素数的分类
数的分类【PPT】
正实数：正有理数、正无理数
正有理数
①正整数：1、2、3、4...... ②正分数：1/2、1/3、2/3、5/7......
负实数：负有理数Biblioteka 负无理数负整数：-1、-2、-3、-4......
负实数：负有理数、负无理数
负无理数：-π、-e、负根号2
5、零：实数——>有理数——>整数（0既不是正数也不是负 数） 6、自然数（0、1、2、3、4......）
负实数：负有理数、负无理数
奇数、偶数
①奇数：不能被2整除的数叫奇数，如1、3、5、7、9...... ②偶数：能被2整除的数叫偶数，如0、2、4、6、8......
负实数：负有理数、负无理数
质数、合数
①质数（素数）：只有1和它本身这两个因数（因数是指整 数a除以整数b(b≠0) 的商正好是整数）的自然数，如100 以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、 31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、 83、89、97。 ②合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数，如4、6、 8、9、10、12...... ③0和1既不是质数也不是合数。
谢谢
数的分类【PPT】
演讲人
数的分类（复数：实数、虚数）
数的分类（复数：实数、虚数）
1、对于复数a+bi(a,b属于R)，当且仅当b=0时，为实数（正实 数、负实数）；当且仅当a=b=0时，为实数0；当b≠0时，为 虚数；当a=0且b≠0时，为纯虚数。 2、有理数是有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小 数。
自然数有理数实数的分类
自然数
自然数：0，1 ，2，3， 4， 5， ……
自Hale Waihona Puke 数奇数 偶数 自然数（0除外） 质数 1 0 合数
质数(prime number)又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自 然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。
分类
按奇数、偶数进行分类：
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，11， 12， 13， 14， 15，16， …… ……
按质数、合数进行分类：
1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，11， 12， 13， 14， 15， 16， …… ……
有理数的分类
整数和分数统称为有理数，整数也可以看作分母为1的分数， 任何一个 有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。从而有 理数又称作分数。任何一个有理数都可以在数轴上的点来表示。其中包 括整数和通常所说的“分数”，此“分数”乃为有限小数或无限循环小 数。 无限不循环小数称之为无理数（如圆周率π），有理数和无理数统称为实 数。
自然数、有理数、实数的分类
2019-03-11
自然数
自然数：自然数是用以计量事物的件数 或表示事物次序的数 。自然数是整数 （自然数包括正整数和零），但整数不 全是自然数，自然数是无限的。 总之， 自然数就是指大于等于0的整数。当然， 负数、小数、分数等就不算在其内了。
自然数的分类
自然数的分类
关于0的一些特性和规定： 1）.0既不是正数也不是负数，而是介于-1和+1之间的 整数。 2).0是偶数。 3).0是最小的完全平方数。 4).0的相反数是0，即，—0=0。 5).0的绝对值是其本身，即，∣0∣=0。 6).0没有倒数和负倒数，一个非0的数除以0在实数范 围内无意义。 7).0的正数次方等于0，0的负数次方无意义，因为0没 有倒数。 除0外，任何数的的0次方等于1
梅森素数
梅森素数维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索梅森数是指形如2n− 1的数，记为M n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。
∙梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。
梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅森数的例子：∙M2 = 22− 1 = 3、M3 = 23− 1 = 7 是素数。
∙M4 = 24− 1 = 15 不是素数。
目录[隐藏]∙ 1 相关命题和定理o 1.1 梅森数和梅森素数的性质o 1.2 梅森数和梅森素数的关系o 1.3 梅森数的素性检验o 1.4 与完全数的关系∙ 2 相关问题和猜想∙ 3 寻找梅森素数o 3.1 梅森素数列表∙ 4 外部链接[∙。
∙q≡ 3 mod 4 为素数。
则2q+1也是素数当且仅当2q+1 整除M q。
∙拉马努金给出：方程M q= 6+x2当q为3、5和7时有三个解；q 为合数时有2个解。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。
例如，211− 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定与同余。
[编辑]梅森数和梅森素数的关系下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。
▪a≡ 1 mod 2q▪a≡±1 mod 8o欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：M q是素数当且仅当存在数对（x,y）使得M q= (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
o最近，Bas jansen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
o Reix 发现q > 3时，M q可以写成：M q = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。
素数的构成知识点总结
素数的构成知识点总结1. 素数的定义素数是指在大于1的自然数中，除了1和本身之外，没有其他因数的自然数。
比如2、3、5、7等就是素数，因为它们只能被1和本身整除，没有其他因数。
2. 素数的性质素数有许多特殊的性质，常见的性质包括：- 素数只能被1和本身整除，没有其他因数。
- 素数的个数是无穷的，这是由欧几里得证明的。
证明的思路是假设素数只有有限个，然后构造一个大于已知素数中最大的数的素数，矛盾，因此素数个数是无穷的。
- 除了2以外，其他素数都是奇数。
因为偶数都能被2整除，所以大于2的偶数不可能是素数。
3. 素数的分类素数可以根据其特性进行分类，常见的分类包括：- 质数：是指只有1和本身两个因数的自然数，比如2、3、5、7等就是质数。
- 孪生素数：是指相差为2的两个素数，比如3和5、11和13等是孪生素数。
- 梅森素数：是指具有形式2^n-1的素数，其中n也是素数。
梅森素数有很多特殊的性质，是素数中的一类特殊类型。
- 晨星素数：是指具有形式n×2^n+1的素数，其中n是自然数。
晨星素数也具有一些特殊的性质。
4. 素数的判定方法素数的判定是一个重要的数论问题，目前已经发展了许多方法来判定一个数是否为素数，常见的方法包括：- 质因数分解法：将一个数进行质因数分解，如果它只有两个因数，则是素数。
- 费马小定理：根据费马小定理可以判断一个数是否为素数，但该方法不适用于大数的判断。
- 米勒-拉宾素数测试：是一种用于判断一个数是否为素数的概率方法，它能够在多项式时间内判断大数的素数性。
- 埃拉托斯特尼筛法：是一种用于筛选素数的方法，可以高效地找出一定范围内的所有素数。
5. 素数的应用素数在密码学中有着重要的应用，例如在RSA加密算法中，素数的选择对加密的安全性有着重要的影响。
此外，在计算机科学中，素数也被广泛应用于随机数生成、哈希算法等领域。
以上就是关于素数的构成知识点的总结，素数作为数论中的重要概念，具有丰富的性质和应用价值，对于理解数学知识和应用数学方法都具有重要意义。
一百以内质数口诀
一百以内质数口诀一三，一九，一十七；二三，二九，三十七；三一，四一，四十七；四三，五三，五十九；六一，七一，六十七；七三，八三，八十九；再加七九，九十七； 25 个质数不能少；百以内质数心中记。
100以内质数的多种记忆方法大家都知道，100以内的质数共25个，在教学的过程中如何让学生轻松地记忆下来，为后面的学习奠定基础，是非常重要的。
我在网上搜了些相关的内容，希望给大家以提示。
100以内的质数歌谣“二、三、五、七带十十三、十七记心里十九、二三、二十九三十一来三十七四一、四三、四十七各个都要牢牢记五十三、五十九六十一来六十七七一、七三、七十九八三、八九、九十七。
质数口决二三五七一十一（2、3、5、7、11）十三、十七、一十九、（13、17、19）二三九、三一七、（23、29、31、37）五三九、六一七（53、59、61、67、）四一三九、七一三九（41 43 49 71 73 79 ）八三八九、九十七（83 8997 ）一百以内质数口诀，一九，一十七；三四六，二九，三十七；，四一，四十七；，五三，五十九；，七一，六十七；，八三，八十九；再加七九，九十七；25个质数不能少；百以内质数心中记。
100以内质数记忆法100以内的质数共有25 个，这些质数我们经常用到，可以用下面的两种办法记住它们。
一、规律记忆法首先记住2 和3，而2 和3 两个质数的乘积为6。
100 以内的质数，一般都在6 的倍数前、后的位置上。
女口5、7、11、13、19、23、29、31、37、41、43……只有25、35、49、55、65、77、85、91、95这几个6的倍数前后位置上的数不是质数，而这几个数都是5或7的倍数。
由此可知：100以内6的倍数前、后位置上的两个数，只要不是5或7的倍数，就一定是质数。
根据这个特点可以记住100 以内的质数。
二、分类记忆法我们可以把1 00以内的质数分为五类记忆。
第一类：20以内的质数，共8个：2、3、5、7、11、13、17、19。
第二讲 分解素因数与公因数、公倍数
第二讲分解素因数与公因数、公倍数★知识精要1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1个和它本身两个因数，这样的数叫做素数。
（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
（3）正整数按照含因数的个数分类，可以分为1、素数与合数。
2、判断一个正整数是不是素数的方法判断一个正整数是不是素数，常用的方法有两种：一是查素数表；二是试除法；所谓试除法就是从小到大用每一个素数2,3,5,7，...，依次去试除所给的正整数，如果它能被比它小的某个素数整除，它就是合数；如果除得的商比除数小，但仍不能整除，它就是素数。
3、素因数和分解素因数（1）素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
（2）分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
注：素因数相对于合数而言，不能单独存在；一个数分解素因数的形式是唯一的；书写时，一般写成“合数=素因数相乘”的形式。
4、分解素因数的方法分解素因数的方法通常有以下两种：（1）树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式.（2）短除法：先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
公因数与公倍数1、公因数与最大公因数（1）公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数.（2）最大公因数：几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数.（3）两个数互素：如果两个整数只有公因数1那么称这两个数互素.注：两个不同的素数互素；1和任何数互素；两个相邻的正整数互素；一个素数和一个合数如果没有倍数关系，则它们互素；2、求最大公因数的方法求几个整数的最大公因数的方法通常有以下四种“（1）枚举法：分别枚举出每个数的所有因数，然后从公因数中找出最大的一个公因数，就是这几个数的最大公因数.（2）分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后将所有公素因数连乘，所得的积就是他们的最大公因数.（3）短除法：用所求两个数的公因数去除这两个数，除到所得的商互素，然后将所有除数连乘，所得的积就是他们的最大公因数.（4）运用规律法：如果两个数满足下面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数，规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1.3、公倍数与最小的公倍数（1）公倍数：几个整数的公有的倍数，叫做这几个数的公倍数.（2）最小公倍数：几个整数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.4、求两个数的最小公倍数的方法（1）枚举法：分别枚举出每个数的所有倍数，然后从公倍数中找出最小的一个公倍数，就是这几个数的最小公倍数.（2）分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后取它们所有公素因数，再去它们各自剩余的素因数，将这些素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数.（3）短除法：用两个数的公因数去除这两个数，除到所得的商互素，然后将所有除数和最后的商连乘，所得的积就是他们的最小公倍数.（4）运用规律法：如果两个数满足下面的规律，便可直接运用规律求出它们的最小公倍数，规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数；如果这两个数互素，那么它们的乘积就是最小公倍数.（5）大数倍数法：将两个数中的较大数依次乘以2,3,4，…,所得的积最先是较小这个数的倍数时，这个积就是这两个数的最小公倍数.例1、判断下列说法是否正确，并给出原因。
2.质数与合数
数学竞赛班讲义班级______姓名______学号______第二讲质数与合数知识点归纳一、正整数的一种分类：质数、合数、1。
二、质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
三、合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
四、质数的性质：（1）质数只有1和本身两个正约数；（2）质数中只有一个偶数2；（3）如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2；（4）如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2；（5）任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
例题与分析1．用1，2，3三个数码（可以重复）可以组成的最大两位质数是多少？2．用1，2，3，4四个数字中的三个可以组成的三位最大质数是多少？3．在所有两位以上的质数中，在个位数上不可能出现的数字共有多少个？4． 设xy 是小于50的质数，且)(|2y x +，则满足条件的数共有多少个？5． 已知三个质数30=++z y x ，则xyz 最小为多少？6． 图中的每个圆圈内的数都是质数，且大三角形每条边上三个数的和与其中小三角形上三个顶点的和都相等，则这个和最小是多少？7． 如果P 是质数，且42+P ，43+P 仍是质数，那么P 最小是多少？8． 请在下式的方框内填入6个50以内的不同质数．2×□＋□×□＋□×□×□=20029． 三个质数的积恰为它们和的7倍，则这三个数是多少？10． 将50写成10个质数之和，则其中最大的一个不会超过多少？11． 已知P ，5)4(2-+P 都为质数，求)4)(3)(2)(1(++++P P P P 的值．12． 已知两个质数a 和b ，它们的积加上7后恰好为三个不同质数的乘积，这三个质数均不超过30，求a 的最小值．练习与巩固1． 最小的质数与最小的合数之和为____________．2． 两个合数的和为质数，则这两个数最小为__________，___________．3． 20以内的质数共有__________个，最大的一个为___________．4． 下列五个数15、23、39、41、51中，_________和_________为质数．5． 已知两个质数a 和b 的和是奇数，则它们的积为___________（填“奇数”或偶数）．6． 两个质数的和为43，则这两个质数较大数比较小数大____________．7． 正整数A 和B 都是质数，且6723=+B A ，且B A >，则__________=+B A ．8． 有一个质数加上10或12后，仍为质数，则这个数最小为__________．9． 试写出5个由小到大的连续正整数，它们都是合数，其中最小数的最小值为__________．10． 有一类两位质数，将十位数字与个位数字对换后仍为质数，则所有这些数之和为_____．11． 分别判断117和373是质数还是合数．12． 已知x 、y 、z 为三个质数，且24=+y x ，66=+z y ，z y x <<，求x 、y 、z 的值．。
1.4 素数、合数与分解素因数讲义
1. 4（1）素数、合数与分解素因数学习目标：1. 理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念，掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。
2. 通过学习，进一步加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法的异同，体现分类思想。
重点：分解素因数重点：素数与分数、合数与偶数概念的辨析新课预习一、创设情景，引入新课1. 每位同学写两个整数，并写出它们的因数。
2. 提问：你写出的整数有几个因数（教师在黑板上列一张表）因数个数确定吗由此可以发现，有些整数只有一个因数，有些有2个因数，即1和本身，有些有3个、4个……知识点一：素数、合数的概念一个正整数，如果只有1和它本身这两个因数，这样的数叫做素数，也叫作质数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
例如：2,3,5,7,11,13...都是素数；4,6,8,1,12,14...都是合数。
1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数又可以分为1，素数和合数三类。
例1：判断27，29，35和37是素数还是合数通过检查每个数的因数的个数，可以知道29，37是素数，27，35是合数。
二、层层递进、探索新知1. 讨论：1）2是素数还是合数2）是否存在这样的正整数，既是素数，又是合数3）合数与偶数、素数与奇数相同吗若不同，你能讲出区别吗（举例说明）4）整数1到底是什么“身份”你能讲清楚吗2. 判断一个100以内的数是不是素数，还可以查以下的素数表：2 3 5 7 11 13 17 19 2329 31 37 41 43 47 53 59 6167 71 73 79 83 89 97三、巩固练习1. 在自然数1到10中：奇数有哪些 1 3 5 7 9 偶数有哪些 2 4 6 8 10素数有哪些 2 3 5 7 合数有哪些 4 6 8 9 102. 下面的说法对吗1）一个合数至少有3个因数；对比如4 ，9 ，252）所有的奇数都是素数；错比如25，9 ，493）所有的偶数都是合数错比如24）在正整数中，除了素数都是合数。
质数和合数
小学数学竞赛辅导3（质数、合数与分解质因数）(2011-09-21 09:45:51)分类：小学奥数标签：育儿（3）质数、合数与分解质因数〖老师告诉你〗质数与合数是数论里最基本、最重要的概念之一，许多有趣的课题都与它紧密相关。
例如著名的哥德巴赫猜想就是一个关于质数、合数的问题。
1、质数与合数一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其它自然数整除，那么它就叫做质数（也叫素数）。
例如，100以内的质数共有25个，从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其它自然数整数，那么它就叫做合数。
例如：4、6、8、10、12、14、……都是合数。
根据质数、合数的定义，每个质数只有两个约数：1和它们本身；每个合数至少有三个约数：1、它本身、其它约数。
例如6的约数除1和6外，还有2、3，所以6是合数。
要特别记住：1既不是质数，也不是合数。
全体自然数可以分成三类：（1）1（自然数的单位），（2）质数，（3）合数。
质数有无限多个，合数也有无限多个。
最小的质数是2，最小的合数是4。
在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。
2．质因数与分解质因数如果一个质数是某个自然数的约数，那么这个质数就叫做这个自然数的一个因数。
例如，质数2和3都是36的约数，所以2和3都是36的质因数。
6是36的约数，但6不是质数，所以6不是36的质数因数。
把一个自然数表示成因数相乘的形式，可以有多种方法。
例如，12=2×6=3×4=2×2×3。
但把12表示成质因数相乘的形式，则只有一种方法：2×2×3。
“算术基本定理”说的就是这一事实：任何一个合数都可以表示成若干个质因数相乘的形式，如果不考虑质因数的顺序，这种表示方法是唯一的。
1.4(1)素数、合数与分解素因数
1.4素数、合数与分解素因素（1）【教学目标】1、理解素数、合数的概念，会对奇数和素数、偶数和合数的作出区分。
2、进一步加深对整数的认识，理解整数的多种分类方法的异同，培养学生数学分类思想。
3、熟记100以内素数，能判断一个正整数是否为素数。
(记忆规律也要交代)4、激发学生交流、对话意识，培养数学分类思想，树立学习信心。
【教学重点】掌握素数、合数的概念，知道正整数可分为1、素数、合数三类。
【教学难点】学生对奇数和素数、偶数和合数的区分，对整数分类的掌握。
【教学过程】一、导入新课（素数、合数概念的引入）1、师：我们已经学会了怎样求一个正整数的因数，那么一个正整数有几个因数呢？请大家跟着老师举得几个例子来看一下。
2、下列每个数各含有几个因数？（1由老师来讲这里就讲会混淆概念）1，2，3，4，5，6，7，8，9学生求解后可以得到每个数的因数个数，教师可以以表格的形式，让学生直观看出。
师：由此可以发现，有些整数只有一个因数；有些有2个因数，即1和本身；有些有3个、4个因数，我们在这里直接把他们分到2个因数以上这一栏。
二、新课教学素数、合数概念的形成1、师：我们把中间这栏2、3、5、7、11、13的数称为素数，把第三栏4、6、8、9、10、12、14称为合数，谁能分别来概括一下素数、合数的定义？归纳：我们把只含有因数1和本身的整数叫做素数或质数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
2、判断27、29、35、37是素数还是合数？师：判断之后说说你的判断方法。
鼓励学生利用整除的特征来判断，也可以直接数因数的个数，教师进行板演。
解：27的因数有1、3、9、27，共四个，是合数29的因数有1、29，共两个，是素数。
35的因数有1、5、7、35，共四个，是合数。
37的因数有1、37，共两个，是素数。
3、判断一个整数是素数还是合数的方法有哪几种？1）看因数个数2）利用整除性质试除3）查素数表4、核对课本1.4第一至三题对几个概念的认识和区分1、师：回到之前的表格，我们已经知道第二、三栏中的数分别是素数和合数，那么请问第一栏中的“1”要怎么定义呢？归纳：“1”既不是素数也不是合数，在正整数的分类中，还可以把正整数分为素数、1、合数。
素数的个数公式
( n ) 时，π ( n, r ) = j + 1 。这个结论很好理解，从自然数列 1、2、3……
又因为
⎡n⎤ m ⎡ n ⎤ m ⎡ n ⎤ j = n−∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎣ i j⎦ ⎣ i j k⎥ ⎦
m
⎡ n ⎤ m ⎡ n ⎤ ⎡n⎤ n−∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎣ ⎢ pi p j ⎦ ⎥ i< j<k ⎣ ⎢ pi p j pk ⎦ ⎥
倍数的个数也就是还剩有质数，合数和 1。故
⎡n⎤ m ⎡ n ⎤ m ⎡ n ⎤ n−∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ i j⎦ ⎣ i j k⎦
m
当 m = 0 时，有容斥原理可以知道这个公式表示 n 减去 n 以内 0 个质数倍数的个 数也就是没有减去一个数。故
pm 为 n 的前部素数， m = π
( n ) 是前部质数的个
数，那么所有不大于 n 的素数的个数
π ( n) = m + n − ∑ ⎢
⎡ n ⎤ ⎡ n ⎤ ⎡n⎤ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ ⎥ +∑⎢ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎥ i j i j k ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
素数的个数公式
作者姓名：弯国强
作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学 E-mail：632158@
初中数学重点梳理：质数、合数
质数、合数知识定位质数、合数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答质数、合数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，质数、合数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关质数、合数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的质数、合数问题。
知识梳理1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
5、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和86、两数互质的特殊情况（1）1和任何自然数互质；（2）相邻两个自然数互质；（3）两个质数一定互质；（4）2和所有奇数互质；（5）质数与比它小的合数互质。
质数和合数的概念
质数和合数的概念质数与合数的基本概念知识点拨1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住:0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个; 除了2其余的质数都是奇数;除了2和5，其余的质数个位数字只能是1、3、7或9考点:(1)值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点(2)除了2和5，其余质数个位数字只能是1、3、7或9 2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这，我们可以先找一个大于且接近p的平方数样的计算量很大，对于不太大的p 2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的，那么p就为质数。
例如:149很接近144=12x12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
例题精讲例1:下面是主试委员会第六届“华杯赛”写的一首诗:美少年华朋会友，幼长相亲同切磋;杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多;九天九霄志凌云，九七共庆手相握;聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌;请你将56个字第1行左边第一字逐字编为1-56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。
例2:(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子，菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家，华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖。
我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理:对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组。
第六讲素数与合数
第6讲素数与合数【知识要点】1、分类：自然数（不包括0）按照因数的个数不同可以分为三类：（1）一个自然数除了1和它本身，不再有别的因数，这类数叫做素数（或质数）。
（2）一个自然数除了1和它本身，还有别的因数，这类数叫做合数。
（3）1既不是素数也不是合数。
2、素数的判定：（1）直接判断：熟记100以内的素数；（2）试除判断：假设有自然数N、P，且N﹤P2。
可以用小于P的所有素数依次去除N，如果其中某个素数能整除N，则N是合数；如果小于P的所有素数都不能整除N，则N是素数。
3、相关知识：（1）最小的素数是2，2也是唯一的偶数素数，其它所有素数都是奇数。
（2）最小的合数是4，大于2的偶数都是合数。
（3）奇数中有素数也有合数。
例题1、最小的素数与最接近100的素数的乘积是多少？练习1、自然数N是一个两位数，它是一个素数，而且N的十位数字与个位数字都是素数。
这样的自然数有几个？例题2、两个素数的和是25，这两个素数的积是多少？练习2、有三个不相同的素数，它们的和是40，求这3个素数。
例题3、用2，3，4，5这四个数字中的两个数字，能组成多少个素数？练习3、用2、3、4、5中的三个数能组成多少个三位素数?例题4、连续9个自然数中最多有几个素数？为什么？练习4、有7个连续自然数，它们都是合数，把这7个自然数相加，和最小是多少？例题5、将17拆成若干个不同的素数的和，再将这些素数相乘，乘积最大是多少？练习5、将22拆成若干个不同的素数的和，再将这些素数相乘，乘积最大是多少？例题6、已知A是素数，而且A＋4，A＋6，A＋10都是素数，求符合条件的最小素数A。
练习6、有一个素数，它加上10是素数，加上14也是素数，这个素数最小是几？例题7、任意调换189位数123456789101112…9899各位上的数字位置，所得的自然数中有没有素数，说明理由。
练习7、用0～9这10个数字能组成许多个各个数位上的数字都不同的十位数，将其中的素数相加，和是多少？【课堂练习】1、两个素数的积是51，求这两个素数的和。
素数与孪生素数分布规律
素数与孪生素数分布规律郭占祥2016年9月10日内容简介作者从一九七二年开始，业余探索素数与孪生素数分布规律四十多年，此书较为详细地介绍了这一研究过程和最终得出的结果。
数列上有序重复出现的量变现象，称数列规律。
自然数列中两个相邻数字的差等量重复出现。
素数序列“2,3,5,…,P n,P n+1,…,(P,P+2) ,…”中每一个素数、每一对儿孪生素数都不是小于她的素数的积。
等差、等比数列规律是“等量变化规律”；素数序列规律是“非积变化规律”，或称“非倍数变化规律”。
有限素数2,3,5,…,P n的积外数{2,…,P n|/q1,…,q n,…}，在区间[2，q n]里，有[(2-1)(3-1)(5-1)…(P n-1)]个数，其q1是素数P n的第一后继素数“P n+1”。
其中q n=2×3×5×…×P n+1．除了3的倍数以外、两个相差为2的非1奇数，称：孪生数。
假定最大的孪,P s)n．生素数是(Pf有限奇素数3,5,7,…,P的积外孪生数{3,…,P f|/(q,q+2)1,…,(q,q+2)n,…}，在区f间[3，2q n-3]里，有[(3-2)(5-2)(7-2)(11-2)…(P n-2)]对儿数，其(q,q+2)1是奇素数P f 的第一后邻孪生素数“(P,P S)n+1”。
其中q n,q n+2写作：(q,q+2)n，其Fq n=3×5×7×11×…×P f+2．非1自然数的积是合数；非1自然数的积外数是素数；非1自然数的积外孪生数是孪生素数。
可以求出每一个素数、每一对儿孪生素数在自然数列上准确无误的分布位置，这就是素数、孪生素数的分布规律。
素数分布规律的发现，将为完全解决哥德巴赫猜想问题开辟一条新的探索途径。
大家努力吧！素数问题，攻克不了的难关是大家顽固不化的传统数理观念。
阅读此书时，务必把有限素数2,3,5,…,P n置于非1自然数列2,3,4,…,n,n+1,…置于孪生数列5,7；11,13；17,19；23,25；中参照理解；务必把有限奇素数5,7,11,…,Pf29,31；35,37；…；q,q+2；…中参照理解。
五年级上册数学素材- 质数和合数的概念
五年级上册数学素材-质数和合数的概念【基础知识】质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。
如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1个因数）。
100百以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
共25个。
【随堂练习】（1）像2、3、5、7这样的数都是（），像10、6、30、15这样的数都是（）。
（2）20以内的质数有（），合数有（）。
（3）自然数（）除外，按因数的个数可以分为（）、（）和（）。
（4）在16、23、169、31、27、54、102、111、97、121这些数中，（）是质数，（）是合数。
（5）用A表示一个大于1的自然数，A2必定是（）。
A+A必定是（）。
（6）一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位数，最高位上是最小的合数，这个数是（）。
（7）两个连续的质数是（）和（）；两个连续的合数是（）和（）（8）两个质数的和是12，积是35，这两个质数是（）A. 3和8B. 2和9C. 5和7（9）判断并改正：一个自然数不是质数就是合数。
（）所有偶数都是合数。
（）一个合数的因数的个数比一个质数的因数的个数多。
（）所有质数都是奇数。
（）两个不同质数的和一定是偶数。
（）三个连续自然数中，至少有一个合数。
（）大于2的两个质数的积是合数。
（）7的倍数都是合数。
（）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。
（）2是偶数也是合数。
（）1是最小的自然数，也是最小的质数。
（）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。
（）（10）下面是一道有余数的整数除法算式：A÷B=C… R1既不是质数也不是合数。
质数合数分解质因数
质数合数分解质因数在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97÷11=8…9，97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×13 78=2×3×1399=32×11 105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2×3 22×3 23×332 2×32 22×32 23×325 2×5 22×5 23×53×5 2×3×5 22×3×5 23×3×532×5 2×32×5 22×32×5 23×32×5这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4×6=24个，而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：如果A分解质因数为：则A的全体约数的个数为：（r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）例5 有30个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30= 30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，要使A 最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为下列形式：其中a1，a2，a3为互不相同的质数．要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24×32×5=720解：因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，而且题中要求a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24×32×5=720．例6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果．首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，193，195，197，199；根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．解：200以内另外五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97÷11=8…9，97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×13 78=2×3×1399=32×11 105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2×3 22×3 23×332 2×32 22×32 23×325 2×5 22×5 23×53×5 2×3×5 22×3×5 23×3×532×5 2×32×5 22×32×5 23×32×5这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4×6=24个，而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：如果A分解质因数为：则A的全体约数的个数为：（r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）例5 有30个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30= 30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，要使A 最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为下列形式：其中a1，a2，a3为互不相同的质数．要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24×32×5=720解：因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，而且题中要求a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24×32×5=720．例6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果．首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，193，195，197，199；根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．解：200以内另外五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97÷11=8…9，97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×13 78=2×3×1399=32×11 105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2×3 22×3 23×332 2×32 22×32 23×325 2×5 22×5 23×53×5 2×3×5 22×3×5 23×3×532×5 2×32×5 22×32×5 23×32×5这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4×6=24个，而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：如果A分解质因数为：则A的全体约数的个数为：（r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）例5 有30个约数的最小自然数是多少？分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30= 30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，要使A 最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为下列形式：其中a1，a2，a3为互不相同的质数．要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样A=24×32×5=720解：因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，而且题中要求a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24×32×5=720．例6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果．首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：11，13，15，17，19；41，43，45，47，49；71，73，75，77，79；101，103，105，107，109；131，133，135，137，139；161，163，165，167，169；191，193，195，197，199；根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．解：200以内另外五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．。
素数的分类
素数的分类
王元和
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2009(000)032
【摘要】本文主要介绍素数的多种分类方法.
【总页数】1页(P90-90)
【作者】王元和
【作者单位】云南省昆明市盘龙区道路桥梁管理处,昆明,650041
【正文语种】中文
【中图分类】O122
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梅森素数为什么这么重要?
梅森素数为什么这么重要？
许家辉
【期刊名称】《大众科学》
【年(卷),期】2018(000)007
【摘要】众所周知,素数也叫质数,是只能被自己和1整除的数。
2300多年前,古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个,如2、3、5、7、11等等。
在素数的探究中,人们发现少量的素数可表示为2^P-1(即2的P次方减1,其中指数P为素数)的形式,如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。
由于这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力,它吸引了包括数学大师欧几里得、笛卡尔、费马、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯和图灵等在内的众多数学家和无数的业余数学爱好者。
【总页数】2页(P34-35)
【作者】许家辉
【作者单位】[1]美国洛杉矶加州大学
【正文语种】中文
【中图分类】O156.1
【相关文献】
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素数的分类摘要：根据任意素数3≥p ，梅森数12-p，存在二元二次方程p k m mkp p 12481-=++-。
且12-p有且仅有一个素因子形如12+kp ，1),2(=k 。
按照梅森数的合素性质判别条件，可以对所有奇素数3≥p 予以分类。
素数分类对于研究梅森素数的无穷性及了解素数分布规律有重要意义。
关键词：素数，分类一，符号的意义1，p ：大于等于3的奇素数。
2，p '：形如14-'n 的奇素数。
3，p ''：形如14+''n 的奇素数。
二，梅森数12-p 的合素性质判别条件与素数分类法1，梅森数12-p 的合素性质判别条件： （1）存在奇数pp k p )18(2121+-<≤，使得12+kp 是素数。
（2）)4(mod 1-≡kp（3）)12(m od 1221++≡-kp a p（4）)12(m od 1)1(2++≡+kp kp a2，素数分类法（1），根据梅森数12-p的合素性质判别条件（2）：知p ，k 具有形式互反性质： 据此把所有奇素数3≥p 分为两个大类。
第一大类：存在于等差数列3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，…，14-'n中的素数p '。
第二大类：存在于等差数列1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，…，14+''n中的素数p ''。
设12+''p k |12-'p ，1),2(='k ；12+''''p k |12-''p ，1),2(=''k ；则 存在（a ）{1414+'='-'='m k n p ，（b ）{1414-''=''+''=''m k n p 两种不同对应形式。
（2）,根据梅森数12-p 有且仅有一个素因子形如12+kp ，1),2(=k 。
即每个奇素数p （关于梅森数12-p）对应唯一的一个奇数k 。
据此把每个大类的素数按照其对应的奇数k ，分为各个子类。
3，-p 矩阵与-q 矩阵对于第一大类的素数，一般的，设14-'='n p ，14+'='m k令j n i 2='，1),2(=j ，则12142-=-'='+j n p i 。
再令12+=l j ，,2,1,0=l …，,2,1,0=i …；则)12(21)12(212142322-+=-+=-=-'='++++i i i i l l j n p （1） 可见：素数p '存在于行号i ，列号l 构成的矩阵之中。
称形如式（1）构造的矩阵为-'p 矩阵。
对式（1）顺序取自然数值行号i ，列号l ，形成以122-+i 为0列元素的-'p 矩阵。
-'p 矩阵： )12(223-+='++i i l p3 11 19 27 35 43 51 59 67 75 83…7 23 39 55 71 87 103 119 135 151 167 …15 47 79 111 143 175 207 239 271 303 335…31 95 159 223 287 351 415 479 543 607 671……性质：矩阵中没有相同的元素。
证：若不然，即设12p p '='，于是 0)12(2)12(2)12(2)12(2121121112221213213223=-+--+=-+-+-+++++i i i i i i i i i i l l l l l 上式表明，当且仅当12i i =，12l l =时等式成立。
故然。
由此推知，可按第一大类素数p '对应的14+'='m k ，取,3,2,1,0='m …所得k '值，分为各个子类。
12-'p 的素因子12+''='p k q ，1),2(='k ，与行号i ，列号l 的-'p 矩阵的关系是：1)]12(2)[14(21223+-++'=+''='++i i l m p k q 1)12)(14(22)14(223+-+'++'=++i i m l m 1)14(22)14(2)14(34++'-+'++'=++m m l m i i )12(2)14(2)14(334+'-+'++'=++m m l m i i （2） 式（2）中,2,1,0='m …；称形如式（2）构造的矩阵为-'q 矩阵。
在给定m '后，对式（2）顺序取自然数值行号i ，列号l ，形成-'q 矩阵。
根据m '的不同取值，可把第一大类的素数中满足p '，12+''='p k q 都是素数时形成的“数对”，从-'p 矩阵，-'q 矩阵的对应行构成的并行异公差数列中筛出。
当0='m 时，1='k ，可知素数p '与12-'p 的素因子12+'='p q 之间的关系仅依赖于p '的形式：)12(21423-+=-'='++i i l n p)12(21234-+=+'='++i i l p q 。
取0i =时， 形如38+='l p 的素数，存在于38+l 的等差数列中；12-'p 的素因子形如7161212+=+'=+'='l p p k q ，q '存在于716+l 的等差数列中； 两等差数列38+l 和716+l 的对应项可以构成“数对”。
很显然，“数对”的等差中项也构成一个等差数列： 512)]716()38[(21+=+++l l l“数对”的两个元素相对于等差中项的公差序列，也是一个等差数列： 24)]38()716[(21+=+-+l l l事实上：取0=i 时有：数对)]716(),38[(++l l 序列：3(，）7，（11，23），（19，39），（27，55），（35，71），（43，87）（51，103） 等差中项序列：5， 17， 29， 41， 53， 65， 77， 公差序列：2， 6， 10， 14， 18， 22， 26，取“数对”是由两个素数组成的项时，可以由“双筛法”筛出。
因为“数对”的差值随项数递增，在等差中项构成的等差数列中存在的两个素数：p '和12+'p ，按照 )1(21+'=p d 对称分布在等差中项两侧。
第二大类的素数分类，可与第一大类的素数分类类比。
第二大类的素数p ''及12-''p 的素数因子12+''''=''p k q ，1),2(=''k 的形式是：)12(21)12(21)2(414232++=++=+=+''=''+++i i i i l l j n p 即 )12(223++=''++i i l p （3）1)]12(2)[14(21223+++-''=+''''=''++i i l m p k q （4）式中1),2(=''k ，14-''=''m k ，0>''m 。
-''p 矩阵： )12(223++=''++i i l p5 13 21 29 37 45 53 61 69 77 58+l 9 25 41 57 73 89 105 121 137 153 916+l 17 49 81 113 145 177 209 241 273 305 1732+l33 97 161 225 289 353 417 481 … … … 65 193 321 449… … … … … … … … …设12+''''=''p k q ，取1=''m ，3=''k ，)723(231234+⨯+⨯=+''''=''++i i l p k q -''q 矩阵：31 79 127 175 223 271 319 … 3148+j 55 151 247 343 439 535 631 … 5596+j 103 295 487 679 871 1063 1255 … 103192+j 199 583 775 967 1351 1735 2119 … 199384+j … … … … … … … … … …参考文献：1初等数论：潘承洞 潘承彪著 1997,6月 北京大学出版社2组合数学：屈婉玲 著 1997，9月 北京大学出版社3王元论哥德巴赫猜想：李文林 1999,9月 山东教育出版社4数学与猜想一，二卷：G ·波利亚 2001,7月 科学出版社5数论导引：G ·H ·Hardy ，E ·M ·Wright 2008,10 人民邮电出版社 6华罗庚文集：（数论卷二） 2010,5月 科学出版社7代数数论：冯克勤 著 2000,7月 科学出版社8与Mersens 数相关的若干性质：百度文库 2017,5月9染尼氏筛法的推衍与应用： 百度文库 2017,6月10Merseny 数12-p 的合素性质判别条件：百度文库 2017,7月。