平面直角坐标系与函数的概念

平面直角坐标系与函数的概念

◆【课前热身】

1.如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P ’的坐标为（ ）．

A ．(m ＋2，n ＋1)

B ．(m －2，n －1)

C ．(m －2，n ＋1)

D ．(m ＋2，n －1) 2.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠=°，B 的坐标为（ ）

A ．2，

B ．2)，

C ．211)，

D ．21)，

3.点(35)p ，关于x 轴对称的点的坐标为（ ）

A ． (3,5)

B ． (5,3)

C ．(3,5)

D ． (3,5) 4.函数2y x =

+x 的取值范围是（ ）

A ．2x >-

B ．2x -≥

C ．2x ≠-

D ．2x -≤

5.在函数1

31y x =

-中，自变量x 的取值范围是（ ） A.13x < B. 13x ≠- C. 13x ≠ D. 13

x >

【参考答案】 1. D 2. C 3. D

x y

O

C B

A （第2题）

4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，由于二次根式a 中a 的

范围是0a ≥；∴2y x =+中x 的范围由20x +≥得2x ≥-.

5. C

◆【考点聚焦】

〖知识点〗

平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 〖大纲要求〗

1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；

2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；

3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 〖考查重点与常见题型〗

1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题；

2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题；

3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4．函数自变量的取值范围. ◆【备考兵法】

1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点.

2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系.

3.平面直角坐标系：

①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；

②点P （a ，b ）到x 轴的距离为│b │，•到y 轴距离为│a │，到原点距离为22a b +； ③各象限内点的坐标的符号特征：P （a ，b ），P•在第一象限⇔a>0且b>0，

P 在第二象限⇔a<0，b>0，P 在第三象限⇔a<0，b<0，P 在第四象限⇔a>0，b<0； ④点P （a ，b ）：若点P 在x 轴上⇔a 为任意实数，b=0；

P 在y 轴上⇔a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=0； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b ；

⑤A （x 1，y 1），B （x 1，y 2）：A ，B 关于x 轴对称⇔x 1=x 2，y 1=－y 2； A 、B 关于的y 轴对称⇔ x 1=－x 2，y 1=y 2；

A ，

B 关于原点对称⇔x 1=－x 2，y 1=－y 2；AB ∥x 轴⇔y 1=y 2且x 1≠x 2； AB ∥y 轴⇔x 1=x 2且y 1≠y 2（A ，B 表示两个不同的点）．

4.变量与函数：

①在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量．数值保持不变的量叫常量．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的．常量和变量并一定都是量，也可以是常数或变数．

②在某一变化的过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 在取值范围内取的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么说x 是自变量，y 是x 的函数，函数不是数，•它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．

③自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义．自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的．可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．

④对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值．函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个．函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的．

⑤函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．这三种表示法各具特色，在应用时，•通常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线． ◆【考点链接】

1. 坐标平面内的点与______________一一对应．

2. 根据点所在位置填表（图）

3. x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.

4. P(x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________，

关于原点对称的点坐标为___________.

5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．

6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．

7. x y =

有意义，则自变量x 的取值范围是 . x

y 1

=

有意义，则自变量x 的取值范围是 . ◆【典例精析】

例1. 已知点A （a ，－5），B （8，b ）根据下列要求，确定a ，b 的值． （1）A ，B 两点关于y 轴对称；（2）A ，B 两点关于原点对称；

（3）AB ∥x 轴；（4）A ，B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．

【分析】（1）两点关于y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；

（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．

【答案】解：（1）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于y 轴对称时有：8

5A B A B

x x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨

⎨==-⎩

⎩

（2）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于原点对称时有85

A B

A B x x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨

⎨=-=⎩⎩ （3）当AB ∥x 轴时，有85A B A B x x a y y b ≠≠⎧⎧∴⎨

⎨==-⎩

⎩

（4）当A ，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：

x A =y B 且x A =y B 即a=－5，•b=8．

【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．

点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限