方差概念及计算公式

方差概念及计算公式

一．方差的概念与计算公式

例1两人的5次测验成绩如下：

X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。

平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D(X )：

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即

，

其中

分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

二．方差的性质

1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）；

证：

特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）

3．若X、Y相互独立，则

证：记

则

前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为

当X、Y 相互独立时，

，

故第三项为零。

特别地

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

三．常用分布的方差

1．两点分布

2．二项分布

X ~ B( n, p )

引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布）

，

3．泊松分布（推导略）

4．均匀分布

另一计算过程为

5．指数分布（推导略）

6．正态分布（推导略）

~

正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

例2求上节例2的方差。

解根据上节例2给出的分布律，计算得到

求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。

S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根

大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

用matlab或c语言编写求导程序

已知电容电压uc,电容值

求电流i

公式为i=c(duc/dt)

怎样用matlab或c语言求解

SelectCommand="SELECT top 7 [tjid], [title] FROM [rec] WHERE ([pass] = @pass) ORDER BY [tuijian] DESC, [date_pass] DESC, [click] DESC">

函数的幂级数展开式

通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：

问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数

；

问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？

下面我们就来学习这两个问题。

泰勒级数

我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成

这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。

由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得：

，

，

………………………………………………

，

………………………………………………

在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：

把这些所求的系数代入得：

该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.

关于泰勒级数的问题

上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？

函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差

是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a 处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.

泰勒定理

设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得：

此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明）

在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：

其中c 在0与x之间

此式子被称为麦克劳林公式。

函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.

即：

几种初等函数的麦克劳林的展开式

1.指数函数e x

2.正弦函数的展开式