立体几何中的夹角、距离、向量归纳

D B

A C α

一、空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 1、异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围是]2

,0(π

。

（2）求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决

（3）具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；

②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角 2、直线与平面所成的角

（1）直线与平面所成的角的范围是]2

,0[π

。

（2）求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

（3）具体步骤如下：

①找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；

③把该角置于三角形中计算。 3、二面角

（1）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。

（2）作二面角的平面角常有三种方法

图一 图二 图三 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 如图一示

②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 如图二示

③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图三示

1、点到直线的距离：

点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。 例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。 解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4， 8

7

4322432cos 2

2

2

2

2

2

=⨯⨯-+=⋅-+=

∴BC AC AB BC AC C

8

15

)87(1sin 2=-=∴C

4

1538154321sin 4321=⨯⨯⨯=⨯⨯=

∴∆C S ABC AD BC S ABC ⋅=

∆2

1

又 2

153415

322=⨯

==

∴∆BC

S AD ABC

∴点A 到BC 的距离为215

2、点到平面的距离：

点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法

例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。

解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=22，

41=∴FC ,3482511=++=EC , 1091=+=EF

10104

1023416102cos 12

12121-

=⨯⨯-+=⋅-+=∠FC EF EC FC EF EFC

B

10

1031011sin 1=-

=∠∴EFC 610

10

341021sin 21111=⨯⨯=∠⋅=

∴∆EFC FC EF S EFC 设1C 到EF 的距离为d ，则510

6101212,621=

==∴=⋅EF d d EF （2）设C 到平面EF C 1的距离为h EFC C EF C C V V --=11

13

1

311CC S h S EFC EF C ⋅=⋅∴∆∆

又45121

2221132125=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=∆EFC S

3

2

46224111

=

⨯=

⋅=

∴∆∆EF

C EF C S CC S h 3、异面直线间的距离：

异面直线b a ,间的距离为b a ,间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。

例3、三角形ABC 是边长为2的正三角形， ∉P 平面ABC ，P 点在平面ABC 内的射影为O ，并且P A = PB = PC =

26

3

。求异面直线PO 与BC 间的距离。 分析：过点P 作平面ABC 的垂线段PO ，但是必须了解垂足O 的性质，否则计算无法进行。为此连结OA ，OB ，OC （如图）．

则由PA ＝PB ＝PC 可得OA ＝OB ＝OC ，即O 是正三角形ABC 的中心．于是可以在直角三角形PAO 中由PA =2 6 3 ,OA = 2 3 3 ，得PO =2 3

3 。有了以上基础，只要延长AO ，交BC 于D ，则可证明OD 即为异面直线PO 与BC 间的距离，为 3

3 。

4、直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。

例4、已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点。求11C B 到平面ADE 的距离。

解：AD C B AD BC BC C B ||,||,||1111∴ ADE C B ADE AD 平面平面⊄⊆11, ADE C B 平面||11∴

11C B 到平面ADE 的距离即为点1C 到平面ADE 的距离

设点1C 到平面ADE 的距离为d ，可以用等体积法求出d 的值。

ADE

DEC DEC ADE DEC A ADE C S AD S d AD S d S V V ∆∆∆∆--⋅=

∴⋅=⋅∴=111

13

1

31 5、平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。