平面直角坐标系与函数的概念
平面直角坐标系与函数的概念
专题四 函数第一节 平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。
2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。
3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律①各个象限内的点的符号规律如下表。
说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。
⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。
5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。
6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。
7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y 是．(2)自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有意义。
(3)常量：在某变化过程中的量。
变量：在某变化过程中的量。
(4) 函数的表示方法:①；②；③。
能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。
二【巩固练习】1. 点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____．2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）4.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（）．A、y＝4n－4B、y＝4nC、y＝4n＋4D、y＝n26.函数13xyx+=-中自变量x的取值范围是（）A．x≥1-B．x≠3 C．x≥1-且x≠3 D．1x<-7.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（）A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）8.右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）图3相帅炮9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．010.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○后得到△A ′B ′C ′， 则A 点的对应点A ′点的坐标是（ ）A ．（－3，－2）；B ．（2，2）；C ．（3，0）；D ．（2，l ）11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。
第9讲 平面直角坐标系与函数
度或函数增减性的变化规律.
[变式5] (2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的
变化规律如图所示(图中O-A-B-C为一折线).这个容器的形状可能是(
A
B
C
D
)
A
1
(1)点的对称规律:关于横(或纵)轴对称的点,横(或纵)坐标不变,纵(或横)坐标变号;关于原点对称,
则横、纵坐标都变号.
(2)点的平移规律:左右移,纵不变,横减加;上下移,横不变,纵加减.
(3)有时需要根据点在坐标系中的位置,建立不等式(组)或方程(组),把点的坐标问题转化为不等式
(组)或方程(组)的问题解决.
D.若x-y=0,则点P(x,y)一定在第一、第三象限角平分线上
3.(2022雅安)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为(
A.-4
B.4
C.12
D.-12
D)
4.小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间
后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是(
停止.若点 P 的运动速度为 1 cm/s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象
如图②所示.则当 AP 恰好平分∠BAC 时,t 的值为
①
②
2 +2
.
1.(2022常州)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点
2
A-D-C 向终点 C 运动,设点 Q 的运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm ),若 y 与 x 之间的函数关系的
平面直角坐标系及函数基本概念
教师 许长征、田淑梅 年级九年 学科数学 第1课时 2012年 3月 14日课题平面直角坐标系及函数基本概念课型复习学 习 目 标1、平面直角坐标系2、点坐标对称性3、函数的概念4、自变量取值范围5函数表达方式及图像做法重点 点坐标对称性，函数的概念，自变量取值范围 难点 自变量取值范围环节导 学 设 计易错点及变式一、平面直角坐标系1、平面内有 且 的两条数轴，构成平面直角坐标系。
在平面直角坐标系内的点和 之间建立了—一对应的关系。
2、不同位置点的坐标的特征：（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＞0；点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＜0。
（2）坐标轴上的点有如下特征：点P （x, y ）在 轴上⇔y 为0，x 为任意实数。
点P （x ，y ）在 轴上⇔x 为0，y 为任意实数。
3．点P （x, y ）坐标的几何意义：（1）点P （x, y ）到 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到 袖的距离是| x |；（3）点P （x, y ）到 的距离是22y x +（4）在平面直角坐标系内任意两点的距离可表示为： 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是 ；【典型考题】 1、点P （-1，2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）．A ．（1，2）B ．（-1，2）C ．（1，-2）D ．（-1，-2）2、点M （1，2）关于x 轴对称点的坐标为（ ） A 、（－1，2） B 、（－1，－2） C 、（1，－2） D 、（2，－1）3、点 P （3，－4）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿＿＿＿。
中考数学复习考点知识归类讲解与练习01 平面直角坐标系与函数基本概念
中考数学复习考点知识归类讲解与练习专题01 平面直角坐标系与函数基本概念知识对接考点一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移1 / 27要点补充：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象要点补充：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.专项训练一、单选题1．已知点P （a ，a+3）在第二象限，且点P 到x 轴的距离为2，则a 的值为（）A ．1-B ．5-C ．2-D ．2y x 22y x +【答案】A【分析】先判断a的取值，进而根据点P到x轴的距离为2得到a+3=2，解得即可．【详解】解：∵点P（a，a+3）在第二象限，∴30aa<⎧⎨+>⎩，∴-3＜a＜0，∵点P到x轴的距离为2，∴|a+3|=2，∴a+3=2，∴a=-1，故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣3，4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（4，﹣3）【答案】A【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】3 / 27解：点P （3，4）关于y 轴对称点的坐标为（－3，4），故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．3．如图，一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ；再向正北方向走4m 到达点2A ，再向正东方向走6m 到达点3A ，再向正南方向走8m 到达点4A ，再向正西方向走10m 到达点5A ，…按如此规律走下去，当机器人走到点20A 时，点20A 的坐标为（）A ．(20,20)-B ．(20,20)C ．(22,20)--D ．(22,22)-【答案】A【分析】 先求出A 1，A 2，A 3，…A 8，发现规律，根据规律求出A 20的坐标即可．【详解】解：∵一个机器人从点O 出发，向正西方向走2m 到达点1A ，点A 1在x 轴的负半轴上，∴A 1（-2,0）从点A 2开始，由点1A 再向正北方向走4m 到达点2A ，A 2（-2,4），由点2A 再向正东方向走6m 到达点3A ，A 3（6-2，4）即（4，4），由点3A 再向正南方向走8m 到达点4A ，A 4（4，4-8）即（4，-4），由点A 4再向正西方向走10m 到达点5A ，A 5（4-10，-4）即（-6，-4），由点A 5再向正北方向走12m 到达点A 6，A 6（-6，12-4）即（-6，8），5 / 27由点A 6再向再向正东方向走14m 到达点A 7，A 7（14-6，8）即（8，8），由点A 7再向正南方向走16m 到达点8A ，A 8（8，8-16）即（8，-8），观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时（除1外）在一三象限，下标被4整除在第四象限．且横坐标与下标相同，因为2054=⨯，所以20A 在第四象限，坐标为(20,20)-．故选择A ．【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标规律问题，掌握求点的坐标方法与过程，利用下标与坐标的关系找出规律是解题关键．4．小娜驾车从哈尔滨到大庆．设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中的折线表示她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系式．下列说法：（1）在77≤x ≤88时，小娜在休息；（2）小娜驾车的最高速度是120km/h ；（3）小娜出发第16.5min 时的速度为48km/h ；（4）如果汽车每行驶100km 耗油10升，那么小娜驾车在33≤x ≤66时耗油6.6升． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据函数图象对每个选项进行分析判断，最后得出结论．①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；②观察图象小娜的最高时速为120千米；③用待定系数法求出11≤x ≤22时的函数关系式，可求小娜出发第16.5min 时的速度；④小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，依次求出小娜驾车在33≤x ≤66时行驶的路程，从而耗油量可求．【详解】解：①观察图象在77≤x ≤88时，小娜在以时速96千米在行驶；故①错误； ②观察图象小娜的最高时速为120千米，故②正确；③在11≤x ≤22时，设y ＝kx +b ．将（11，24）和（22，72）代入上式：11242272k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：481124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． ∴482411y x =-． 当x ＝16.5min 时，y ＝48．∴小娜出发第16.5min 时的速度为48km /h ．故③正确；④由图象可知：小娜驾车在33≤x ≤66时时速为120千米/小时，∴车在33≤x ≤66时小娜行驶了66331206660-⨯=（千米）． ∴耗油为：66×10100＝6.6（升）．7 / 27故④正确；综上，正确的有②③④共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象上的点的实际意义是解题的关键．另外待定系数法是确定函数解析式的重要方法．5．下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．21y x =+C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断即可．【详解】解：根据函数的定义（给定一个x 值都有唯一确定的y 值与它对应），对选项逐个判断， A ：观察列表数据发现，符合函数的定义，不符合题意；B ：观察x 与y 的等式发现，符合函数的定义，不符合题意；C ：观察函数图像发现，不符合函数的定义，符合题意；D ：观察函数图像发现，符合函数的定义，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的定义，涉及到了函数的表示方法（解析法，图像法和列表法），熟练掌握函数的基础知识是解题的关键．x的函数的是（）6．下列各图象中，y不是．．A．B．C．D．【答案】B【分析】对于自变量x的每一个确定的值y都有唯一的确定值与其对应，则y是x的函数，根据函数的定义解答即可.【详解】根据函数的定义，选项A、C、D图象表示y是x的函数，B图象中对于x的一个值y有两个值对应，故B中y不是x的函数，故选：B.【点睛】此题考查函数的定义，函数图象，结合函数图象正确理解函数的定义是解题的关键.9 / 277．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.6【答案】A【分析】 由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，根据勾股定理求得DE 的长度，再根据三角形相似求得BF ，矩形的性质得到OF ，即可求解．【详解】解：由题意可得，m 的值就是线段OB 的长度，过点D 作DE AC ⊥，过点C 作CF OB ⊥，如下图：∵5CD AD ==，DE AC ⊥ ∴132CE AC ==，90DEC ∠=︒由勾股定理得4DE =∵//AB DC∴DCE BAC ∠=∠，90ODC BOD ∠=∠=︒又∵AC BC⊥∴90 ACB CED∠=∠=︒∴DEC BCA△∽△∴DE CE CDBC AC AB==，即4356BC AB==解得8BC=，10AB=∵CF OB⊥∴90 ACB BFC∠=∠=︒∴BCF BAC∽△△∴BC BFAB BC=，即8108BF=解得 6.4BF=由题意可知四边形OFCD为矩形，∴5OF CD==11.4OB BF OF=+=故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（）A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)【答案】D【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的11 / 27性质容易得出点D 的坐标． 【详解】解：分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（5，2） ②AB 为对角线时，点D 的坐标为（﹣1，2）， ③AC 为对角线时，点D 的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D 的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．9．半径是R 的圆的周长C 2R π=，下列说法正确的是（） A ．C ，π，R 是变量，2是常量 B ．C 是变量，2，π，R 是常量 C ．R 是变量，2，π，C 是常量 D ．C ，R 是变量，2π是常量【答案】D 【分析】根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是R 的圆的周长2C R π=中，C ，R 是变量，2π是常量． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．10．关于变量x ，y 有如下关系：①6-=x y ；②24y x =；③2y x =；④3y x =．其中y 是x 函数的是（） A ．①③ B ．①②③④ C ．①③④ D ．①②③【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：y 是x 函数的是①x -y =6；③y =2|x |；④3y x =； ∵x =1时，y =±2，∴对于y 2=4x ，y 不是x 的函数； 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量． 二、填空题11．若点()25,4P a a --到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． 【答案】()1,1或()3,3-； 【分析】根据题意可得关于a 的绝对值方程，解方程可得a 的值，进一步即得答案. 【详解】解：∵P (2a -5，4-a )到两坐标轴的距离相等， ∴254a a -=-.13 / 27∴254a a -=-或25(4)a a -=--， 解得3a =或1a =，当3a =时，P 点坐标为（1，1）； 当1a =时，P 点坐标为（-3，3）． 故答案为：（1，1）或（-3，3）． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据题意列出方程是解题的关键.12．在平行四边形ABCD 中，点A 的坐标是（﹣1，0），点B 的坐标是（2，3），点D 的坐标是（3，1），则点C 的坐标是___． 【答案】（6，4）． 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AB∥DC ，且AB =DC ，根据坐标间关系可得2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1，解得x C =6，y C =4即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ，且AB =DC ， ∴2-（-1）=x C -3，3-0=y C -1， ∴x C =6，y C =4， 点C （6，4） 故答案为（6，4）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程，掌握平行四边形的性质，点的坐标关系建构方程．13．函数y＝182xx+-的自变量的取值范围是______．【答案】x≠4【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．【详解】解：由题可得，8﹣2x为分母，8﹣2x≠0，解得x≠4，∴函数182xyx+=-的自变量的取值范围是x≠4，故答案为：x≠4．【点睛】本题考查的是自变量的取值范围，由于此题表达式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为零，得到自变量的取值范围．14．若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能是一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；15 / 27③函数值y 一定随自变量x 的增大而减小；④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大． 所有正确结论的序号是 ___． 【答案】①②④ 【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解． 【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量，所以点P （2，2.5），Q （2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y 不一定一直随自变量x 的增大而减小，故错误； ④可能存在自变量x 的某个取值范围，在这个范围内函数值y 随自变量x 增大而增大，故正确； 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．15．在圆周长公式2C r π=中，常量是__________． 【答案】2π 【分析】根据常量的定义即可解答． 【详解】解：圆周长公式2C r π=中，常量是2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了常量的定义，正确理解定义是关键．16．如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【答案】12⎛ ⎝⎭【分析】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可． 【详解】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D点作x轴的垂线交于x2处，∵△OAB是等边三角形，且OA=2，∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，∴21 2Ax=，2Dx=故D点的坐标为32⎛⎝⎭，即P332⎛⎝⎭;第4秒结束时P点运动到了点B的位置，同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，在Rt△OBC中，∠BOC =60°，2OB=，1OC=,BC故B点的坐标为（1，即P4（1；第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为12⎛⎝⎭，即 P512⎛⎝⎭；第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；……17 / 27由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环， ∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为12⎛ ⎝⎭，故答案为：12⎛ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．17．平面直角坐标系中，点()5,3A -，()0,3B ，()5,0C -，在y 轴左侧一点(),P a b （0b ≠且点P 不在直线AB 上）．若40APO ∠=︒，BAP ∠与COP ∠的角平分线所在直线交于D 点．则ADO ∠的度数为______°．【答案】110或70 【分析】分两种情况，①点P 在AO 下方，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，先证明NM 平分PNO ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMO P ∠=+∠，即可求解；②点P 在AO 上方，设PO 与AB 交于点M，过点M 作//NM OD ，先证明NM 平分PNA ∠，根据“三角形两内角平分线的夹角与第三个角的关系”，可以得出1902NMA P ∠=+∠，即可求解． 【详解】19 / 27解：分两种情况， ①点P 在AO 下方时，设AP 与CO 交于点N ，过点N 作//NM AD ，PAD PNM ∴∠=∠， //AB NO ， BAN ONP ∴∠=∠，AD 平分BAN ∠，12PAD BAN ∴∠=∠，12PNM ONP ∴∠=∠，NM∴平分ONP ∠，OM 平分NOP ∠，111(180)70222MNO NOM ONP PON NPO ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMO ∴∠=︒， //NM AD ，110ADO NMO ∴∠=∠=︒；①点P 在AO 上方时，设AB 与PO 交于点N ，过点N 作//NM OD ，POD PNM ∴∠=∠，//AB CO ，PNA POC ∴∠=∠，DO 平分POC ∠，12POD POC ∴∠=∠，12PNM PNA ∴∠=∠，NM∴平分ANP ∠，直线CD 平分NAP ∠，111(180)70222MNA NAM PNA PAN NPA ∴∠+∠=∠+∠=-∠=︒，110NMA ∴∠=︒， //NM AD ，18070ADO NMO ∴∠=-∠=， 70ADO ∴∠=︒或110︒．故答案为：70或110．【点睛】本题主要考查了三角形双内角平分线模型，平行线的性质，解题的关键是找基本模型． 18．一个三角形的底边长是3，高x 可以任意伸缩，面积为y ，y 随x 的变化变化，则其中的常量为________，y 随x 变化的解析式为______________． 【答案】3 32y x = 【分析】先根据变量与常量的定义，得到3为常量，x 和y 为变量，再根据三角形面积公式得到21 / 27y =12×3×x =32x （x ＞0）， 【详解】解：数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，因此常量为底边长3，由三角形的面积公式得y 随x 变化的解析式为32y x =． 故答案为：3；32y x =. 【点睛】本题考查主要函数关系式中的变量与常量和列函数关系式解决本题的关键是要理解函数关系中常量和变量． 三、解答题19．已知一个圆柱的底面半径是3cm ，当圆柱的高(cm)h 变化时，圆柱的体积()3cm V 也随之变化．（1）在这个变化过程变量h 、V 中，自变量是______，因变量是______； （2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V 与高h 之间的关系式；（3）当圆柱的高h 由3cm 变化到6cm 时，圆柱的体积V 由______变化到______． 【答案】（1）h ，V ；（2）9V h π=；（3）327cm π，354cm π 【分析】（1）利用函数的概念进行回答；（2）利用圆柱的体积公式求解；（3）分别计算出h ＝3和6对应的函数值可得到V 的变化情况． 【详解】解：（1）在这个变化过程中，自变量是h ，因变量是V ；故答案为h ，V ；（2）V ＝π•32•h ＝9πh ；（3）当h ＝3cm 时，V ＝27πcm 3；当h ＝6cm 时，V ＝54πcm 3；所以当h 由3cm 变化到6cm 时，V 是由27πcm 3变化到54πcm 3．故答案为：27πcm3；54πcm3．【点睛】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．函数解析式是等式．解决此题的关键是圆柱的体积公式．20．一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留4小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的路程s千米与所用的时间t小时的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________；（2）小轿车的速度是________km/h，大客车的速度是________ km/h；（3）两车出发多少小时后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是多少？【答案】（1）t，s；（2）50，30；（3）15小时，450km【分析】（1）根据函数图像可得；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；（3）设两车出发xh时，两车相遇，根据题意列出方程，解之可得x，再乘以大客车的速度可得到甲地的距离．【详解】解：（1）自变量是时间t；因变量是路程s；（2）由图象可得，小轿车的速度为：500÷10=50（km/h），大客车的速度为：500÷503=30（km/h），故答案为：50，30；（3）设两车出发x小时，两车相遇，30x+50（x-14）=500，解得，x=15，30x=30×15=450，即两车出发15h后两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程是450km，故答案为：15，450．【点睛】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，结合函数图像得到必要信息．21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a＋4，3）（1）求ΔOAC的面积；（2）若aOABC是菱形．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，根据A（a，3），C（4，0）求出AE和OC的长度，23 / 27然后根据三角形面积公式求解即可；（2）首先根据点A 和点B 的纵坐标相同得到//AB OC ，然后结合AB OC =得到四边形OABC 是平行四边形，然后根据勾股定理求出OA 的长度，得到OA =OB ，根据菱形的判定定理即可证明． 【详解】解：（1）如图所示，过点A （a ，3）作AE ⊥x 轴于点E ，则AE =3， 又∵C （4，0）， ∴OC =4，∴S △OAC =11=43622OC AE ⨯⨯⨯⨯=．（2）若a =)A ，)43B ，， ∵A B y y =， ∴//AB OC ， ∵44AB OC ==，， ∴AB OC =．∴四边形OABC 是平行四边形， 过点A 作AE ⊥x 轴，则90AEO ∠=︒，3AE OE ==，∴4OA =，∴OA AB=，∴四边形OABC是菱形．【点睛】此题考查了三角形面积的求法，菱形的判定，解题的关键是根据题意找到坐标和线段的关系．22．定义：平面直角坐标系中，点M（a，b）和点N（m，n）的距离为MN，例如：点（3，2）和（4，0（1）在平面直角坐标系中，点（2，5-）和点（2，1）的距离是，点（72，3）和点（12，1-）的距离是；（2）在平面直角坐标系中，已知点M（2-，4）和N（6，3-），将线段MN平移到M ′ N′，点M的对应点是M′，点N的对应点是N′，若M′的坐标是（8-，m），且MM′=10，求点N′的坐标；（3）在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在y轴上，点C的坐标是（12，5），若BC=13，且△ABC的面积是20，直接写出点A的坐标．【答案】（1）6，5；（2）当M′（-8，12）时，N′（0，5），当M′（-8，-4）时，N′（0，-11）；（3）（8，0）或（-8，0）或（16，0）或（32，0）【分析】（1）分别利用两点间距离公式求解即可．（2）构建方程求出m的值，可得结论．（3）设(0,)B t，构建方程求出t的值，可得结论．【详解】解：（1）点(2,5)-和点(2,1)的距离6，25 / 27点7(2，3)和点1(2，1)-的距离5=， 故答案为：6，5． （2）由题意，10MM '=，∴10=，12m =∴或4-，(8,12)M ∴'-或(8,4)--，当(8,12)M '-时，(0,5)N '， 当(8,4)M '--时，(0,11)N '-． （3）设(0,)B t ，(12,5)C ，13BC =，∴13，解得0t =或10，(0,0)B ∴或(0,10)，当(0,0)B 时，20ABC S ∆=，∴15202OA ⨯⨯=， 8OA ∴=，(8,0)A ∴或(8,0)-．当(0,10)B 时，20ABC BOC AOC AOB S S S S ∆∆∆∆=+-=或20ABC AOC AOB BOC S S S S ∆∆∆∆=--=，∴111101*********OA OA ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=或111101012520222OA OA ⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，16OA ∴=或32，∴或(32,0)，A(16,0)综上所述，满足条件的点A的坐标为(8,0)或(8,0)-或(16,0)或(32,0)．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了两点间距离公式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27 / 27。
1.第9课时 平面直角坐标系与函数
或_(a__，__b_＋__n_)．口诀(a：，左b－减n右) 加，上加下减
第9课时 平面直角坐标系与函数
1. 在平面直角坐标系中，点M(－2，－5)在( C )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 下列各点不在x轴上的是( A )
A. (－1，－1)
B. (－1，1)
C. (1，1)
D. (1，－1)
第9课时 平面直角坐标系与函数
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Байду номын сангаас
5.点P(2，－3)关于y轴对称的点的坐标是_(_－__2_，__－__3_)_． 6. 在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向上平移4个单位长度后得到点P′，则P′ 的坐标为_(_－__3_，__6_)． 7. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m＋4，m－1)，若点P在过点A(2，－3)且 与x轴平行的直线上，则点P的坐标为(0_，__－__3_)__．
坐标刻画一个简单图形；
第9课时 平面直角坐标系与函数
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◎探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义； ◎结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例； ◎能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析； ◎ 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值； ◎能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系； ◎结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
函数表达式的形式 自变量的取值范围
第9课时 平面直角坐标系与函数
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函数概念与平面直角坐标系
第三章函数第1讲函数概念与平面直角坐标系考纲要求2017年命题趋势1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．2．掌握坐标平面内点的坐标特征．3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.根据往年命题情况，选择题多为压轴题，复习时重点关注函数自变量的取值范围和实际背景下的函数图像的判断.课前回顾（要点基础知识梳理）一、平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相的数轴的交点O称为，水平的数轴叫，竖直的数轴叫，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．2．各象限内点的坐标的符号特征（如上图）3．坐标轴上的点的坐标特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝；点P(x，y)在y轴上⇔x＝；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝，y＝ .（+ ，+）（，）（，）（，）二、特殊点的坐标特征1.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：①平行于x 轴 相同；②平行于y 轴 相同． 2．点P(a ，b)对称点的坐标其关于x 轴的对称点P 1的坐标为( ， )；其关于y 轴的对称点P 2的坐标为（ ， ）；其关于原点的对称点P 3的坐标为( ， )．3．点的平移 将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点( ， )[或( ， )]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点( ， )[或( ， )]．三、点与点、点与线之间的距离．1.点M （a ，b )到x 轴的距离为 ．2.点M （a ，b ）到y 轴的距离为 ．3.点M 1（x 1，0）M 2（x 2，0）之间的距离为 ．点M 1(x 1，y )，M 2(x 2，y )之间的距离为4.点 M 1（0，y 1），M 2 （0，y 2）之间的距离为 ．点M 1(x ，y 1)，M 2(x ，y 2)之间的距离为 .四．函数．（1）概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有 的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．（2）确定函数自变量的取值范围：① 使函数关系式 的自变量的取值的全体； ②一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；零次幂底数不为零；开偶次方的被开方数为非负数；使实际问题有意义．（3）函数的表示法：、 、 ．⇔⇔考点1： 平面直角坐标系中点的坐标特征1.(2016 年广东)在平面直角坐标系中，点 P (－2，－3)所在的象限是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.(2016 年湖北武汉)已知点 A (a,1)与点 A ′(5，b )关于坐标原点对称，则实数 a ，b 的值是( )A.a ＝5，b ＝1B.a ＝－5，b ＝1C.a ＝5，b ＝－1D.a ＝－5，b ＝－13.(2016 年山东菏泽)如图，A ，B 的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段 AB 平移至 A 1B 1，则 a ＋b 的值为( )考点2：确定函数自变量的取值范围5.如图 ，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围则这个函数解析式为( )考点3：函数与图像的关系6．（2013·佛山）某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y 与时间x 的关系的大致图象是（ ） A B C D4．函数y ＝x x －3－(x －2)0中，自变量x 的取值范围是 A.y ＝x ＋2 B.y ＝x 2＋2 C.y ＝x ＋2 D.y ＝1x ＋2巩固提升1.(2016 年湖北荆门)在平面直角坐标系中，若点 A (a ，－b )在第一象限内，则点 B (a ，b )所在的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限当x=3时，函数值为3.(2016 年广东)如图，在正方形 ABCD 中，点 P 从点A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 之间形成的函数关系的图象大致是（ ）A B C D 归纳总结：本节课你收获了什么？思考如图 ，弹性小球从点 P (0,3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第 1次碰到矩形的边时的点为 P 1，第 2 次碰到矩形的边时的点为P 2，…，第n 次碰到矩形的边时的点为P n .则点P 3的坐标是__________，点 P 2014 的坐标是________.2.在函数y ＝x ＋1x 中，自变量x的取值范围是___________.。
平面直角坐标系与函数的概念
考点聚焦
考点三 函数的有关概念及图象
2. 函数的三种表示法 (1)解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运 算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. (2)列表法： 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系， 这种表示法叫做列表法. (3)图象法： 用图象表示函数关系的方法叫做图象法.
相反数.
③特殊位置点的特点：P（a ，b）若在一、三象限角的平分线上，
则 a=b ，若在二、四象限角的平分线上，则 a=-b.
考点聚焦
考点一 平面直角坐标系的有关概念
④对坐标轴的距离：P（a ,b）到x轴的距离 |b| ，到y轴的距离 |a| ，到原
点的距离
.
⑤坐标平面内点的平移：将点P（a ,b）向左右平移h个单位，对应点坐标 为 (a-h,b) 或 (a+h,b).向上（下）平移k个点位，对应点坐标为
强化训练
考点一：平面直角坐标系中点的特征
例1 （ •东营）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在
第二象限，则m的取值范围是（
A．m＜﹣1
B．m＞2
C） C．﹣1＜m＜2 D．m
＞﹣1
强化训练 (1)当函数表达式是整式时，自变量可取 ；
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数； 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
考点一：平面直角坐标系中点的特征
关于原点对称，横纵坐标都互为相反数.
使函数 的自变量的取值的全体，叫做自变量的 .
考使点函二 数：平面的考直自角点变坐量二标的系：取与值平其的知面全识体直，角叫做坐自标变量系的与其. 知识
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
平面直角坐标系
平面直角坐标系、函数的基本概念知识方法梳理1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四个区域，分别称为第一、二、三、四象限.（1）坐标平面内的点与有序实数对一一对应平面内任一点P （x ，y ）到x 轴的距离为|y|，到y 轴的距离为|x|.（2）平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标的特征x 轴上的点，其纵坐标为0；y 轴上的点，其横坐标为0；原点坐标为（0,0）.（3）各象限点的坐标特征第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）.（4）平行坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x 轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上任两点的横坐标相同.（5）象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.（6）对称点的坐标特征点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，-y ），即关于x 轴的对称点，横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ），即纵坐标不变、横坐标互为相反数；关于原点对称的点的坐标为（-x ，-y ），即横、纵坐标分别互为相反数.（7）设平面上点A （x A ,y A ）,点B （x B ,y B ）：① ① AB 在x 轴上或平行于x 轴，则AB=｜x A - x B ｜；② ② AB 在y 轴上或平行于y 轴，则AB=｜y A - y B ｜；③ ③ 平面上任意两点A ，B 的距离AB=22)()(B A B A y y x x -+-.2、常量、变量和函数（1）在某一过程中，可以取不同数值的量叫变量；数值保持不变的量叫常量.变量和常量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的.（2）函数：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果每给一个x 的值，相应地都有唯一确定的一个y 值与之对应，那么y 就是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量. ① 函数自变量的取值范围：通常考虑以下几点：①分母不为零；②偶次方根中的被开方数大于或等于零；③零指数或负指数幂的底数不为零；④实际问题中，还要使这个实际问题有意义.② 函数值：对于自变量在取值范围的一个确定的值，如x ＝a ，该函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做x ＝a 时的函数值，简称函数值.3、函数图象和函数表示法（1）函数图象：函数图象是由函数关系中自变量的值与它对应的函数值分别作为点的横坐标与纵坐标进行描点，所有的点组成了这个函数的图象.(2) 函数的三种表示方法，即列表法、图象法、解析法.在解决一些与函数有关的应用题时，有时可以通过数形结合的方法来解决。
函数,平面直角坐标系
函数，平面直角坐标系函数是一个数学概念，是一个映射关系，指实数集合内的任一元素都有且仅有一个相关联的另一元素。
在平面直角坐标系中，我们可以以函数图像的方式表示函数的性质，包括其定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。
本文将对函数在平面直角坐标系中的表示及其相关性质进行介绍。
一、坐标系及函数的定义平面直角坐标系是一个由横纵坐标轴和它们的正负半轴组成的二维平面，通常用X轴和Y轴表示。
在这个坐标系中，点的位置是由它在X轴与Y轴上的坐标决定的。
函数是一个映射，它是一个从一个集合到另一个集合的规则。
在数学中，函数通常被表示为一系列的输入与输出变量，即f(x) = y，其中f是函数符号、x是输入变量，y是输出变量。
函数可以用一张图像来表示。
二、函数的基本性质函数的图像可以表示出函数的一些基本性质，如函数的定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。
定义域：定义域指函数有效的输入值范围，通常用集合的形式表示。
如果定义域中的某一个值会导致函数无意义或报错，那么该值就不在定义域内。
值域：值域指函数可输出的实际值的范围。
值域由图像框定，根据函数的单调性和对称性，可以很容易确定其值域。
单调性：单调性是指在函数定义域内函数值的增减关系。
如果函数在定义域内单调递增，那么它的图像就是从左到右逐渐升高的。
如果函数在定义域内单调递减，那么它的图像就是从左到右逐渐降低的。
对称性：对称性是指函数图像关于某条线或某点的对称性。
当函数关于X轴或Y轴对称时，称函数图象关于X轴或Y轴对称。
当函数关于原点对称时，称函数图象关于原点轴对称。
奇偶性：奇偶性是指函数的性质：当任意一个输入变量的相反数被输入到函数中时，函数的输出值是否保持不变。
如果函数在其定义域内关于原点对称，则称之为奇函数。
如果函数恒等于它的相反数，即f(-x) = -f(x)，则称之为偶函数。
三、常见函数的图像在平面直角坐标系中，有许多常见的函数，它们的图像则有着相应的特点。
直线函数：直线函数的图像是一条直线，其一般式为y = kx + b，其中k为斜率，b 为截距。
平面直角坐标系与函数及图像
第三模块函数3.1平面直角坐标系与函数及图像考点一、平面直角坐标系内点的坐标1．有序数对(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.3．平面直角坐标系对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )． 以上特征可归纳为：(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.考点三、确定物体位置的方位1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法 (1)平面直角坐标法(2)方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.考点四、点到坐标轴的距离考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标－4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为________．解析：由A(－2，3)平移后点A1的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C1(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．考点六、函数及其图象1．函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不变的，称它们为常量．(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①3x ＋24>x ＋a.② 由①得x ＞8，由②得x ＜2－4a ，其解集为8＜x ＜2－4a.因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，解得－114≤a<－52. 故选B.【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )解析：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选C.方法点拨：观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，弄清哪个是自变量，哪个是因变量；然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．考点七、自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．【例6】(1)(2010·遵义)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围是________． (2)(2010·济宁)在函数y ＝x ＋4中，自变量x 的取值范围是________．(3)(2010·黄冈)函数y ＝x －3x ＋1的自变量x 的取值范围是________． (4)(2010·玉溪)函数y ＝x x ＋1中自变量x 的取值范围是________． 【解答】(1)由x －2≠0得x≠2.(2)由x ＋4≥0，得x≥－4.(3)由⎩⎨⎧ x －3≥0，x ＋1≠0，得x≥3. (4)由x ＋1＞0，得x ＞－1.。
平面直角坐标系中的曲线与函数定理
平面直角坐标系中的曲线与函数定理曲线与函数是数学中重要的概念，它们在平面直角坐标系中有着重要的应用与定理。
本文将探讨平面直角坐标系中曲线与函数的基本概念，并介绍与之相关的定理。
一、曲线与函数基本概念在平面直角坐标系中，我们可以通过曲线来描述两个变量之间的关系。
而函数，作为数学中的一种基本对象，可以看作是曲线的数学表示。
下面分别介绍曲线和函数的基本概念。
1. 曲线的定义曲线是指平面上的一些点的集合，这些点之间存在特定的关系。
例如，直线就是一种特殊的曲线，它由无数个相互平行的点构成。
而圆则是由到某一点距离相等的所有点组成的曲线。
2. 函数的定义函数是一个映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在平面直角坐标系中，我们通常用y=f(x)来表示函数，其中x 表示自变量，y表示因变量，f(x)表示函数关系。
二、函数的图像与曲线的性质在平面直角坐标系中，函数的图像对应于曲线。
函数图像可以通过画出函数的各个点来获得，而曲线则是这些点的集合。
下面介绍函数图像与曲线的一些性质。
1. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的点的集合，它展示了函数的变化规律。
通过函数图像，我们可以观察函数的增减性、最值以及其他关键特征。
2. 曲线的性质曲线有许多特点和性质，例如曲率、凹凸性等。
这些性质可以通过曲线的图像来观察和判断。
例如，凹凸性可以通过观察曲线的曲率变化来确定。
三、曲线与函数的定理在平面直角坐标系中，曲线与函数有许多经典的定理与性质。
下面介绍几个常见的定理。
1. 零点定理零点定理指出，如果函数f(x)在点a与点b之间连续，并且f(a)与f(b)异号，那么在a和b之间至少存在一个零点。
2. 导数与曲线斜率导数是函数变化率的表示，也是曲线在某一点的斜率。
对于满足一定条件的连续函数，其导数在某点的值等于曲线在该点切线的斜率。
3. 积分与曲线面积积分是函数的反导函数，也可以用来求曲线下的面积。
对于连续函数f(x)，其在[a, b]区间上的积分值等于曲线f(x)与x轴之间的面积。
专题三函数 3.1平面直角坐标系、函数图象-2021年中考数学一轮复习课件
求真 至善
1. 平面直角坐标系、函数图象
知识梳理
一.平面直角坐标系及其相关概念： 1.定义:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成 平面直角坐标系.
平面直角坐标系内的点和有序实数对成一 一对应关系. 2.坐标轴、原点、象限: 水平的数轴称为x 轴或横轴; 竖直的数轴称为y 轴或纵轴; x 轴和y 轴统称为坐标轴; 两坐标轴的交点为坐标原点; 两条坐标轴把坐标平面分成四个部分, 分别称第 一 、二 、三 、四象限 , 坐标轴上的点不属于任何象限.
D. (－4，3)
(2)在平面直角坐标系中,将点A(1,－2)向上平移3个单位长
度,再向左平移2个单位长度,得到点A′,则点A′的坐标是( A).
A. (－1, 1) B. (－1,－2) C. (－1, 2) D. (1, 2)
知识梳理
七.函数: 1.常量和变量: 在某一变化过程中, 可以取不同数值的量叫 做变量;保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数、自变量、函数值:一般地,设在某一变化过程中有 两个变量x和y,若对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定 的值与其对应,则y是x的函数,x 是自变量.这个唯一确定的 值叫做函数值
(5)点A(－3,4)到x轴的距离为 4 , 到y轴的距离为 3 .
(6)已知坐标平面内的点 A (2 ,6 ) ,B (2 ,－ 2 ) , 则 AB的长
等于 8 ;
若点M在直线AB上 , 且BM=6,则点M的坐标为
.
(2,4)和(2,－8)
知识梳理
六.对称点的坐标特征: P1(a,b)关于x轴对称的点为P2(a,－b),
3.函数的表示法与图象: (1)解析法;(2)列表法;(3)图像法.
由函数的解析式作函数的图象, 一般步骤是 :
中考一轮复习--第9讲 平面直角坐标系与函数的概念
A.(-1,1) B.(3,1) C.(4,-4) D.(4,0)
解析:∵将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长
度,得到点B,
∴点B的横坐标为1-2=-1,纵坐标为-2+3=1,∴B的坐标为(-1,1).故
选A.
考法1
考法2
பைடு நூலகம்
考法3
对应练3(2019·安徽庐江期末)如图为正方形网格中的一片树叶,
点O是这两条数轴的原点,这样建立的两条数轴构成平面直角坐标
系.
考点梳理
自主测试
3.平面直角坐标系中点的坐标
各象限点
坐标的符
号特征
坐标轴上
点的坐标
特征
象限角平
分线上点
的坐标特
征
x 轴上的点的纵坐标为 0 ,y 轴上的点的横坐标为
0,原点的坐标为(0,0)
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等;第
二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反
答案:D
解析:∵点A(-3,0),点P(a,b),点B(m,n)为弦PA的中点,
-3+
0+
∴m= 2 ,n= 2 .
∴a=2m+3,b=2n.
又a,b满足等式:a2+b2=9,
∴(2m+3)2+4n2=9.故选D.
考法1
考法2
考法3
对应练1(2018·四川攀枝花)若点A(a+1,b-2)在第二象限,则点B(a,1-b)在( D )
间的距离为|y2-y| .
考点梳理
自主测试
5.坐标系中的距离公式
(1)点P(a,b)到x轴的距离是|b|
(2)点P(a,b)到y轴的距离是|a|
第三单元函数——第10讲：平面直角坐标系及函数概念
Ｉ ｌ ＿
第三单元
第ｌ讲 ０
函数
平 面直 角坐 标 系及 函数 概念
售
限（ 三象限（ ，
。
）第 二象 限 （ ， ， ）第 四象 限（ ， ， ， ） 第 ， ） ．
是
１ 在坐标平 面四个象 限内点 的坐标符号 ： ． 第一象
詹
．
坐标 为零 ；
因为题 目中函数是 二次根式 的形 式 ， 自 故
变 量 的取 值 应 使 二 次根 式 有 意 义 ， ２ 则 一４／ ， 得 ＿ ＞ｏ解
（ ） 于原点对 称的点 ５关
３ 坐 标 轴 上 两 点 问 的距 离 ： ． （ ） 轴 上 两 点 Ａ（ ， ） Ｂ（ ｚ０ 之 间 的 距 １在 ，Ｏ 和 ｘ ，） 离 ＡＢ一
。
中 自变量 的取值 范围
（ ０ ８ 南通 ） ２０ ，
２ 特殊 点 的坐 标 ： ． （） １ 在 轴 上 的点 ， 坐标为零 ；
例 １ 函数 一 分析
≥２ ．
（ ） ｙ轴上 的点 ， ２在 （） ３ 关于 轴对称 的点
（ ） 于 ｙ轴 对 称 的点 ４关
数
驶一段路程 ， 受阻原地 休整 ， 在一段 时 间内离开 后 则 驻地距离不变 ， 最后步行 前进 ， 则行走速度较慢． 故应
选 Ａ．
；
当函数解析式是 二次根式 ， 自变量 的取值须使被 开方
．
— —
点评
本 题 主 要 考 查 识 图 能 力 ， 确 在 变 化 过 程 明
中函数如何随着 自变量的变化而变化．
标是 （ ） ．
八 （ ，） ３ ３
Ｂ （ ３， ） ～ ３
第1部分 第3章 第1节 平面直角坐标系与函数
2．(2019·日照)如图，在单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，
△A5A6A7，…，都是斜边在 x 轴上，斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角
三角形，若△A1A2A3 的顶点坐标分别为 A规律，A2019 的坐标为( A )
函数(2018.10，2016.9，2014.9，2012.9) 1．函数及相关概念 (1)变量与常数：在一个变化过程中，可以变化的量，是变量；保持不 变的量，是常量． (2)函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x，y，且对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有⑯ 唯一确定 的值与它对应，那么 就说 x 是自变量，y 是 x 的函数． (3)函数值：对于一个函数，取自变量 x 在允许范围内的一个确定值， 代入函数表达式求得的函数 y 的值，就叫做函数值．
【解析】由题意知，A1(21， 23)，A2(1，0)，A3(32， 23)， A4(2，0)，A5(25，－ 23)，A6(3，0)，A7(72， 23)，…综上可知，每个点的 横坐标为序号的一半，纵坐标每 6 个点依次为 23，0， 23，0，－ 23，0 这 样循环，∴A2019(20219， 23)．
【解析】∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，∴y 随 x 的增大而减小，符合一 次函数图象．
点的坐标特征(冷考) 1．(2013 安徽，18(2)，4 分)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作 如图(1)所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有 7 个特征点，将此基 本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图(2)， 图(3)，….
如图所示，三架飞机 P，Q，R 保持编队飞行，某时刻在坐标 系中的坐标分别为(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1).30 秒后，飞机 P 飞到 P′(4， 3)位置，则飞机 Q，R 的位置 Q′，R′分别为( A )
八年级上册数12章知识点
八年级上册数12章知识点在八年级上册数学中，第12章是“平面直角坐标系与函数”的内容。
该章节涉及的知识点包括：平面直角坐标系的建立、坐标系中点的坐标、平面直角坐标系的应用、函数的基本概念、函数的图象、函数的性质、函数的表示方法等。
下面我们将逐一介绍这些知识点。
1. 平面直角坐标系的建立平面直角坐标系是通过相互垂直的两条数轴来建立的。
其中，x轴称为横坐标轴，y轴称为纵坐标轴。
两条轴的交点称为坐标原点，用O表示。
每个点在坐标系中都有唯一确定的坐标表示。
例如，点A在x轴上的坐标为3，在y轴上的坐标为4，则A的坐标表示为（3，4）。
2. 坐标系中点的坐标当点在坐标系中的x坐标和y坐标都相同时，该点位于坐标系中心，我们称其为中心点。
例如，在以原点为中心的坐标系中，中心点的坐标为(0,0)。
当中心点不在原点时，其坐标为相应轴中点的坐标。
3. 平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在数学中有广泛的应用。
它可以被用于描述物体在空间中的位置和运动状态，并可以通过坐标系中函数的图象来描述各种关联关系。
4. 函数的基本概念函数是指若干个变量之间的一种关系。
在数学中，我们通常用字母表示函数，并用一个括号内表示自变量的值。
例如，函数f(x)表示自变量为x时的函数值。
函数可以用表格、图形或公式等方式表示。
在函数中，自变量和函数值之间的关系可以用函数图象很好地表示出来。
5. 函数的图象函数图象可以帮助我们理解函数的性质。
例如，对于一元二次函数，其图象为一条抛物线。
通过观察函数图象，我们可以知道该函数的零点、顶点、开口方向等特征。
6. 函数的性质函数的性质描述了函数的特性，其中比较重要的有：奇偶性、单调性、周期性等。
奇偶性表示函数的图象是否呈现对称的现象。
单调性表示函数的变化方向。
周期性表示函数的特定区间内是否重复。
7. 函数的表示方法函数可以用不同的方式表示。
比如，可以使用解析式、图形和表格等方式来表示函数。
在解析式中，函数通常使用通用公式表示。
八年级数学上册 平面直角坐标系与函数的概念教案 人教新课标版
平面直角坐标系与函数的概念对于这一部分知识中考中主要以选择和填空的形式出现，主要考查不同坐标系中点的特点及函数的图象、性质与函数的解析式，在解答题中经常出现用函数知识解决实际问题，在中考中一般占到8-12分左右。
知识梳理知识点：平面直角坐标系及函数图象例1：已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围． 解题思路：本题根据点的坐标特征建立起不等式组是解题的关键．对称点在第一象限，则点P 在第四象限．根据各象限内点的坐标特征，可以建立关于a 的不等式组，求出a 的取值范围．依题意P 点在第四象限，则有⎩⎨⎧<->+01201a a ，解得－1＜a ＜12．答案：a 的取值范围是－1＜a ＜12．例2：函数y=1x -中，自变量x 的取值范围是 ．21010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x≥－12 且x≠15．答案：x≥－12且x≠15．例3 ：三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km ．如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4解题思路：结合题意、图象看出，甲队出发2小时后乙队出发，他们同时到达目的地，路程都是24 km ，甲队用了6小时，乙队用了4小时．可以求得，乙队行驶的平均速度是24÷4=6 km/h ．所以，第二、第三个同学的叙述正确．又观察图象，甲、乙两队行走的路程、时间的函数图象相交，交点的横坐标是4.5，这说明两个队在行驶途中有一次相遇，是在乙队出发2.5小时后追上甲队，所以，第一个同学的叙述正确．在甲队行走的路程、时间的函数图象中，在3～4小时之间的一段是水平的，意味着这段时间甲队在途中停留，所以第四个同学的叙述是正确的．综上所述，四个同学的叙述都正确。
函数,平面直角坐标系
函数，平面直角坐标系
函数是数学中的一种基本概念，指的是通过一定的规则，将一个数域中的每个数对应到另一个数域中的某个数。
在平面直角坐标系中，函数可以用一条曲线来表示。
在坐标系中，横轴表示自变量，纵轴表示因变量，曲线上的每个点都表示一个自变量与因变量的对应关系。
函数在实际生活和工作中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，函数可以用来描述供求关系、成本曲线等；在物理学中，函数可以用来描述物体的运动规律、力学关系等；在计算机科学中，函数可以用来实现各种算法、程序等。
平面直角坐标系是一种用于表示二维平面上点的坐标系。
它由两条垂直的直线（称为坐标轴）和它们的交点（称为坐标原点）组成。
坐标轴分别被标记为 x 轴和 y 轴，它们的正方向分别向右和向上。
在平面直角坐标系中，一个点的位置可以由两个数（称为坐标）来确定，第一个数表示 x 轴上的位置，第二个数表示 y 轴上的位置。
平面直角坐标系也广泛应用于各个领域中。
例如，在数学中，平面直角坐标系常用于解析几何、函数图像等；在物理学中，平面直角坐标系可以用来描述力的作用方向、矢量的运算等；在计算机科学中，平面直角坐标系可以用来实现图形界面、游戏等。
- 1 -。
坐标系和一次函数知识点
位置的确定一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标轴。
它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。
点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x （2）、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）即原点 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 （4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
平面直角坐标系与函数像的关系
平面直角坐标系与函数像的关系直角坐标系是数学中常用的一种坐标系，我们可以利用它来描述平面上的各种几何图形和数学函数。
在这种坐标系中，平面被划分为四个象限，每个象限由两个互相垂直的轴，即x轴和y轴所确定。
x轴和y轴的交点称为原点，它的坐标为(0, 0)。
在直角坐标系中，我们可以通过给定的x坐标和y坐标，来确定平面上的一个点。
这个点的坐标表示为(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
通过这种表示方式，我们可以利用直角坐标系方便地进行平面几何运算和函数分析。
函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个数集之间的一种关系。
在直角坐标系中，我们可以将函数表示为一条曲线，这条曲线上的每个点都满足函数的定义。
函数的自变量通常表示为x，因变量表示为y，即y = f(x)。
在直角坐标系中，这个函数图像可以看作是平面上的一个图形。
函数的图像在直角坐标系中呈现出各种不同的形状，如直线、曲线、抛物线等。
通过观察这些图像，我们可以得到函数的性质和行为。
例如，当函数图像是一条直线时，函数呈现线性关系，即y与x成正比或反比。
而当函数图像是一条曲线时，函数可能表现出增长或衰减的趋势，或者存在极值点和拐点等。
函数图像在直角坐标系中的属性还包括对称性和周期性。
对称性是指函数图像在某个中心对称轴上呈现对称的特点，例如关于x轴对称、y轴对称或者原点对称。
周期性是指函数图像呈现出一定规律的重复性，即函数在某个区间内的数值与另一个区间内的数值相同。
直角坐标系也为我们提供了一种便利的方式来研究函数的变化趋势和数值特征。
通过观察函数图像在直角坐标系中的行为，我们可以判断函数的增减性、最值、零点以及一些其他的特征。
这些特征对于我们理解函数的性质和应用具有重要意义。
在数学和物理等领域，直角坐标系与函数的关系具有广泛的应用。
例如，我们可以利用直角坐标系来分析物体的运动轨迹、计算物体的速度和加速度，从而更好地理解运动规律。
此外，直角坐标系也为计算机图形学等领域提供了重要的基础，使得我们可以实现平面上的各种图形显示和处理。
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平面直角坐标系与函数的概念◆【课前热身】1.如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P ’的坐标为（ ）．A ．(m ＋2，n ＋1)B ．(m －2，n －1)C ．(m －2，n ＋1)D ．(m ＋2，n －1) 2.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠=°，B 的坐标为（ ）A ．2，B ．2)，C ．211)，D ．21)，3.点(35)p ，关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ． (3,5)B ． (5,3)C ．(3,5)D ． (3,5) 4.函数2y x =+x 的取值范围是（ ）A ．2x >-B ．2x -≥C ．2x ≠-D ．2x -≤5.在函数131y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） A.13x < B. 13x ≠- C. 13x ≠ D. 13x >【参考答案】 1. D 2. C 3. Dx yOC BA （第2题）4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，由于二次根式a 中a 的范围是0a ≥；∴2y x =+中x 的范围由20x +≥得2x ≥-.5. C◆【考点聚焦】〖知识点〗平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 〖大纲要求〗1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 〖考查重点与常见题型〗1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题；2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题；3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4．函数自变量的取值范围. ◆【备考兵法】1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点.2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系.3.平面直角坐标系：①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；②点P （a ，b ）到x 轴的距离为│b │，•到y 轴距离为│a │，到原点距离为22a b +； ③各象限内点的坐标的符号特征：P （a ，b ），P•在第一象限⇔a>0且b>0，P 在第二象限⇔a<0，b>0，P 在第三象限⇔a<0，b<0，P 在第四象限⇔a>0，b<0； ④点P （a ，b ）：若点P 在x 轴上⇔a 为任意实数，b=0；P 在y 轴上⇔a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=0； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b ；⑤A （x 1，y 1），B （x 1，y 2）：A ，B 关于x 轴对称⇔x 1=x 2，y 1=－y 2； A 、B 关于的y 轴对称⇔ x 1=－x 2，y 1=y 2；A ，B 关于原点对称⇔x 1=－x 2，y 1=－y 2；AB ∥x 轴⇔y 1=y 2且x 1≠x 2； AB ∥y 轴⇔x 1=x 2且y 1≠y 2（A ，B 表示两个不同的点）．4.变量与函数：①在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量．数值保持不变的量叫常量．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的．常量和变量并一定都是量，也可以是常数或变数．②在某一变化的过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 在取值范围内取的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么说x 是自变量，y 是x 的函数，函数不是数，•它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．③自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义．自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的．可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．④对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值．函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个．函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的．⑤函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．这三种表示法各具特色，在应用时，•通常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线． ◆【考点链接】1. 坐标平面内的点与______________一一对应．2. 根据点所在位置填表（图）3. x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.4. P(x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________，关于原点对称的点坐标为___________.5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．7. x y =有意义，则自变量x 的取值范围是 . xy 1=有意义，则自变量x 的取值范围是 . ◆【典例精析】例1. 已知点A （a ，－5），B （8，b ）根据下列要求，确定a ，b 的值． （1）A ，B 两点关于y 轴对称；（2）A ，B 两点关于原点对称；（3）AB ∥x 轴；（4）A ，B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．【分析】（1）两点关于y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．【答案】解：（1）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于y 轴对称时有：85A B A Bx x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩（2）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于原点对称时有85A BA B x x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨⎨=-=⎩⎩ （3）当AB ∥x 轴时，有85A B A B x x a y y b ≠≠⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩（4）当A ，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：x A =y B 且x A =y B 即a=－5，•b=8．【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限例2.如图所示，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO 的内心的坐标．【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标．【答案】解：∵A（0，6），B（－8，0），∴OA=6，OB=8，在Rt△ABO中，AB2=OA2+OB2=62+82=100，∴AB=10（负值舍去）．设Rt△ABO内切圆的半径为r，则由S△ABO=12×6×8=24，S△ABO =12r（AB+OA+OB）=•12r，知r=2，而内心在第二象限，∴内心的坐标为（－2，2）．【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键．例3 如图所示表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，•她9•点离开家，15点回到家，请根据图象回答下列问题：（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）她何时开始第一次休息？休息多长时间？（3）第一次休息时，离家多远？（4）11：00到12：00她骑了多少千米？（5）她在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？（6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？（7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？（8）返回时的平均速度是多少？【分析】小玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图象中线段CD和EF与横轴平行，表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各问题．【答案】解：（1）由图象知，玲玲到达离家最远的地方是12点，离家30km；（2）由线段CD平行于横轴知，10：30开始休息，休息半个小时；（3）第一次休息时离家17km；（4）从纵坐标看出，11：00到12：00，她骑了13km（30－17=13）；（5）由图象知，9：00～10：00共走了10km，速度为10km/h，10：00～10：30•共走了7km，速度为14km/h；（6）她在12：00～13：00时停止前进并休息用午餐；（7）她在停止前进后返回，骑了30km回到家（离家0km）；（8）返回时的路程为30km，时间为2h，故返回时的平均速度为15km/h．【点评】如图a所示，表示速度v与时间t的函数图象中，①表示物体从0开始加速运动，②代表物体匀速运动，③代表物体减速运动到停止．如图b所示，•表示路程s与时间t的函数图象中，①代表物体匀速运动，②代表物体停止，•③代表物体反向运动直至回到原地．(a) (b)◆【迎考精练】一、选择题1.（河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A.（2，2）B.（2，4）C.（4，2）D.（1，2）2.（北京市）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D.E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）3.（天津市）在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ）A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--， 4.（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）5.(黑龙江牡丹江)如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A .B .C .D .D C P BA第4题A ．B ．C ．D ．6.（浙江杭州）两个不相等的正数满足2=+b a ，1-=t ab ，设2)(b a S -=，则S 关于t 的函数图象是（ ）A ．射线（不含端点）B ．线段（不含端点）C ．直线D ．抛物线的一部分7.（山东济南）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，， ()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，． 按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--，B ．()53，C ．()53-，D ．()53-，8.（山东青岛）一艘轮船从港口O 出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B ．若以港口O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B 所在位置的坐标是（ ）．A ．(3035030)-，B ．(3030350)-，C ．(30330)，D ．(30303)，9.（山东东营）如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )A.（0，0）B.（22，22-） C.（－21，－21） D.（－22，－22） 10.(陕西省)如果点P(m ，1-2m)在第四象限，那么m 的取值范围是 ( )A ．210<<m B ．021<<-m C ．0<m D ．21>m 11.(四川成都)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°yxO BA （第9题图）得到0A′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12.（山东威海）如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．513.（湖北襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将ABC △向右平移两个单位长度得到A B C '''△，则与点B '关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()01-，B ．()11，C ．()21-，D ．()11-，14．（浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，P ⊙与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交P ⊙于M ，N 两点．若点M 的坐标是（21-，），则点N 的坐标是（ ） A ．(24)-， B. (2 4.5)-， C.(25)-， D.(2 5.5)-，15.（浙江杭州） 已知点P （x ，y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ）yO (01)，(20)A ，1(3)A b ，1(2)B a ，xA ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 16.(广东肇庆)函数2y x =-的自变量x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x <C ．2x ≥D ．2x ≤17.（浙江杭州）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当2k ≥时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第棵树种植点的坐标为（ ）A ．（5，）B ．（6，2010）C ．（3，401）D （4，402） 二、填空题1.（湖北荆门）将点P 向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P '（1-，3），则点P 的坐标是______．2.（吉林省）如图，点A 关于y 轴的对称点的坐标是 ．3.（山东泰安）如图所示，△A ’B ’C ’是由△ABC 向右平移5个单位，然后绕B 点逆时针旋转90°得到的（其中A ’、B ’、C ’的对应点分别是A 、B 、C ），点A ’的坐标是（4，4）点B ’的坐标是（1，1），则点A 的坐标是 。