数学归纳法教学内容

数学归纳法

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数学归纳法及其应用举例单元练习（二）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为

21n (n －3)条时，第一步验证n 等于

A. 1

B.2

C.3

D.0 2.等式12+22+32+…+n 2=2

4752+-n n A.n 为任何自然数时都成立；B.仅当n =1，2，3时成立

C.n =4时成立，n =5时不成立；

D.仅当n =4时不成立

3.用数学归纳法证明不等式312111+++++n n n +…+24

1321>n （n ≥2,n ∈N *)的过程中，由n =k 逆推到n =k +1时的不等式左边

A. 增加了1项

)1(21+k ； B.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“1

1+k ” C.增加了2项

)1(21121+++k k D.增加了)1(21+k ，减少了11+k 4.用数学归纳法证明（n +1)(n +2)…(n +n )=2n ·1·3·5·…（2n －1)(n ∈N *)时，假设n =k 时成立，若证n =k +1时也成立，两边同乘

A.2k +1

B.112++k k

C.1)22)(12(+++k k k

D.1

32+-k k

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5.证明1+413121+++…+2

121n n >- (n ∈N *)，假设n =k 时成立，当n =k +1时，左端增加的项数是

A. 1项

B.k －1项

C.k 项

D.2k 项

6.上一个n 级台阶，若每步可上一级或两级,设上法总数为f (n ),则下列猜想中正确的是

A.f (n )=n

B.f (n )=f (n －1)+f (n －2)

C.f (n )=f (n －1)·f (n －2)

D.f (n )=⎩⎨⎧≥-+-=3

)2()1(2,1,n n f n f n n 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

7.凸n 边形内角和为f (k )，则凸k +1边形的内角和

f (k +1)=f (k )+___________.

8.观察下列式子：1+23212<,1+223121+＜35,1+474

13121222<++,…则可归纳出：___________.

9.设f (n )=（1+)11()111)(1n

n n n ++⋅⋅⋅++,用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n =k 时成立”后，f (k +1)与f (k )的关系是

f (k +1)=f (k )·___________.

10.有以下四个命题：（1）2n ＞2n +1(n ≥3) (2)2+4+6+…

+2n =n 2+n +2(n ≥1) (3)凸n 边形内角和为f (n )=(n －1)π(n ≥3) (4)凸n 边形对角线条数f (n )=2

)2(-n n (n ≥4)．其中满足“假设n =k (k

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∈N ,k ≥n 0).时命题成立，则当n =k +1时命题也成立.”但不满足“当

n =n 0（n 0是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是

___________.

11.用数学归纳法证明n n n b a b a )2

(2+≥+（a ,b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n =k 命题成立之后，证明n =k +1命题也成立的关键是___________.

三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

12.已知a n =n n n )

1(3212

322++⋅⋅⋅+++n ∈N *求证：a n ＜1.

13.平面内有n 个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n 个圆把平面分成了n 2－n +2个区域.

14.设f(k)是满足不等式log2x+log2(3·2k－1－x)≥2k－1(k∈N*)的正整数x的个数.

（1）求f(k)的解析式；

（2）记S n=f(1)+f(2)+…+f(n),P n=n2+n－1（n∈N*）试比较S n与P n 的大小.

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参考答案：

一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 二、7.180° 8.1+112)

1(13121222++<++⋅⋅⋅++n n n 9.(1+

1)2211)(121+⋅+++k k k k 10.(2)（3） 11.两边同乘以2

b a + 三、12.证明：(1)当n =1时，a 1=21＜1，不等式成立. （2）假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即a k =k

k

k k )1(32132++⋅⋅⋅+++＜1 亦即1+22+33+…+k k ＜(k +1)k

当n =k +1时

a k +1=1

1

1132)2()1()1(]1)1[()1(321++++++++<+++++⋅⋅⋅+++k k k k k k k k k k k k =1)

2()2()1(++++k k k k k =(21++k k )k ＜1. ∴n =k +1时，不等式也成立.

由（1）、（2）知,对一切n ∈N *，不等式都成立.

13.证明：（1）当n =1时，一个圆把平面分成两个区域，而12－1+2=2，命题成立.

（2）假设n =k (k ≥1)时，命题成立，即k 个圆把平面分成k 2－k +2个区域.