1线性代数 4.4实对称矩阵的对角化
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44实对称对角化
3. 实对称矩阵 的k重特征值必对应 个线性无关特 实对称矩阵A的 重特征值必对应 重特征值必对应k个线性无关特 征向量⇒A有n个线性无关特征向量⇒A可对角化 有 个线性无关特征向量 可对角化 二、实对称矩阵的对角化 1.定理 对实对称矩阵 ，存在正交矩阵 ，使得 定理 对实对称矩阵A，存在正交矩阵 正交矩阵Q， ＝ Q -1AQ (＝QTAQ)为对角阵 −1 由性质3， 由性质 ， A ~ Λ , P AP = Λ (——由P得正交阵 由 得正交阵Q?)
正交化、单位化? 正交化、单位化
由性质2，不同特征值对应特征向量正交， 由性质 ，不同特征值对应特征向量正交，只要将 同一特征值对应的线性无关特征向量正交化, 同一特征值对应的线性无关特征向量正交化 再将 n个向量组成的正交向量组单位化后竖排即得 个向量组成的正交向量组单位化后竖排即得Q. 个向量组成的正交向量组单位化后竖排即得
Aα = λα (α ≠ 0) ⇒ ( A + 2 A)α = (λ + 2λ )α 2 2＋2A＝O得 由A ＝ 得( λ + 2λ )α = O 而α ≠O 2 ∴ λ + 2λ = 0 ⇒ λ = −2, λ = 0
2 2
考研) 阶实对称矩阵,且满足 例4(02考研 A为3阶实对称矩阵 且满足 2＋2A＝O 考研 为 阶实对称矩阵 且满足A ＝ 已知A的秩为 的秩为2， 的全部特征值. 已知 的秩为 ，求A的全部特征值 的全部特征值 的一个特征值， 解 设λ 为A的一个特征值，对应特征向量为α ，则 的一个特征值
α1 , α 2 , α 3为正交向量组 单位化得标准正交向量组 为正交向量组, 单位化得标准正交向量组:
2 1 T 1 2 T T η1 = ( , 0, ) ,η2 = (0, 1, 0) ,η3 = ( , 0, − ) 5 5 5 5
4.4 实对称矩阵的对角化
便有P1APPTAP
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应
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习题4-3, P154
5 1 2 4 相似 4 设矩阵 A 2 x 2 与 y 4 2 1 4 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP
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2 1 求An 例4.2设 A 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23
对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
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小结 :实对称矩阵的性质
定理4.1 实对称阵的特征值为实数
定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量 若12 则p1与p2正交 定理4.3 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量 定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0 解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T 将1单位化 得 p1 1 ( 1, 1, 1)T 3 对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 得基础解系 将2 3正交化、单位化得
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
探索新的实对称矩阵对角化方法
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
实对称矩阵的对角化
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
第四节：实对称矩阵的对角化
。
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
4.4 实对称矩阵的相似对角化
即
x1 x2 x3 2x1 2x2
0 x3
0
解该奇次线性方程组得：
3 (1, 1, 0)T
1 2 1 P 1 2 1
1 1 0
1
A PP1
P
1
P1
1
第4章 相似矩阵及二次型 5
二、实对称矩阵的相似对角化
性质：实对称矩阵A，对于A的ki重特征根i ，恰有
ki个线性无关的特征向量. (证明略)
实对称矩阵A一定可以相似对角化 可以进一步证明，实对称矩阵A一定可以正交对角化
第4章 相似矩阵及二次型 6
定理3
AT = A 存在正交矩阵Q使得 Q1AQ = QTAQ是对角矩阵.
实对称矩阵A 属于不同特征值的特征向量是正交的 将属于同一个特征值的特征向量正交化 得到A的n个正交的特征向量组 再将其单位化 把得到的单位正交特征向量组排成矩阵Q, 则为正交矩阵.
013
正交相似对角化.
解: |I–A| = (–2)(–4)2.
所以A的特征值为1= 2, 2= 3= 4. (2I–A)x = 0 的基础解系: 1 = (0,1, –1)T.
(4I–A)x = 0 的基础解系:
2 = (1, 0, 0)T, 3 = (0, 1, 1)T. 1, 2, 3已经两两正交, 将它们单位化可得
003
第4章 相似矩阵及二次型 11
作 业： 1(1), 3, 5
(0IA)x = 0的基础解系:
1 = (1, 1, 0)T, 2 = (1, 0, 1)T. (3IA)x = 0的基础解系: 3 = (1, 1, 1)T.
令 1 = 1 = (1, 1, 0)，
实对称矩阵的对角化
6
Q
X
1
,
X
2
,
X
3
1 3
1
1
2
6
1 3
0
2 6
16
8 0 0
则 Q1 AQ QT AQ 0 2 0 .
0 0 2
2 2 0
例3
设矩阵
A
2 0
1 2
02 , 求正交矩阵Q,
使得Q-1AQ 为对角阵.
17
2 2 0 解 由 E A 2 1 2
0 2
4 1 2 0
11
则 Q1AQ QT AQ
2
3
2 3
1 3
2 3 1 3 2 3
பைடு நூலகம்
1 3 2 3 2 3
1 2
0
2 2
2
0 2
3
2 3 2 3 1 3
2 3 1 3 2 3
1
3
2 3
2 3
1 0 0
0 0
2 0
0 5
12
4 2 2
例2
设矩阵
A
2 2
4 2
2 4
求正交变换矩阵Q使A正交相似于对角阵．
2
X1
2 1
,
2
X2
21 ,
将它们单位化，得
1
X3
2 2
.
10
2
3
X
1
2 3
,
1 3
2
3
X
2
1 3
,
1 3
1
3
X
3
2 3
,
2 3
因此正交变换阵Q为
2 2 1
3
实对称矩阵的对角化
取 3 3 则１，２，３是矩阵A的正交特征向量组
单位化
e1
1
1
1
1 (1, 0, 1) 2
e2
1
2
2
1 32
(1, 4,1)
令 P (e1, e2 , e3)
1
1 2
2
32
3
=
0
4 32
1
3
1 2
1 32
2 3
e3
1
3
3
1 3
(2,1, 2)
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1 0
第三节 实对称矩阵的对角化
➢ 对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110 11
0 3
03
3 2 4 2 0 7 4 7 5
方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等
➢ 实对称矩阵的性质
性质4.3 （1）实对称矩阵的特征值必为实数。 （2）实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。
0 0 8
• 作业 • P88 • 4.4
即
4 2 4 x1 0
2
1
2
x2
0
4 2 4 x3 0
得到两个线性无关的特征向量 1 （1，0，1） ，2 （1， 2，0）
对于 3 8 1 1，
得到特征向量 3 （2，1，2）
2
2
[ 2，1 ] [ 1，1 ]
1
1
2
0
1
1 2
0
1
0.5
2
0.5
由 A E 0 得特征值 1 2 1, 3 10
4-4 实对称矩阵的相似对角化
5 2 1 1 0 1 r 6 E A 2 2 2 0 1 2 . 1 2 5 0 0 0
得同解方程组
x2 2 x3 , x1 x3 ,
1 特征向量为 2 1
解
1
| E A | 2 1
2
1 2
4
2
1
0 2 0
1 2
( 2) 2 1
2
1 2
( 6) ,
2
则 A 的特征值为 1 6, 2 3 0. 对于 1= 6 有
则有
1 0 0 6 0 0 T P AP 0 2 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 3
令
作业
P255 1 1，4 2
阵 P ( P 的列向量顺序与已规定的特征值顺序必须 是一致的 )，则有
1 T P AP
. n
例 5.9 设
1 2 1 A 2 4 2 , 1 2 1
P T AP P 1 AP 对角阵 . 求正交阵 P，使
定理 5.8 A 为实对称矩阵，则必有正交阵 P，使
PT AP P 1 AP = 对角阵 .
实对称正交相似于对角阵的步骤为: (1) 求| E – A |=0 的全部特征值 1 , , n ; (2) 对每个i ，求ξ
i
，使 (i E A) i 0;
(3) 如无重根，只需将每个ξi 单位化即可 . 如有重根， 对属于重根的几个线性无关的特征向量 正交化，再单位化； (4) 将全部规范正交化的特征向量放在一起，构成矩
得同解方程组
x2 2 x3 , x1 x3 ,
1 特征向量为 2 1
解
1
| E A | 2 1
2
1 2
4
2
1
0 2 0
1 2
( 2) 2 1
2
1 2
( 6) ,
2
则 A 的特征值为 1 6, 2 3 0. 对于 1= 6 有
则有
1 0 0 6 0 0 T P AP 0 2 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 3
令
作业
P255 1 1，4 2
阵 P ( P 的列向量顺序与已规定的特征值顺序必须 是一致的 )，则有
1 T P AP
. n
例 5.9 设
1 2 1 A 2 4 2 , 1 2 1
P T AP P 1 AP 对角阵 . 求正交阵 P，使
定理 5.8 A 为实对称矩阵，则必有正交阵 P，使
PT AP P 1 AP = 对角阵 .
实对称正交相似于对角阵的步骤为: (1) 求| E – A |=0 的全部特征值 1 , , n ; (2) 对每个i ，求ξ
i
，使 (i E A) i 0;
(3) 如无重根，只需将每个ξi 单位化即可 . 如有重根， 对属于重根的几个线性无关的特征向量 正交化，再单位化； (4) 将全部规范正交化的特征向量放在一起，构成矩
实对称矩阵的对角化
四. 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP = ∧ 更可找到正交矩阵 更可找到正交矩阵 T ,使得 T 1 AT = ∧ 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理1:实对称矩阵的特征值为实数. 的任一特征值,( ,(往证 证:设 λ 是 A 的任一特征值,(往证 λ = λ ) 的特征向量, α 是对应于 λ 的特征向量, 则
1 x3 = 2 x1 p3 = 2 . 即 得基础解系 x2 = 2 x1 2 1 3 只需把 单位化, 只需把 p3 单位化,得 η 3 = 2 3 . 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T = (η1 , η 2 , η 3 ) = 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT = 0 1 0 . 0 0 2
x1 考虑 x2 T α α = ( x1 , x2 , , xn ) = x1 x1 + x2 x2 + + xn xn 2 2 2 x = x1 + x2 + xn > 0 n
∴λ λ = 0 ∴λ = λ
定理1的意义: 定理1的意义:
为实数. 即 λ 为实数.
得正交矩阵 T = (η1 ,η 2 ,η 3 )
1 5 2 = 5 0
3 5 2 3 5 5 3 5
4
2 3 1 3 2 3
1 有 T 1 AT = 1 8
2 2 0 例2:设 A = 2 1 2 , 求正交矩阵 T , : 0 2 0 使得T 1 AT 为对角阵. 为对角阵.
λ1 , λ2 , , λ s
由定理,特征值 λi (重数为 ri )对应的线性无关的 由定理, 特征向量为 ri 个. 把它们正交化,再单位化, 个单位正交的特征向量. 把它们正交化,再单位化,即得 ri 个单位正交的特征向量.
实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP = ∧ 更可找到正交矩阵 更可找到正交矩阵 T ,使得 T 1 AT = ∧ 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理1:实对称矩阵的特征值为实数. 的任一特征值,( ,(往证 证:设 λ 是 A 的任一特征值,(往证 λ = λ ) 的特征向量, α 是对应于 λ 的特征向量, 则
1 x3 = 2 x1 p3 = 2 . 即 得基础解系 x2 = 2 x1 2 1 3 只需把 单位化, 只需把 p3 单位化,得 η 3 = 2 3 . 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T = (η1 , η 2 , η 3 ) = 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT = 0 1 0 . 0 0 2
x1 考虑 x2 T α α = ( x1 , x2 , , xn ) = x1 x1 + x2 x2 + + xn xn 2 2 2 x = x1 + x2 + xn > 0 n
∴λ λ = 0 ∴λ = λ
定理1的意义: 定理1的意义:
为实数. 即 λ 为实数.
得正交矩阵 T = (η1 ,η 2 ,η 3 )
1 5 2 = 5 0
3 5 2 3 5 5 3 5
4
2 3 1 3 2 3
1 有 T 1 AT = 1 8
2 2 0 例2:设 A = 2 1 2 , 求正交矩阵 T , : 0 2 0 使得T 1 AT 为对角阵. 为对角阵.
λ1 , λ2 , , λ s
由定理,特征值 λi (重数为 ri )对应的线性无关的 由定理, 特征向量为 ri 个. 把它们正交化,再单位化, 个单位正交的特征向量. 把它们正交化,再单位化,即得 ri 个单位正交的特征向量.
实对称矩阵对角化
给定 n 阶矩阵A，则 x → Ax
定义了一个从 Rn中到 Rn自身的映射，称之为 线性变换。 若 A 为正交矩阵，则称之为正交变换。
正交变换
性质：设 A 为正交矩阵，x1，x2Rn，y1=Ax1，
y2=Ax2，则
(y1，y2) = (x1，x2)； 保内积
||y1|| = ||x1||；
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
例：e1，e2，，en为 Rn 的正交基。 称 A 为单位正交基 (标准正交基、规范正交基)： (1) A 是正交基；(2) A 中向量都是单位向量。
正交化方法
Schmidt方法： (1) 将向量 2“转到”与 1 垂直的地方； (2) 将向量 3“转到”与 1，2 垂直的地方；
对称阵的性质
性质：设AT=A，则 (1) 为 A 的特征值 为实数；
对称阵的性质
性质：设AT=A，则
(1) 为 A 的特征值 为实数；
证明：设 A = ， ≠ 0，则
T A T 取共轭得 T A T T 取转置得 T A T 于是， ， 即 为实数。
第 k 个分量
正交向量组
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
正交向量组
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
例：e1，e2，，en为 Rn 的正交基。
正交向量组
…… 类似地，可以求出其它向量
正交矩阵
正交矩阵：A为方阵，ATA=E。
正交矩阵
正交矩阵：A为方阵，ATA=E。 性质：(1) A为正交阵 A的列向量1，2，， n为Rn中的标准正交向量组，即标准正交基；
定义了一个从 Rn中到 Rn自身的映射，称之为 线性变换。 若 A 为正交矩阵，则称之为正交变换。
正交变换
性质：设 A 为正交矩阵，x1，x2Rn，y1=Ax1，
y2=Ax2，则
(y1，y2) = (x1，x2)； 保内积
||y1|| = ||x1||；
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
例：e1，e2，，en为 Rn 的正交基。 称 A 为单位正交基 (标准正交基、规范正交基)： (1) A 是正交基；(2) A 中向量都是单位向量。
正交化方法
Schmidt方法： (1) 将向量 2“转到”与 1 垂直的地方； (2) 将向量 3“转到”与 1，2 垂直的地方；
对称阵的性质
性质：设AT=A，则 (1) 为 A 的特征值 为实数；
对称阵的性质
性质：设AT=A，则
(1) 为 A 的特征值 为实数；
证明：设 A = ， ≠ 0，则
T A T 取共轭得 T A T T 取转置得 T A T 于是， ， 即 为实数。
第 k 个分量
正交向量组
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
正交向量组
称 A：1，2，，s 为空间 V 的正交基： (1) A 是 V 的一组基；(2) A 是正交向量组
例：e1，e2，，en为 Rn 的正交基。
正交向量组
…… 类似地，可以求出其它向量
正交矩阵
正交矩阵：A为方阵，ATA=E。
正交矩阵
正交矩阵：A为方阵，ATA=E。 性质：(1) A为正交阵 A的列向量1，2，， n为Rn中的标准正交向量组，即标准正交基；
实对称矩阵的对角化
1, 1
再单位化得
1
2
p2
1 3
1,p3 1
1
6
1 , 1
0
取
p p1,p,p3
1 2
1 2
1 3
2 6
1 3
1 6
,
1 3
1 6
2
可以验证，仍有
p1Ap
4
.
4
此例说明所求正交矩阵不唯一。
的个数恰好是 λ i作为A的特征值的重数；
（3）将 λ i (i 1,2, ,r) 的所有标准正交的特征向 量构成一组Rn的标准正交基 p1,p2, ,pn;
（4）取p (p1,p2, ,pn ), 则P为正交矩阵且使得 pTAp p1Ap为对角阵，对角线上的元素为 相应特征向量的特征值。
例13
把它们标准正交化， 就可得到 ri 个单位正交的 特征向量组，由 r1 r2 rs n 知，这样的 特征向量共有n个，又由性质2知，A的属于不同 特征值的特征向量是正交的，故这n个单位特征 向量两两正交，以它们为列向量构成正交矩阵P， 并有p1Ap p1p diag(λ 1,λ 2, ,λ n ), 其中 λ 1,λ 2, ,λ n 为A的n个特征值。
因 p 0, 所以 pTp 0, 故 λ λ . 当特征值为实数时,齐次线性方程组 (A λ iE) 0 是实系数线性方程组, 由 A λ iE 0 知必有实向量 基础解系, 所以对应的特征向量可取实向量. 性质2 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量
是正交的.
证 设λ 1,λ 2 是A的两个不同的特征值, p1,p2
由定理6可知，实对称矩阵的对角化问题，实质上 是求正交矩阵P的问题，计算P的步骤如下： （1）求出实对称矩阵A的全部特征值λ 1,λ 2, ,λ r; （2）对于各个不同的特征值 λ i , 求出齐次线性方
4.4实对称矩阵的对角化
第四步 将特征向量单位化 .
令η i =
α i , i = 1,2,3, 得 αi
− 2 / 3 2/ 3 1/ 3 η1 = 2 / 3 , η 2 = 1 / 3 , η 3 = 2 / 3 . − 1/ 3 − 2 / 3 2 / 3
4.4.2实对称矩阵的对角化 4.4.2实对称矩阵的对角化 阶实对称矩阵， 定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩 阵P ，使
λ1 P −1 AP = Λ =
λ2
O λn
λ1 , λ2 , L, λn是A的特征值.
2 −2 0 例1 设实对称阵A = − 2 1 − 2 , 求正交变换 0 −2 0 T , 使 T −1 AT为对角阵.
−1
1 3 6 −3 3 1 = 6 0 −6 − 2 6 3 3 1 6
1 3 0 1 − 3
1 3 1 2 1 6
4 1 1 = 1 4 1 x λ2 x2 = λ x x2
T 1 T 1 T 2 1
即(λ1 − λ2 ) x x2 = 0, 而λ1 ≠ λ2 , 所以x x2 = 0,
T 1 T 1
⇒ x1 , x2正交.
性质3 实对称矩阵， 性质 设A为n阶实对称矩阵，λ是A的特征 方程的r重根， R(λ )=n方程的r重根，则R(λE-A)=n-r，从而对应 于特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。 于特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。 性质3说明了 实对称矩阵必有 性质 说明了,实对称矩阵必有 个线性无关的 说明了 实对称矩阵必有n个线性无关的 特征向量.
因为实对称矩阵的特征值的特征向量彼此正交, 故有α α 2 = 0, α α 3 = 0.即 − x1 + x3 = 0, x1 − 2 x2 + x3 = 0,
第4.4节 实对称矩阵的对角化
注 ①实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组的取法 不唯一，故Q不唯一； ②由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交， 故只需对对应于同一特征值的线性无关的向量正交化即可.
例2 设3阶实对称矩阵Ａ的特征值为 1 0, 2 3 1,
Ａ对应于1的特征向量为1 (0,1,1)T ,求A.
第4.4节
实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二、实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 (1) 实对称矩阵A的特征值都是实数;
(2) 实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交;
(3) 实对称矩阵A的每个k重特征值恰好有k个对应于此特征值的 线性无关的特征向量. 证 (2) 设1, 2为A的两个不同特征值,1,2为对应的特征向量， 即 Ai = ii ( i = 1,2).
例如
1 2 2 A 2 1 2 是实对称矩阵,其特征值 5, 1. 1 2 3 2 2 1 1 对应特征值5的线性无关的特征向量只有一个 1 1 ; 1
对应特征值１的线性无关的特征向量一定有两个
解 Ａ为实对称矩阵，故Ａ必可对角化，对应于二重特征 值2＝ 3＝１的特征向量应该有两个，设为2,3, 则2,3
都与1正交.
T 设与1正交的向量为 ( x1 , x 解得方程组的基础解系为 2 0 , 3 1 . 0 1
1 1 得 x1 x2 x3 , 线性无关的特征向量为 1 1 , 2 0 . 0 1
当3 3，解(3 E A) x 0．由
2 1 1 1 0 1 3 E A 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0
线性代数-实对称矩阵的对角化
2x12x13x22x22x30 0 解之得基础解系
1
2 2
.
2x2 4x3 0
对 2 1 , 由 A E x 0 பைடு நூலகம் 得
1
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2 x2 x3 0
A11
0 2
13 10
0 1
23 ,
求 得 通 解 为k(3,2,1)，
特别取k1， 即 得(3,2,1)， 将向量 单位化，
即得所求向量为
1 (
3 ,
2 ,
1 ).
14 14 14
6
定义 若非零向量 1,2, ,s两两正交，
则称之为正交向量组。
定理 正交向量组必线性无关。
证 设 1,2, ,s是正交向量组，
4
14
9
1
1
4
例4 将向量组 1 2,2 3,3 1
标准正交化.
1
1
0
解 1 1 , 2 2((21,,11))1
1
3
1
4 1
6
2 1
33(( 3 1,, 1 1))1(( 3 2 ,, 2 2 ))2
5 3
1
1
1
,
2
1
1
1
,
4 1
2
1 2
显然有 (i,j)0, (i j,i,j 1 , n )
5
例2 设 ( 1 ,0 ,3 )， (1 , 2 ,1 ), 求 一 个 3 维 单 位 向 量 ， 使 它 与 向 量 , 都 正 交 。
解 设 (x 1,x 2,x 3)， 则
(,)x13x3 0 (,)x12x2x3 0
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2 x2 2 x3 0,
1
解之得基础解系
3 2.
2
第三步 将特征向量正交化.
因为1, 2 , 3是属于 A的 3 个不同特征值的
特征向量, 故它们必两两正交.
第四步 将特征向量单位化.
令 i
i i
,i
1,2,3,得
2 / 3
2 / 3
1/ 3
1 2/ 3 , 2 1/ 3 , 3 2/ 3.
由的任意性, 知实对称矩阵的特征值
都是实数.
性质2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征 向量是正交的。
证明 : 设1, 2是实对称阵 A的两个特征值 , (1 2 ),
x1, x2是对应于 1, 2的特征向量 ,
即
Ax1 1x1, Ax2 2 x2
由A AT , 有1x1T (1x1)T ( Ax1)T x1T AT x1T A
2
解之得基础解系
1 2 .
1
对 2 1,由(E A)x 0,得
x1 2 x2
0,
2
x1
2 x3 0,
2 x2 x3 0,
解之得基础解系
2
2 1 .
2
对 3 2,由(2E A)x 0,得
4 x1 2 x2
0,
2 x1 3 x2 2 x3 0,
i , (i 1,2,, n)
,解齐次
线性方程组 (i E A)x 0
找出基础解系 pi1 , pi2 ,, pis
3）、将 p1, p2 ,, pn 正交化，单位化 ，
得一组正交单位
向量 1,2 ,,n ,这组列向量就构成了
正交矩阵 P
例4.4.2
已知1 6，2 3 3是实对称矩阵A的三个特征值，
4.4实对称矩阵的对角化
4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 4.4.2实对称矩阵的对角化
4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
性质1 实对称矩阵的特征值是实数。
证明: 设是实对称阵A的任一复特征值,对应的
复特征向量为x,即
Ax x, x 0
记 为的共轭复数 , x为x的共轭复向量
1 A(1,2 ,3 ) (11, 22 , 33 )
即
1 1 1 6 3 3
A 1
0
2
6
0
6
1 1 1 6 3 3
得
6 3
3 1 1
1
1
A
6
0
6
1
0
2
6 3 3 1 1 1
1 1 1
6 3
3
3
3
3
6
6
0 3
6 3
1 2 1 6
0 1
3
1
性质3说明了,实对称矩阵必有n个线性无关的 特征向量.
4.4.2实对称矩阵的对角化
定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有2 ,, n是A的特征值.
例1
设实对称阵A
2 2
2 1
02 , 求正交变换
0
2
0
T ,使T 1 AT为对角阵.
解 第一步 求A的特征值．由
2
1 6
4 1 1
1
4
1
1 1 4
则 Ax Ax ( Ax) (x)
于是 xT Ax xT ( Ax) xT (x) (xT x)
及 xT Ax xT AT x ( Ax)T x ( x)T x (xT x) 上两式相减 ,有 ( )xT x 0
n
但x 0,所以xT x xi2 0,即得 , i 1
1/ 3
2 / 3
2 / 3
2 2 1
作
T
(1,2 ,3)
1 3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
T 1 AT 0 1 0 .
0 0 2
@@@求正交矩阵 P ,使得 P1AP
为对角矩阵的方法
1）、求出 A 的全部特征值 :由方程| E A | 0
解得1, 2 ,n 2）、对于每一个
于是 (1x1T )x2 (x1T A)x2
x1T ( Ax2 ) x1T 2 x2 2 x1T x2
即(1 2 )x1T x2 0,而1 2,所以x1T x2 0,
x1, x2正交.
性质3 设A为n阶实对称矩阵，是A的特征 方程的r重根，则R(E-A)=n-r，从而对应 于特征值恰有r个线性无关的特征向量。
1
1
且对应2
3
3的特征向量为2
0
，3
2 ，
1
1
求A对应于1 6的特征向量及矩阵A.
解 设A对应于1 6的特征向量是1 (x1, x2 , x3 )T ,
因为实对称矩阵的特征值的特征向量彼此正交,
故有1T2 0,1T3 0.即
x1 x3 0,
x1
2x2
x3
0,
1
取1 1，即是A的对应于1 6的特征向量.进一步，由
2 2 0 E A 2 1 2
0 2
( 4)( 1)( 2) 0,
得
1 4,
1, 2
2. 3
第二步 由(i E A)x 0,求出A的特征向量.
对 1 4,由(4E A)x 0,得
2 x1 2 x2
0,
2 x1 3 x2 2 x3 0,
2 x2 4 x3 0,