北师大版初三二次函数知识点及练习

二次函数

知识回顾

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2

y ax bx c

=++（a b c

，，是常数，0

a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0

a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2

y ax bx c

=++的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵a b c

，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

例1（基础）.二次函数2

365

y x x

=--+的图像的顶点坐标是（）

A．（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4）

习题精练

1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a

x

与

正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）

2、若二次函数5

2+

+

=bx

x

y配方后为k

x

y+

-

=2)2

(则b、k的值分别为（）

A .0 5

B .0. 1 . 5 . 1 3、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）

A ．22y x =-

B ．22y x =

C ．2

1

2y x =- D ．212

y x =

4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）

A ．223y x x =-+

B ．223y x x =--

C ．223y x x =+-

D ．223y x x =++

5. 若2y ax bx c =++，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ）

x

1- 0 1

2ax

1

2ax bx c

++

8 3

Ａ．243y x x =-+Ｂ．234y x x =-+Ｃ．233

y x x =-+ Ｄ．248y x x =-+

6、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为1米的喷水管喷水最大高度为3米，此时喷水水平距离为

12

米，在如图4所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是（ ）A ）21()32

y x =--+ （B ）213()12

y x =-+（

C ）218()32y x =--+ （

D ）218()3

2

y x =-++

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

=的性质：

y ax

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2

=+的性质：

y ax c

上加下减。

3. ()2

=-的性质：

y a x h

左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 考点1.二次函数的平移

例 2 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x

=与二次函

数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．

（1）求m 、c 的值；

（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.

例 3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）

=3（x+2）2 =3（x-2）2 =3x 2+2 =3x 2-2 专题练习一

1.对于抛物线y=13

-x 2+

103x 16

3

-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）

C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）

D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）

2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）

A.抛物线开口向上

B.抛物线的对称轴是x=1

C.当x=1时，y 的最大值为-4

D.抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）

3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位

长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的Array函数表达式是________.

4.小明从图2所示的二次函数2

=++

y ax bx c

的图象中，观察得出了下面五条信息：①0

c<；

②0

c b

-=；⑤40

->，你认为其中正确

a b

abc>；③0

a b c

-+>；④230

信息的个数有_______.（填序号）

考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式

1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a ≠0）；

2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；

3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.

例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-

5），求该抛物线的表达式.