高中数学讲义微专题52 证明等差等比数列

微专题52 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。

一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。

即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列小炼有话说：（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。

所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点：一是代换11n nb a =-体现了两个数列{}{},n n a b 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n 项对应第n 项）；二是经过代换，得到{}n b 的递推公式，而所证n b 是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。

个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。

例2：数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈（*）．设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式思路：本题所给等式,n n S a 混合在一起，可考虑将其转变为只含n a 或只含n S 的等式，题目中n n b a n =+倾向于项的关系，故考虑消掉n S ，再进行求解解：213122n n S a n n +=--+ ① ()()()211131112,22n n S a n n n n N --+=----+≥∈ ②∴ ①- ②可得：112121n n n n a a n a a n ---=--⇒=--()()()1112112n n n n a n a n a n a n --∴+=+-⇒+=+-⎡⎤⎣⎦ 即112n n b b -={}n b ∴是公比为12的等比数列 111b a =+ 令1n = 代入（*）可得：11131122S a +=--+=- 112a ∴=- 112b ∴=111122n n n b b -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 12nn n a b n n ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭小炼有话说：（1）遇到,n n S a 混合在一起的等式，通常转化为纯n a （项的递推公式）或者纯n S （前n 项和的递推公式），变形的方法如下：① 消去n S ：向下再写一个关于1n S -的式子（如例2），然后两式相减（注意n 取值范围变化） ② 消去n a ：只需1n n n a S S -=-代换即可（2,n n N ≥∈）（2）,n n S a 混合在一起的等式可求出1a ，令1n =即可（因为11S a =）（3）这里体现出n n b a n =+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过n n b a n =+也可将n a 的通项公式求出。

这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。

所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来例3：已知数列{}n a 满足：1116,690,n n n a a a a n N *--=-+=∈且2n ≥，求证：13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列 解：设13n n b a =-，则13n na b =+代入11690n n n a a a ---+=可得： 11111336390n n n b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⋅++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133691890n n n n n b b b b b ---⇒+++--+= 111330n n n n b b b b --⇒-+=113n n b b -⇒-= {}n b ∴为等差数列，即13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列例4：已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117x =. （1）求n x 与1n x +的关系式； （2）令1123n n b x =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； 解：（1）曲线1:C y x=()1:2n n n l y y x x x -=--+()11111121n n n n n n n nn y xy y x x x y x ++++⎧=⎪⎪⎪∴-=--⎨+⎪⎪=⎪⎩12n n n x x x +∴=+（2）11121233n n n n b x x b =+⇒=+--，代入到递推公式中可得：11112222111333n n n b b b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 11111112211111133422=411133333333n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⇒++-+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭---()()11111211444439339n n n n n n n n n b b b b b b b b b +++++⇒+++=-+-++()()1112433n n n n n b b b b b +++⇒+=-+ 12n n b b +⇒=- {}n b ∴是公比为2-的等比数列小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出n b 的形式，所以考虑用代入法直接求解例5：已知数列{}n a 满足()()1146410,21n n n a n a a a n N n *++++==∈+，判断数列221na n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出n a 解：设()221221n n n n a b a n b n +=⇒=+-+ 代入到()14641021n n n a n a n ++++=+可得：()()()14621241023221n n n n b n n b n +++-++⎡⎤⎣⎦+-=+()()()()123214222321812410n n n n b n n n b n n +⇔++--=++--++ ()()()()1232122321n n n n b n n b +⇔++=++12n n b b +⇔=而112233a ab ++==∴① 2a =-时，10b =，{}n b 不是等比数列② 2a ≠-时，{}n b 是等比数列，即221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列 11222213n n a a n -++∴=⋅+ ()()1221223n n a n a -++∴=⋅- 例6：（2015山东日照3月考）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 思路：所证数列为232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，可发现要寻找的是{}n a 偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2n a 与()21n a -之间的关系，再进行构造证明即可证明：由11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数可得：()2211213n n a a n -=+- ()2122322n n a a n --=-⋅-Q()2221322213n n a a n n -∴=--+-⎡⎤⎣⎦ 22222112221133n n n a a n n a --∴=-++-=+222223111323232n n n a a a --⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭∴数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意非负整数(),m n m n >均有： ()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+ （1）求02,a a（2）求证：数列{}1m m a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式 解：（1）令m n =可得：202011m m a a a a +-=⇒=再令0n =可得：()201212m m a m a a +-=+ 2423m m a a m ∴=+- 21413a a ∴=-= 021,3a a ∴==（2）思路：考虑证明数列{}1m m a a +-是等差数列，则要寻找1m m a a +-，1m m a a --的关系，即所涉及项为11,,m m m a a a +-，结合已知等式令1n =，利用（1）中的2423m m a a m =+-，将2m a 代换为m a 即可证明，进而求出通项公式证明：在()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+中令1n =得： ()1122122m m m a a m a a +-++-=+ 11222224m m m a a m a a +-∴++-=+由（1）得22423,3m m a a m a =+-=代入可得：11222442m m m a a m a m +-∴++-=+()()1111222m m m m m m m a a a a a a a +-+-∴+-=⇒---=∴ 数列{}1m m a a +-是公差为2的等差数列()()121212m m a a a a m m +∴-=-+-= ()121m m a a m -∴-=-()-1222m m a a m --=- M 212a a -=()()121211m a a m m m ∴-=+++-=-⎡⎤⎣⎦L()11m a m m ∴=-+例8：（2010 安徽，20）设数列12,,,,n a a a L L 中的每一项都不为0，求证：{}n a 是等差数列的充分必要条件是：对n N *∀∈都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=L 思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。