无限循环小数如何化为分数

无限循环小数如何化为分数

由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。

方法一：（代数法）

类型1：纯循环小数如何化为分数

例题：如何把0.33……和0.4747…… 化成分数

例1：0.33……×10＝3.33……

0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……

(10-1) ×0.33……=3

即9×0.33……=3

那么0.33……=3/9=1/3

例2：0.4747……×100＝47.4747……

0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……

(100－1)×0.4747……=47

即99×0.4747……=47

那么0.4747……=47/9

由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

练习：

（1）0.3……=3/（10-1）＝1/3

（2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。

（3）0.312 312……=

类型2：混循环小数如何化为分数

例题：把0.4777……和0.325656……化成分数

例3：0.4777……×10=4.777……①

0.4777……×100=47.77……②

用②－①即得:

0.4777……×90=47－4

所以：0.4777……=43/90

例4：0.325656……×100=32.5656……①

0.325656……×10000=3256.56……②

用②－①即得:

0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……

0.325656……×9900=3256－32

所以：0.325656……=3224/9900

练习：

（1）0.366……=

（2）1.25858……=

（3）6.23898989……=

可见，无限循环小数是有理数，是有理数就可以化成分数。

方法二：（方程法）用一元一次方程求解

1.把0.232323... 化成分数。

设X=0.232323...

因为0.232323... == 0.23 + 0.002323...

所以 X = 0.23 + 0.01X

解得：X = 23/99

2.把0.1234123412341234...化成分数。

解：设X=0.1234123412341234...

因为0.1234123412341234... == 0.1234 + 0.000012341234...

所以X = 0.1234 + 0.0001X

解得：X = 1234/9999

3.把0.56787878...化成分数，

因为0.56787878...= 0.56 + 0.01 * 0.787878...

所以设X=0.787878...则X=0.78 + 0.01X

所以X = 78/99

所以原小数0.56787878...=0.56+ 0.01X = 0.56 + 0.078/99 = 2811/4950

其它无限循环小数，请仿照上述例题去作

方法三：任意一个无限循环小数都可以看成一个有限小数加上一个等比数列的极限和

比如说0.233333333...就可以看成0.2加上一个首项为0.03，公比为0.1的等比数列。那么问题就很简单了0.233333333...=0.2+0.03/(1-0.1)=1/5+1/30=7/30。

也就是说任意一个有限循环小数化成分数有如下方法：

首先找出选环节，如上面的例子就是3，然后计算选环节的单位长度，如上题就是1，如0.232323...就是2，0.123123123...就是3，这里记为q，然后写出不是循环节的部分，如上题就是0.2，这里记为a，再写出第一个循环节，如上题就是0.03，如0.01789789789...就是0.00789，这里记为b，分数的形式就是a+b/(1-1/(10^q))，这里的a,b,q都是有限小数，可方便化为分数。

在高中学完了数列、极限以后，就会知道下面的方法：

一，纯循环小数化分数：循环节的数字除以循环节的位数个9组成的整数。例如：

0.3333……=3/9=1/3；

0.285714285714……=285714/999999＝2/7.

二，混循环小数：（例如：0.24333333……）不循环部分和循环节构成的的数减去不循环部分的差，再除以循环节位数个9添上不循环部分的位数个0。例如：

0.24333333…………=(243-24)/900=73/300

0.9545454…………=(954-9)/990=945/990=21/22

1位循环0.X X X X …… = X/9

2位循环0.XY XY XY…… = XY/99

3位循环0.XYZ XYZ …… = XYZ/999

……

N 位循环0.a1a2a3…an a1a2a3…an……=a1a2a3…an/9999…9(n个9)

推理依据：

0.X X X X ……

= 0.X + 0.0X + 0.00X + 0.000X + ……

= X *（0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ……）

= X * 0.1/（1-0.1） [无限等比数列和Sn=a1/(1-q) 首项/（1-公比）]

= X * 1/9

0.XY XY XY ……

= 0.XY + 0.00XY + 0.0000XY + ……

= XY *（0.01 + 0.0001 + 0.000001 + ……）

= XY * 0.01/（1-0.01）