北京大学2017年暑期学堂试题

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2019年北京大学优秀中学生暑期学堂测试-物理试卷及答案解析

2019年北京大学优秀中学生暑期学堂测试物理试题（一）选择题1．只考虑水滴和雨伞相对静止的情况，伞的边缘有水球甩出时（）． A ．在地面参考系中，水球飞出方向沿伞面切向 B ．在地面参考系中，水球飞出方向沿伞面法向 C ．在伞参考系中，水球飞出方向沿切向 D ．在伞参考系中，水球飞出方向不沿法向2．已知氮气分子的有效半径3.7×10-10 m ，则在常温常压时，每秒氮气分子与其他空气分子碰撞次数的数量级是（）． A ．1012 B ．109 C ．106 D ．1033．有一半径为R 的球形水滴，带电荷量为Q （将水视为导体），则球心处的电场强度为（）．A ．0B ．22kQ R C ．2kQ R D ．22kQR 4．将一玻璃板盖在工件上，利用劈尖状空气隙的薄膜干涉可以检测精密加工工件表面质量．使用单色光垂直照射，可通过显微镜看到干涉条纹，条纹的形状能够反映工件表面的缺陷，那么（）．A ．若待测工件表面有凸出的部分，干涉条纹会向下弯曲B ．若待测工件表面有凹陷的部分，干涉条纹会向下弯曲C ．按压玻璃板，条纹将向下移动D ．按压玻璃板，条纹将沿着平行于玻璃板与工件的交线的方向移动（二）填空题5．一系外行星绕其中心恒星有如图1所示的运动轨道，那么，由点B 向点A 运动的过程中，该行星的势能_______，机械能_______．（填“变大”“变小”或“不变”）6．假设一团理想气体从同一点出发，如图2，经历a ，b ，c 三个过程，在三个过程中吸热量最多的是_______过程，三者的摩尔热容分别写为C a ，C b ，C c ，则其从大到小的排列是_______．7．有一半径为0.4 mm的水滴，我们将其视为球形导体，带电量为1.6 pC．令无穷远处电势为零，则该水滴的电势为_______；若有两个这样的水滴融合为一个新的球形水滴，则其电势为_______．9．有一束光，垂直穿过厚度为d的均匀介质后光强变为原来的12．则垂直穿过厚度为3d的同种介质后，光强变为原来的_______；若垂直穿过这种介质后光强变为原来的16，则此介质的厚度为_______d．（三）计算题9．如图3所示，在一竖直固定的光滑大圆环O上套有A，B两光滑小圆环，绳子如图3穿过小圆环，两质量已知为m的物块挂在绳的两端，另一物块挂在AB之间绳的中点C，质量设为m0，π3AOB∠=时，系统恰好处于平衡状态．（1）请计算出m0的大小；（2）现将A，B两环固定于大圆环上，试论证这个平衡状态是否稳定．10．有如图4所示的电阻网络，从1，2两个节点分别通入电流I1，I2，已知电阻大小R1，R2，R3，请求出节点间的电压U21，U23，U31．11．如图5所示，凸透镜的焦距为f ，物体由距离透镜x ＝3f 处A 移动至x ＝1.5f 处B ．（1）设物体与其像之间的距离为D ，求D 的变化规律；（2）若物体以u 的恒定速度移动，求像的速度v ．12．杜瓦瓶，类似于保温杯，由内外两层构成，两层之间为真空腔．好的杜瓦瓶热损失的主要方式是热辐射．为了改善杜瓦瓶的性能，常在两层瓶壁之间加一层反射膜，其反射系数R 定义为反射能量与入射能量的比值．我们将加有反射膜的杜瓦瓶简化为中间夹有一块无限大反射膜的两块无限大黑体平面．瓶内盛有温度为4.2 K 的液氮，瓶外为300 K 室温，反射率R ＝95%．（1）求平衡状态下，加了反射膜后的净热流密度J ′与不加反射膜时的净热流密度J 之比；（2）求平衡状态下反射膜的温度．（注：热流密度J 定义为物体表面单位面积的辐射功率，对于黑体而言，J ＝σT 4，σ＝5.67×10-2W ·m -2·K -4，为斯忒藩-玻尔兹曼常数．）答案：1．A 在地面参考系中，水球飞出方向沿伞面切向．在伞参考系中，水球飞出的方向沿伞面法向，飞出瞬间与伞相对静止．2．B 碰撞次数＝单位时间走过的体积×单位体积内的分子数＝分子横截面积×运动速度×单位体积内的分子数29π410kT P r m kT≈≈⨯． 3．A 电荷量均匀分布在球的外表面，因此均匀带电球壳内部的电场强度为零． 4．B 同一条纹上的各点处空气厚度一致．5．变小；不变两天体构成万有引力系统，机械能守恒．6．b ；C c ；C b ；C a 考虑内能变化、做功、吸热以及热容的计算． 7．36 V ，57 V 电势一个水滴36V Kqr=，两水滴合成后，带电量为2q ，半径为32r ，则电势为257V 32Kq r=．8．18，2.58 每经过d 的厚度光强减半，121log 2.586=．9．（1）绳上每一点的张力相等，同时，对于小圆环、m 物块、m 0物块可分别列出受力平衡方程．小圆环切向受力平衡，圆环两侧绳与法向的夹角相等，皆为π6，即2π3ACB ∠=． m 的受力平衡：绳上张力T ＝mg ．m 0的受力平衡0π2cos 3m g T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以得到m ＝m 0．（2）如图1所示，我们取BC 段绳为研究对象，设其长度为x ，BD 垂直CD 于D ，设CD 长度为y ，BD 长度为l ，则有220d lim d x y y x x x x yx l ∆→∆===∆−若中间物块下降∆y 的距离，BC 段绳将对应地伸长∆x ，由于绳长固定，两侧的m 物块将上升∆x 的距离，∆y 与∆x 的在∆x →0时的关系如上式所示．我们给系统一个∆x ＞0的扰动，两侧物块上升，中间物块下降，由几何关系可知在扰动后2x y <，因此2yx∆<∆，系统的势能变化量为 ∆E P ＝2m ∆x -m 0∆y ＝-m (∆y -2∆x )＞0给系统一个∆x ＜0的扰动，两侧物块下降，中间物块上升，由几何关系可知在扰动后2x y >，因此2y x∆>∆，系统的势能变化量为 ∆E P ＝2m ∆x -m 0∆y ＝m (|∆y |-2|∆x |)＞0可见该平衡位置为稳定平衡．10．将流经R 3的电流设为I 3，正方向为从1到2，则流经R 2至3的电流为I 1-I 3，流经R 1至3的电流为I 2+I 3，由基尔霍夫回路定律可知I 3R 3+(I 2+I 3)R 1+(I 3-I 1)R 2＝0解得12213123I R I R I R R R −=++由欧姆定律可得211232133123()I R I R R U I R R R R −=−=++122112323121123))((I R I R R U I I R I R R R R −=+=+++122123113212123))((I R I R R U I I R I R R R R −=−−=−++11．（1）物距x 由3f 处移至1.5f 处过程中，始终成实像，设像距为y ，根据凸透镜成像公式得111x y f+= 得 xfy x f =−得 2x D x y x f=+=−解D (x )一阶驻点2d ()(2)0d ()D x x x f x x f −==− 得x (1)＝2f ，根据x ∈[1.5f ，3f ]，舍去x (1)＝0 当x ＜x (1)时，d ()0d D x x <；当x ＞x (1)时，d ()0d D x x>得x (1)＝2f 是D (x )的最小值点．因此，物体由距离x ＝3f 处移动至x ＝1.5f 处的过程中，D 先减小后增大．（2）由xfy x f=−，可知22d /d d d /d d ()v y t y xf f u x t x x fx f '⎛⎫====⎪−−⎝⎭22()uf v x f =− 12．（1）室温T 0＝300 K ，液氮温度T N ＝4.2 K ，在加反射膜之前，净热流密度为440N )(J T T σ=−在加了反射膜之后，设反射膜单侧的辐射热流密度为P ，则杜瓦瓶整体的净热流密度为440N (1)(1)J R T P P R T σσ'=−−=−−解得440N 1)()(2R T T P σ−+=440N (1)()2R T T J σ−−'=(1) 2.5%2J R J '−== （2）设反射膜的温度为T ，由斯忒藩-玻尔兹曼定律可知：P ＝σT 4，已经解出440N 1)()(2R T T P σ−+=于是有T ＝119.3 K ．。

2016年北大优秀中学生体验营暑期课堂数学试题及详解1

2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题参考答案2．由题意知b−a=c−b= (c−a)/2，所以()2c a====-是等差数列．3．对题中不等式整理得2x2−2(a+b)x+(a2+b2−c)⩾0,此不等式恒成立当且仅当对应判别式Δ=4(a+b)2−8(a2+b2−c)=4[2c−(a−b)2]⩽0,等价于2c⩽(a−b)2，命题得证．222112z z z z z z++=因为12(1)z z a i=-，所以12(1)z z a i=+，代入上面的式子得22-2z z a=．于是有其中λ=1时为双曲线，λ=0时为渐近线．设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有22112222222211x ya bx ya b⎛-=-=⎝两式相减得1212121222()()()()x x x x y y y ya b-+-+-=同样有3434343422()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 因为A,B,C,D 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得AC=BD ；当此直线的斜率k 存在且不为零时，有2341221234y y y y b x x x x a k++==++ 即AB 的中点与CD 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD ．事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到．6．显然当α+β=π/2时，等式成立；由已知条件知sin 2α+sin 2β=sin αcos β+cos αsin β ,整理得sin α(sin α−cos β)=sin β(cos α−sin β).若α+β≠π/2，则有sin α−cos β与cos α−sin β同号．若它们同为正，则有sin α>cos β=sin(π/2−β),cos α=sin(π/2−α)>sin β,从而有α>π/2−β, π/2−α>β,无解；若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾．综上，α+β=π/2．S △ADE =xyS △ABC =xy, S △BCE =(1−y)S △ABC =1−y,所以有S △BDE =1−xy −(1−y)=y(1−x).从而有318(1)()327BDF BDE z y x S zS zy x ∆∆++-==-≤= 当y=z=1−x 时，即x=1/3,y=z=2/3时等号成立，此时△BDF 的面积有最大值8/27。

北大优秀中学生暑期学堂试题化学

北大优秀中学生暑期学堂试题化学一、单选题（每题3分共60分）1．下列化学用语正确的是()A．镁离子：Mg B．氯原子：Cl2C．S原子的结构示意图：D．CO2的电子式为2．下列物质肯定不含离子键的是()A．氧化物B．酸C．盐D．碱3．下列分子中含有的电子数目与HF相同，且只有两个极性共价键的是（）A．CO2 B．N2O C．H2O D．CH44．下列物质中，既含有极性共价键又含有非极性共价键的是A．NH4Cl B．Na2O2C．H2O2 D．CH45．下列各原子的电子式不正确的是（）A．钠原子B．氢原子C．氮原子D．氯原子6．下列物质中，有离子键的是()A．N2 B．CH4 C．NaCl D．HCl7．《本草纲目》中的“石碱”条目下写道：“采蒿蓼之属，晒干烧灰，以水淋汁，久则凝淀如石，浣衣发面，亦去垢发面。

”下列说法错误的是（）A．“石碱”中含有离子键B．“石碱”中含有非极性共价键C．“石碱”是离子化合物D．“石碱”中含有极性共价键8．关于化学反应的实质的说法不正确的是A．化学反应都有新物质生成B．化学反应都有能量变化C．化学反应是旧键断裂新键生成的过程D．化学反应的发生都需要在一定条件下9．下列叙述正确的是（）A．离子化合物一定不含共价键B．共价化合物中一定不含有离子键C．气态单质的分子中一定存在共价键D．非金属元素的化合物中一定不含离子键10．下列说法正确的是()A．同主族元素简单气态氢化物从上到下，其沸点逐渐升高B．非金属单质中一定存在共价键，离子化合物中可能存在共价键C．共价键不可能存在于离子化合物中，由非金属元素组成的化合物中一定不存在离子键D．含有阴离子的物质一定含有阳离子11．下列有关化学用语的表示错误的是A．次氯酸的电子式为B．R2＋有a个电子、b个中子，R的原子符号为C．用电子式表示CaCl2的形成过程为D．Na＋的结构示意图为12．下列分子的电子式书写正确的是（）A．氨气B．氮气C．四氯化碳D．二氧化碳13．下列观点正确的是（）A．含有离子键的物质一定是离子化合物B．同素异形体之间的转化是物理变化C．含有共价键的物质一定是共价化合物D．常温常压下为气态的物质，其微粒间一定存在共价键14．下列物质中，含有离子键的是()A．H2O B．NH3 C．N2 D．NH4Cl15．氧元素是地壳中含量最多的元素。

高2017级数学理科暑假试卷二

高2017级数学理科暑假试卷二一、单选题1．已知20191z i =-，则2z i +=（） AB ．C ．2 D2．在极坐标系中,点(2,)π6A 与(2,)6πB -之间的距离为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．双曲线2219y x -=的渐近线的斜率是( )A ．19± B ．13± C ．3±D ．9±4．圆sin )ρθθ=+的圆心坐标是（）A ．1,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．4π⎫⎪⎭D ．,24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．设随机变量ξ服从正态分布()1,4N ，且()20.3P ξ>=，则()01P ξ<<=（） A ．0.15 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.7 6．若曲线3()ln f x x a x =-在点)(1,(1)f 处的切线与直线30x y +-=平行，则实数a =（） A ．4- B ．2- C ．2 D ．47．已知离散型随机变量X 服从二项分布()~6,X B p ，且()1E X =，则()D X = （）A ．13B ．12C ．23D ．568．从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的概率为( ) A ．1724B ．715C ．49120D ．7309．用数学归纳法证明 “ (n ∈N *，n ＞1)”时由n ＝k(k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时左边应增加的项数是( )A ．k ＋1B ．kC ．2kD ．2k ＋110．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，若3FP FQ +=0，则OPQ ∆的面积为( )A．3B C ．3D ．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A ．9(0,]5B ．C ．D ．1(312．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（） A ．()0,1 B ．()2,+∞ C ．()1,2 D ．()1,+∞ 二、填空题13．52(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是_________(用数字作答)14．将三位老师分配到4所学校实施精准帮扶，若每位老师只去一所学校，每所学校最多去2人，则不同的分配方法有_____________ 种（用数字作答）.15．已知圆锥曲线的一个焦点坐标为，则该圆锥曲线的离心率为 .16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线1,x t y a t =+⎧⎨=-⎩(t为参数)被曲线4cos ρθ=-截得的弦长为a 的值为___三、解答题17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）抛物线的焦点是椭圆的上顶点；（2）椭圆的焦距是8，离心率等于．18．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为34．现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品.（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，（i ）记一等品的件数为X ，求X 的分布列；（ii ）求这三件产品都不能通过检测的概率．19．小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择（1）能否据此判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？（2）用以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校所有女生（该校女生超过1200人）中随机选5名女生，记5名女生选做几何题的人数为X，求X的数学期望()E X和方差()D X.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.20．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>），一个焦点在直线4y=-上，直线l与椭圆交于P Q，两点，其中直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k。

2017年北京市夏季会考数学

29．（本小题满分 5 分）已知⊙ M ： x2 4x y2 0 . （Ⅰ）⊙ M 的半径 r ；（将结果直接填写在答．题．卡．的相应位置上）（Ⅱ）设点 A ( 0，3) ， B ( 2，5 ) ，试判断⊙ M 上是否存在两点 C ， D ，使得四边形 ABCD 为平行四边形？若存在，求直线 CD 的方程；若不存在，请说明理由.
2017 年北京市夏季会考数学试卷
1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
考 2. 本试卷共 6 页，分为两个部分，第一部分为选择题， 25 个小题（共 75分）；第二部分为解答题， 5 个小题生（共 25 分）。须 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必
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A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
7．要得到函数 y sin( x π ) 的图象，只需将函数 y sin x 的图象 4
A．向左平移 π 个单位 4
B．向右平移 π 个单位 4
C．向上平移 π 个单位 4
D．向下平移 π 个单位 4
8．给出下列四个函数：
○1 y x 1 ； ○2 y x2 ；
C． 4.41 万
D． 5.59 万
22．已知数列 an 满足 an + an1 n ，那么其前 4 项的和 S4 等于
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
23．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， E，F，G，H 分别是棱 A1B1，BB1，CC1，C1D1 的中点，那么
A． BD1 // GH B． BD // EF
C．平面 EFGH // 平面 A1BCD1
D．平面 EFGH // 平面 ABCD

北京大学历年优秀中学生夏令营试题及解答

2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。

对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。

另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。

综上，最小的短信条数总数为2n−2。

2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。

2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。

3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。

计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。

6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。

北京大学2017年暑期学堂试题

.北京大学2017年暑期学堂试题1. 如图所示，光滑的斜面上放置着两个质量不同的小滑块，初始时用外力将其固定，两块间的间距为d ，现将外力撤去，两物块沿斜面下滑，那么两物块的间距d 会( ) A. 变大 B. 不变 C. 变小D. 先变大后变小2. 以一定速度向斜上方发射一枚铅球，空气阻力可忽略不计，请问应该以什么样的发射角度发射，才能使铅球落地时的运动距离最远( )A. 大于 45B. 等于 45C. 小于 45D. 无法确定 3. 有一个近乎真空的容器，其体积为L V 2.11=，测得其内部压强为mmHg P 51101-⨯=，现将其温度升高至C 300，吸附在壁上的分子由于受热而逸出，此时又测得其内部压强为mmHg 2101-⨯，求吸附在壁上分子的数量级为( )A. 1910B. 1810C. 1710D. 16104. 在炎热的夏天，向远处的柏油马路看去，路面特别明亮光滑，像用水淋过一样.其原理时在温度和重力的影响下，空气的折射率随着高度的升高而变大，从远处的光线将会被弯曲，看起来就好像是路面上有一块反射镜.请问以下四种生活现象中，与此现象产生的原理相同的是哪两种( ) A. 海市蜃楼B. 沙漠神泉C. 白天，地表附近的气温较上层的气温高，声音在地表附近的传播较上层快，于是在地面上的生源发出的声音向四周传播时是向上拐弯的.D. 黑夜，地表附近的气温较上层的气温低，声音在地表附近的传播较上层慢，于是在地面上的生源发出的声音向四周传播时是向下拐弯的5. 将一个电子放于一个匀强电场中，那么( ) A. 电子将沿电场方向做匀速运动B. 电子将沿电场相反反向做匀速运动C. 电子将沿电场方向做匀加速运动D. 电子将沿电场相反方向做匀加速运动6. 有一只孤独的变色龙，在沙漠严寒的冬日，一面正对太阳，另一面背对太阳，为了使其体温维持稳定，其颜色需要变化为( ) A. 向光侧颜色深，背光侧颜色浅 B. 向光侧颜色浅，背光侧颜色深 C. 向光侧和背光侧都要颜色深D. 向光侧和背光侧都要颜色浅7. 空间中存在一个圆环、一个圆盘和一个圆球，三者半径相同并带有等量同种电荷，试问三者中心电势的大小关系为( ) A. 圆球>圆盘>圆环 B. 圆球>圆环>圆盘 C. 圆盘>圆球>圆环D. 圆环>圆盘>圆球8. 一个导体球壳A 内部有一个小导体B ，下列说法正确的是( ) A. 若只有A 带电，则AB U 为正或为负B. 若B 带负电，则AB U 的正负与A 的带电量无关C. 若B 不带电，则AB U 的正负与A 的带电量无关D. 若B 带正电，则无论A 带何种电荷，0 AB U9. 在广袤的宇宙中，存在着这样一颗不断自转的行星，质量为M 均匀分布，半径为R ，在其上的未知生命对于重量的变化非常敏感，有一个热爱旅行的未知生命感受到他在赤道上重量恰好为在极地重量的%99，现在这些未知生命希望能够发射一次卫星，请问： (1) 该星球极点处的逃逸速度；.(2) 如何使得发射所需的能量最小，应该在何处以怎样的速度发射？10.真空中存在着两个点电荷21q q 、，其电量之和为q ，相距为d ，相互作用力为f (吸引为负，排斥为正)，静电力常量为k ，请问：(1) 要使得21q q 、有取值，以上的量需要满足什么关系？ (2) 在满足(1)的条件下，两点电荷的电量。

清华大学2017年暑期学校测试真题

清华大学暑期学校测试真题1. 已知()()()221ax f x =+b,g x =f x x c-+，其中a ，b ，c 为已知参数，且a≠0，c>0。

则以下判断中正确的有______。

①f(x)关于点(0，b )成中心对称； ①f(x)可能在(0，+∞)上单调递增； ①f(x)有界；①g(x)=0的解可能为{±1，±2}【解答】① 函数f(x)的定义域为R ，且()()2f x +f -x b =，于是函数f(x)关于(0，b)中心对称，命题正确。

① 当x > 0时，有()a f x b c x x=++，①①，±2而(f 7722.情形二1a ≠ 0，则n a ≠0(n①N*)，根据题意，111(1)n nn n a a +-+=-，于是1111n n a a -=-，因此1111n a n a =+-，于是，*11,a k N k≠-∈。

综上所述，1a 的取值范围是*1|,N R x x k x k ⎧⎫≠-∈∈⎨⎬⎩⎭，3. 已知()2221f x =x x a --+，若存在0x ，使得(){}00[,2]|0x x x f x +⊆≤，则a 的取值范围是______。

4. 上，5. 2P于是104c c a ≥-> 解得314c a <≤因此双曲线的离心率的取值范围是31,4⎛⎤ ⎥⎝⎦，6. 曲线C 3=，以下判断中正确的有______。

①曲线C 过点(0，0)；①曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2] ①曲线C 关于x 轴对称；①P 为曲线C 上的动点，A ，B 的坐标为(0，1)和(0，-1)，则①PAB 的面积的最大值为32【解答】记(),f x y =①①是2-①①7. 且设在114334S -ABC V =ABH SC ⋅⋅=⋅=8. 已知一个四棱锥的三视图如下，该四棱锥的四个侧面中，则直角三角形的个数为______。

2017年北京大学物理化学秋令营数学试题无答案

2017年北京大学物理、化学秋令营基础学业能力测试数学试题注：1-12为物理秋令营试题，13-17为化学秋令营试题h某衣數学芳试有25超範毎逍題客鑒正曲得1址不善得1分.答钳悔0分小明考试fl! f WO多弁，他把「I己的得井苦诉小红后’聪明的小红殊出了小明答对的脈数・如果於明井数再少•点•但还足趙过创处小纤就无祛总出小明答对的題数"則小明的窝际稈分対｛）扎SI B. H2C. K3 D,前三个答塞郁不对辽释工亍卫.3 t B nr 3 r t' «个:"球左一到右排战m （同•种叢字梏袒为命町医甘的）.要求碁中有菲•种了母｛共3 是相邻的.鳴不同的排刑方氏救为（）A. uqB.汕（i0工川 D.前三亍答累邯不时3,设9个实数ug毗几妬如,5“心腐足H +必+卅=斤*•陌+曲=幵+弓+時=1,flft 16j + 电2扯 + /?3^3 = "F j + 朴“卫 + 打 3 心=I + 飪愆 + ^3八3 = 口则簪成曲f +耐+片届+话密匸1*话■+■碼+确=1屮一定履_芷的&数为（】A. 0B. IC. 2 D前三个售豔解倍对丄已知复數疔鹘足kll = 1・剧\z2-z-2\的呆大愷为（｝A. B.I 2U X D拠三个芹塞冊半对氐片程12^ - |jr-2^4-34/-!）-0的整數龊亍数为__________________ -tt设门是£\ABC的外心* AC边上点刀臂足BD I AO .已知4C = ：i , AB = 2.则AD的忙度導于■7.已如I疋严+沪％" 轉，+切+ /的菲小値与戴天值的利为___________________ ■«.设对F任盘实數T.不尊武|r + l| + |jr + a| + k + 3| >5 则•数萌的取値池E9为 _______ •乩匕知一亍爭边三角形的内接止方晤廁积为吃.則此等边三角形内按矩形曲枳的瞅蚯为_____________H1.址四边形A BCD为菱骼.已初A.wr的外接岡半•用咨于3. 55 的殊按网半径雪于」•则此菱形的边拴为■11. 将雲数（X + 2方尸"写成小數形式・求它的卜仃位数字.12. 若一些实数组成的集合町划分为三个非空了集•使得对取自任两个不同了集的任总:尤素dy，均有2(“y) 任第三个了集中.则称此集合几有町分二倍和性质.从刈斯所冇冇理敎组成的集台魁否只有町分二倍和性质.并证明你的结论.13. 已知工 + & 4 2 = 2017 •丄 + 丄 + 丄=-i- •则g — 2017)(2/ 一2017)(* — 2017)的值为 ______________ ・x y z 201,14. ［1］亠骨+ ［劄4…亠［甞］+ 1008的值是 ______________ •15. (21 + 1)(224- 1)(23 +1)...(22017 + 1)的个位数字是________________ ・16. f 何=3*2 - y | .且/(<,(jr)) = 3r4 4 I 8T3 + 50r2 + 6^ + 48 ・其屮g(x)为整系数多项式•则g[x} 的冷系数之和为・17.的值为v^sin35°_曲】20°4曲'85。

2017清华大学暑期学校学业水平测试模拟题-试卷

一、单项选择题：（共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分）1．若a + b = 2 ，则(a 2 - b 2)2 - 8(a 2 + b 2) 的值是（）A ．-16B ．0C ．6D ．82．方程 x 4 - y 4 - 4x 2 + 4y 2 = 0 表示的图像是（）A ．两条平行直线B ．两条相交直线C ．两条平行直线与一个圆D ．两条相交直线与一个圆3. 设C 1, C 2 是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动圆C 3 与C 1, C 2 均外切，则动圆C 3 的圆心轨迹为（）A ．直线B ．圆或椭圆C ．抛物线D ．双曲线的一支 4．已知sin 2(α + γ ) = n sin 2β ，则tan(α + β + γ ) = （）tan(α - β + γ )A. n -1 n +1B. n n +1C. n n -1D. n +1 n -1 5.已知α, β ,γ 满足： cos α + cos β + cos γ = sin α +sin β +sin γ = 0 ,则（）A. sin 2α +sin 2β +sin 2γ =1 C ． cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 0B. cos3α + cos3β + cos3γ = 0 D ． sin 3α +sin 3β +sin 3γ = 06．数列{a n }共有 11 项， a 1 = 0 ， a 11 = 4 ，且 a k +1 - a k数列个数为（）= 1， k = 1, 2,3, ,10. 满足这些条件的不同的 A ．100 B. 120 C. 140 D. 1607. 设有三角形 A 0 B 0C 0 ，做它的内切圆，三个切点确定一个新的三角形 A 1B 1C 1 ，再做三角形 A 1B 1C 1 的内切圆，三个切点确定三角形 A 2 B 2C 2 ，以此类推，一次一次不停地做下去，可以得到一个三角形的序列，它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情况是（）A . 等边三角形B ．直角三角形C ．与原三角形 A 0 B 0C 0 相似D ．以上都不对8. 三角形 ABC 被一条直线分成两部分，若这两部分的周长和面积均相等，则这条直线过三角形（）A . 外心B ．垂心C ．重心D ．内心二、填空题（共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）9. 外接球的半径为1的正四面体的棱长为．10．设 x ∈(0,π )，则函数 f (x ) = 1+ cos x 的取值范围是． 1-c os x3 ⎨⎧x = - 3 t + 2 11. 已知曲线C 的极坐标方程 ρ = 2sin θ ，设直线l 的参数方程⎪5 ⎪ y = 4 t ⎩ 5交点为 M ， N 是曲线C 上一动点，则 MN 的最大值是．（ t 为参数）， l 与 x 轴的 12. 一个梯形上下底的长度分别为1和4 ，又两条对角线长为3 和4 ，则梯形的面积是．13. 圆内接四边形 ABCD 中， AB =136, BC = 80,CD =150, DA = 102则它的外接圆直径为． 14．54 张扑克牌，将第 1 张扔掉，第 2 张放到最后，第 3 张扔掉，第 4 张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第张． 15. 已知函数 f ( x ) = x 2 + ax + b 与 y 轴交于点 A ,与 x 轴交于点 B , C ．若∆ABC 外心在直线 y = x 上，则a + b = ．16. 有四副动物拼图，每副一种颜色且各不相同，每副都固定由同一动物的4 个不同部分（如头、身、尾、腿）组成．现在拼图被打乱后重新拼成4 副完整的拼图，但每一副都不是完全同色的，则符合上述条件的不同的打乱方式种数是．三、解答题（共 88 分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（16 分）设 f (x ) 为实函数，满足 f (c ) = c 的实数c 称为 f (x ) 的不动点，设 f (x ) = a x （ a > 0 且a ≠ 1）．若 f (x ) 恰有两个互不相同的不动点，求a 的取值范围．18．（8+14=22 分）已知椭圆的两个焦点 F 1 : (-1, 0) 、 F 2 (1, 0) ，且与直线 y = x - 相切；（1）求椭圆的方程；（2）过焦点 F 1 作相互垂直的两条直线l 1, l 2 ，分别交椭圆于 P , Q 及M , N ,求四边形 PMQN 的面积的最大值和最小值．19．（6+10+10=26 分）北京采用摇号买车的方式，有 20 万人摇号，每个月有 2 万个名额．（1）如果每个月摇上的退出摇号，没有摇上的继续进入下月摇号，求每个人摇上需要的平均时间；（2）如果每个月都有 2 万人补充进摇号队伍，则平均每个人摇上需要多长时间；（3）如果交管所可以控制摇上号的人的比例，使其成为每个季度第一个月摇上的概率为 1 10，第二个月为 1 9 ，第三个月为 1 8，则平均每个人摇上需要多长时间．20．（12+12=24 分）设 f (x , y ) =x 1+ y+ y 1+ x + (1- x )(1- y )， x , y ∈[0,1]．（1）若t = xy 为给定常数（ 0 ≤ t ≤ 1），求 f (x , y ) 的最小值（用t 表示）；（2）求 f (x , y ) 的最小值．⎪。

2016年北大优秀中学生体验营暑期课堂数学试题及详解2

ｚｚ２２ｚ２），代入（得ｚ于是＋ｉａ，＝＊）２ｚ２＝－２ｚ１ｚ１ｚ２ａ－２＝（＝－１＋ｉ．）ａ１＋ｉ
一条直线与双曲线交于Ａ，与５．Ｂ两点，此双曲线的渐近线交于Ｃ，证明：线段Ｄ两点，
减得（（（ｙ１－ｙ２）ｙ１＋ｙ２）ｘ１－ｘ２）ｘ１＋ｘ２）（－２２ａｂ
ｃ－槡ｂ槡ｃ－ｂ
２
ｂ＋槡ｃ槡ｃ－槡ａ槡ａｂ－
１
ａ＋槡ｂ槡
＋
ｂ－槡ａ槡ｂ－ａ
＝
，＝０同样有＝０．因为Ａ，当此直线斜率Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共线，由双曲线的对称性得不存在或者斜率为零时，
２２２都有（ｘ－ａ）＋（ｘ－ｂ）ｃ当且仅当（ａ－ｂ） ≥
ＡＣ＝ＢＤ；
当此直线的斜率ｋ存在且不为零时，有
２ｙ１＋ｙ２ｙ３＋ｙ４ｂ＝＝２，ｘ１＋ｘ２ｘ３＋ｘ４ａｋ
２ｃ． ≥ 解原不等式整理得２ｘ－２（ａ＋ｂ）ｘ＋
在实数范围内有解，求实数ａ的取值范围．
２解原方程有解即ａ＝－ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ有２解，从而有ａ＝ｃｏｓｘ－ｃｏｓｘ－１＝（ｃｏｓｘ－
１２）２
５５，，所以实数ａ的取值范为－－１］ ∈［４４５［］－，１．４设ａ，２．ｂ，ｃ从均为正数且ａ，ｂ，ｃ成等差数列，判断１，１，１是否成等

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北京大学2017年暑期学堂试题
1. 如图所示，光滑的斜面上放置着两个质量不同的小滑块，初始时用外力将其固定，两块间的间距为d ，现将外力撤去，两物块沿斜面下滑，那么两物块的间距d 会( ) A. 变大 B. 不变 C. 变小
D. 先变大后变小
2. 以一定速度向斜上方发射一枚铅球，空气阻力可忽略不计，请问应该以什么样的发射角度发射，才能使铅球落地时的运动距离最远( )
A. 大于 45
B. 等于 45
C. 小于 45
D. 无法确定 3. 有一个近乎真空的容器，其体积为L V 2.11=，测得其内部压强为mmHg P 5
1101-⨯=，现将其温度升高至C 300，吸附在壁上的分子由于受热而逸出，此时又测得其内部压强为mmHg 2
101-⨯，求吸附在壁上分子的数量级为( )
A. 1910
B. 1810
C. 1710
D. 1610
4. 在炎热的夏天，向远处的柏油马路看去，路面特别明亮光滑，像用水淋过一样.其原理时在温度和重力的影响下，空气的折射率随着高度的升高而变大，从远处的光线将会被弯曲，看起来就好像是路面上有一块反射镜.请问以下四种生活现象中，与此现象产生的原理相同的是哪两种( ) A. 海市蜃楼
B. 沙漠神泉
C. 白天，地表附近的气温较上层的气温高，声音在地表附近的传播较上层快，于是在地面上的生源发出的声音向四周传播时是向上拐弯的
.
D. 黑夜，地表附近的气温较上层的气温低，声音在地表附近的传播较上层慢，于是在地面上的生源发出的声音向四周传播时是向下拐弯的
5. 将一个电子放于一个匀强电场中，那么( ) A. 电子将沿电场方向做匀速运动
B. 电子将沿电场相反反向做匀速运
动
C. 电子将沿电场方向做匀加速运动
D. 电子将沿电场相反方向做匀加速
运动
6. 有一只孤独的变色龙，在沙漠严寒的冬日，一面正对太阳，另一面背对太阳，为了使其体温维持稳定，其颜色需要变化为( ) A. 向光侧颜色深，背光侧颜色浅 B. 向光侧颜色浅，背光侧颜色深 C. 向光侧和背光侧都要颜色深
D. 向光侧和背光侧都要颜色浅
7. 空间中存在一个圆环、一个圆盘和一个圆球，三者半径相同并带有等量同种电荷，试问三者中心电势的大小关系为( ) A. 圆球>圆盘>圆环 B. 圆球>圆环>圆盘 C. 圆盘>圆球>圆环
D. 圆环>圆盘>圆球
8. 一个导体球壳A 内部有一个小导体B ，下列说法正确的是( ) A. 若只有A 带电，则AB U 为正或为负
B. 若B 带负电，则AB U 的正负与A 的带电量无关
C. 若B 不带电，则AB U 的正负与A 的带电量无关
D. 若B 带正电，则无论A 带何种电荷，0 AB U
9. 在广袤的宇宙中，存在着这样一颗不断自转的行星，质量为M 均匀分布，半径为R ，在其上的未知生命对于重量的变化非常敏感，有一个热爱旅行的未知生命感受到他在赤道上重量恰好为在极地重量的%99，现在这些未知生命希望能够发射一次卫星，请问： (1) 该星球极点处的逃逸速度；
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(2) 如何使得发射所需的能量最小，应该在何处以怎样的速度发射？
10.真空中存在着两个点电荷21q q 、，其电量之和为q ，相距为d ，相互作用力为f (吸引为负，排斥为正)，静电力常量为k ，请问：
(1) 要使得21q q 、有取值，以上的量需要满足什么关系？ (2) 在满足(1)的条件下，两点电荷的电量。

11.在物理学中，往往将能量为eV E n 0253.0=的中子称为热子，现用一个热中子来轰击一
个B 10核，产生了一个i 7
L 和一个α粒子.已知 u m n 008665.1=，u m B 01677.10=，
u m L 018822.7i =，u m a 001509.4=，其中2/5.9311c MeV u =，请问：
(1) 写出上述核反应的核反应方程式并指出该反应是吸热还是放热； (2) 求出该核反应的反应热； (3) 求生成的两个粒子的动能。

12.如图所示，在北冰洋的海面上漂浮着两座形状不同的冰山，其露出海面的高度恰好同为
H ，第一座(A )为一个正四棱锥，第二座(B )为一个侧面是正方形的正三棱柱，已知冰的
密度与海水的密度之比为K ，请问： (1) A 的实际高度1H ；
(2) 求A 与B 的实际高度之比21:H H ，并判断谁更高一些。

.
.
北京大学2017年暑期学堂试题解析
1. 【答案】B
【考点】匀加速直线运动
【解析】两物块的运动状态完全相同. 2. 【答案】B 【考点】斜抛运动
【解析】设初速度为v ，发射角度为θ，则g
v t θ
sin =
，射程22
cos 2sin cos sin 2v v x v t g g
θθθθ===则 45=θ时，射程最远. 3. 【答案】B
【考点】克拉伯龙方程【解析】18622112212101103⨯≈⨯≈≈-=--mol R
T V
P R T V P R T V P n n 4. 【答案】ABC 【考点】光的折射
【解析】海市蜃楼是一种光学现象.沙质或石质地表热空气上升，使得光线发生折射作用，于是就产生了海市蜃楼.海市蜃楼常在海上、沙漠中产生，海市蜃楼是光线在延直线方向密度不同的气层中，经过折射造成的结果.在沙漠中发生的一种类似现象就是“沙漠神泉”.所以A ，B 选项正确.
声音的传播速度与温度是成正比的，在近地层中，当气温随高度增加而降低时，声音的传播速度随高度增加而减小，声音的射线就会向上弯曲(俗称“声音起飞了”)；反之，当气温随高度增加而升高，声音的传播速度就会随高度增加而增加，声波射线呈向下弯曲状，给人的听觉就是“声音在下沉”.所以C 选项正确，D 选项错误.
.
5. 【答案】D
【考点】电场的性质
【解析】电子带负点往电势高处运动. 6. 【答案】A 【考点】光的特性
【解析】冬天，需要从太阳光储存能量，向光侧颜色深时为了更好吸收太阳能，背光侧颜色浅是为了减少向外的热辐射. 7. 【答案】C
【考点】电势的计算：
【解析】考虑电荷距中心的平均距离：圆盘<圆球<圆环. 8. 【答案】BD 【考点】电场线
【解析】若B 不带电，0=AB U ；无论B 带正电或负电，AB U 都与A 的带点状况无关，可以通过电场线判断. 9. 【答案】见解析【考点】天体运动【解析】 (1)
R
GM
v R GMm mv 2021222=⇒=- (2) 由题意
R
u m R GMm R GMm 2
22%99-=⋅，即赤道处的线速度R
GM
u 101
=
，则应在赤道上，沿u 方向，相对表面以R
GM
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-
1012的初速度发射.
.
10.【答案】见解析【考点】库仑力【解析】
(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=
=+K fd q q q q q 22121，有解的条件为042
2
≥-=∆K fd q ；
(2) ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=K fd q q q K
fd q q q 222221421,421.
11.【答案】见解析
【考点】核子反应与质能方程【解析】
(1) E
Li B n ∆++→+α47101，
能
量
变
化
()MeV c m m m m E n B Li 754376.42-=--+=∆α，即放能；
(2) 反应热为MeV 754376.4；
(3) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=n n Li Li Li n n Li n E E E E E m E m E m E E E 1217470412147704222αα
αα或
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+-=
n n Li E E E E 1217470412147
704α. 12.【答案】见解析【考点】浮力的计算【解析】
(1) 对于A ，在水中体积：总体积3
13
13
3
11,1::K
H
H K H H H -==-=
.
(2) 对于B ，在水中体积：总体积K
H
H K H H H -=
=-=1,1::22
2222，21H H > 本文档由华夏园教育提供。

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