两点间距离公式PPT学习课件
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试求：两点间的距离
y
P1 x1，•y1
P1P 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
o
x
•
当y1=y2时， P1P2 | x2 x1 | P2x2，y2
Qx1，y2
当x1=x2时， P1P2 | y2 y1 |
12
两点间距离公式
一般地，已知平面上两点P1(x1，y1 )和P2(x2，y2)， 利用上述方法求点P1和P2的距离为
0
10
0
(2)
ll12
:3x :6x
y 2
y
4
0
0
( 3)
ll12
:3x 4y :6x 8y
50 10 0
5
练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
O
x
8
思考：求两点A（0，2），B（0，-2）间
的距离
y 3 2
1
-2
-1
-1
-2
A
1
2
3x
B
x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1P2 || y2 y1 |
9
思考：求两点A（—2，0），B（3，0）
间的距离
y
3
2
x1≠x2, y1=y2
1
A
-2
-1
-1
-2
B
1
2
3x
| P1P2 || x2 x1 |
10
两点间距离公式推导
y y2
y1 P1(x1,y1)
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
Q(x2,y1)
O x1
x2
x
| P1Q || x2 x1 |
11
已知：P1x1，y1 和 P2 x2，y2 ，
例4:证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直 线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)。
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得C(a+b,c)
点C的纵坐标等于 点D的纵坐标
y
D(b ,c)
C(a+b ,c)C、D两点横
坐标之差为a
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | AC |2 | BD |2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对
角线的平方和。
17
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
18
题型二 两点间距离公式的应用 【例 5】 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建 立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.
|AM|＝
0－b22＋0－2c2＝12 b2＋c2，
所以 |AM|＝12|BC|.
21
练习1：x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和 的最小值是( )． A. 2 B．2＋ 2 C. 10 D. 5 ＋1
6
当变化时, 方程 3x 4 y 2 (2x y 2) 0
表示什么图形?图形有何特点?
练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.
7
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， 如何点P1和P2的距离|P1P2|？
相交, 如何求这两条直线交点的坐标?
3
问题2：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
直线l1,
唯一解 l2解方程组
l1,
l2相交
无解
l1, l2平行
4
例题分析
例、判定下列各对直线的位置关系，若相交，
则求交点的坐标
(1)
ll12::
x y 3x 3y
o A(0,0) B(a,0) x
16
y
D(b,c) C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
| AB |2 a2 , | CD |2 a2
| AD |2 b2 c2 , | BC |2 b2 c2
| AC |2 (a b) 2 c2 , | BD |2 (b - a) 2 c2
直线的交点坐标与两 点间的距离
1
问题1：如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系？
l1 : A1x B1y C1 0
l2 : A2x B2 y C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
l1与l2平行 l1与l2相交
Βιβλιοθήκη Baidu
2
已知两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x11
由|P A||P B|得 x2 2x 5 x2 4x11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|PA| (11)2 (0 2)2 2 2 15
解：
（1） AB = -2-62 + 0-02 =8
（2） CD = 0-02 + -1+42 =3
（3） PQ = 0-62 + -2-02 =2 10
（4） MN 5 22 112 13
14
例3:已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为
| OP | x2 y2
13
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
19
解 以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)． 因为斜边BC的中点为M，
所以点M的坐标为 (0 b , 0 c) 22
，即 (b , c ) 22
.
20
由两点间距离公式得，
|BC|＝ 0－b2＋c－02＝ b2＋c2，
y
P1 x1，•y1
P1P 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
o
x
•
当y1=y2时， P1P2 | x2 x1 | P2x2，y2
Qx1，y2
当x1=x2时， P1P2 | y2 y1 |
12
两点间距离公式
一般地，已知平面上两点P1(x1，y1 )和P2(x2，y2)， 利用上述方法求点P1和P2的距离为
0
10
0
(2)
ll12
:3x :6x
y 2
y
4
0
0
( 3)
ll12
:3x 4y :6x 8y
50 10 0
5
练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
O
x
8
思考：求两点A（0，2），B（0，-2）间
的距离
y 3 2
1
-2
-1
-1
-2
A
1
2
3x
B
x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1P2 || y2 y1 |
9
思考：求两点A（—2，0），B（3，0）
间的距离
y
3
2
x1≠x2, y1=y2
1
A
-2
-1
-1
-2
B
1
2
3x
| P1P2 || x2 x1 |
10
两点间距离公式推导
y y2
y1 P1(x1,y1)
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
Q(x2,y1)
O x1
x2
x
| P1Q || x2 x1 |
11
已知：P1x1，y1 和 P2 x2，y2 ，
例4:证明平行四边形四条边的平方和等于 两条对角线的平方和。
解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直 线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)。
设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得C(a+b,c)
点C的纵坐标等于 点D的纵坐标
y
D(b ,c)
C(a+b ,c)C、D两点横
坐标之差为a
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | AC |2 | BD |2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对
角线的平方和。
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第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
18
题型二 两点间距离公式的应用 【例 5】 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建 立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.
|AM|＝
0－b22＋0－2c2＝12 b2＋c2，
所以 |AM|＝12|BC|.
21
练习1：x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和 的最小值是( )． A. 2 B．2＋ 2 C. 10 D. 5 ＋1
6
当变化时, 方程 3x 4 y 2 (2x y 2) 0
表示什么图形?图形有何特点?
练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.
7
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， 如何点P1和P2的距离|P1P2|？
相交, 如何求这两条直线交点的坐标?
3
问题2：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
直线l1,
唯一解 l2解方程组
l1,
l2相交
无解
l1, l2平行
4
例题分析
例、判定下列各对直线的位置关系，若相交，
则求交点的坐标
(1)
ll12::
x y 3x 3y
o A(0,0) B(a,0) x
16
y
D(b,c) C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
| AB |2 a2 , | CD |2 a2
| AD |2 b2 c2 , | BC |2 b2 c2
| AC |2 (a b) 2 c2 , | BD |2 (b - a) 2 c2
直线的交点坐标与两 点间的距离
1
问题1：如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系？
l1 : A1x B1y C1 0
l2 : A2x B2 y C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
l1与l2平行 l1与l2相交
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2
已知两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x11
由|P A||P B|得 x2 2x 5 x2 4x11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|PA| (11)2 (0 2)2 2 2 15
解：
（1） AB = -2-62 + 0-02 =8
（2） CD = 0-02 + -1+42 =3
（3） PQ = 0-62 + -2-02 =2 10
（4） MN 5 22 112 13
14
例3:已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为
| OP | x2 y2
13
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)
(3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
19
解 以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)． 因为斜边BC的中点为M，
所以点M的坐标为 (0 b , 0 c) 22
，即 (b , c ) 22
.
20
由两点间距离公式得，
|BC|＝ 0－b2＋c－02＝ b2＋c2，