第七章-时间序列分析模型

保证t期的随机干扰与过 去s期的序列值无关
特别地、当φ0=0时，称为中心化AR(p)模型
Green函数
AR模型的传递形式
由(B)xt t可得（过程略）
xt
t
(B)
j0
p
ki
ij
t
，
j
记xt
i 1
Gjt j
j0
G j B j t G(B) t j0
其中ki(i=1,…,p)为常数，λi为特征值且在单位圆内
k 1
1,2,
, 其中k
0k,
,k p kp
MA模型
用均值+过去时期的随机干扰 或误差来预测自己
1、定义：具有如下结构的模型称为q阶 移动平均模型，简记为 MA(q)
xt
t
1 t1 2 t2
q t q
q 0
E(
t
)
0，Var(
t
)
2
,
E ( t
s
)
0,
s
t
特别当μ=0时，称为中心化MA(q)模型。
计算季节指数
Sk
xk x
, k 1,2, , m
季节指数的理解
季节指数反映了该季度与总平均值之间 的一种比较稳定的关系
如果这个比值大于1，就说明该季度的值 常常会高于总平均值
如果这个比值小于1，就说明该季度的值 常常低于总平均值
如果序列的季节指数都近似等于1，那就 说明该序列没有明显的季节效应
对季节效应的常用拟合方法
给定季节指数 St St
建立季节自回归模型
Tt 0 1 xtm l xtlm
完善阶段
异方差场合 Robert F.Engle，1982年，ARCH（自回归条件异方差）模 型。 Bollerslov，1985年GARCH（时变自回归 ）模型 都是对经典ARIMA模型的很好补充。
Var( t ) h(t)
异方差的影响
忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严 重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错 误，这使得参数的显著性检验失去意义，最 终导致模型的拟合精度受影响。
异方差直观诊断
残差图 残差平方图
残差图
方差齐性残差图
递增型异方差残差图
残差平方图
原理
残差序列的方差实际上就是它平方的期望。
综合分析
常用综合分析模型
加法模型 xt Tt St It
乘法模型
xt Tt St I t
混合模型
a) xt St Tt It b) xt St (Tt It )
ARIMA模型结构
使用场合
差分平稳序列拟合
模型结构
( B) d
E( t )
xt (B) 0，Var( t )
多变量场合 C.Granger ，1987年，提出了协整（co-integration）理论 极大促进了多变量时间序列分析发展，因此获得2003年诺贝尔经 济学奖。
非线性场合 汤家豪教授等，1980年，门限自回归模型 是分析非线性时间序列的经典模型。
异方差的性质
异方差的定义
如果随机误差序列的方差会随着时间的变化 而变化，这种情况被称作为异方差
分类
n期中心移动平均 n期移动平均
指数平滑法
指数平滑方法的基本思想
在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言， 一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的 结果对现在的影响会小些。为了更好地反映这种影 响作用，我们将考虑到时间间隔对事件发展的影响， 各期权重随时间间隔的增大而呈指数衰减。这就是 指数平滑法的基本思想
第七章
时间序列分析模型
本章结构
时间序列模型发展 基础阶段-平稳时间序列模型 核心阶段-非平稳时间序列模型 完善阶段-异方差条件下模型
时间序列分析方法的发展过程
基础阶段 核心阶段 完善阶段
基础阶段
G.U.Yule
1927年，AR（自回归）模型
G.T.Walker
1931年，MA（平均）模型
Var (
t
)
E(
2 t
)
所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考 察残差平方序列是否平稳
异方差处理方法
xt
Tt
St
Biblioteka Baidu
t
t 1 t1 p t p at
E(at
)
0,Var(at
)
2
,
Cov(at
,
at
i
)
0,
i
1
对趋势效应的常用拟合方法
自变量为时间t的幂函数
Tt 0 1 t k t k t
自变量为历史观察值
Tt 0 1 xt1 k xtk t
q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
随机游走模型( random walk)
模型结构
xt xt1 t
E(
t
)
0，Var(
t
)
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exs t 0,s t
模型产生典故
Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个 醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊
【注意】（1）MA模型总满足平稳条件 ；（2） AR(p)的假设条件不满足时可以考虑用此模型。 （3）系数敏感性较AR模型差。
MA的逆函数的递推公式
对可逆的MA模型，有
xt
t
( B) t
I (B)xt
(B)I (B)xt
xt
逆函数I(B)递推公式
I0
I j
1
j
kI
k 1
j k，j
1,2,
任何一个时间序列{xt } 都可以分解为两部分的叠 加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成 分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即
xt t t
d
jt j
j0
确定性影响
(B)at
随机性影响
确定性因素分解
现在的因素分解
长期趋势波动 季节性变化 随机波动
确定性时序分析的目的
克服其它因素的影响，单纯测度出某一 个确定性因素对序列的影响
疏系数模型类型
如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系 数模型可以简记为ARIMA(( p1, , pm ), d, q)
p1, , pm 为非零自相关系数的阶数
如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏 系数模型可以简记为 ARIMA( p, d, (q1, , qn ))
q1 , , qn 为非零移动平均系数的阶数
野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的
概率最大呢？
疏系数模型
ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关 最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的 模型，通常它包含p+q个独立的未知系 数：1, , p ,1, , q
如果该模型中有部分自相关系数 j ,1 j p 或部分移动平滑系数 k ,1 k q为零，即原 模型中有部分系数省缺了，那么该模型 称为疏系数模型。
t
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exs t 0,s t
ARIMA模型的平稳性
ARIMA(p,d,q) 模 型 例5.5
共 有 p+d 个 特 征 根 ， 其中p个在单位圆
ARIMA(0,1,0)时序图
内，d个在单位圆
上。所以当 d 0时
ARIMA(p,d,q) 模 型
非平稳。
ARIMA模型的方差齐性
分类
简单指数平滑 Holt两参数指数平滑
季节指数
季节指数的概念
所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期 内各时期季节性影响的相对数
季节模型
xij x S j Iij
季节指数的计算
计算周期内各期平均数
n
xik
xk
i 1
n
计算总平均数
, k 1,2, , m
nm
xik
x i1 k 1 nm
ARMA（自回归移动平均）模型
AR模型
1、定义：具有如下结构的模型称为p阶自回归 模型，简记为AR(p)
xt 0 1 xt1 2 xt2 p xt p t
p 0
保证最高阶数为p
E(
t
)
0,Var(
t
)
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
E(xs t ) 0,s t
保证残差白噪声
t
s
)
0,
s
t
特别当φ0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型
系数多项式
引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型 可简记为 (B)xt (B)t
其中p阶自回归系数多项式：
(B) 11B 2B2 pBp
q阶移动平均系数多项式：
(B) 11B 2B2 q Bq
可转化为无穷阶MA模型
推断出各种确定性因素彼此之间的相互 作用关系及它们对序列的综合影响
趋势分析
目的
有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分 析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并 利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测
常用方法
趋势拟合法 平滑法
趋势拟合法
趋势拟合法就是把时间作为自变量，相 应的序列观察值作为因变量，建立序列 值随时间变化的回归模型的方法
Dd xt
(B) (B)
t
乘积季节模型
使用场合
序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复 杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中 的相关关系
构造原理
短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取
季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取
假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构
如下
d
D S
xt
(B) (B)
S S
(B) (B)
t
Auto-Regressive模型
构造思想
首先通过确定性因素分解方法提取序列中主 要的确定性信息
xt Tt St t
然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分 提取相关信息
t 1 t1 p t p at
Auto-Regressive模型结构
d 0时，原序列方差非齐性
ARIMA(0,1,0)模型
Var(xt
)
Var(x0
t
t1
1)
t
2
d阶差分后，差分后序列方差齐性
ARIMA(0,1,0)模型
V
ar(xt
)
V
ar(
t
)
2
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
P=0 ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)
提出ARIMA(p,d,q)（差分自回归滑动平均 ）模型 （Box—Jenkins 模型） --经典模型。
(其中p为自回归项数，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳 序列所做的差分阶数)。
Box—Jenkins模型实际上主要是运用于单变量、 同方差场合的线性模型 ，存在局限性。
Cramer分解定理（1961）
可转化为无穷阶AR模型
3、传递形式与逆转形式
传递形式
逆转形式
xt 1(B)(B)t
t G jt j j 1
Green函数：
t 1(B)(B) xt
xt I j xt j j 1
逆函数：
G0 1
Gk
k
jGk j j
,
k 1
j1
I0 1
I
k
k
j Ik j j
如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简 记为
ARIMA(( p1, , pm ), d, (q1, , qn ))
季节模型
简单季节模型 乘积季节模型
简单季节模型
简单季节模型是指序列中的季节效应和 其它效应之间是加法关系
xt St Tt It
简单季节模型通过简单的趋势差分、季 节差分之后序列即可转化为平稳，它的 模型结构通常如下
,
k 1
j 1
其
中j
j, j
0, j
p
,
p
j
j, j q
0, j q
平稳时间序列建模步骤
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
序
No 模型 Yes 型
列
检验
优
预
化
测
核心阶段
G.E.P.Box和 G.M.Jenkins
1970年，出版《Time Series Analysis Forecasting and Control》。
分类
线性拟合 非线性拟合
平滑法
平滑法是进行趋势分析和预测时常用的 一种方法。它是利用修匀技术，削弱短 期随机波动对序列的影响，使序列平滑 化，从而显示出长期趋势变化的规律
常用平滑方法
移动平均法 指数平滑法
移动平均法
基本思想
假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之 间的差异主要是由随机波动造成的。根据这 种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均 值作为某一期的估计值
, 其中 k
0,k
,k q k q
ARMA模型
用过去的自己，并考虑到随机干 扰或误差序列来预测自己
1、定义 具有如下结构的模型称为自回归移动 平均模型，简记为ARMA(p,q)
xt
0 1xt1 p 0，q 0
p xt p
t
1 t 1
q t q
E(
t
)
0，Var(
t
)
2
,
E(
框中式子称为AR模型的传递形式，而系数 {Gj,j=1,2,…}称为Green函数。
Green函数性质：呈负指数下降，且
lim |
j
Gj
|
0
（2）Green函数递推公式
由
(
xt
B)xt G(
B)
t t
(B)G(B) t
t
利用待定系数法解上述方程可得递推公式
G0
G j
1
j
kG jk，j