第5章材料的固体扩散
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可解得:C (x ,t) C 0 (C 1-C 0)ex r 2fD () t
对纯铁渗碳,C1=0，有
C (x,t)C 0[1-erxf2(D)t]
在920℃下,控制表面碳浓度为1.3%，则渗碳10小 时后，碳浓度:
C(x)1.3[1erf(x6)]80
其中D=1.5×10-11m2sec-1 19Байду номын сангаас
r
q可由筒外流出气体的增碳量测出,l，t已知，将圆 筒淬火可测筒壁各点的浓度，做出C－lnr曲线，可 知各点的
dC
d(ln r )
因此D可求出。
实际上D与C有关,所以C－lnr 关系为曲线。各浓
度下的D实际上是由C－lnr
曲线的斜率求出。 7
5. 1. 2 菲克第二定律 (The second diffusion law)
按不同的机制（方式）扩散,所需的热激活不同， 即扩散难易不同。
对具体的一维扩散情形,只要给出合适的初始条
件和边界条件，就可用误差函数解求出任意时
刻的浓度分布C(x, t)
13
胡111表3－1
14
3 无限长棒扩散偶的求解
将浓度分别 为C1,C2 (C2 ＞C1)的两 无限长棒焊 成扩散偶
初始条件:t=0,x＞0 (=∞) ，C=C1 x＜0 (=-∞) ，C=C2
纯铁气体 渗碳的表 层碳浓度 分布曲线
与实际吻 合得很好
20
5. 2 扩散机制 (Mechanism of the diffusions)
21
由扩散第一定律:扩散速度取决于扩散系数D和浓 度梯度。后者取决于浓度分布,因此扩散快慢主要 取决于D。
扩散系数D可用下式表达
Q
D D0e RT
其中D0称为扩散常数,Q为扩散激活能，R为气 体常数，T为绝对温度。
若假定D与浓度无关,则:
C t D x C xD x C xD 2 xC 2
实际上D与浓度有关,但为方便求解，常把D看成 恒量来解C(x, t)，即任意时刻任意点的浓度。11
2 扩散第二方程的求解 误差函数解
对扩散第二方程
C t
D
2C x2
进行适当变换，
将其转化为常微分方程,可求出其通解:
x/2
9
物质流入速率:J1A,
物质流出速率 J2AJ1AJxA dx 物质积存速率 J1A J2A J xA d x A J xdx
又知物质积存速率 CdAxAdxC
t
t
所以 AJdxAdxC
x
t
C J
t x 10
由扩散第一定律 J D dC 知 dx
C DC DC t x x x x 即扩散第二定律。
——化学热处理（表面合金化）
渗碳:通过不同的方法造成一定浓度的渗碳气氛通 过扩散使碳原子由表面向心部迁移。
钢 碳 的的量厚含经度碳一不量定断为时增间加C1,后 。若可加达热定温值度C一0，定之，后表只面是钢高中碳的层含
18
初边始界条条件件::CC((x0,,0t))==CC01， C(，t)=C1
扩散研究:如何加速或抑制扩散。
宏观规律：扩散速度与浓度分布——与外界条件 的关系。
微观机制：扩散如何进行——扩散时原子的具体
行为
2
5.1 扩散动力学 (Kinetics of the diffusions)
3
5. 1. 1 菲克第一定律 (The first diffusion law)
4
菲克第一定律(扩散第一定律,扩散第一方程) 对稳态扩散，即 C 0 ，浓度与时间无关的扩散
8
扩散第一定律只解决了稳态扩散问题,未达稳态， 各时刻的浓度梯度是变化的，不能计算
实际扩散过程多为非稳态扩散,此时只有用菲克第 二定律才能解决。
1 菲克（扩散）第二定律（扩散第二方程）推导
垂直于x轴,相距dx的 两截面围成一微小体 积 ， 其 横 截 面 积 为 A， 以 J1，J2 表 示 流 入 、 流出此小体积的扩散 通量，则有:
通渗碳气体，加热至相保温，
碳原子由内向外扩散。长时
间加热达到稳态，沿筒壁截
面各点的碳浓度不随时间改
变，即
dC 0 dt
此时圆筒本身不再吸碳,在任意时间间隔t内扩散出 的碳量q的比值q/t为定值
通过筒壁半径r处的扩散通量 J q DdC 2πrlt d6 r
D-2πrqld tdC r -2πlqtddC r -2πltdqd(Clrn)
C (0 t) ,C 1 C 2er fC 1 ( C 0 2 )C 1 C 2
2
22
即界面处的浓度 不随时间改变。
若C1=0, 即扩散偶右端的初始浓度为0,则有
C(x,t)C 221-erf2xDt
17
4 扩散第二方程的解在渗碳上的应用
渗碳目的: 表面希望耐磨——高硬度（高碳） 心部希望高韧性——低碳 用低碳钢渗碳可同时满足两方面的要求
边界条件：t≥0，x=∞， C=C1
x=-∞，C=C2
15
将初始条件代入（1）式,有:
π
π
C1A2er f) (BA2B
π
π
C 2A2er f)(-B-A 2B
得 A C1 C2 π
B C1 C2 2
得通解 C (x,t)C 1C 2er fx C 1C 2 2 2Dt 2
16
在x=0处
CA
Dte2dB
0
其中A, B为常数， ＝ x
2 Dt
通解的不定积分不可积。 12
定义: e rf 2 e2d 为误差函数,
π0
则有 CAπerxf2D tB （ 1 ） 2 为扩散第二方程的误差函数解。
可以证明：erf()--erf)(且 erf()1
erf()的值不能用解析法给出,但可给出其数值解
t
J D dC dx
J:扩散通量,即单位时间内通过垂直于扩散方向的单 位截面积的扩散物质流量。C：体积浓度。
x：长度；dd
C x
：浓度梯度
D:扩散系数,单位浓度梯度可形成的扩散通量。
负号表示扩散方向为从高浓度到低浓度。 5
应用举例 测定碳在 -Fe中的扩散系数:
脱碳气体 渗碳气体
l
r 脱碳气体
纯铁圆筒,外通脱碳气体，内
第5章 材料的固态扩散 (Diffusion in solid materials)
1
扩散:物质中原子或分子迁移的现象。
扩散的重要性:金属铸件的均匀化、陶瓷的烧结、
扩散型固态相变过程、表面合金化、冷变形金属 的回复、再结晶等都与扩散密切相关。
固态扩散的特点:速度慢 金属液体中的扩散系数在5×10-5cm2sec-1量级 金属固体中扩散系数则可能在10-8cm2sec-1量级
对纯铁渗碳,C1=0，有
C (x,t)C 0[1-erxf2(D)t]
在920℃下,控制表面碳浓度为1.3%，则渗碳10小 时后，碳浓度:
C(x)1.3[1erf(x6)]80
其中D=1.5×10-11m2sec-1 19Байду номын сангаас
r
q可由筒外流出气体的增碳量测出,l，t已知，将圆 筒淬火可测筒壁各点的浓度，做出C－lnr曲线，可 知各点的
dC
d(ln r )
因此D可求出。
实际上D与C有关,所以C－lnr 关系为曲线。各浓
度下的D实际上是由C－lnr
曲线的斜率求出。 7
5. 1. 2 菲克第二定律 (The second diffusion law)
按不同的机制（方式）扩散,所需的热激活不同， 即扩散难易不同。
对具体的一维扩散情形,只要给出合适的初始条
件和边界条件，就可用误差函数解求出任意时
刻的浓度分布C(x, t)
13
胡111表3－1
14
3 无限长棒扩散偶的求解
将浓度分别 为C1,C2 (C2 ＞C1)的两 无限长棒焊 成扩散偶
初始条件:t=0,x＞0 (=∞) ，C=C1 x＜0 (=-∞) ，C=C2
纯铁气体 渗碳的表 层碳浓度 分布曲线
与实际吻 合得很好
20
5. 2 扩散机制 (Mechanism of the diffusions)
21
由扩散第一定律:扩散速度取决于扩散系数D和浓 度梯度。后者取决于浓度分布,因此扩散快慢主要 取决于D。
扩散系数D可用下式表达
Q
D D0e RT
其中D0称为扩散常数,Q为扩散激活能，R为气 体常数，T为绝对温度。
若假定D与浓度无关,则:
C t D x C xD x C xD 2 xC 2
实际上D与浓度有关,但为方便求解，常把D看成 恒量来解C(x, t)，即任意时刻任意点的浓度。11
2 扩散第二方程的求解 误差函数解
对扩散第二方程
C t
D
2C x2
进行适当变换，
将其转化为常微分方程,可求出其通解:
x/2
9
物质流入速率:J1A,
物质流出速率 J2AJ1AJxA dx 物质积存速率 J1A J2A J xA d x A J xdx
又知物质积存速率 CdAxAdxC
t
t
所以 AJdxAdxC
x
t
C J
t x 10
由扩散第一定律 J D dC 知 dx
C DC DC t x x x x 即扩散第二定律。
——化学热处理（表面合金化）
渗碳:通过不同的方法造成一定浓度的渗碳气氛通 过扩散使碳原子由表面向心部迁移。
钢 碳 的的量厚含经度碳一不量定断为时增间加C1,后 。若可加达热定温值度C一0，定之，后表只面是钢高中碳的层含
18
初边始界条条件件::CC((x0,,0t))==CC01， C(，t)=C1
扩散研究:如何加速或抑制扩散。
宏观规律：扩散速度与浓度分布——与外界条件 的关系。
微观机制：扩散如何进行——扩散时原子的具体
行为
2
5.1 扩散动力学 (Kinetics of the diffusions)
3
5. 1. 1 菲克第一定律 (The first diffusion law)
4
菲克第一定律(扩散第一定律,扩散第一方程) 对稳态扩散，即 C 0 ，浓度与时间无关的扩散
8
扩散第一定律只解决了稳态扩散问题,未达稳态， 各时刻的浓度梯度是变化的，不能计算
实际扩散过程多为非稳态扩散,此时只有用菲克第 二定律才能解决。
1 菲克（扩散）第二定律（扩散第二方程）推导
垂直于x轴,相距dx的 两截面围成一微小体 积 ， 其 横 截 面 积 为 A， 以 J1，J2 表 示 流 入 、 流出此小体积的扩散 通量，则有:
通渗碳气体，加热至相保温，
碳原子由内向外扩散。长时
间加热达到稳态，沿筒壁截
面各点的碳浓度不随时间改
变，即
dC 0 dt
此时圆筒本身不再吸碳,在任意时间间隔t内扩散出 的碳量q的比值q/t为定值
通过筒壁半径r处的扩散通量 J q DdC 2πrlt d6 r
D-2πrqld tdC r -2πlqtddC r -2πltdqd(Clrn)
C (0 t) ,C 1 C 2er fC 1 ( C 0 2 )C 1 C 2
2
22
即界面处的浓度 不随时间改变。
若C1=0, 即扩散偶右端的初始浓度为0,则有
C(x,t)C 221-erf2xDt
17
4 扩散第二方程的解在渗碳上的应用
渗碳目的: 表面希望耐磨——高硬度（高碳） 心部希望高韧性——低碳 用低碳钢渗碳可同时满足两方面的要求
边界条件：t≥0，x=∞， C=C1
x=-∞，C=C2
15
将初始条件代入（1）式,有:
π
π
C1A2er f) (BA2B
π
π
C 2A2er f)(-B-A 2B
得 A C1 C2 π
B C1 C2 2
得通解 C (x,t)C 1C 2er fx C 1C 2 2 2Dt 2
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在x=0处
CA
Dte2dB
0
其中A, B为常数， ＝ x
2 Dt
通解的不定积分不可积。 12
定义: e rf 2 e2d 为误差函数,
π0
则有 CAπerxf2D tB （ 1 ） 2 为扩散第二方程的误差函数解。
可以证明：erf()--erf)(且 erf()1
erf()的值不能用解析法给出,但可给出其数值解
t
J D dC dx
J:扩散通量,即单位时间内通过垂直于扩散方向的单 位截面积的扩散物质流量。C：体积浓度。
x：长度；dd
C x
：浓度梯度
D:扩散系数,单位浓度梯度可形成的扩散通量。
负号表示扩散方向为从高浓度到低浓度。 5
应用举例 测定碳在 -Fe中的扩散系数:
脱碳气体 渗碳气体
l
r 脱碳气体
纯铁圆筒,外通脱碳气体，内
第5章 材料的固态扩散 (Diffusion in solid materials)
1
扩散:物质中原子或分子迁移的现象。
扩散的重要性:金属铸件的均匀化、陶瓷的烧结、
扩散型固态相变过程、表面合金化、冷变形金属 的回复、再结晶等都与扩散密切相关。
固态扩散的特点:速度慢 金属液体中的扩散系数在5×10-5cm2sec-1量级 金属固体中扩散系数则可能在10-8cm2sec-1量级