线性代数 2-9 第2章9讲-矩阵的秩(2)

定理2.9 (2)设 A 为 m n 矩阵, B为 m n 矩阵,则 r( A B) r( A) r(B).
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矩阵秩的相关结论
例5 设四阶矩阵A 的秩为2,则其伴随矩阵A 的秩为 _____ .
解 解法1 由r( A) 2得A 的所有三阶代数余子式全为0,
从而A 0, 所以r( A) 0. 解法2 使用结论
4
矩阵秩的相关结论
a1b1 a1b2
例2
设A
a2b1
a2b2
anb1 anb2
Biblioteka Baidua1bn
a2bn
,其中ai
0, bi
0
anbn
(i 1, 2, , n),则矩阵A的秩r( A) _____ .
解
a1
A
a2
b1
,
b2
,
, bn GH
an
r(G) r(H ) 1，
所以r( A) min{r(G), r(H )} 1，
线性代数（慕课版）
第二章 矩阵
第九讲 矩阵的秩(2)
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本讲内容
01 矩阵秩的定义 02 矩阵秩的性质 03 矩阵秩的相关结论
矩阵秩的相关结论
定理2.8 设A为m n矩阵,P、Q 分别为m 阶、n 阶满秩矩阵,则
r( A) r(PA) r( AQ) r(PAQ；)
1 0 2
例1
设A是4 3矩阵,且r( A)
解
r( AB) min r( A) , r(B) n m .
又AB为m阶方程,当 r( AB) m 时,AB为降秩阵,
故 AB 0.
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矩阵秩的相关结论
例4 已知A为n 阶矩阵,且满足A2 E,证明：r( A E) r( A E) n.
证 一方面，A2 E2 0
( A E)( A E) 0
n 4,r( A) 2,则r( A) 0.
定理2.10
n ,若r( A) n 设A为n 阶方阵,则r( A) 1 ,若r( A) n 1 .
0 ,若r( A) n 1
故应填 0
8
2,而B
0
2
0
,
1 0 3
则r( AB) ____ .
102 解 因为 B 0 2 0 10 0. 即矩阵B满秩
1 0 3
r( AB) r( A) 2
故应填 2
3
矩阵秩的相关结论
定理2.9
(1)若A为m n矩阵,B为n s矩阵,则 max{r( A),r(B)} r( A, B) r( A) r(B； )
得 r( A E) r( A E) n；
另一方面,
r( A E) r( A E) r[( A E) ( A E)] r(2E) n
r( A E) r( A E) n.
定理2.9 (4)若A 为m n 矩阵,B为n s 矩阵,且AB 0,则 r( A) r(B) n ；
由于ai 0,bi 0 (i, j 1, 2, , n), 故A 0,所以r( A) 1. 从而r( A) 1
故应填 1
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矩阵秩的相关结论
例3 设m n,A为m n矩阵,B为n m 矩阵,C AB, 证明：C 0.
当m n 时,由秩的定义知,r( A) n,r(B) n,
(2)若A,B均为m n 矩阵,则r( A B) r( A) r(B) ； (3)若A为m n 矩阵,B为n s 矩阵,则
r( A) r(B) n r(AB) minr( A), r(B)；
(4)若A 为m n 矩阵,B为n s 矩阵,且AB 0,则 r(A) r(B) n.