1线性代数 4.4实对称矩阵的对角化

2
解之得基础解系
1 2 .
1
对 2 1,由(E A)x 0,得
x1 2 x2
0,
2
x1
2 x3 0,
2 x2 x3 0,
解之得基础解系
2
2 1 .
2
对 3 2,由(2E A)x 0,得
4 x1 2 x2
0,
2 x1 3 x2 2 x3 0,
2
1 6
4 1 1
1
4
1
1 1 4
1 A(1,2 ,3 ) (11, 22 , 33 )
即
1 1 1 6 3 3
A 1
0
2
6
0
6
1 1 1 6 3 3
得
6 3
3 1 1
1
1
A
6
0
6
1
0
2
6 3 3 1 1 1
1 1 1
6 3
3
3
3ห้องสมุดไป่ตู้
3
6
6
0 3
6 3
1 2 1 6
0 1
3
1
由的任意性, 知实对称矩阵的特征值
都是实数.
性质2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征 向量是正交的。
证明 : 设1, 2是实对称阵 A的两个特征值 , (1 2 ),
x1, x2是对应于 1, 2的特征向量 ,
即
Ax1 1x1, Ax2 2 x2
由A AT , 有1x1T (1x1)T ( Ax1)T x1T AT x1T A
i , (i 1,2,, n)
,解齐次
线性方程组 (i E A)x 0
找出基础解系 pi1 , pi2 ,, pis
3）、将 p1, p2 ,, pn 正交化，单位化 ，
得一组正交单位
向量 1,2 ,,n ,这组列向量就构成了
正交矩阵 P
例4.4.2
已知1 6，2 3 3是实对称矩阵A的三个特征值，
1/ 3
2 / 3
2 / 3
2 2 1
作
T
(1,2 ,3)
1 3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
T 1 AT 0 1 0 .
0 0 2
@@@求正交矩阵 P ,使得 P1AP
为对角矩阵的方法
1）、求出 A 的全部特征值 :由方程| E A | 0
解得1, 2 ,n 2）、对于每一个
性质3说明了,实对称矩阵必有n个线性无关的 特征向量.
4.4.2实对称矩阵的对角化
定理 设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩 阵P，使
1
P1AP
2
n
1, 2 ,, n是A的特征值.
例1
设实对称阵A
2 2
2 1
02 , 求正交变换
0
2
0
T ,使T 1 AT为对角阵.
解 第一步 求A的特征值．由
则 Ax Ax ( Ax) (x)
于是 xT Ax xT ( Ax) xT (x) (xT x)
及 xT Ax xT AT x ( Ax)T x ( x)T x (xT x) 上两式相减 ,有 ( )xT x 0
n
但x 0,所以xT x xi2 0,即得 , i 1
4.4实对称矩阵的对角化
4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 4.4.2实对称矩阵的对角化
4.4.1实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
性质1 实对称矩阵的特征值是实数。
证明: 设是实对称阵A的任一复特征值,对应的
复特征向量为x,即
Ax x, x 0
记 为的共轭复数 , x为x的共轭复向量
1
1
且对应2
3
3的特征向量为2
0
，3
2 ，
1
1
求A对应于1 6的特征向量及矩阵A.
解 设A对应于1 6的特征向量是1 (x1, x2 , x3 )T ,
因为实对称矩阵的特征值的特征向量彼此正交,
故有1T2 0,1T3 0.即
x1 x3 0,
x1
2x2
x3
0,
1
取1 1，即是A的对应于1 6的特征向量.进一步，由
于是 (1x1T )x2 (x1T A)x2
x1T ( Ax2 ) x1T 2 x2 2 x1T x2
即(1 2 )x1T x2 0,而1 2,所以x1T x2 0,
x1, x2正交.
性质3 设A为n阶实对称矩阵，是A的特征 方程的r重根，则R(E-A)=n-r，从而对应 于特征值恰有r个线性无关的特征向量。
2 2 0 E A 2 1 2
0 2
( 4)( 1)( 2) 0,
得
1 4,
1, 2
2. 3
第二步 由(i E A)x 0,求出A的特征向量.
对 1 4,由(4E A)x 0,得
2 x1 2 x2
0,
2 x1 3 x2 2 x3 0,
2 x2 4 x3 0,
2 x2 2 x3 0,
1
解之得基础解系
3 2.
2
第三步 将特征向量正交化.
因为1, 2 , 3是属于 A的 3 个不同特征值的
特征向量, 故它们必两两正交.
第四步 将特征向量单位化.
令 i
i i
,i
1,2,3,得
2 / 3
2 / 3
1/ 3
1 2/ 3 , 2 1/ 3 , 3 2/ 3.