中考数学加油站33 三角形精讲精练
中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题33最值问题(学生版).doc
专题 33最值问题专题知识回顾在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1. 二次函数的最值公式二次函数 yax 2 bx c （ a 、b 、 c 为常数且 a 0 ）其性质中有b ①若 a0当 x2ab②若 a0当 x2a2. 一次函数的增减性时， y 有最小值。
y min4ac b 2 ； 4a 时， y 有最大值。
y max4ac b 2 。
4a一次函数 ykx b( k 0) 的自变量 x 的取值范围是全体实数， 图象是一条直线， 因而没有最大 （小）值；但当 mx n 时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程； 再根据 x 是实数， 推得0 ，进而求出 y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4. 构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有a 2b 2 k k ，当且仅当 a b 0时，等号成立，即 a 2 b 2k 的最小值为 k 。
6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出 y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解在不等式 xa 中， x a 是最大值，在不等式 xb 中， x b 是最小值。
8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法” 。
【例题 1】（经典题）二次函数y=2（ x﹣ 3）2﹣4 的最小值为．【例题 2】（ 2018 江西）如图， AB是⊙ O的弦， AB=5，点 C是⊙ O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N 分别是 AB、 AC的中点，则 MN长的最大值是．【例题 3】（ 2019 湖南张家界）已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c（a≠0）过点 A(1，0)， B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C， OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋1QC是否存在最小值 ?若存在，求岀这个最小值；若不存在，2请说明理由．yC321 MA B-2 -1 O1 2 3 x-1D专题典型训练题1. （ 2018 河南）要使代数式 2 3x 有意义，则x 的（）A. 最大值为2B. 最小值为2 3 3C. 最大值为3D. 最大值为3 2 22. （ 2018 四川绵阳）不等边三角形ABC 的两边上的高分别为 4 和 12 且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为 ________。
(通用版)中考数学一二轮复习第34-36讲 解三角形经典精讲
第34讲解三角形经典精讲题一：计算：3tan30cos452sin60︒-︒+︒.题二：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若E 为BC中点，则sin∠AEB的值是( )B.34C.35D.45题三：如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，如果1 tan5DBA∠=，那么AD的长为___________.题四：某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为( )(参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75．)A. 1.9 mB. 2.0 mC. 2.1 mD. 2.2 m题五：某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图，他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向建筑物AB 前进10m 到达点D 处，又测得点A 的仰角为60°，那么建筑物AB 的高度是_______m ．题六：如图，□ABCD 中，E 为AD 边上一点，AE =AB ，AF ⊥AB ，交线段BE 于点F ，G 为AE 上一点，AG :GE =1：5，连结GF 并延长交边BC 于点H ．若GE :BH =1：2，求tan ∠GHB 的值.第35讲 解三角形2019中考真题赏析本讲课正在更新中，届时同学们可从网站上下载该讲的电子版文档。
第36讲 解三角形2018中考真题赏析新题赏析题一：如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（ ）A ．12B ．1C D题二：如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i =1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）（ ）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米题三：四边形ABCD 中，BD 是对角线，∠ABC =90°，tan ∠ABD =34，AB =20，BC =10，AD =13，则线段CD =________．题四：如图①，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究sin a A 与sin b B之间关系的方法： ∵sin A =a c ，sin B =b c∴c =sin a A ，c =sin b B ，∴sin a A =sin b B 根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角△ABC 中，探究sin a A 、sin b B 、sin c C之间的关系，并写出探究过程．题五：如图，在三角形ABC 中，AB =6，AC =BC =5，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，直线DF 是⊙O 的切线，D 为切点，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：DF ⊥AC ；(2)求tan ∠E 的值．第34讲 解三角形经典精讲题一： 题二：D.题三：2.题四：A.题五：. 第35讲 解三角形2019中考真题赏析本讲课正在更新中，届时同学们可从网站上下载该讲的电子版文档。
2020年上海中考数学·一轮复习 第33讲 解直角三角形及三角比
第33讲 解直角三角形及锐角三角比[基础篇]一、三角比：1、正切：我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，如图所示，锐角A 的正切记作tan A ，这时tan A BC aA A AC b===锐角的对边锐角的邻边2、余切：我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切,如图1所示，锐角A 的正切记作cot A ，这时cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边3、正切与余切的关系：根据正切与余切的意义，可以得到1tan cot A A= 4、正弦与余弦：直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=o ，锐角A 的正弦记作sin A ，这时sin A BC A AB ==锐角的对边斜边ac=锐角A 的余弦记作cos A ，这时cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边ACcB a b5、锐角的三角比：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 注意：（1）要分清直角三角形中一个锐角的对边和邻边；（2）三角函数的值是一个比值，这些比值只与锐角的大小有关．当一个锐角的值确定时，它的四个三角比的值也就确定了；（3）任何一个锐角都有四个相应的三角比值，不因这个角不在某一个直角三角形内而不存在； （4）由三角比的定义可知：0sin 1A <<，0cos 1A <<； （5）锐角三角比揭示了三角形中边与角之间的关系． 6、特殊锐角的三角比的值：二、解斜三角形1、解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、直角三角形的组成：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角。
3、解直角三角形的主要依据：设在Rt ABC ∆中，=90C ∠o，A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、，AB 边上的高为h ，则有： 4、三边之间的关系：222a b c +=（勾股定理）。
专题18 三角形(知识精讲)-2019年中考数学必备之考点精讲与真题演练(原卷版)
1 考点18 三角形【知识梳理】知识点一、三角形的有关概念和性质1．三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边．2．三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3．三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．备注：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外．（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．备注：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形．（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．备注：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心．4．三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．知识点二、三角形的内角和与外角和1．三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2推论：1．直角三角形的两个锐角互余2．有两个角互余的三角形是直角三角形2．三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3．三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°．知识点三、全等三角形的判定与性质知识点四、全等三角形的证明思路SASHLSSSAASSAS ASAAASASAAAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边知识点五、全等三角形证明方法 判定 边角边（SAS ）角边角（ASA ）角角边（AAS ）边边边（SSS ）直角三角形（ HL ）性质对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高线、角平分线对应相等备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．可以适当总结证明方法．1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等．(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等．(3) 等式性质．2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明．(2) 证明两个角所在的两个三角形全等．(3) 利用角平分线的判定进行证明．(4) 同角（等角）的余角（补角）相等．(5) 对顶角相等．3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明．4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形．5．证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件．（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件．（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质．知识点六、线段垂直平分线与角平分线1．线段的垂直平分线3线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2．角平分线的性质（1）角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．3、与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段．知识点七、等腰三角形1．等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）．特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°．（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）．2．等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．3．直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．45知识点八、勾股定理及勾股定理的逆定理1．勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方．（即：222a b c +=）2．勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段．3．勾股定理的逆定理 （1）原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．（2）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：①首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；②验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形．4．勾股数满足222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形．常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41．如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形．观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1．较小的直角边为连续奇数；62．较长的直角边与对应斜边相差1．3．假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立．（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）知识点九、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．7 【例题精讲】1、（2018黑龙江绥化）三角形三边长分别为3，2a ﹣1，4．则a的取值范围是_______．2、( 2018云南昆明)在△AOC 中，OB 交AC 于点D ，量角器的摆放如图所示，则∠CDO 的度数为（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．120°3、（2018青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E ＝90°，∠C ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，则∠1+∠2等于（ ）A ．150°B ．180°C ．210°D ．270°4、（2018山东聊城）如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A落在△ABC 外的A '处，折痕为DE ．如果∠A ＝α，∠CEA ′＝β，∠BDA '＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）A ．γ＝2α+βB ．γ＝α+2βC ．γ＝α+βD ．γ＝180°﹣α﹣β5、（2018四川广安）如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_______．6、（2018湖北恩施，18，8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．7、（2018四川达州）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（）A ．B．2 C ．D．38、(2018湖北襄阳，15，3分)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为_______．9、（2018湖北黄冈，13，3分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm（杯壁厚度不计）．8910、(2018浙江温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝3，b ＝4，则该矩形的面积为（ ）A ．20B ．24C ．D ．11、(2018河南，15，3分)如图，∠MAN ＝90°，点C 在边AM 上，AC ＝4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A ′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A ′B 所在直线于点F ，连接A ′E ．当△A ′EF 为直角三角形时，AB 的长为_________．压轴：12、(2018四川绵阳)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ，CE ＝CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD的斜边DE上，若AE，AD，则两个三角形重叠部分的面积为（）A ．B．3C ．D．310。
2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第四单元三角形微专题半角模型
K
例1题图③
微专题 半角模型
∴△AHK≌△AHG(SAS)，
∴HK＝HG，
K
∵△ABD为等腰5°， ∴∠HDK＝90°，
例1题图③
在Rt△HDK中，由勾股定理得HK2＝DK2＋HD2，
∴GH2＝BG2＋HD2.
微专题 半角模型
【方法二】翻折法 【方法二】证明：如图，将△ABG和△ADH分别沿AG和AH 翻折， ∵∠BAG＋∠DAH＝90°－∠GAH＝45°， AB＝AD， ∴AB，AD翻折后重合在AM上， ∴MG＝BG，MH＝DH，
∴G，B，C 三点共线，
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAE＋∠BAG
＝120°－∠EAF＝60°，
∴∠GAE＝∠EAF，
G
例2题图
微专题 半角模型
在△AGE和△AFE中，
AG AF GAE FAE , AE AE
∴△AGE≌△AFE(SAS)， ∴EF＝GE＝BE＋BG＝BE＋DF.
G
例1题图②
微专题 半角模型
在△ANM和△AGM中，
AN AG MAN MAG , AM AM
∴△ANM≌△AGM(SAS)，
∴MN＝MG，
∵MG＝BM＋BG＝BM＋DN，
∴MN＝MG＝BM＋DN；
G
例1题图②
微专题 半角模型
半角模型
半角模型.gsp
微专题 半角模型
半角模型
半角模型.gsp
M 例1题图③
微专题 半角模型
∵∠B＝∠D＝45°， ∴∠AMG＝∠AMH＝45°， ∴∠GMH＝90°， ∴GM2＋MH2＝GH2， ∴GH2＝BG2＋HD2.
M 例1题图③
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 第六节 锐角三角函数与解直角三角形的实际应用
解：过点 E，F 分别作 EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为 M，N， 由题意得，EC＝20 米， ∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN， AB＝60 米， ∴AM＝AB－MB＝60－20＝40(米)，
AM 在 Rt△AEM 中，∵tan∠AEM＝EM，
AM
40Biblioteka ∴EM＝tan∠AEM＝tan 67°≈16.9(米)．
2．(2021·淄博)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CE 是斜边 AB 上的
中线，过点 E 作 EF⊥AB 交 AC 于点 F.若 BC＝4，△AEF 的面积为 5，则 sin
∠CEF 的值为
( A)
A.35
B.
5 5
C.45
D.2 5 5
重难点 2：解直角三角形的实际应用 (2021·聊城)时代中学组织学生进行红色研学活动，学生到达爱国
在 Rt△EFC 中，EF＝ CF2－CE2＝ 13－4＝3， ∴tan∠FBD＝FBEE＝BC＋3 CE＝130.
1．(2020·安徽)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，∠DBC
＝∠A.若 AC＝4，cos A＝45，则 BD 的长度为
( C)
A.94 B.152 C.145 D．4
解：(1)过点 D 作 DH⊥CE 于点 H，由题意知
CD＝2 10 米，∵斜坡 CF 的坡比为 i＝1∶3， ∴DCHH＝13，设 DH＝x 米，CH＝3x 米，
∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2 10)2， ∴x＝2，∴DH＝2(米)，CH＝6(米)， 答：小刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度为 2 米．
在 Rt△ACF 中，CF＝AC·sin
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 第四节 全等三角形
证明：∵AB＝AC，点 D，E 分别是 AC 和 AB 的中点，
∴AD＝AE.
AB＝AC，
在△ABD 和△ACE 中，∠A＝∠A，
AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE.
5．(2021·兰州第 20 题 5 分)如图，点 E，C 在
线段 BF 上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF.求证：
(3)添加条件：BE＝CD，所用判定方法是 SASASS；
(4)能不能添加条件“BC＝DE”？不能不能 (选填“能”或“不能”)．
2．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝45°，AC＝4，H 是高 AD 和 BE 的交点， 则线段 BH 的长度是__44__.
3．(数学文化)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股 形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°， BD＝4，CF＝6，则正方形 ADOF 的边长是 2 .
AC＝DF. 证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF， ∠A＝∠D，
在△ABC 与△DEF 中，∠ABC＝∠DEF， BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AC＝DF.
6．(2019·兰州第 20 题 6 分)如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E.求证： AC∥DF.
证明：∵BF＝EC，
第四节 全等三角形
1．(RJ 八上 P43 习题 T1 变式)如图，点 B 在 AE 上，点 D 在 AC 上，AB＝ AD.要证△ABC≌△ADE.
(1)添加条件：∠A∠BCA＝B∠C＝AD E，所用判定方法是 ASA； (2)添加条件：∠∠C∠＝CA＝DE∠∠EE，所用判定 3 分)如图，已知∠1＝∠2，AC
＝AD.请添加一个条件，使△ABC≌△AED，则添加的条
2025高考数学必刷题 第33讲、解三角形图形问题 (学生版)
第33讲解三角形图形问题知识梳理解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.必考题型全归纳题型一：妙用两次正弦定理例1．（2024·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 中90BAC ∠= ，30ABC ∠= ，AD CD ⊥，设ACD θ∠=.（1）若ABC ∆面积是ACD ∆面积的4倍，求sin 2θ；（2）若6ADB π∠=，求tan θ.例2．（2024·湖北黄冈·高一统考期末）如图，四边形 ABCD 中=90BAC ∠ ， =60ABC ∠ ，AD CD ⊥，设 =ACD θ∠．（1）若ABC 面积是ACD 面积的4倍，求 sin 2θ;（2）若1 tan =2ADB ∠，求 tan θ.例3．（2024·全国·高三专题练习）在①2AB AD =，②sin 2sin ACB ACD ∠=∠，③2ABC ACD S S = 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD 中，πABC ADC ∠+∠=，2BC CD ==，且______.(1)证明：tan 3tan ABC BAC ∠=∠；(2)若3AC =，求四边形ABCD 的面积.变式1．（2024·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平面四边形ABCD 中，π3π,1,24BCD AB ABC ∠==∠=.(1)当BC CD ACD 的面积.(2)当π,26ADC AD ∠==时，求tan ACB ∠.变式2．（2024·广东广州·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD 中，2,1,23BCD AB ABC ππ∠==∠=．(1)若2,BC CD ==ACD 的面积；(2)若,26ADC AD π∠==，求cos ACD ∠．变式3．（2024·广东·统考模拟预测）在平面四边形ABCD 中，90ABD BCD ∠=∠= ，45DAB ∠= .（1）若2AB =，30DBC ∠= ，求AC 的长；（2）若3tan 4BAC ∠=，求tan DBC ∠的值.变式4．（2024·江苏徐州·高一统考期末）在①22222cos cos sin a B C a A c b=+-，②sin cos a B B c --=，③ABC 的面积()sin tan cos S b C c C B =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知______.(1)求角C ；(2)若点D 在边AB 上，且2BD AD =，5cos 13B =，求tan BCD ∠.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分变式5．（2024·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos b A a B b c -=-.(1)求A ；(2)若点D 在BC 边上，且2CD BD =，cos B =，求tan BAD ∠.变式6．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )A c B b C a +=.(1)求角A ；(2)若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠．题型二：两角使用余弦定理例4．（2024·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD 中，1cos 3BAD ∠=，3AC AB AD ==．(1)求sin ABD ∠；(2)若90BCD ∠=︒，求tan CBD ∠．例5．（2024·全国·高一专题练习）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD =(1)求证：sin C A ；(2)若2C A =，2AB CD =，求梯形ABCD 的面积．例6．（2024·河北·校联考一模）在ABC 中，4AB =，AC =D 为BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使3AE DE =.(1)若1DE =，求BAC ∠的余弦值；(2)若π4ABC ∠=，求线段BE 的长.变式7．（2024·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2232cos 235cos22C C π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(1)求角C ；(2)若点D 在AB 上，2BD AD =，BD CD =，求AC BC的值.变式8．（2024·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，sin 2sin AD D CD B ⋅=⋅.(1)求证：2BC CD =；(2)若2AD BC ==，120ADC ∠= ，求AB 的长度.题型三：张角定理与等面积法例7．（2024·全国·高三专题练习）已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++.(1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC 的面积.例8．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++．(1)求A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是△ABC 的角平分线，且4=AD ，6AC =，求△ABC 的面积．例9．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )c b C a b A B -=-+．（1）求A ；（2）若D 为BC 上点，AD 平分角A ，且3b =，AD =，求BD DC．变式9．（2024·安徽淮南·统考二模）如图，在ABC 中，2AB =，23sin 2cos 20B B --=，且点D 在线段BC 上．(1)若3π4ADC ∠=，求AD 的长；(2)若2BD DC =，sin sin BAD CAD ∠=∠，求ABD △的面积．变式10．（2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模）如图，在ABC 中，4AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上.（1）若3π4ADC ∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD 的面积为3，求sin sin BAD CAD ∠∠的值.变式11．（2024·全国·高一专题练习）已知函数21()cos cos (0)2f x x x x ωωωω=-+>，(1)求函数()f x 的解析式；(2)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4a =，12bc =，()1f A =．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长．变式12．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin sin a B C b c A C-=+-．(1)求B ；(2)若b =，角B 的平分线交AC 于点D ，1BD =，求ABC 的面积．题型四：角平分线问题例10．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测）在ABC 中，已知5AB =，BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，DAC ∠的平分线与边BC 交于点E ，cos 10EAC ∠=.(1)若65BC AC =，求ABC 的面积；(2)若cos 10ADB ∠=，求BC .例11．（2024·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，(1)求cos A 的值及ABC 的面积；(2)A ∠的平分线与BC 交于D ，2DC BD =，求a 的值．例12．（2024·山东泰安·统考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且π2cos sin cos 06C B A ⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭.(1)求角C 的大小；(2)若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2BD AD =，求ABC 的面积.变式13．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在ABC 中，角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，π22cos 3a b c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，角C 的平分线交AB 于点D ，且BD =，AD =(1)求ACB ∠的大小；(2)求CD .变式14．（2024·广东深圳·校考二模）记ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知22sin sin cos 2sin 2A B C A =.(1)证明：3b c a +=；(2)若角B 的平分线交AC 于点D ，且BD =32AD DC =，求ABC 的面积.变式15．（2024·海南·校联考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，AM 是角A 的平分线，sin cos a B A =，2CM MB =．(1)求A ；(2)若AM =BC 的长．变式16．（2024·四川·校联考模拟预测）在①cos sin a b C B =+；②3c =这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点D 为BC 边的中点，b AD ==，且________．(1)求a 的值；(2)若ABC ∠的平分线交AC 于点E ，求BCE 的周长．题型五：中线问题例13．（2024·浙江杭州·统考一模）已知ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2sin cos 2sin cos c A B b A C +=，c a >．(1)求角A ；(2)若2b =，BC 边上中线AD =ABC 的面积．例14．（2024·四川内江·校考模拟预测）在△ABC 中，D 是边BC 上的点，120BAC ∠= ，1AD =，AD 平分∠BAC ，△ABD 的面积是△ACD 的面积的两倍．(1)求△ACD 的面积；(2)求△ABC 的边BC 上的中线AE 的长．例15．（2024·四川绵阳·统考二模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin 3cos 3a C a C b +=，60A = ．(1)求a 的值；(2)若12BA AC ⋅=- ，求BC 边上中线AT 的长．变式17．（2024·广东广州·统考一模）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C ==.(1)求sin C ；(2)若ABC AB 边上的中线CD 的长.变式18．（2024·安徽宣城·安徽省宣城中学校考模拟预测）ABC 中，已知cos 036B B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.AC 边上的中线为BD .(1)求B ∠；(2)从以下三个条件中选择两个，使ABC 存在且唯一确定，并求AC 和BD 的长度.条件①：22230a b c c -+-=；条件②6a =；条件③ABC S = 变式19．（2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos BAD ∠(1)求b 边的长度；(2)求ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的16，求AG EF 的取值范围．变式20．（2024·广东广州·统考三模）在①sinsin 2Ab a B π-=()sin 2cos B b A =-这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，__________.(1)求角A 的大小；(2)已知2,8AB AC ==，若,BC AC 边上的两条中线,AM BN 相交于点P ，求MPN ∠的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.题型六：高问题例16．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6a =，sin2b A B =.(1)若1b =，证明：π2C A =+；(2)若BC ABC 的周长.例17．（2024·重庆·统考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin ,sin cos m B C C =+ ，()cos sin ,cos n C C B =-，12m n ⋅= ．(1)求sin 2A ；(2)若3a =，BC 1-，求sin sin B C ．例18．（2024·四川自贡·统考三模）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222b c a bc +=+．(1)求A ；(2)若BC上的高4AD =，求cos cos B C ．变式21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且222sin 2a c b c A b c+-=-．(1)求A ；(2)若14b c =，且BC边上的高为a ．变式22．（2024·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知ABC 中，点D 在边AB 上，满足(0)CA CB CD CA CB λλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，且cos 23B =，CAD 的面积与CBD △面积的比为3．(1)求sin A 的值；(2)若5AB =，求边AB 上的高CE 的值．题型七：重心性质及其应用例19．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22238c a b =+．(1)求cos B 的最小值；(2)若M 为ABC 的重心，90AMC ∠=︒，求sin sin AMBCMB∠∠．例20．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos cos ,B a C c A b G -==为ABC 的重心．(1)若2a =，求c 的长；(2)若3AG =，求ABC 的面积．例21．（2024·广西钦州·高三校考阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos sin a B B c b =+．(1)求角A 的大小;(2)若3b =，点G 是ABC 的重心，且AGABC 内切圆的半径．变式23．（2024·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，AD 为BC 边上的中线，c ＝1，23BAC π∠=，12sin cos sin sin sin 2c A B a A b B b C =-+．(1)求AD 的长度；(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为ABC 的重心，连接EG 并延长与AC 交于点F ，求AF 的长度．变式24．（2024·四川内江·高三威远中学校校考期中）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,,6,sin sin 2B Ca b c a b a B +==．(1)求A 的大小；(2)M 为ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，___________，求ABC 的面积．请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使ABC 存在，并解决问题．①M 为ABC 的重心，AM =②M 为ABC 的内心，AD =；③M 为ABC 的外心，4AM =．变式25．（2024·全国·高三专题练习）在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______．(1)求角A 的大小；(2)若ABC G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．题型八：外心及外接圆问题例22．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 是公差为2的等差数列.(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积.(2)是否存在正整数b ，使得ABC 的外心在ABC 的外部?若存在，求b 的取值集合；若不存在，请说明理由.例23．（2024·全国·高三专题练习）在 ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝6．(1)求b cos C ＋c cos B 的值；(2)若O 是 ABC0OA OB OC →→→→++=，求 ABC 外接圆的半径．例24．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ；34b c =，4cos 5C =.（1）求cos A 的值；（2）若ABC 的外心在其外部，7a =，求ABC 外接圆的面积.变式26．（2024·高三统考阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 对应的三边分别为a ，b ，c，(tan 1)(tan 1)2A B ++=，c =2a =，O 为ABC 的外心，连接OA ，OB ，OC ．（1）求OAB 的面积；（2）过B 作AC 边的垂线交于D 点，连接OD ，试求cos OBD ∠的值．题型九：两边夹问题例25．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos sin 0sin cos A A B B +-=+，则a b c+的值是（）A ．2BC D ．1例26．（2024·河北唐山·高三校考阶段练习）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠所对边的边长.若2cos sin 0cos sin A A B B +-=+，则a b c+的值是（）.A ．1B CD ．2例27．（2024·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则tan A =_________________变式27．（2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测）在ABC ∆中，已知边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，若22252cos 3cos 2sin sin sin sin --=+B C A B C A ，则tan A =_____．变式28．（2024·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）在ABC ∆中，已知边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a =，2223sin 2sin sin si 2si n sin n C A B C B A ++=，则ABC ∆的面积S =______.变式29．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中，若(cos sin )(cos sin )2A A B B ++=，则角C =__．变式30．（2024·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设S 是△ABC 的面积，若22b c +﹣213a S =，则角A 的值为_______．题型十：内心及内切圆问题例28．（2024·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考期中）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，I 为△ABC 的内心，延长线段AI 交BC 于点D ，此时3CB CD=(1)求sin sin BC；(2)若∠ADB =2π3，求b c a+.例29．（2024·山西·高三校联考阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，7a =,()2cos 32cos c B a b C =-.(1)求cos C ；(2)若2B C =，M 为ABC 的内心，求AMC 的面积.例30．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin cos tan 2B A A C =+⋅．(1)求C 的值；(2)若ABC 4b =，求a c -．变式31．（2024·辽宁鞍山·统考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin aC C =-.(1)求A ；(2)若8a =，ABCABC 的周长.2025高考数学必刷题21变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，其角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c，且满足cos sin b C C a c =+．(1)若b =，求ABC 的外接圆半径；(2)若a c +=，且6BA BC ⋅= ，求ABC 的内切圆半径变式33．（2024·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，7a =，13b c +=，内切圆半径r =tan A =________。
2024年中考数学复习重难点精讲练专题15 三角形(教师版)
知识点01：三角形的角平分线、中线和高【高频考点精讲】1、从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高。
2、三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线。
3、三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线。
4、三角形有3条中线，3条高线，3条角平分线，它们都是线段。
知识点02：三角形的面积【高频考点精讲】＝×底×高。
1、三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△2、三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。
知识点03：三角形三边关系【高频考点精讲】1、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边。
2、只要两条较短的边长之和大于第三边的长度就可以判定这三条线段能构成一个三角形。
知识点04：三角形内角和定理与外角性质【高频考点精讲】1、三角形的内角和等于180°。
2、三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等。
3、三角形外角的性质（1）三角形的外角和为360°。
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。
知识点05：全等三角形的判定与性质【高频考点精讲】1、三角形全等的判定（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
（2）全等三角形的周长、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的高对应相等。
（4）全等三角形的对应角的角平分线相等。
（5）全等三角形的对应边上的中线相等。
知识点06：等腰（等边）三角形的判定与性质【高频考点精讲】1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
3．如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为 E，EF ∥BD，交 BC 于点 F，若 BD＝10，则 EF 的长为__5__.
模型四：遇到三角形一边上的中点(中线或与中点有关的线段)，考虑倍 长中线法构造全等三角形 【模型展示】
【模型归纳】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构 造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形 中．
2．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE 为 AC 边
上的中线，AD 平分∠BAC，交 BC 边于点 D，过点 B 作 BF⊥AD，
垂足为 F，则∠EBF 的度数为
( B)
A．19° B．33° C．34° D．43°
模型三：等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质 【模型展示】
6．★(2020·武汉)如图，在半径为 3 的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D
是A︵C的中点，AC 与 BD 交于点 E.若 E 是 BD 的中点，则 AC 的长是( D )
A.52 3
B．3 3
C．3 2
D．4 2
7．(2020·衢州)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，AB＝10，AC ＝6，连接 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E，F，E 是 AD 的中点． (1)求证：∠CAD＝∠CBA； (2)求 OE 的长．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
BD＝8，则 MN 为
( A)
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路点拨】连接 MB，MD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可证 MB＝MD，再由 NB＝ND，根据等腰三角形“三线合一”性质，得 MN⊥BD，在 Rt△BMN 中，利用勾股定理即可求解．
第3讲 三角形一边的平行线(原卷版)2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练(沪教版)
第3讲 三角形一边的平行线1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，直线DE // BC，那么AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC===或或．2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， DE // BC ，那么DE AD AEBC AB AC==．知识梳理lA BCDEABCDEABCDE ll ABCDE3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．6、平行线分线段成比例定理ABCDEABCDEABCDE两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l所截，那么DF EGFB GC．7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．题型探究BCD E FG题型一、利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等【例1】如图，在ABC ∆中，//DE BC ，18AB =，12AC =，6BD =，求CE ．【例2】如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，射线AE 交DC 的延长线于点F ，AB=2,BE=3EC,那么DF 的长为 .【例3】如图,在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，//DE BC ，5AC =厘米，3:5ADAB=，求DE 的长．【例4】如图，在△ABC 中，点G 是△ABC 的重心，过点G 作DE ∥AC 分别交AB 、BC 于点D 、E ，过点D 作DF ∥BC 交AC 于点F ，如果DF=4，那么BE= .【例5】如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF 的周长．【例6】如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD BC ⊥于点D ，点F 是BC 中点，过点F 作BC 的垂线交AB 于点E ，:3:2BD DC =，则:BE EA=．【例7】如图，在等腰ABC ∆中，AB=AC ，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AD 与BE 交于点F ，若BE=6，FD=3,则ABC ∆的面积．题型二、利用平行线判定证明线段平行【例8】如图，ABC ∆中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ） （A ）若EF //BC ，则AE AFEB FC =（B ）若AE AFEB FC =，则EF //BC（C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC =（D ）若AE EF AB BC =，则EF //BC【例9】如图，点D 、F 在ABC ∆的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB =．求证：EF //DC ．【例10】点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．ABCDE F A B CDEFGHAB CEF题型三、利用平行线分线段成比例求线段长【例11】如图，1l //2l //3l ，3AB =，8AC =，10DF =， 求DE 、EF 的长．【例12】如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ， 且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，求DE 、EF 的长．题型四、构造“A”与“8”字型【例13】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4. 若EF ∥BC ，且EF=7，求AE 和DF 的长.（用两种方法解决）B CA DEFCB ADE FABDCE F【例14】如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =，求:AF BF 的值．举一反三1.ABC ∆中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件是（ ）A ．23AB AD =，12EC AE = B ．23AD AB =，23DE BC = C ．23AD DB =，23CE AE =D ．43AD AB =，43AE EC = 2.（2021•醴陵市模拟）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，如果2AB =，3BC =，2EF =，那么DE 的长是( )A ．2B ．43C ．1D ．343.（2021•松北区模拟）如图，ABC ∆中，//DE BC ，//GF AC ，下列式子错误的是( )A ．AG CFBG BF=B ．AD AE AB AC=C ．GM AEMF EC=D ．FC AGDM DG=4.（2021•温岭市模拟）如图，////AB CD EF ，AF 与BE 相交于点G ，且2AG =，1GD =，5DF =，则:(BC CE = )A ．3:5B ．1:3C ．5:3D ．2:35.在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要 使DE //AC ，则BE=．6.如图，ABC ∆中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ．7.如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ． （1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．A B CD E FABCD EFABCPQ8.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE = ．9.如图，ABC ∆中，在BC 上取一点P ，CA 上取一点Q ，使得BP : PC = 2 : 5，CQ : QA = 3 : 4，AP 与BQ 交于点R ，则AR : RP =______．10.如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3AD =，5BC =，E 、F 是两腰上的点， //EF AD ，:1:2AE EB =，求EF 的长．课后作业1.（2020年•黄浦区一模）如图1，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）． （A ）AD DEAB BC=； （B ）AD AEAC AB=； （C ）AD AB DE BC ⋅=⋅；（D ）AD AC AB AE ⋅=⋅．2.如图，点F 是▱ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( )A.AB DF EA ED = B.FB EF BC ED = C.BE BF ED BC = D.AEBCBE BF = 3.（2020年•浦东新区一模）]如图,已知直线123,,l l l 分别交直线4l 于点A ，B ，C ，交直线5l 于点D ，E ，F ，且123l l l ∥∥，若AB=4，AC=，,DF=9，则DE 的长为 ( )A.5B.6C.7D.84.（2020年•徐汇区一模）如图，EF CD AB ////，2=AC ，5=AE ，5.1=BD ，那么下列结论正确的是（ ）（A ）415=DF ； （B ）415=EF ； （C ）415=CD ； （D ）415=BF ．A B C D EF（第4题图）5.(2021•洪泽区二模）如图，123////l l l ，AC 交1l 、2l 、3l 分别于A 、B 、C ，且6AC =，4BC =，DF 交1l 、2l 、3l 分别于D 、E 、F ，则DEEF= ．6.（2020年•吉林中考）如图，AB ∥CD ∥EF ．若12AC CE =，BD ＝5，则DF ＝ ．7.（2020年•虹口区一模）如图4，在梯形AEFB 中，AB ∥EF ，AB =6，EF =10，点C 、D 分别在边AE 、BF上且CD ∥AB ，如果AC=3CE ，那么CD 长为 ．8.（2020年•静安区一模）在△ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，AD =6，那么AG = ．9.如图,在△ABC 中,若BD ∶DC=CE ∶EA=2∶1,AD 与BE 交于F,则AF ∶FD= .10.（2019年•长宁区月考）如图，平行四边形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在CD 的延长线上，AF 交BD 于点O ，交BC 于点G ，且DF:CD=DE:EC, 求:OE ∥BC11.（2020秋•浦东新区期中）如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，8BC =，21D F =，求DE 的长； （2）如果:2:5DE DF =，9AD =，14CF =，求BE 的长．12．（2019秋•黄浦区期中）如图，已知在ABC ∆中，//EF CD ，3AF =，5AD =，4AE =． （1）求CE 的长； （2）当253AB =时，求证：//DE BC ．EGF ODCBA13.（2019年•上海课时练习）梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =． （1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．AB C DE FABC DEF。
部编数学九年级下册专项33相似三角形一线三等角模型综合应用(解析版)含答案
专项33 相似三角形-一线三等角模型综合应用1.如图1，BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆（一线三等角）如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠，FD 平分EFC ∠。
2.一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。
【类型1：标准“K ”型图】【典例1】已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ．（1）求证：＝；（2）若OP 与PA 的比为1：2，求边AB 的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO ＝∠B ＝90°，∴∠APD +∠OPC ＝90°，CB BC A A∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP与PA的比为1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【变式1-1】如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长．【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵AB＝BC，∴，∴，∴CE＝4，∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，∴正方形ABCD的边长为6．【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面积＝DE•DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面积为9【类型2：做辅助线构造“K”型图】【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AE＝FD＝2，∴FG＝，∴EG＝FG＝，故答案为：；（2）证明：延长EA、NF交于点M，∵点F为AD的中点，∴AF＝DF，∵AM∥CD，∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，∴△MAF≌△NDF（AAS），∴MF＝FN，∵EF⊥MG，∴ME＝GE，∴∠MEF＝∠FEN；（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF＝PG，PF＝AE，∵AE＝AD，∴PF＝AD，∴AF＝PD，∴PG＝PD，∵∠P＝90°，∴∠PDG＝45°，∴∠MDG＝45°，在Rt△EFG中，EF＝FG，∴∠FGE＝45°，∴∠FGE＝∠GDM，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴，∴MG2＝MN•MD．【变式2-1】（2021春•永川区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长为 ．【解答】解：过点F作FN⊥BC，垂足为N，延长NF交AD于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝90°，AD∥BC，∴FM⊥AD，∴∠AMF＝∠FNE＝∠DMF＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴AM＝BN，∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝2，由折叠得：BE＝FE＝2，AB＝AF＝6，∠B＝∠AFE＝90°，∴∠AFM+∠EFN＝90°，∵∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠FEN＝∠AFM，∴△ENF∽△FMA，∴＝＝＝，设EN＝x，则FM＝3x，∴AM＝BN＝BE+EN＝2+x，在Rt△AFM中，AM2+FM2＝AF2，∴（2+x）2+（3x）2＝36，∴x＝或x＝﹣2（舍去），∴AM＝2+x＝，FM＝3x＝，∴DM＝AD﹣AM＝，在Rt△DMF中，DF＝＝＝，故答案为：．【变式2-2】（2022秋•皇姑区校级月考）已知，如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处．（1）若点F恰好落在CD边上，如图1，求线段BE的长；（2）若BE＝1，如图2，直接写出点F到BC边的距离；（3）若△CEF为直角三角形，直接写出CE所有值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝3，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质得：BE＝FE，AF＝AB＝5，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD﹣DF＝5﹣4＝1，设BE＝FE＝x，则CE＝BC﹣BE＝3﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2+CE2＝FE2，即12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，即线段BE的长为；（2）如图2，过F作FG⊥BC于G，延长GF交AD于H，则∠FGE＝90°，四边形ABGH是矩形，∴HG＝AB＝5，BG＝AH，∠AHF＝90°＝∠FGE，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，∴∠AFH+∠EFG＝90°，∵∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠EFG＝∠FAH，∴△EFG∽△FAH，∴＝＝，∴AH＝5FG，设FG＝x，则BG＝AH＝5x，∴EG＝BG﹣BE＝5x﹣1，在Rt△EFG中，由勾股定理得：x2+（5x﹣1）2＝12，解得：x＝或x＝0（不符合题意舍去），∴FG＝，即点F到BC边的距离为；（3）分三种情况：①∠CFE＝90°时，如图3，∵∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠CFE＝180°，∴A、F、C三点共线，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠ECF＝∠CAD，AC＝＝＝，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，FE＝BE，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠CFE＝90°＝∠D，CF＝AC﹣AF＝﹣5，∴△CEF∽△ACD，∴＝，即＝，解得：CE＝；②点F在CD上，∠ECF＝90°时，如图4，由（1）可知，BE＝，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣＝；③∠CEF＝90°时，如图5，由折叠的性质得：∠AEB＝∠AEF＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝5，∴CE＝BE﹣BC＝5﹣3＝2；④点F在CD延长线上，∠ECF＝90°时，如图6，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，∵∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD+DF＝5+4＝9，∵∠CFE+∠CEF＝90°，∠CFE+∠DFA＝90°，∴∠CEF＝∠DFA，∵∠ECF＝∠ADF＝90°，∴△CEF∽△DFA，∴＝＝＝3，∴CE＝3DF＝12；综上所述，若△CEF为直角三角形，则CE的值为或或2或12．【类型2：特殊“K”型图】【典例3】（2021秋•通许县期中）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED ＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．若BC＝a，AB＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．拓展：（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B．求证：AB•FE＝BE•DE．【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，∴，故答案为：；（2）解：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠EDC＝∠BAD，∵DA＝DE，在△ADB与△DEC中，，∴△ADB≌△DEC（AAS），∴EC＝BD，AB＝DC＝b，∴BD＝BC﹣DC＝a﹣b，即CE＝a﹣b；（3）解：∵∠DEF＝∠B，∴∠BFE+∠BEF＝∠BEF+∠DEC，∴∠BFE＝∠DEC，作CG∥FE交DE于点G，如图：∴∠DEF＝∠EGC，∴∠B＝∠EGC，∴△FBE∽△EGC，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠EGC+∠DGC＝180°，∵∠B＝∠EGC，∴∠DGC＝∠BCD，∵∠EDC＝∠CDG，∴△DGC∽△DCE，∴，∴，∴DC•FE＝BE•DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴AB•FE＝•BE•DE．解法二：延长BC到M，使得DC＝DM．∵DC＝DM，∵DC∥AB，∴∠DCM＝∠B，∴∠B＝∠M，∵∠BFE＝∠DEM，∴△BFE∽△MED．∴＝，∵AB＝CD＝DM，∴AB•FE＝•BE•DE．【变式3-1】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∴∠ACP＝∠BPD，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴BD的长为；（2）证明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP，∴∠PCD＝∠DPB，∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD，∴＝，∴PD2＝CD•BD．【变式3-2】（2022春•定海区校级月考）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB 于点E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴ACE+∠CAE＝90°．∴∠BCD＝∠CAE．∵BD⊥DE，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠AEC．∴△BDC∽△CEA．（2）解：过点E作EF⊥BC于点F．由（1）得△EDF∽△DAC．∴．∵AD⊥DE，，AC＝20，∴，∴DF＝16．∵BE＝DE，∴BF＝DF．∴BD＝2DF＝32．（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC的延长线于点N．∴∠AMB＝∠DNC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠B＝∠DCN．∴△ABM≌△DCN（AAS）．∴BM＝CN，AM＝DN．∵AB＝AE，AM⊥BC，∴BM＝ME，∵，设AM＝b，BE＝4a，EC＝3a．∴BM＝ME＝CN＝2a，EN＝5a．∵∠AED＝90°，由（1）得△AEM∽△EDN．∴，∴，∴，∵，∴（2a）2+b2＝14，∴a＝1，．∴平行四边形ABCD的面积＝．1．（2021秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE ⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）A．4B．C．D．5【答案】B【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．2．（2022秋•二道区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD 的长为 ．【答案】6【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠C+∠B+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，又∵2∠ADE+∠BAC＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠BDE+∠ADC＝180°﹣∠ADE，∠CAD+∠ADC＝180°﹣∠C，∴∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，解得CD＝6．故答案为：6．3．（2022•杭州模拟）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝ ．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是 ．【解答】解：（1）∵点F为CD边的中点，∴DC＝2DF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折叠得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF＝DC＝2DF，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝＝2，∴＝2，∴x＝2，故答案为：2；（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，∵△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴x＝1+，∴x＝1+，∴y＝，故答案为：y＝．4．（2021•海州区校级二模）如图，△DEF的三个顶点分别在等边△ABC的三条边上，BC ＝4，∠EDF＝90°，＝，则DF长度的最小值是 ．【答案】【解答】解：过点F作FH⊥BC，垂足为H，∵∠EDF＝90°，tan∠EFD＝＝，∴∠EFD＝60°，∴∠AFE+∠DFC＝120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，AC＝BC＝4，∴∠AFE+∠AEF＝120°，∴∠AEF＝∠DFC，∴△AEF∽△CFD，∴＝，∵∠EDF＝90°，∠EFD＝60°，∴cos∠EFD＝＝，∴＝2，∴设CD＝a，则AF＝2a，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣2a，在Rt△CFH中，∠C＝60°，∴CH＝CF＝2﹣a，∴FH＝CH＝2﹣a，∴DH＝CD﹣CH＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，在Rt△DFH中，DF2＝DH2+FH2＝（2a﹣2）2+（2﹣a）2＝7a2﹣20a+16＝7（a﹣）2+，∴DF2的最小值为，∴DF的最小值为：．5.如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°∵∠AED＝60°，∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED＝∠CAE，∴△AEC∽△EDB．6.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）证明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝45°+∠EDC，而∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝45°+∠EDC，∴∠AED＝∠ADC．∴∠DEC＝∠ADB（等角的补角相等）．而∠B＝∠C＝45°，∴△ABD∽△DCE．故△ABD∽△DCE得证．（2）解：当AE＝DE时，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3．7．（2022•安徽三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵半⊙O与边AD相切于点E，∴∠OEA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠OEA＝90°，∴OE∥CD，∴∠ECD＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠BCE＝∠DCE；（2）解：连接BE，∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OC，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴，∴，解得：，∴DE的长为．8．（2022•钦州一模）已知下列各图中，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．【基本模型感知】如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N．求证：△ABM∽△BCN；【基本模型应用】如图2，点P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，，求tan C的值；【灵活运用】如图3，点D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，，，请直接写出tan∠BEC的值．【解答】（1）证明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°．∴∠BAM+∠ABM＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°．∴∠BAM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠CNB，∴△ABM∽△BCN．（2）解：如图2，过点P作PF⊥AP交AC于点F，过点F作FQ⊥BC交BC于点Q，在Rt△AFP中，tan∠PAC＝＝＝，与（1）同理得，△ABP∽△PQF．∴＝＝＝．设AB＝a，PQ＝2a（a＞0），∵∠BAP＝∠C＝∠FPQ，∴PF＝CF，且FQ⊥BC．∴PQ＝CQ＝2a．∴BC＝BP+PQ+CQ＝BP+2a+2a＝4a+BP．∵∠BAP＝∠C，∠B＝∠B＝90°，∴△ABP∽△CBA．∴＝．∴BP⋅BC＝AB2，即BP⋅（4a+BP）＝．∴BP＝a，BC＝5a，在Rt△ABC中，tan C＝＝．（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H，∵∠DEB ＝90°，∴CH ∥AG ∥DE ．∴＝＝．与（1）同理得，△ABG ∽△BCH∴＝＝＝．设BG ＝4m ，CH ＝3m ，AG ＝4n ，BH ＝3n ，∵AB ＝AE ，AG ⊥BE ，∴EG ＝BG ＝4m ．∴GH ＝BG +BH ＝4m +3n ．∴＝．∴n ＝2m ．∴EH ＝EG +GH ＝4m +4m +3n ＝8m +3n ＝8m +6m ＝14m ．在Rt △CEH 中，tan ∠BEC ＝＝．9．（2021•坪山区一模）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣3，0）、B ，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点P ，使S △BCP ＝2S △BCO ，求点P 的坐标；（3）如图2，直线y ＝x +3交抛物线于第一象限的点M ，若N 是抛物线y ＝x 2+bx +c 上一点，且∠MAN ＝∠OCB ，求点N 的坐标．【解答】解：（1）将C （0，﹣3）代入到抛物线解析式中得，c ＝﹣3，将B （﹣3，0）代入到抛物线解析式中得，9﹣3b ﹣3＝0，∴b ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）令y ＝0，则x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1，∴B （1，0），∴，∵S △BCP ＝2S △BCO ，∴S △BCP ＝3，如图1，过P 作PM ∥BC 交x 轴于M ，连接MC ，则S △MBC ＝S △BCP ＝3，∴，∴MB ＝2，∴M （﹣1，0），设直线BC 为y ＝k 1x ﹣3，代入点B （1，0）得，k 1＝3，∴直线BC 为：y ＝3x ﹣3，则直线PM 设为：y ＝3x +b ，代入点M （﹣1，0）得，b ＝3，∴直线PM 为：y ＝3x +3，联立，解得，，∴P（3，12）或（﹣2，﹣3）；（3）∵直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，∴联立，解得，，∴A（﹣3，0），M（2，5），在Rt△OBC中，tan∠OCB＝，∴，①如图2，当N在AM下方时，过A作y轴平行线，过M作x轴平行线，两线交于点G过M作MQ⊥AM交AN于Q，过Q作y轴平行线交GM于H，∴∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴∠AMG+∠GAM＝90°，又AM⊥MQ，∴∠AMQ＝90°，∴∠AMG+∠HMQ＝90°，∴∠GAM＝∠HMQ，又∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴△AGM∽△MHQ，∴＝，∵A（﹣3，0），M（2，5），∴AG＝5，GM＝5，∴MH＝HQ＝，∴Q（），设直线AQ为：y＝k2（x+3），代入点Q，得，∴直线AQ为，联立，化简得，2x2+3x﹣9＝0，解得x＝或﹣3，当x＝时，y＝，∴N（），②当N在AM上方时，同理可得，N（3，12），∴N（）或（3，12）．。
模型33 两垂一圆构造直角三角形(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型介绍【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得ΔABC为直角三角形．【结论】分类讨论：若∠A＝90°，则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外)；若∠B＝90°，则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外)；若∠C＝90°，则点C在以AB为直径的圆上(除点A，B外)．以上简称“两垂一圆”．“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.例题精讲【例1】．在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线，若点C在已知直线上，且使△ABC为直角三角形，则点C的坐标是（3，），（9，6），（，）．解；当点C在C1处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（3，），当点C在C2处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（9，6）当点C在C3处时，△ABC为直角三角形，过C3作C3M⊥AB，设C3的横坐标是x，则C3M＝，AM＝x﹣3，BM＝9﹣x，∵△AC3B是直角三角形，∴△AMC3∽△C3MB，∴AM：C3M＝C3M：BM，∴C3M2＝AM•BM，∴（）2＝（x﹣3）（9﹣x），解得：x＝，点C的纵坐标是：﹣＝，∴点C的坐标是：（，）；故答案为：（3，），（9，6），（，）．变式训练【变式1-1】.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣8，﹣8），点B在坐标轴上，且△OAB 是等腰直角三角形，则点B的坐标不可能是（）A．（0，﹣8）B．（﹣8，0）C．（﹣16，0）D．（0，8）解：如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝8，∴B（﹣8，0）；如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝16，∴B（﹣16，0）；如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝8，∴B（0，﹣8）．故B点的坐标不可能是（0，8），故选：D．【变式1-2】．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），直线l经过（﹣1，0）并且与x轴垂直于点D，请你在直线l上找一点C，使△ABC为直角三角形，并求出点C的坐标．解：设点C的坐标为（﹣1，b），AB2＝22+42＝20，AC2＝32+b2，BC2＝（4﹣b）2+12，当∠ABC＝90°时，（4﹣b）2+12+20＝32+b2，解得，b＝；当∠BAC＝90°时，（4﹣b）2+12＝20+32+b2，解得，b＝﹣；当∠ACB＝90°时，（4﹣b）2+12+32+b2＝20，解得b1＝1，b2＝3，∴△ABC为直角三角形时，点C的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，1），（﹣1，3）．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB 外部作等腰直角△ABC．则点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（）．解：如图，当AB＝AC，∠BAC＝90°时，作CE⊥x轴于E．∵∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，∴∠ABO＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CEA（AAS），∴AE＝OB＝3，CE＝OA＝4，∴C（7，4），同法可得，当AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，7），当AB是等腰直角三角形的斜边时，C″是BC的中点，C″（，），综上所述，满足条件的点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（，）．故答案为：（7，4）或（3，7）或（，）．变式训练【变式2-1】．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：点C的位置如图所示，共有3个．故选：C．【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C（m，0）为x轴正半轴上一个动点．（1）当m＝4时，写出线段AC＝2，BC＝4．（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，∵点A（0，2），点B（8，8），点C（4，0）∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝4，∴CE＝4，∴AC＝＝＝2，BC＝＝4，故答案为：2，4；（2）当点C在OE上时，∵点A（0，2），点B（8，8），点C（m，0）∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝m，＝×（AO+BE）×OE﹣×AO×OC﹣×BE×CE，∴S△ABC＝×（2+8）×8﹣×2×m﹣×8×（8﹣m）＝8+3m；∴S△ABC当点C在线段OE的延长线上时，＝×（AO+BE）×OE+×BE×CE﹣×AO×OC∵S△ABC＝×（2+8）×8+×8×（m﹣8）﹣×2×m＝3m+8，∴S△ABC＝3m+8；综上所述：S△ABC（3）当∠BAC＝90°时，BC2＝AB2+AC2，则64+（8﹣m）2＝64+（8﹣2）2+4+m2，解得m＝，＝3×+8＝；∴S△ABC当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，则64+（8﹣2）2＝4+m2+64+（8﹣m）2，解得m＝4，＝3×4+8＝20；∴S△ABC当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，则4+m2＝64+（8﹣2）2+64+（8﹣m）2，解得m＝14，＝3×14+8＝50；∴S△ABC综上所述：存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50．1．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y ＝的图象上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．4个C．5个D．6个解：设点P的坐标为（x，y），当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，如图所示，∵圆与双曲线无交点，∴点P不存在；当∠PAB＝90°时，x＝﹣3，y＝＝﹣3，∴点P的坐标（﹣3，﹣3）；当∠PBA＝90°时，x＝3，y＝＝3，∴点P的坐标为（3，3）．综上所述：满足条件的点P有2个．故选：A．2．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）个．A．6B．7C．8D．9解：分三种情况考虑：①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y 轴相切，则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．综上，所有满足题意的C有7个．故选：B．3．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP＝90°，BD ＝1，∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），∴直线AB的表达式为y＝x+1，令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），即OC＝1＝OA，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°＝∠BCP，∴△BCP是等腰直角三角形，∴CP＝2BD＝2，∴OP＝1+2＝3，∴P（0，3）；如图，当∠APB＝90°时，△ABP是直角三角形，∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），∴C为AB的中点，AB＝2，∴CP＝AB＝，∴OP＝1+，∴P（0，1+），综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．故答案为：（0，3）或（0，1+）．4．如图，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；（2）在y轴上画点C，使△ABC为直角三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．解：（1）如图所示：（2）满足条件的点有2个，C（0，﹣2）或（0，0）．5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；（2）点B关于y轴的对称点为点D．①请直接写出点D的坐标为（﹣2，﹣2）；②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为或7或3+或3﹣．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∴OC＝3，∵点A坐标为（6，0），∴OA＝6，∴AC＝＝＝3；（2）①∵点B与点D关于y轴的对称，∴D（﹣2，﹣2）；故答案为：（﹣2，﹣2）；②当∠ACE＝90°时，如图，∵EC⊥AC，∴直线EC的解析式为y＝﹣2x﹣3，令y＝﹣2，则﹣2x﹣3＝﹣2，∴x＝﹣，∴E（，﹣2）；当∠CAE＝90°时，如图，∵EC⊥AC，∴设直线EC的解析式为y＝﹣2x+m，∴0＝﹣2×6+m＝0，∴m＝12，∴直线EC的解析式为y＝﹣2x+12，令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+12，∴x＝7，E（7，﹣2）；当∠AEC＝90°时，如图，过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，∵∠AEC＝90°，∴∠FEA+∠CEG＝90°，∵CG⊥FE，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∠GCE＝∠FEA，∵∠CGE＝∠AFE＝90°，∴△CGE∽△EFA，∴．由题意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1，∴．∴AF＝﹣3．∴OF＝3+，∴E（3+，﹣2），同理可求当点E在y轴左侧时，E（3﹣，﹣2）．综上，在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，点E的横坐标为或7或3+或3﹣．故答案为：或7或3+或3﹣．6．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画一个即可）（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画一个即可）解：（1）如图1：（2）如图2：7．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．（1）求点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵点A的坐标为（3，1），∴OC＝3，AC＝1，又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠OAC+∠AOC＝90°，又∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴OC＝BD＝3，AC＝OD＝1，∴点B的坐标为（﹣1，3）；（2）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，由对称性可知BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，连接BB'交x轴于点E，则E（﹣1，0），∵点B与B'关于x轴对称，∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3），设直线AB'的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣2，∴P（2，0）；（3）存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：①当∠AOM＝90°时，AO＝OM，如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，∵∠FOA+∠FAO＝90°，∠FOA+∠EOM＝90°，∴∠FAO＝∠EOM，∵AO＝OM，∴△FAO≌△EOM（AAS），∴OF＝EM，OE＝FA，∵A（3，1），∴AF＝3，OF＝1，∴M（1，﹣3）；②如图4，当∠OAM＝90°时，OA＝AM，过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，∵∠FAO+∠FOA＝90°，∠FAO+∠GAM＝90°，∴∠AFO＝∠GAM，∴△FAO≌△GMA（AAS），∴AF＝GM，OF＝AF，∵A（3，1），∴AF＝3，OF＝1，∴M（4，﹣2）；③如图5，当∠OMA＝90°时，OM＝AM，过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，∵∠OMQ+∠QOM＝90°，∠OMQ+∠AM＝90°，∴∠QOM＝∠AMP，∴△OQM≌△MPA（AAS），∴OQ＝MP，QM＝AP，∵A（3，1），∴QM+MP＝3，1+QO＝QM，∴1+QO+OQ＝3，∴QO＝1，∴M（2，﹣1）；综上所述：M点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）．8．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO 沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）直接写出A、B两点的坐标：A：（﹣8，0），B：（0，6）；（2）求出OC的长；（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，直线y＝+6，当y＝0时，由0＝+6得，x＝﹣8；当x＝0时，y＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），故答案为：（﹣8，0），（0，6）．（2）如图1，由折叠得，DB＝OB＝6，DC＝OC，∠BDC＝∠BOC＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，AC＝8﹣OC，∵AB＝＝＝10，∴AD＝10﹣6＝4，∵CD2+AD2＝AC2，∴OC2+42＝（8﹣OC）2，解得，OC＝3．（3）如图2，作AG⊥EF于点G，GT⊥x轴于点T，∵OC＝3，∴BC＝＝＝，AC＝8﹣3＝5，得，×AG＝×5×6，解得，AG＝，由BC•AG＝AC•OB＝S△ABC∵AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EG＝FG，∴AG＝EF＝EG＝FG＝，∵∠AGC＝90°，∴CG＝＝＝，∴CE＝+＝，∴CE＝BC，∴点E与点B关于点C对称，∵C（﹣3，0），B（0，6），∴E（﹣6，﹣6）；得，×5GT＝××，解得，GT＝2，由AC•GT＝AG•CG＝S△AGC∵∠ATG＝90°，∴AT＝＝＝4，∴OT＝8﹣4＝4，∴G（﹣4，﹣2），∵CF＝FG﹣CG＝﹣＝，∴CF＝CG，∴点F与点G（﹣4，﹣2）关于点C（﹣3，0）对称，∴F（﹣2，2），综上所述，点F的坐标为（﹣6，﹣6）或（﹣2，2）．（4）存在．如图3，四边形PQMC是平行四边形，则CP∥QM，PQ∥CM，设直线PC的解析式为y＝x+a，则×（﹣3）+a＝0，解得，a＝，∴y＝x+，∴P（0，）；∵M是AB的中点，∴M（﹣4，3），设直线CM的解析式为y＝kx+b，则，解得，，∴y＝﹣3x﹣9，∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+，由得，，∴Q（﹣1，）；如图3，四边形P′Q′CM是平行四边形，则P′Q′∥CM∥PQ，P′Q′＝CM＝PQ，∴∠BP′Q′＝∠BPQ，∠BQ′P′＝∠BQP，∴△BP′Q′≌△BPQ（ASA），∴BQ′＝BQ，∴点Q′与点Q关于点B（0，6）对称，∴Q′（1，）；如图3，L为CM的中点，PL的延长线交AB于点Q1，连接CQ1，∵∠LQ1M＝∠LPC，∠LMQ1＝∠MCP，ML＝CL，∴△LMQ1≌△LCP（AAS），∴Q1M＝CP，∵Q1M∥CP，∴四边形PMQ1C是平行四边形，∴点Q1与点P关于点L对称，∵L（，），P（0，），∴Q1（﹣7，），综上所述，点Q的坐标为（﹣1，）或（1，）或（﹣7，）．9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）如图1，∵点A，B关于直线l对称，∴连接BC交直线l于点P，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴直线l：x＝1，C（0，﹣3），∵B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴P（1，﹣2），（3）设点M（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，∵△MAC为直角三角形，∴当∠ACM＝90°时，∴AC2+CM2＝AM2，∴10+m2+6m+10＝m2+4，∴m＝﹣，∴M（1，﹣）当∠CAM＝90°时，∴AC2+AM2＝CM2，∴10+m2+4＝m2+6m+10，∴m＝，∴M（1，）当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，∴m2+4+m2+6m+10＝10，∴m＝﹣1或m＝﹣2，∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，即：﹣12a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；（2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+4，设点N（n，2n+4），∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4＝﹣（n+2）2+2（n+2）+6，解得：n＝﹣2±2，故点M的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）；②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，当∠BMD为直角时，由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，解得：n＝；当∠MBD为直角时，同理可得：n＝﹣4，当∠MDB为直角时，同理可得：n＝，故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（，）或（，）或（，）．11．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP 交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：∠PNM＝∠ONM；②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（1）解：设二次函数的表达式为y＝a（x+4）2+4，把点（0，0）代入表达式，解得．∴二次函数的表达式为，即；（2）解：设直线OP为y＝kx（k≠0），将P（﹣6，3）代入y＝kx，解得，∴．当x＝﹣4时，y＝2．∴M（﹣4，2）．∵点M、N关于点A对称，∴N（﹣4，6）．∴MN＝4．＝S△OMN+S△PMN＝12；∴S△PON（3）①证明：设点P的坐标为，其中t＜﹣4，设直线OP为y＝k′x（k′≠0），将P代入y＝k′x，解得．∴．当x＝﹣4时，y＝t+8．∴M（﹣4，t+8）．∴AN＝AM＝4﹣（t+8）＝﹣t﹣4．设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，则B（﹣4，0），C．∴OB＝4，NB＝4+（﹣t﹣4）＝﹣t，PC＝﹣4﹣t，NC＝＝．则，．∴．又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，∴△NCP∽△NBO．∴∠PNM＝∠ONM．②△OPN能为直角三角形，理由如下：解：分三种情况考虑：（i）若∠ONP为直角，由①得：∠PNM＝∠ONM＝45°，∴△PCN为等腰直角三角形，∴CP＝NC，即m﹣4＝m2﹣m，整理得：m2﹣8m+16＝0，即（m﹣4）2＝0，解得：m＝4，此时点A与点P重合，故不存在P点使△OPN为直角三角形；（ii）若∠PON为直角，根据勾股定理得：OP2+ON2＝PN2，∵OP2＝m2+（﹣m2﹣2m）2，ON2＝42+m2，AN2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，∴m2+（﹣m2﹣2m）2+42+m2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，整理得：m（m2﹣8m﹣16）＝0，解得：m＝0或m＝﹣4﹣4或﹣4+4（舍去），当m＝0时，P点与原点重合，故∠PON不能为直角，当m＝﹣4﹣4，即P（﹣4﹣4，4）时，N为第四象限点，成立，故∠PON能为直角；（iii）若∠NPO为直角，可得∠NPM＝∠OBM＝90°，且∠PMN＝∠BMO，∴△PMN∽△BMO，又∵∠MPN＝∠OBN＝90°，且∠PNM＝∠OND，∴△PMN∽△BON，∴△PMN∽△BMO∽△BON，∴＝，即＝，整理得：（m﹣4）2＝0，解得：m＝4，此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN能为直角三角形，当m＝4+4，即P（）时，N为第四象限的点成立．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．解：（1）由题意得二次函数图象的对称轴x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2．又二次过点C（0，﹣3），∴﹣3＝c，c＝﹣3．即二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得顶点坐标D为：（1，﹣4）；（2）（2）解法一：设P（0，m）由题意，得PA＝，PD＝，AD＝2，∵∠APD＝90°，∴PA2+PD2＝AD2，即（）2+（）2＝（2）2解得m1＝﹣1，m2＝﹣3（不合题意，舍去）．∴P（0，﹣1）；解法二：如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，则由题意，得DE＝1，OE＝4…（1分）由∠APD＝90°，得∠APO+∠DPE＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠EPD又∠AOP＝∠OED＝90°，∴△OAP∽△EPD∴＝，设OP＝m，PE＝4﹣m则＝，解得m1＝1，m2＝3（不合题意，舍去），∴P（0，﹣1）；（3）解法一：如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA＝AQ＝PD＝QD＝，∠PAQ＝90°，∴四边形APDQ为正方形．由∠QAP＝90°，得∠HAQ+∠OAP＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OPA＝∠HAQ，又∠AOP＝∠AHQ＝90°，PA＝QA∴△AOP≌△AHQ，∴AH＝OP＝1，QH＝OA＝3．∴Q（4，﹣3）；解法二：设Q（m，n），则AQ＝＝，QD＝＝，解得，（不合题意，舍去），∴Q（4，﹣3）．13．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，得：，解得，∴解析式y＝x2﹣x+1．（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB ﹣PC|＜BC，当点P在点A处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），∴P（﹣2，0）．（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，∴∠OBP＝∠FPC，∴Rt△BOP∽Rt△PFC，∴，即，整理得a2﹣4a+3＝0，解得a＝1或a＝3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有2个．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上，是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（2，0）、B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+8；（2）存在，理由如下：如图1，过点P作PF⊥x轴交BC于点F，设BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+8，设P（t，﹣t2﹣2t+8），则F（t，2t+8），∴PF＝﹣t2﹣4t，＝×4×（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，∴S△PBC的面积有最大值8，∴当t＝﹣2时，S△PBC此时P（﹣2，8）；（3）存在，理由如下：令x＝0，则y＝8，∴C（0，8），∴OC＝8，∵A（2，0），∴AO＝2，设Q（﹣1，m），①如图2，当∠CAQ＝90°时，过点Q作QG⊥x轴交于点G，∵∠CAO+∠GAQ＝90°，∠CAO+∠OCA＝90°，∴∠GAQ＝∠ACO，∵tan∠OCA＝，∴＝＝，∴m＝﹣，∴Q（﹣1，﹣）；②如图3，当∠ACQ＝90°时，过点Q作QH⊥y轴交于点H，∵∠QCH+∠OCA＝90°，∠QCH+∠CQH＝90°，∴∠OCA＝∠CQH，∵tan∠OCA＝，∴＝＝，∴m＝，∴Q（﹣1，）；③如图4，当∠CQA＝90°时，∵A（2，0），C（0，8），∴AC＝2，AC的中点N（1，4），∴QN＝，∴＝，∴m＝4+或m＝4﹣，∴Q（﹣1，4+）或Q（﹣1，4﹣）；综上所述：Q点坐标为（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），点O 为原点．（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）设y＝ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以y＝x2+x．（2）C（1，0）或C（2，0）（3）由题意得O′（﹣3，），将O′（﹣3，）代入y＝x2+x，左边＝右边∴点O′在函数图象上．（4）点P坐标为（﹣，﹣）．∵A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+假设存在这样的点P，它的横坐标为h，则点P坐标为（h，h2+h），点E坐标为（h，h+），分两种情况：①△OBE的面积：四边形BPOE面积＝2：3，则[×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（﹣h2﹣h）]＝2：3，解得h＝﹣，此时点P坐标为（﹣，﹣）；②△AOE的面积：四边形BPOE面积＝2：3，则[﹣×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（﹣h2﹣h）]＝2：3，解得：h＝﹣，或h＝﹣2（不合题意，舍去），此时点P坐标为（﹣，﹣）．综上所述：点P坐标为（﹣，﹣）．。
2019年中考数学专题复习33——解直角三角形(含答案解析)
2019年中考数学专题复习33——解直角三角形（含答案解析）一、选择题1. 如图，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图是侧面示意图．已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高约为（精确到米，，A. 米B. 米C. 米D. 米2. 如图，为了测量某栋大楼的高度，在处用高为米的测角仪测得大楼顶端的仰角为，向大楼方向前进米到达处，又测得大楼顶端的仰角为，则这栋大楼的高度（单位：A. 米B. 米C. 米D. 米3. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则A. 米B. 米C. 米D. 米4. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面A. B. C. D.5. 如图，斜面的坡度（与的比）为，米，坡顶有旗杆，旗杆顶端点与点有一条彩带相连．若米，则旗杆A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，热气球从空中的处看一栋楼的顶部仰角为，看这栋楼的俯角为．热气球与楼的水平距离为A. B.C. D.7. 如图，在一个米高的楼顶上有一信号塔，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的处测得信号塔下端的仰角为，然后他正对塔的方向前进了米到达地面的处，又测得信号塔顶端的仰角为，于点，，，在一条直线上．信号塔米．A. B. C. D.8. 从一栋二层楼的楼顶点处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点处的俯角为，看到楼顶部点处的仰角为，已知两栋楼之间的水平距离为米，则教学楼的高A. 米B. 米C. 米D. 米9. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即A. B. C. D.10. 如图，在地面上的点处测得树顶的仰角，若米，则树高A. 米B. 米C. 米D. 米11. 如图，港口在观测站的正东方向，，某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即D.12. 在高为米的楼顶测得地面上某目标的俯角为A. B. C. D.13. 这次数学实践课上，同学进行测量大树高度的综合实践活动，如图，在点处测得直立于地面的大树顶端的仰角为，然后沿在同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，然后再沿水平方向行走米至大树脚底点处，斜面的坡度（通常把坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度），即值（为斜坡与水平面夹角），那么大树的高度约为（参考数据：，，A. 米B. 米C. 米D. 米14. 如图，一艘潜艇在海面下米处测得俯角为的海底处有一黑匣子发出信号，继续在同一深度直线航行米后，在处测得俯角为的海底也有该黑匣子发出的信号，则黑匣子所在位置点在海面下的深度为A. 米B. 米C. 米D. 米15. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度比为，则斜坡的长为A. 米B. 米C. 米D. 米16. 如图是某水库大坝的横截面示意图，已知，且，之间的距离为米，背水坡的坡度，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端比原来的顶端加宽了米，背水坡的坡度，则大坝底端增加的长度米．A. B. C. D.二、填空题17. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至．已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了米（参考数据：，，）．18. 如图，为了绿化荒山，在坡角为的山坡上修建扬水站，扬水站中出水口的高度为，现在打算从山脚下的机井房沿山坡铺设水管，则铺设水管的长度约）（参考数据：，，）．19. 年月日我国自主研发的大型飞机成功首飞，如图给出了一种机翼的示意图，用含有，的式子表示的长为．20. 如图，为了测量河的宽度，测量人员在高的建筑物的顶端处测得河岸处的俯角为，测得河对岸处的俯角为（，，在同一条直线上），则河的宽度约为．（保留一位小数）21. 在一次综合社会实践活动中，小东同学从处出发，要到地北偏东方向的处，他先沿正东方向走了到达处，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地，如图所示，可知，22. 某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物的高度．如图，他们先在点处测得建筑物的顶点的仰角为，然后向建筑物前进到达点处，又测得点的仰角为，那么建筑物23. 如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从处出发，走了米到达处，此时在铅垂方向上上升了米，那么该斜坡的坡度是．24. 如图，从一艘船的点处观测海岸上高为的灯塔（观测点与灯塔底部在一个水平面上），测得灯塔顶部的仰角为，则观测点到灯塔的距离为．（精确到）【参考数据：，，】25. 如图，小明家所在小区的前后两栋楼，，小明在自己所住楼的底部处，利用对面楼墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼顶部处的仰角是，若，两楼的间距为米，则小明家所住楼的高度是米．26. 如图，如果在坡度的斜坡上两棵树间的水平距离为米，那么两树间的坡面距离是米．27. 如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度，其中一名小组成员站在距离树米的点处，测得树顶的仰角为．已知测角仪的架高米，则这颗树的高度为米（结果保留一位小数．参考数据：，，）．28. 如图，，，表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，，表示连接缆车站的钢缆．已知，，所处位置的海拔，，，分别为米，米，米，钢缆，分别与水平线，所成的夹角为，，则钢缆，的长度之和为米．29. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是米的旗杆，从办公大楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是米，梯坎坡长是米，梯坎坡度，则大楼的高度为米．30. 如图，在一笔直的沿湖道路上有，两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头，的游船速度分别为，，若回到，所用时间相等，则（结果保留根号）．三、解答题31. 图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与地面垂直的位置时的示意图．已知米，米，．（参考数据：，，）（1）求的长（精确到米）；（2）若测得米，试计算小明头顶由点运动到点的路径的长度．（结果保留）32. 小明准备用一块矩形材料剪出如图所示的四边形（阴影部分），作为要制作的风筝的一个翅膀，请你根据图中的数据帮小明计算出）（参考数据：，，）．33. 如图，长方形广告牌架在楼房顶部，已知，经测量得到，，，点为广告牌顶部一点，点位于地面上且在点的正下方，求的长．（参考数据：，）34. 为了测量出大楼的高度，从距离楼底处米的点（点与楼底在同一水平面上）出发，沿倾斜角为的斜坡前进米到达点，在点处测得楼顶的仰角为，求大楼的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，，）35. 如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的，两点间来回摆动，点与地面距离，小球在最低点时，与地面距离，，求细绳的长度．（参考数据：，，）36. 如图，小东在教学楼距地面米高的窗口处，测得正前方旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部的俯角为，升旗时，国旗上端悬挂在距地面米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米秒的速度匀速上升?（参考数据：，，）37. 小宇想测量位于池塘两端的两点的距离．他沿着与直线平行的道路行走，当行走到点处，测得，再向前行走米到点处，测得．若直线与之间的距离为米，求两点的距离．38. 某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为，山高尺，组员从山脚处沿山坡向着雕像方向前进尺到达点，在点处测得雕像顶端的仰角为，求雕像的高度．39. 如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆的高度，在操场的平地上选择一点，测得旗杆顶端的仰角为，再向旗杆的方向前进米，到达点处（、、三点在同一直线上），又测得旗杆顶端的仰角为，请计算旗杆的高度（结果保留根号）40. 如图，甲楼高，乙楼高，两栋楼之间的水平距离，为了测量某电视塔的高度，小明在甲楼楼顶处观测电视塔塔顶，测得仰角为，小丽在乙楼楼顶处观测电视塔塔顶，测得仰角为，求电视塔的高度．（参考数据：，，，，结果保留整数）41. 如图，一艘救生船在码头接到小岛处一艘渔船的求救信号，立即出发，沿北偏东方向航行海里到达小岛处，将人员撤离到位于码头正东方向的码头，测得小岛位于码头的北偏西方向，求码头与码头的距离．【参考数据：，，，，，】42. 如图，在东西方向的海岸线上有，两艘船，均收到已触礁搁浅的船的求救信号，已知船在船的北偏东方向，船在船的北偏西方向，的距离为海里（参考数据：，）．（1）求船到海岸线的距离（精确到海里）；（2）若船、船分别以海里/小时、海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船处．43. 如图，某数学活动小组为了测量长春市文化广场的标志建筑“太阳鸟”的高度，在处用高米的测角仪，测得最高点的仰角为，再向“太阳鸟”的方向前进米至处，测得最高点的仰角为，点在同一条直线上．求“太阳鸟”的高度．（精确到米）【参考数据：，，】44. 图中是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，从侧面看，立柱，，踏板静止时从侧面看与上点重合，，当踏板旋转到处时，测得．求此时点距离地面的高）【参考数据：，，】45. 为方便市民通行，某广场计划对坡角为，坡长为米的斜坡进行改造，在斜坡中点处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．（1）若修建的斜坡的坡角为，则平台的长约为多少米?（2）在距离坡角点米远的处是商场主楼，小明在点测得主楼顶部的仰角为，那么主楼高约为多少米?（结果取整数，参考数据：，，，）46. 如图，在楼房前有两棵树与楼房在同一直线上，且垂直于地面，为了测量树，的高度，小明爬到楼房顶部处，视线恰好可以经过树的顶部点到达树的底部点，俯角为，此时小亮测得太阳光线恰好经过树的顶部点到达楼房的底部点，与地面的夹角为，树的影长为米，请求出树，的高度．（结果保留根号）答案第一部分1. D2. A3. A 【解析】中，米，，，．4. D 【解析】根据已知得，，．5. A6. B7. C8. A9. B10. D11. A12. B13. A14. D15. B16. C第二部分17.18.19.21.22.23.24.25.27.28.29.30.第三部分31. （1）米；【解析】过作于 .则米，，（米）.（2）【解析】，弧的长度是（米）.32. 因为矩形，所以．在中，因为，所以．因为，所以．在中，，所以．所以．所以．33. 延长交于点，如图所示；根据题意得：，设，则，在和中，，，，，，，．解得：，，．答：．34. 如图：过点作垂直于点，作垂直于点，在中，米，，米，，米，，在中，由可得，则（米），答：楼的高度约为米．35. 设细线的长度为，过点作于，，，四边形是矩形，，，，在中，，，解得：，答：细线的长度为．36. 过点作于，则，在中，，．在，，，，（米秒）．国旗以米秒的速度匀速上升．37. 作于点，作于点，如图所示，由题意可得，米，米，，，米，米，米，即两点的距离是米．38. 如图，过点作，．在中，，，，，，，在中，，，在中，，设，，，，，答：雕像的高度为尺．39. 由题意可得，米，，，，解得米，米，即旗杆的高度是米．40. 如图，分别过点，作，垂足分别为，，，．设，则，．在中，，，．在中，，，．又，．．答：电视塔的高度为米．41. 如图，过点作，垂足为，由题意得，，在中，，（海里），，（海里），在中，，（海里），（海里）．答：码头与码头相距海里．42. （1）过点作于点，由题意得，，海里，在中，海里．（2）在中，海里，，则海里，船需要的时间为：小时，船需要的时间为：小时，，船先到达．43. 在中，，，．在中，，（米）．（米）．答：“太阳鸟”高约为米．44. 由题意，得，，由旋转，得，过点作于点，过点作于点，在中，，，，，，．答：此时点距离地面．45. （1）因为修建的斜坡的坡角为，所以，因为，，所以，，．故：（米）．答：平台的长约为米．（2）过点作，垂足为．在矩形中，，，在中，，．答：建筑物高约为米．，46. 如图，过点作在中，，（米），，（米），（米），在中，，（米），树高是米，树高是米．第21页（共21页）。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 第一节 几何初步及相交线与平行线
C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
6．(2020·常德第 3 题 3 分)如图，已知 AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，
则∠BCE 的度数为
( B)
A．70° B．65° C．35° D．5°
7．(2021· 张家界第 11 题 3 分)如图，已知 AB∥CD，BC 是∠ABD 的平分 线，若∠2＝64°，则∠3＝5858°°.
命题点 1：直线、线段、角的有关概念及性质(2021 年考查 2 次，2020 年考查 1 次，2019 年考 2 次) 1. (2019·怀化第 5 题 4 分)与 30°的角互为余角的角的度数是( B ) A. 30° B. 60° C. 70° D. 90°
2．(2021·益阳第 16 题 4 分)如图，AB 与 CD 相交于点 O，OE 是∠AOC 的 平分线，且 OC 恰好平分∠EOB，则∠AOD＝ 6 60 度．
4．(2021·岳阳第 5 题 3 分)将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线
a∥b, 则∠1 的大小为
( C)
A．45° B．60° C．75° D．105°
5．(2020·郴州第 5 题 3 分)如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，下列条
件能中判定 a∥b 的是
( D)
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°
3．(RJ 七上 P139 练习 T3 改编)已知一个角的余角是这个角的补角的13，
则这个角的度数为 4545 °. °
4．(RJ 七上 P128 练习 T3 改编)如图，C 为线段，E 是线段 CB 的中点．若 AC＝5 cm, BC＝4 cm，则 AD＝2.2.55 cm，
第四章 三角形 第一节 几何初步及相交
线与平行线
(名师整理)最新数学中考专题复习《圆与直角三角形 》考点精讲精练课件
课后精练
解：(1)证明：如图，连接 OE，∵EG 是⊙O 的切 线，∴OE⊥EG.∵BF⊥GE，∴OE∥AB.∴∠A＝∠ OEC.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C.∴∠A＝∠C.∵∠ ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C.
课堂精讲
【解】(1)证明：∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°. ∴AE 是⊙O 的直径，AE 的中点是圆心 O. 如图，连接 OD，则 OA＝OD， ∴∠1＝∠ODA. ∵AD 平分∠BAC，∴∠2＝∠1＝∠ODA. ∴OD∥AC. ∴∠BDO＝∠ACB＝90°. ∴BC 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)先根据勾股定理求出 OE，OD，AD 的长，证明 Rt△AOD∽Rt △ACB，得出比例线段即可求出 AC 的长．
课堂精讲
【解】(1)证明：如图，连接 OC， ∵CE 与⊙O 相切，点 C 是⊙O 的半径， ∴OC⊥CE. ∴∠OCA＋∠ACE＝90°. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA. ∴∠ACE＋∠A＝90°. ∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°. ∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°. ∴∠CDE＝∠ACE.∴EC＝ED.
图1
图2
备用图
课后精练
解：(1)∵OD⊥AC，
∴
，∠AFO＝90°.
又∵AC＝BD，∴
，
即
.
∴
.∴
.
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°.
∵AB＝2，∴AO＝BO＝1.
∴AF＝AO·sin∠AOF＝1×23＝ 23.则 AC＝2AF＝ 3.
课后精练
(2)如图，连接 BC，∵AB 为直径，OD⊥AC，∴∠AFO ＝∠ C＝90°.∴ OD∥BC.∴ ∠ D＝ ∠EBC.∵ DE＝ BE， ∠ DEF ＝ ∠BEC，∴△DEF≌△BEC(ASA)．∴BC＝DF，EC＝EF.又 ∵AO＝OB，∴OF 是△ABC 的中位线．设 OF＝t，则 BC＝
中考数学加油站33 三角形精讲精练
三角形【复习要点】1、三角形及分类：（1）三角形：由的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
（2锐角三角形——三个内角都是锐角的三角形三角形直角三角形——有一个内角是直角的三角形钝角三角形——有一个内角是钝角的三角形②按边分类：等腰三角形底和腰不等的等腰三角形等边三角形2、三角形的边、角性质（1）三角形的内角和1800. （2）三角形的外角和为。
（2）三角形的一个外角和它不相邻的两个内角的和.(3）三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角.(4)三角形的任何两边之和第三边，两边之差第三边.DABBCCC DE F勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的三角形是直角三角形例：如图所示，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC至点E，使CE=CD.（1）用尺规作图的方法，过点D作D M⊥BE，垂足为点M（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM=EM解析：此题是作图与解答综合题；过一点作直线的垂线是尺规作图中的基本作图之一；三角形的“三线合一”也是三角形的常用性质之一。
答案如下：（1）作图如右图所示.（2）∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，∴BD平分∠ABC（三线合一）；∴∠ABC=2∠DBE ；∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE；又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，∴∠ACB=2∠E；又∵∠ABC=∠ACB，∴2∠DBE=2∠E；∴∠DBC=∠E，∴BD=DE，又∵D M⊥BE，∴BM=EM。
反思：尺规作图是近年中考中的必考题之一，其中三角形的高、角平分线、中线以及线段的垂直平分线等都是常考的作图，三角形的“三线合一”、“等边对等角”、“等角对等边”等也是常考知识点，需同学们熟练和灵活掌握。
【实弹射击】一、填空题。
1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1︰4，则这个等腰三角形顶角的度为。
2、一个等腰三角形的两边长为2和5，则它的周长为。
3．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=300，那么底边上的高AD= cm.第3题图 第4题图 第5题图 4、(2010梅州)如图所示，在△ABC 中，BC=6cm,E 、F 分别是AB 、AC 的中点，则EF= cm.. 5、如图，△ABC 是等边三角形，AC ∥BD ，则∠CBD= . 二、解答题。
2019-2020年中考数学加油站34线与角精讲精练.docx
2019-2020 年中考数学加油站34 线与角精讲精练【复习要点】1.认识点、线、面及它们之间的关系，了解线段、直线、射线的概念、区别、联系及表示方法.了解直线和线段的基本性质及两点间的距离概念.图形a线段A Ba 射线A B表示方法端点个数延伸方向线段AB或两个不向任何一方延伸线段 a射线 AB 或射线 a一个向一方无限延伸直线A B a直线 AB 或直线 a0向两方无限延伸2.理解线段的中点的定义，会比较线段的大小.3.了解角的概念、表示方法、度量及角的度、分、秒的简单换算 .了解角的分类及方向角的表示方法，角的和与差，角的比较方法.角有四种表示方法：①可三个字母表示；②可用一个数字来表示，③也可用一个希腊字母来表示，④可用一个表示，但必须是在不引起混淆的情况下，才用一个表示.4.理解角的平分线的定义，角平分线的性质定理、逆定理及其相关结论.5．两角之间的关系：（1）余角：若两个角的和为，则这两个角互为余角 .（2）补角：若两个角的和为，则这两个角互为补角 .6．角的度量： 1° =′ ,1′=″， 1°=′ =″7.相交线（ 1）对顶角的概念及应用 .（2）相交线、垂线的定义 .（3）垂线的性质：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线.②垂线段最短 .（4）点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和之间线段的长度叫做点到直线的距离 .8.三线八角形成的相关角；同位角、内错角、同旁内角.9.平行线的性质（特征）：.①公理：两直线平行，同位角②两直线平行，内错角.③两直线平行，同旁内角.10.平行线的判别（判定）①在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。
②同位角，两直线平行 .③内错角，两直线平行 .④同旁内角，两直线平行 .⑤如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相.⑥如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相.11.命题、公理、定理、证明：判断一件事情的语句叫做 ；正确的语句叫做 ； 错误的语句叫做 ；我们学过的图形的性质，都是 命题。
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三角形
【复习要点】
1、三角形及分类：
（1）三角形：由的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
（2
锐角三角形——三个内角都是锐角的三角形
三角形直角三角形——有一个内角是直角的三角形
钝角三角形——有一个内角是钝角的三角形
②按边分类：
等腰三角形底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
2、三角形的边、角性质
（1）三角形的内角和1800. （2）三角形的外角和为。
（2）三角形的一个外角和它不相邻的两个内角的和.
(3）三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角.
(4)三角形的任何两边之和第三边，两边之差第三边.
D
A
B
B
C
C
C D
E F
勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的三角形是直角三角形
例：如图所示，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC至点E，使CE=CD.
（1）用尺规作图的方法，过点D作D M⊥BE，垂足为点M（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM=EM
解析：此题是作图与解答综合题；过一点作直线的垂线是尺规作图中的基本作图之一；三角形的“三线合一”也是三角形的常用性质之一。
答案如下：（1）作图如右图所示.（2）∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，∴BD平分∠ABC（三线合一）；∴∠ABC=2∠DBE ；∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE；又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，∴∠ACB=2∠E；又∵∠ABC=∠ACB，∴2∠DBE=2∠E；∴∠DBC=∠E，∴BD=DE，又∵D M⊥BE，∴BM=EM。
反思：尺规作图是近年中考中的必考题之一，其中三角形的高、角平分线、中线以及线
段的垂直平分线等都是常考的作图，三角形的“三线合一”、“等边对等角”、“等角对等边”等也是常考知识点，需同学们熟练和灵活掌握。
【实弹射击】
一、填空题。
1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1︰4，则这个等腰三角形顶角的度为。
2、一个等腰三角形的两边长为2和5，则它的周长为。
3．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=300，那么底边上的高AD= cm.
第3题图 第4题图 第5题图 4、(2010梅州)如图所示，在△ABC 中，BC=6cm,E 、F 分别是AB 、AC 的中点，则EF= cm.. 5、如图，△ABC 是等边三角形，AC ∥BD ，则∠CBD= . 二、解答题。
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=900
，点D 是BC 上一点，AD=BD ，若AB=8，BD=5，求CD 的长度。
2．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，交AB 于E ，AC 于F 。
（1）求证：EF=BE+CF
（2）当△ABC 满足什么条件时，△OBC 是等腰三角形。
3．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=400
，分别以AB 、AC 为边作两个等腰直角三角形ABD
和ACE ，使∠BAD=∠CAE=900
（1）求∠DBC 的度数；。