经济数学基础讲义 第1章 函数

第1章 函数

1.1 函数概念

1.1.1 函数的定义

同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．

常量——只取固定值的量

这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：

S =πr 2

考虑半径r 可以变化的过程．面积和半径叫做变量．

变量——可取不同值的量

变域——变量的取值范围

我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表

它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．

这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：

定义1.1 设x , y 是两个变量，x 的变域为D ，如果存在一个对应规则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与x 对应，则

这个对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =，称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域． 集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域．

我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．

例1 求函数)

1ln(1-=x y 的定义域． 解：)

1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的x ．由对数函数的性质得到01>-x ，即1>x ．由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即2≠x ． 综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+=Y D ．

例2 设国际航空信件的邮资F 与重量m 的关系是

⎩

⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F 求)20(,)8(,)3(F F F ．

解：⎩

⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F m 用3替代，由第一个关系式表示，得到4)3(=F ，同样可以得到4)8(=F ．m 用20替代，由第二个关系式表示，得到7)20(=F

1.1.2 有关函数的几点解释

1.函数的表示法

如何表示函数关系是需要我们不断研究和发现的．常用的方法有三种：一种是用一个数学公式来表示，叫做解析法；一种是用坐标系中的曲线反映两个变量之间的函数关系，叫做图示法；还有一种方法是用一个表格反映两个变量之间的函数关系，叫做表格法．一般经常使用的就是这三种方法．

2.函数的记号

在考虑一个问题的过程中，f 表示一个确定的对应关系，在之后考虑这个问题的过程中，f 自始至终表示同样的对应关系．比如53)(2-+=x x x f ，它反映的就是这样一种对应关系：5)(3)()(2-⨯+=f ，等式左端的函数括号中带入一个量，表示要对其进行等

式右端的运算．如：15131)1(2-=-⨯+=f ，又如：

535)(3)()(242222-+=-⨯+=x x x x x f

无论左端带入什么，都对它进行同样的运算.

1.1.3 函数的基本性质

下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性．

当一个变量增加时另一个变量也跟着增加， 这样的函数就叫做单调增加的函数．从图形上看这条曲线，曲线上的点x 在增加的时候，它所对应的纵坐标y 也在增加，这样的函数是单调增加的． 单调减少是相反的，随着x 的增加相对应的y 在减少，这样的函数是单调减少的，正如图形中演示的这样．如果函数当x 在增加的时候，它所对应的y 不是增加，也不是减少，这样的函数就不具有单调性．

例1 判断函数f (x )＝x 2当x >0时的单调性．

分析：可以利用单调性的定义，证明对任意的x 1 > x 2，有f (x 1) >f (x 2)．

解：当x >0时，对任意的x 2 >0，有2221x x >

（当x 1 > x 2 >0时，在不等式x 1 > x 2两端同乘以x 1或x 2，显然有

2121x x x >，2221x x x >，由不等式的传递性就得到2221x x >．）

由定义可知f (x )＝x 2当x >0时是单调增加的．

一个函数的图形如果关于y 轴对称，这样的函数就称为偶函数．从图形上来分析，曲线上任一点关于y 轴的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶函数．从解析式上看，如果有f (－x )＝f (x )，f (x )就叫做偶函数．

一个函数的图形如果关于原点对称，这样的函数就称为奇函数．曲线上任一点关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数．从解析式上看，如果有f (－x )＝－f (x )，f (x )就叫做奇函数．

例2 判断下列函数的奇偶性：

（1）y ＝x 3－1 （2）y ＝x cos x

解：（1）取 x ＝1，－1，f (1)＝0，f (－1)＝－2，显然f (1) ≠－f (－1)，

由此可知y ＝x 3－1 不是奇函数．又显然f (1) ≠f (－1)，由此可知y ＝x 3－1 不是偶函数．

（2）因为y ＝x 是奇函数， y ＝cos x 是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数． 所以y ＝x sin x 是奇函数

如果自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，无论怎样变化，都有－M ≤ f (x ) ≤ M ，这条曲线所反映的函数就是有界函数．

如果存在一个正数T ，对任意的自变量x ，有f (x + T )＝f (x )，这样的函数就叫做周期函数． 从图形上反映，这个函数在相隔为T 的任意两点上函数值都是一样的．也可以这样来看，从任意一点出发，以长度T 为间隔划分区间，在每个区间上的函数图形都是可以完全重合的．

1.2 几类基本初等函数

我们在中学的学习中已经认识了一些函数， 这些函数是非常基本的，有这样几类：

1. 常数函数：y = c ．这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线．

2. 幂函数：y = x α，(α∈R )．以x 为底，指数是一个常数．

当α = 1时就是y = x ，它的图形是过原点且平分一、三象限的直

线；当α=2时就是y = x 2，它的图形是过原点且开口向上的抛物

线；当α=3时就是y = x 3，它的图形是过原点的立方曲线．

3. 指数函数：y = a x ，( a >0，a ≠1)．底数是常数，指数是变量．例如y = e x ，y = 2 x ，y = (2

1) x ． 所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a >1时，函数单调增加，当a <1时，函数单调减少．

4. 对数函数： y = log a x ，( a >0，a ≠1)．以a 为底的x 的对

数．例如 y = ln x ，y = log 2x ，y =x 2

1log ．所有对数函数的图形都过(1,0)点，当a >1

时，函数单调增加；当a <1时，函数单调减少．

5. 三角函数：

正弦函数：y = sin x ．余弦函数：y = cos x ．

例1 判断下列函数中，哪些不是基本初等函数：

（1） y ＝52

1x ； （2） y ＝(21)x ； （3） y ＝lg(－x )； （4） y ＝53； （5） y ＝2x ； （6） y ＝e 2x

． 分析：依据基本初等函数的表达式来判断．

解： 直接观察可知⑵与⑷中的函数是基本初等函数，而由52

521-==x x y ，y ＝e 2x ＝(e 2)x 可知（1）与（6）中的函数是基本初等函数．（3）与（5）中的函数不是基本初等函数