的模型的结果与19世纪以前欧洲地区的人口统计数据可 以很好吻合； 人们还发现在地广人稀的地方的人口增长情况比较符合这种 指数增长模型。说明该模型的假设和模型本身具有一定的合 理性。
六 微分学在最优化问题的应用
易拉罐问题 :
分析和假设： 首先把饮料罐近似看成一个直圆柱体. 要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最 省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.
这表明当生产第901台时所花费的成本为1.5元。 同时也说明边际成本与平均成本有区别。
2 极值在经济中的应用
利用微积分理论中求极值的必要条件和充分条件， 可以解决求最小成本，最大利润等经济问题。
某厂每天生产某商品x单位的总成本函数为 C(x)=0.5x2+36x+9800（元）， 那么每天生产多少个单位的产品时平均成本最低？ 平均成本: C(x)=0.5x+36+9800/x
C'(x)=0.5 -9800/x2
令C′(x)=0，x=140 又C″(140)=1/140>0， 最小平均成本存在，因此当生产140个单位时平均成本最低。
五 微分学在生物领域中的应用
生物种群数量问题
设某生物种群在其适应的环境下生存， 试讨论该生物种群的数量变化情况。
问题假设
1、假设该生物种群的自然增长率为常数 λ 2、设在其适应的环境下只有该生物种群生存或
物理：功； 水压力； 引力和平均等．
八 积分学在经济中的应用
八 积分学在经济中的应用
在已知边际函数情况下，利用定积分求总量函数 在某区间的总量。
九 积分学在生活中的应用
2
?
r
V
?r 2
]
?
2?[r
2
?
V
?r
]
求驻点(临界点,critical point)
? ? ? ? 0 ? S?(r) ? 2
(2r ?
V r
2
)
?
2 r2
(2r 3 ?
V)
? r0
?
3
V 2
V V 4? 2 ?4 2V3 8V
? ? ? ? h ? r02 ?
3
V2
?3
2V 2
?3 2
? 2r0 ? d0
2. 交流电路 :电量对时间的导数为电流强度 . i(t) ? lim ? q ? dq. ? t ? 0 ? t dt
3. 非均匀的物体 :质量对长度 (面积,体积)的导数为物 体
的线(面,体)密度.
三 微分学在近似计算中的应用
半径 10厘米的金属圆片加热后 ,半径伸长 0.05厘米 ,问面积增大了多少 ?
在Δt时段种群数量的净增加量 =在t+Δt时刻 的种群数量 —在t时刻的种群数量。
文字方程改写为符号方程
? N (t ??? t) N (t) ? N (t)? t
模型建立
Malthus模型
? ? ?
dN (t) dt
?
?
N
(t)
?? N (0) ? N 0
模型求解
Nt( ) ? Ne0 ?t
结果验证
f '( x0 ),
二、微分学在物理中的应用
1.自由落体运动的瞬时速度问题
平均速度 v ?
?s
?
?t
s? t?
s0 t0
?
g 2 (t0
?
t).
t0 t
?t
当 t ? t0时, 取极限得
瞬时速度 v ? lim v ? lim s ? s0 ? lim ? s
t? t0
t? t0 t ? t0 ? t? 0 ? t