无限循环小数如何化为分数
无限循环小数化为分数的方法
无限循环小数化为分数的方法无限循环小数化为分数的方法如下：一、等比数列法无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……循环节为3则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
再如：0.999999.......循环节为9则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)当n趋向无穷时（0.1）^n=0因此：0.99999.....=0.9/0.9=1二、解方程法无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数纯小数纯循环小数例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：10x-x=1.1111……-0.1111……9x=1X=1/9例：0.999999.......=1设x=0.9999999......10x-x=9.999999.....-0.999999.....9x=9x=1关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。
例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，1000X=123+0.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333归纳为了公式化，我们可以这样表示：x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。
把无限循环小数化成分数的方法
把无限循环小数化成分数的方法如何将无限循环小数化成分数无限循环小数是指小数部分存在一个或多个重复的数字组合，无限重复下去的小数。
例如，0.3333...就是一个无限循环小数，因为小数部分的3无限重复下去。
将无限循环小数化成分数是一种常见的数学运算，可以使得无限循环小数变成一个有限的数值。
下面将介绍几种方法来实现这个转换。
方法一：设x为无限循环小数，将x乘以一个适当的倍数，使得小数点后的循环部分移到整数部分，然后用等式表示这个乘法，解方程求解x的值。
例如，将0.3333...乘以10，得到3.3333...。
然后用等式表示这个乘法：10x = 3.3333...。
接着，将等式两边减去原来的等式，得到9x = 3。
解这个方程，得到x = 1/3。
方法二：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。
然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。
接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。
解这个方程，得到x = y/(10^n - 1)。
例如，将0.3333...的循环部分移到整数部分后，得到3。
然后用等式表示这个移位操作：0.3333... = 3 + 1/10^1。
接着，将等式两边乘以10，得到10*0.3333... = 10*3 + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到9*0.3333... = 3。
解这个方程，得到0.3333... = 3/9 = 1/3。
方法三：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。
然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。
接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。
无 限 循 环 小 数 如 何 化 为 分 数
无限循环小数如何化为分数北京市第十九中学初一二班张晔扬目前的学习误区是：无限循环小数可以化为分数，是分数就是有理数，但小数不都是有理数不一定都能化为分数。
这次讨论的主题是：无限循环小数如何化为分数分数全都是有限小数或者无限循环小数。
因为分数全都是有理数！分数化成小数后都是有限小数或者无限循环小数，不可能出现无限不循环。
先来判断无限循环小数例如：0.562358294562358294562358294562358294562 35829456235829456235829456235829456235829 4562358294………………其中562358294就是循环部分！无限循环小数属于有理数，因为它都能用分式表示，如0．256256256．．．．．．．．可以转化为256/999，它是无限循环小数，分母不能转化为10的N次方。
无限不循环小数属于无理数，它不能用分式表示。
一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。
先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。
再约分。
例如：0.333.....＝3/9=1/30.214214214214214....=214/999简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个90.3333......循环节为3 0.214.....循环节为2140.52525252....循环节为52，所以0.525252...＝52/99 0.35....=35/99我觉得分数只能化成有限小数和无限循环小数任何有限小数何无限循环小数都是有理数。
小学数学复习之数学定义循环小数化分数概念
小学数学复习之数学定义：循环小数化分数概念
小学数学复习之数学定义：循环小数化分数概念
无限循环小数是有理数，既然是有理数就可以化成分数。
循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。
混循环小数可以*10^n，所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。
方法1.无限循环小数，先找其循环节，然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……
循环节为3
则0.3=3*10^+3*10^+……+3^10+……
前n项和为：30.1^)/
当n趋向无穷时^=0
因此0.3333……=0.3/0.9=1/3
注意：m^n的意义为m的n次方。
方法2：设0.3333.
10x-x=3.3333
9x=3
3x=1
x=1/3
第二种：如，将3.305030503050.....化为分数。
解：设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a
10000a-a=3050
9999a=3050
a=3050/9999
算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。
再把整数部分乘分母加进去就是
/9999
=33047/9999
还有混循环小数转分数
如0.1555.....
循环节有一位，分母写个9，非循环节有一位，在9后添个0 分子为非循环节+循环节-非循环节+15-1=14
14/90
约分后为7/45。
无限偱环小数化分数
无限偱环小数化分数无限循环小数是一个有趣的数学概念，它指的是一个小数部分无限重复的循环。
例如，1/3的小数表示是0.3333...，其中3无限重复。
我们可以使用分数来表示这样的无限循环小数，这个过程被称为化分数。
化分数的方法是将无限循环部分与有限部分分开，并根据循环部分的位数来构造一个分式。
下面，我们将详细介绍如何将无限循环小数化分数。
我们来看一个例子：0.6666...。
这个小数的无限循环部分是6，它无限重复下去。
我们可以用x来表示这个小数，即x=0.6666...。
接下来，我们将在两边都乘以10，这样小数点就会向右移动一位：10x=6.6666...。
然后，我们再次将这两个方程相减：10x-x=6.6666...-0.6666...。
计算结果为9x=6，然后我们将x化简为分数形式，得到x=2/3。
所以，0.6666...等于2/3。
这个方法可以推广到其他无限循环小数的情况。
例如，0.272727...的无限循环部分是27，我们可以用x来表示这个小数，即x=0.272727...。
将x乘以100，我们得到100x=27.272727...。
然后，我们将这两个方程相减，得到99x=27，化简后x=27/99。
所以，0.272727...等于27/99。
化分数的方法不仅适用于无限循环小数，还适用于其他类型的无限小数。
例如，0.123456456456...是一个无限重复的小数，其中的无限循环部分是456。
我们可以用x来表示这个小数，即x=0.123456456456...。
将x乘以1000，我们得到1000x=123.456456456...。
然后，我们将这两个方程相减，得到999x=123，化简后x=123/999。
所以，0.123456456456...等于123/999。
除了使用乘法和减法来化分数，我们还可以使用几何级数的方法。
几何级数是一系列的数，每个数都是前一个数乘以一个常数。
例如，1+1/2+1/4+1/8+...就是一个几何级数，其中每个数都是前一个数乘以1/2。
各种循环小数化为真分数的方法归纳
各种循环小数化为真分数的方法归纳循环小数是一个有限的数列，其中某一位数字之后的数字不断重复出现。
将循环小数转化为真分数是一种常见的数学操作。
本文将归纳总结几种常见的循环小数化为真分数的方法。
方法一：分数的除法对于一个循环小数，我们可以利用分数的除法来将其转化为真分数。
具体步骤如下：1. 将循环小数的循环体部分表示为变量x。
2. 假设循环体有n位数字。
3. 根据循环体的位数，将x表示为一个分数，分子是循环体，分母是10的n次方减1。
4. 简化这个分数即可得到转化后的真分数。
例如，将循环小数0.3333...转化为真分数的步骤如下：1. 将循环体部分表示为变量x，即x=0.3333...。
2. 循环体有1位数字，所以分母为10^1-1=9。
3. 根据步骤2得到x=3/9。
4. 将分数3/9简化，得到1/3。
因此，循环小数0.3333...可以化为真分数1/3。
方法二：变量代换除了使用分数的除法，我们还可以通过变量代换的方法将循环小数转化为真分数。
具体步骤如下：1. 将循环小数的循环体部分表示为变量x。
2. 假设循环体有n位数字。
3. 利用变量代换，将循环小数表示为一个方程。
4. 解方程，得到转化后的真分数。
例如，将循环小数0.7272...转化为真分数的步骤如下：1. 将循环体部分表示为变量x，即x=0.7272...。
2. 循环体有2位数字，所以可以构造方程x=0.7272...。
3. 通过移动小数点，我们得到方程10x=7.2727...。
4. 将方程2减去方程3，得到9x=7，解方程得到x=7/9。
因此，循环小数0.7272...可以化为真分数7/9。
方法三：差值法差值法是将循环小数转化为真分数的另一种常见方法。
具体步骤如下：1. 将循环小数的循环体部分表示为变量x。
2. 假设循环体有n位数字。
3. 根据等差数列的性质，构造一个方程。
4. 解方程，得到转化后的真分数。
例如，将循环小数0.2̄3转化为真分数的步骤如下：1. 将循环体部分表示为变量x，即x=0.2̄3。
无限循环小数化分数的方法
无限循环小数化分数的方法无限循环小数，指十进制小数中数字序列一直循环出现的小数。
如0.3333……就是无限循环小数，它等于1/3。
接下来介绍几种常见的方法将无限循环小数化成分数。
1.长除法法将无限循环小数表示为分数x/y，其中x和y互质。
假设小数中以m开始不断循环出现，那么我们可以列出以下的等式：10^(n+d)x = m·(10^n-1)·10^d + m·(10^(n+2d)-10^(n+d))其中，d为小数循环节长度，n为大于d的任意正整数。
由于x是小数转化而来，因此有：x = m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)然后将上式的右边化为分数，则有：x = m(1/10^d + 1/10^(2d) + … + 1/10^(nd))/(1-1/10^d)而y=10^n-1，则x/y=m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)。
2.解二元一次方程组法同样假设无限循环小数为x/y，其中循环节长度为d。
则有：10^d·x - x = m10^d·y - y = 1其中m为小数循环节序列。
将x和y相消，联立方程组得到：x = m/(10^d - 1)y = (10^d - 1)/y因此，将无限循环小数化成分数的方法就是将循环节序列作为m 代入上式即可。
3.其他方法如果无限循环小数的分母是5的倍数，则可以将它们都变为10的倍数，即将小数点后移一位。
这时，无限循环小数就可以化为分数。
例如：0.6 = 6/10 = 3/5。
如果无限循环小数的分母可以分解为2和5的倍数，则先将该小数化为相应的分母，再用长除法法将无限循环小数化为分数。
通过以上几种方法，我们可以将无限循环小数化成分数，使其更便于计算。
无限循环小数与分数的互化
1
2 1 2 39 2 1 3 2 6 3 44 3 44 39 3 13
205 73 1 132 132
1 (2)1.25 0. 3 1.25 1.25 0. 6 3
1 1.25 (0. 3 0. 6) 3 1 1 2 4 1.25 ( ) 1.25 3 3 3 3
无限循环小数和分数的互化
小数
有限 小数 无限 小数
无限循环 小数
无限不循 环小数
无限纯循 环小数 无限混循 环小数
一、纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。 例1 把纯循环小数化分数：
6 2 102 34 （1）0.6= （2）3.102= 3 999 3 333 9 3
再 见
二、混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。 例2 把混循环小数化分数。
一个混循环小数的小数部 分可化成分数，这个分数 的分子是第二个循环节以 前的小数部分组成的数与 小数部分中不循环部分组 成的数的差。分母的头几 位数是9，末几位是0。9的 个数与循环节中的位数相 同，0的个数与不循环部分 的位数相同。
2503 2 2501 9990 9990
2.0 3 6
36 0 4 2 2 990 110
三、循环小数的四则运算
循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可按分数四 则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有 限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题
215 2 213 71 （1）0.215= 990 990 330
353 35 318 53 6 6 （2）6.353=6 900 900 150
循环小数化分数方法
循环小数化分数方法
循环小数化分数的方法可以按照以下规律进行:
1. 将循环小数的小数部分省略，只保留整数部分，即循环小数的近似值。
例如，对于循环小数 0.3258258258...,可以将其近似值为 3.25。
2. 根据循环小数的循环部分长度，确定需要截取的整数部分的长度。
例如，对于循环小数 0.3258258258...,循环部分长度为 8，因此需要截取 8 个整数部分。
3. 将截取的整数部分按顺序相加，得到循环小数化为分数的结果。
例如，0.3258258258...化为分数的结果为:3/8。
循环小数化分数的方法可以通过以上规律进行，但需要注意一定要将循环小数的小数部分省略，只保留整数部分，否则可能会导致分数的不正确性。
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳循环小数是指小数部分有一个或多个数字按照一定的规律不断重复出现。
将循环小数化成分数是数学学习中的一种基础技巧，本文将介绍常见的几种方法。
一、直接化成分数对于一位循环小数，例如0.3(3)，可以直接看出它等于1/3。
同样地，二位循环小数0.67(67)可以直接化成2/3。
对于这种直观易辨认的循环小数，只需简单观察即可得出分数表示。
二、巧妙运算对于较复杂的循环小数，可以利用数学运算巧妙化成分数。
例如循环小数0.1818...，设它的值为x，则10x等于1.8181...。
接下来通过减法运算消去小数部分的循环部分，即10x-x=1.8181...-0.1818...，化简得到9x=1.6363...，进一步化简为x=0.1818.../9=2/11。
这样，循环小数0.1818...可化成分数2/11。
三、利用等式有些循环小数可以利用等式来化成分数。
例如0.32(9)，将其设为x，则100x等于32.9999...，可以写成100x=32+0.9999...。
观察到0.9999...等于1，因此得到100x=32+1，进一步得到x=33/100，即循环小数0.32(9)可以化成分数33/100。
四、定理法在数论中，有一个著名的定理，称为瑟瑟斯特布劳恩定理（Sylvester's theorem）。
该定理表明，在十进制表示下，所有形如0.9999...的循环小数等于1/9。
同理，所有形如0.1111...的循环小数等于1/9。
以此类推，所有形如0.4444...的循环小数等于4/9，所有形如0.6666...的循环小数等于6/9。
通过运用定理，我们可以很方便地将这类循环小数化成分数。
五、连分数法连分数是一种特殊的分数表示形式，它将分数表示为一个整数和一个连分数的形式。
循环小数也可以通过连分数法表示成分数。
例如将循环小数0.248484...表示成连分数，可以得到0.248484...=0+[1/(2+[1/(4+...))]。
无限循环小数化分数
有限循环小数如何化为分数北京市第十九中学初一二班王旭目前的学习误区：在小学奥数中，只学过0.aaa……＝a/9，并没有更具体的概念。
主要内容：一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数。
循环小数化分数的方法有：1.纯循环小数化分数。
分子是一个循环节所表示的数；分母的各位数字都是9，9的个数和一个循环节的数字的个数相同。
2.混循环小数化分数。
分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数减去不循环数字所组成的数的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数和一个循环节的数字的个数相同，0的个数和不循环部分的数字的个数相同。
一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下面例题。
把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。
再约分浅谈如何将循环小数化为分数感受：我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。
那么无限小数能否化成分数呢?我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。
无限循环小数化为分数
无限循环小数化为分数独家窍门：1/9=0.11111111111111111111…….对吧假设有一个循环小数0.345634563456………其中循环的是3456，从1/9怎样可以过度到0.3456…（3456循环）呢。
我们可以把0.3456….（3456循环）看作是0.1…（1循环）中每四个1为一组的1111变成了3456，因此只需要给0.1..（1循环）乘以3456/1111就可以了。
即1/9×3456/1111同理可以得出如下规律：0.259……（259循环）就可以写成1/9×259/1110.123456……（123456循环）就可以写成1/9×123456/1111110.205802713……（205802713循环）就可以写成1/9×205802713/111111111以此类推这公式不言而喻了0.a...b（a...b循环）=1/9×a...b/1...1=a...b/9 (9)（说明：a…b代表一串数字，9…9的位数与a…b的位数相同）如果碰上了这样的循环小数：0.3456142857…（142857循环）怎么办呢，这里3456是不循环的我们进行假设，如果知道了0.00001…（1循环）的分数是什么的话直接给他乘以142857/111111在加上不循环的0.3456即3456/10000的话就可以得出结果了那么0.00001…（1循环）是多少呢很显然0.1…（1循环）减去0.1111就是我们要的结果，也就是1/9-1111/10000那么最后结果就是：（1/9-1111/10000）×142857/111111+3456/10000（1×10000-1111×9）/（9×10000）×（142857/111111）+3456/10000（1/90000）×（142857/111111）+3456/10000142857/（90000×111111）+3456/10000（142857+3456×9×111111）/（90000×111111）（142857+3456×999999）/（90000×111111）（142857+3456×（1000000-1））/（90000×111111）（142857+3456×1000000-3456）/（90000×111111）（3456142857-3456）/9999990000以此类推这公式也不言而喻了设循环小数0.c…da……b（a……b循环）说明：c…d与a……b代表各自一串数字，a……b为循环部分，c…d为不循环部分，为了区别循环部分与不循环部分的位数，分别以……代表同a……b循环部分相同的数位，以…代表同c…d不循环部分相同的数位，0.1（1循环）减去0.1…1就是0.0…01（1循环）0.c…da……b（a……b循环）化分数的结果就是（1/9-1...1/10...0）×a......b/1......1+c...d/10 0然后来化简（1×10...0-1...1×9）/（9×10...0）×（a......b/1......1）+c...d/10 0（1/90...0）×（a......b/1......1）+c...d/10 0a......b/（90...0×1......1）+c...d/10 0（a……b+c…d×9×1……1）/（90…0×1……1）（a……b+c…d×9……9）/（90…0×1……1）（a……b+c…d×（10……0-1））/（90…0×1……1）（a……b+c…d×10……0-c…d）/（90…0×1……1）（c...da......b-c...d）/9......90 00.c…da……b（a……b循环）化分数的结果就是（c…da……b-c…d）/9……90…0,其中……代表同a……b循环部分相同的数位，以…代表同c…d不循环部分相同的数位。
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳循环小数是小数中的一种特殊形式，将其化成分数可以让我们更深入地理解数的本质。
下面就为大家归纳一下各种循环小数化成分数的方法。
一、纯循环小数化成分数纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数。
例如：0333 ， 0767676 等。
纯循环小数化成分数的方法是：用一个循环节所组成的数作为分子，分母的各位数字都是 9，9 的个数与循环节的位数相同。
以 0333 为例，循环节是 3，所以化成分数就是 3/9 ＝ 1/3 。
再比如 0767676 ，循环节是 76，化成分数就是 76/99 。
二、混循环小数化成分数混循环小数是指小数点后不是第一位开始循环的小数。
例如：02333 ， 03565656 等。
混循环小数化成分数的方法是：用小数部分不循环的数字与一个循环节所组成的数减去不循环的数字组成的数之差作为分子，分母的头几位数字是 9，9 的个数与循环节的位数相同，末几位数字是 0，0 的个数与不循环部分的位数相同。
以 02333 为例，不循环的数字是 2，循环节是 3，所以分子是（23 2）＝ 21，分母是 90，化成分数就是 21/90 ＝ 7/30 。
再比如 03565656 ，不循环的数字是 3，循环节是 56，所以分子是（356 3）＝ 353，分母是 990，化成分数就是 353/990 。
三、多个循环节的循环小数化成分数有的循环小数可能存在多个循环节。
例如：***********，************等。
对于这种多个循环节的循环小数，我们可以把它看作是由一个整数部分和一个纯循环小数部分组成，然后分别将纯循环小数部分化成分数，再加上整数部分即可。
以***********为例，整数部分是 0，纯循环小数部分是0345345345 ，循环节是 345，所以纯循环小数部分化成分数是 345/999 ，那么原小数化成分数就是 2345/9990 。
四、小数点后有多个不循环数字和多个循环节的循环小数化成分数比如：01234567895678956789 ， 023456789121212 等。
无限循环小数化成分数公式
无限循环小数化成分数公式
无限循环小数化成分数公式是一种数学公式，用来把无限循环小
数转换为分数形式。
它在基本数学中十分重要，为人们把不可存储或
者难以记忆的小数转换为便于表示和理解的分数形式提供了一种有效
途径。
无限循环小数化成分数公式可以求解出无限循环小数的确切分数
形式，它是一种有效的计算方法。
例如，在0.5454545…的无限循环小数中，可以使用公式求出这个小数的分数形式为45/82。
当将这个式子中的所有小数表示成分数形式时，其结果就会是一个确定的分数形式。
从数学上讲，无限循环小数化成分数公式是有益的，能够帮助人们更
好地理解小数形式、进行精确的计算以及求取小数的分数形式。
无限循环小数被广泛用于数学统计学的计算中，因此，使用无限
循环小数化成分数公式来表示小数可以使抽样统计更加准确、更精确。
例如，当中国的人口数据由小数的形式表示，使用无限循环小数化成
分数公式将其转换为分数形式，就可以更容易地进行分析和抽样，从
而更准确地估计和测算人口过多或过少的情况。
总之，无限循环小数化成分数公式在数学领域是一个相当重要的
公式，它不仅可以帮助人们有效表达小数形式，而且可以用于的各种
数学抽样统计中，也是比较有用的。
无限循环 小数 化分数
无限循环小数化分数（原创实用版）目录1.无限循环小数的概念2.无限循环小数与分数的关系3.如何将无限循环小数化为分数4.实例解析正文1.无限循环小数的概念无限循环小数是指小数部分有一段数字或数字序列不断重复出现的小数。
例如，1/3 = 0.3333...，其中 3 无限循环重复出现。
无限循环小数是一种特殊的小数，它在数学中有着广泛的应用。
2.无限循环小数与分数的关系无限循环小数与分数有着密切的关系。
可以证明，每一个无限循环小数都可以表示为一个分数，反之亦然。
例如，0.6666...可以表示为 2/3，而 1/3 可以表示为 0.3333...，这为无限循环小数的研究和应用提供了便利。
3.如何将无限循环小数化为分数为了将无限循环小数化为分数，我们可以采用一种名为“进位制”的方法。
具体操作如下：（1）将无限循环小数的循环部分用一个字母（如 x）表示，得到一个新的小数，例如 0.3333...可以表示为 0.x。
（2）将新小数乘以 10^n，其中 n 表示循环部分的位数。
例如，如果循环部分有两位，那么 n=2，乘以 10^2=100。
（3）将乘积减去原数，即 100x - x = 99x。
（4）化简得到的分数，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。
通过以上步骤，我们可以将无限循环小数化为一个分数。
4.实例解析以 0.6666...为例，循环部分有两位，即 n=2。
按照上述方法，我们可以得到：（1）0.66 = 0.6666...（2）0.66 × 100 = 66（3）66 - 0.66 = 65.34（4）65.34 可以化为最简分数 13/2。
各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳循环小数是指小数部分有一段数字重复出现的无限循环的数字。
我们常常需要将循环小数转换为分数形式，这有助于我们更好地理解和计算。
在本文中，我们将对各种循环小数化成分数的方法进行归纳和总结。
一、纯循环小数的转化方法纯循环小数是指小数部分全部为重复的数字。
对于纯循环小数的转化，我们采用以下方法：1. 设循环部分的长度为n，将循环部分的数字表示为x，将循环小数表示为0.x。
根据小数的定义可知，0.x = x / (10^n - 1)。
因此，纯循环小数可以转化为分数形式：分子为循环部分的数字，分母为n个9。
例如，将0.6666...转化为分数形式。
循环部分的长度为1，循环的数字是6。
根据上述方法，我们得到0.666... = 6 / (10^1 - 1) = 6 / 9 = 2/3。
2. 对于循环部分长度大于1的纯循环小数，我们可以类似地转化为分数形式。
例如，将0.1414...转化为分数形式。
循环部分的长度为2，循环的数字是14。
根据上述方法，我们得到0.1414... = 14 / (10^2 - 1) =14 / 99。
二、非纯循环小数的转化方法非纯循环小数是指小数部分既有循环的部分，又有非循环的部分。
对于非纯循环小数的转化，我们采用以下方法：1. 设循环部分的长度为n，不循环的部分长度为m，将循环小数表示为0.abcd...(n个循环部分的数字)(m个非循环部分的数字)。
根据小数的定义可知，0.abcd...(n个循环部分的数字)(m个非循环部分的数字) = abcd...(n个循环部分的数字) / (10^n - 1) + m位非循环部分的数字 / 10^m * (10^n - 1)。
因此，非纯循环小数可以转化为分数形式：分子为循环部分与非循环部分的组合，分母为循环部分的长度与非循环部分长度的组合。
例如，将0.3141592653...转化为分数形式。
循环部分的长度为1，循环的数字是3；非循环部分的长度为9，非循环的数字是141592653。
循环小数与分数互化
循环小数与分数互化1. 循环小数的定义循环小数是指小数部分存在重复数字或数字序列的小数形式。
例如，0.3333...即为一个循环小数，其小数部分数字3无限重复。
循环小数可以表示为有限小数，或者用括号把重复的数字或数字序列标记出来。
2. 循环小数转分数的方法要将循环小数转化为分数，我们可以利用以下简单的方法：2.1 设循环小数为x，循环节长度为n，去掉循环部分，设为y；2.2 将x与y相减，得到一个n位的0.9999...的无穷数；2.3 将无穷数除以10的n次方减1，即(10^n - 1)，得到转换结果。
3. 实例演示以循环小数0.3333...为例来演示转换为分数的过程：3.1 将0.3333...设为x，去掉循环部分得到y=0.33；3.2 x - y = 0.3333... - 0.33 = 0.0033... = z；3.3 z除以10的2次方减1，即(10^2 - 1)，得到z/(10^2 - 1) = 0.0033... / 99 = 1/30。
通过以上演示，我们可以得出结论，循环小数0.3333...可以转换为分数1/30。
4. 分数转循环小数的方法与循环小数转分数不同，分数转循环小数的方法相对复杂，但我们可以通过除法来实现。
下面是一个具体的分数转循环小数的步骤：4.1 将分数的分子除以分母，得到整数商和余数；4.2 将余数乘以10，然后再除以分母，得到下一个商和新的余数；4.3 重复以上步骤，直到出现与之前相同的余数，即可确定循环节。
举个例子来说明分数转循环小数的过程：将分数1/7转换为循环小数的步骤如下：4.1 1除以7，得到商0和余数1；4.2 余数1乘以10，再除以7，得到商1和新的余数3；4.3 余数3乘以10，再除以7，得到商4和新的余数2；4.4 余数2乘以10，再除以7，得到商2和新的余数6；4.5 余数6乘以10，再除以7，得到商8和新的余数4；4.6 余数4乘以10，再除以7，得到商5和新的余数5；4.7 余数5乘以10，再除以7，得到商7和新的余数1，与之前的余数相同。
无限循环小数化分数
无限循环小数化分数的理论依据
用一元一次方程求解
• 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、 百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无 限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法， 把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大 后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分” 完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉 了。
实数的分类(基本概念)：
整数
正整数 (自然数) 零 负整数 有限小数 正分数
无限循环小数
实 数
有 理 分数 数 负分数
无 理 正无理数 数 负无理数
无限不循环小数
思考
• 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分 成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。 无限不循环小数不能化成分数，而无限循环小 数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又 是如何化分数的呢？
2，混循环小数化为分数
• •
3,把1.25858……化为分数 解：设X= 1.25858…… 则10X= 12.5858…… 1000X= 1258.5858…… 1000X-10X=1246 即990X=1246 即 X = 1246/990 得X =623/495 4.把0.56787878......化成分数 解：设X= 0.56787878...... 100X= 56.787878...... 10000X= 5678.787878...... 10000X-100X=5622 所以9900X = 5622 解得：X = 5622/9900 即X=2811/4950
• 总结：纯循环小数化分数 纯循环小数,循环节有几个数字, 分母就有几个9,分子是循环节的 数字。最后的结果能约分的要约 分。
把无限循环小数化为分数形式的一般方法
把无限循环小数化为分数形式的一般方法说实话把无限循环小数化为分数形式这事，我一开始也是瞎摸索。
我记得我最开始尝试的时候，就直接把这个小数写成分数形式，但根本不知道分母和分子该怎么定，这当然是失败的。
后来我发现对于纯循环小数，比如说……这种的，其实有一个比较简单的方法可以试试。
你就把这个循环节拿出来做分子，循环节就一个3嘛，然后分母就看循环节是几位数字，1位数字就写个9。
所以……就可以化为3/9，当然还可以再约分，就是1/3。
但是像……这种循环节是两位数字的纯循环小数呢。
还是把循环节12拿出来做分子，分母就是99，因为循环节是两位数嘛，那就得到12/99，约分一下就是4/33。
再说到混循环小数就更复杂一点了。
比如……这种，我当时就困惑了好久。
我试过先把不循环的部分和循环部分分开看。
不循环的部分是，先把它写成23/100。
然后对于循环节4 ，因为这是个混循环小数，循环节只有1位数字，分母就用900 。
为啥是900呢？这个我也不是特别肯定，我理解是因为前面有两位不循环的，就相当于是100乘上对循环节对应的9，分子就是循环节的数字，也就是4，这个部分就是4/900 。
最后把这两部分加起来，23/100加上4/900，通分得到207/900加上4/900，结果就是211/900。
我还试过用方程的方法来做，设这个无限循环小数为x。
就拿……来说，设x = ……，那么10x = ……，然后用10x - x ，就得到9x = 3，那x就等于3/9也就是1/3。
这个方法对于有些复杂一点的混循环小数也适用，但是计算起来可能会麻烦一点。
不过总的来说如果你掌握了这些方法，以后再遇到把无限循环小数化为分数的问题，就不会那么发愁啦。
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无限循环小数如何化为分数由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。
转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。
一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。
方法一：（代数法）类型1：纯循环小数如何化为分数例题：如何把0.33……和0.4747…… 化成分数例1：0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……(10-1) ×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3例2：0.4747……×100＝47.4747……0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47即99×0.4747……=47那么0.4747……=47/9由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。
练习：（1）0.3……=3/（10-1）＝1/3（2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。
（3）0.312 312……=类型2：混循环小数如何化为分数例题：把0.4777……和0.325656……化成分数例3：0.4777……×10=4.777……①0.4777……×100=47.77……②用②－①即得:0.4777……×90=47－4所以：0.4777……=43/90例4：0.325656……×100=32.5656……①0.325656……×10000=3256.56……②用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……0.325656……×9900=3256－32所以：0.325656……=3224/9900练习：（1）0.366……=（2）1.25858……=（3）6.23898989……=可见，无限循环小数是有理数，是有理数就可以化成分数。
方法二：（方程法）用一元一次方程求解1.把0.232323... 化成分数。
设X=0.232323...因为0.232323... == 0.23 + 0.002323...所以 X = 0.23 + 0.01X解得：X = 23/992.把0.1234123412341234...化成分数。
解：设X=0.1234123412341234...因为0.1234123412341234... == 0.1234 + 0.000012341234...所以X = 0.1234 + 0.0001X解得：X = 1234/99993.把0.56787878...化成分数，因为0.56787878...= 0.56 + 0.01 * 0.787878...所以设X=0.787878...则X=0.78 + 0.01X所以X = 78/99所以原小数0.56787878...=0.56+ 0.01X = 0.56 + 0.078/99 = 2811/4950其它无限循环小数，请仿照上述例题去作方法三：任意一个无限循环小数都可以看成一个有限小数加上一个等比数列的极限和比如说0.233333333...就可以看成0.2加上一个首项为0.03，公比为0.1的等比数列。
那么问题就很简单了0.233333333...=0.2+0.03/(1-0.1)=1/5+1/30=7/30。
也就是说任意一个有限循环小数化成分数有如下方法：首先找出选环节，如上面的例子就是3，然后计算选环节的单位长度，如上题就是1，如0.232323...就是2，0.123123123...就是3，这里记为q，然后写出不是循环节的部分，如上题就是0.2，这里记为a，再写出第一个循环节，如上题就是0.03，如0.01789789789...就是0.00789，这里记为b，分数的形式就是a+b/(1-1/(10^q))，这里的a,b,q都是有限小数，可方便化为分数。
在高中学完了数列、极限以后，就会知道下面的方法：一，纯循环小数化分数：循环节的数字除以循环节的位数个9组成的整数。
例如：0.3333……=3/9=1/3；0.285714285714……=285714/999999＝2/7.二，混循环小数：（例如：0.24333333……）不循环部分和循环节构成的的数减去不循环部分的差，再除以循环节位数个9添上不循环部分的位数个0。
例如：0.24333333…………=(243-24)/900=73/3000.9545454…………=(954-9)/990=945/990=21/221位循环0.X X X X …… = X/92位循环0.XY XY XY…… = XY/993位循环0.XYZ XYZ …… = XYZ/999……N 位循环0.a1a2a3…an a1a2a3…an……=a1a2a3…an/9999…9(n个9)推理依据：0.X X X X ……= 0.X + 0.0X + 0.00X + 0.000X + ……= X *（0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ……）= X * 0.1/（1-0.1） [无限等比数列和Sn=a1/(1-q) 首项/（1-公比）]= X * 1/90.XY XY XY ……= 0.XY + 0.00XY + 0.0000XY + ……= XY *（0.01 + 0.0001 + 0.000001 + ……）= XY * 0.01/（1-0.01）= XY * 1/990.XYZ XYZ XYZ……= 0.XYZ + 0.000XYZ + 0.000000XYZ + ……= XYZ *（0.001 + 0.000001 + 0.000000001 + ……）= XYZ * 0.001/（1-0.001）= XYZ * 1/9990.a1a2a3…an a1a2a3…an……= 0.a1a2a3…an+0.000…0a1a2a3…an(n个0) + ……= a1a2a3…an * 0.00…01(n-1个0)/(1-0.00…01)= a1a2a3…an * 1/9999…9(n个9)用幂的形式也可。
0.00…01(n-1个0) 表示为 1/10^nx = 0.333333....10x = 3.33333....10x - x = 3x = 1/3纯循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个9,分子是循环节的数字混循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个9,循环节前到小数点间有几位数字,分母9后面就有几个0,分子是混循环数字减去循环节前数字的差或者用极限解,还有就是楼上的楼上的方法我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。
无限不循环小数不能化成分数，而无限循环小数是可以化成分数的。
那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。
其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。
所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。
策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循化的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子：例1 把0.4747……和0.33……化成分数。
解法1：0.4747……×100=47.4747……0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47即99×0.4747……=47那么0.4747……=47/99解法2：0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33……(10-1) ×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。
⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。
想1：0.4777……×10=4.777……①0.4777……×100=47.77……②用②－①即得:0.4777……×90=47－4所以, 0.4777……=43/90想2：0.325656……×100=32.5656……①0.325656……×10000=3256.56……②用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……0.325656……×9900=3256－32所以, 0.325656……=3224/9900由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
从上面例题可知，一个纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的个数相同.最后能约分再约分。
把无限循环小数化为分数给定一个无限循环小数，我们是否能把它化为分数呢？其实方法也很简单，其关键在于利用「无限循环」这一点。
例如，给定小数0.272727...，如何把它化为分数呢？我们可以先把它写成1 x 0.272727... = 0.272727 (1)由于这个小数包含两个循环数字，我们把它乘以100：100 x 0.272727... = 27.2727 (2)接着用(2)减(1)，利用无限循环的特点，把小数点后的数字全部去掉，得99 x 0.272727... = 27 (3)接着把(3)化简，得0.272727... = 3/11当循环数字并非包括小数点后所有数字时，我们便需要多一点工夫。
例如要把小数0.11345345...化为分数，可以这样做：100 x 0.11345345... = 11.345345...100000 x 0.11345345... = 11345.345...99900 x 0.11345345... = 113340.11345345... = 11334/99900 = 1889/16650利用上述方法，我们还可以获得某些意想不到的结果。